Área bajo la curva (Cálculo integral) Método de rectángulos. EJEMPLO 1
Summary
TLDREn este video, el presentador guía a los espectadores a través del proceso de aproximar el área bajo una curva utilizando el método de rectángulos. Selecciona un intervalo de 0 a 6 y coloca rectángulos de base de dos unidades, asegurándose de que la altura de cada rectángulo intersecte la curva en su centro. Evalúa la función en puntos clave para determinar las alturas y luego calcula el área de cada rectángulo. Finalmente, suma las áreas de los tres rectángulos para obtener una aproximación del área total bajo la curva en el intervalo seleccionado, demostrando un enfoque práctico para entender integrales y cálculos de áreas.
Takeaways
- 📊 El objetivo del ejercicio es aproximar el área bajo la curva de una función específica.
- 📈 Se utiliza el método de rectángulos para calcular el área, eligiendo un intervalo de 0 a 6.
- 🔲 Se inscribieron rectángulos en la gráfica con una base de 2 unidades y alturas variadas.
- 📐 La altura de cada rectángulo se determina cruzando la parte central de la gráfica con la función dada.
- ✏️ Se evalúa la función en puntos clave (1, 3, 5) para determinar las alturas de los rectángulos.
- 🔢 Las alturas se calculan utilizando la fórmula dada en el guion, que es 3 + 0.2x^2.
- 📝 Se realizan operaciones algebraicas para encontrar las alturas de los rectángulos: 3.2, 4.8 y 8 unidades.
- 📋 Se multiplica la base de los rectángulos (2 unidades) por sus alturas correspondientes para obtener sus áreas.
- 📊 El área total se calcula sumando las áreas de los tres rectángulos: 6.4, 9.6 y 16 unidades cuadradas.
- 🎯 El resultado final es una aproximación del área bajo la curva que se estima en 32 unidades cuadradas.
Q & A
¿Qué método se utiliza para aproximar el área bajo la curva en el ejercicio descrito?
-Se utiliza el método de rectángulos para aproximar el área bajo la curva.
¿Cuál es el intervalo que se elige para calcular el área bajo la curva?
-El intervalo elegido para calcular el área es desde 0 hasta 6.
¿Cómo se deciden las posiciones de los rectángulos en la gráfica?
-Los rectángulos se inscriben en la gráfica de tal manera que sus lados verticales corten la curva en el centro de su base.
¿Cuál es la base de los rectángulos utilizados en el método?
-La base de los rectángulos es de dos unidades.
¿Cómo se calcula la altura de cada rectángulo?
-La altura de cada rectángulo se calcula evaluando la función en el punto central de la base del rectángulo.
¿Cuál es la función que se evalúa para determinar la altura de los rectángulos?
-La función que se evalúa es 3 + 0.2x^2.
¿Cuál es el resultado de evaluar la función en el punto 1 para calcular la altura del primer rectángulo?
-El resultado de evaluar la función en el punto 1 es 3.2, que es la altura del primer rectángulo.
¿Cuál es el área del primer rectángulo que se calcula?
-El área del primer rectángulo es 6.4 unidades cuadradas, que se obtiene multiplicando la base de 2 unidades por la altura de 3.2.
¿Cuál es el área total aproximada bajo la curva utilizando los tres rectángulos?
-La área total aproximada bajo la curva es de 32 unidades cuadradas, que se obtiene sumando las áreas de los tres rectángulos.
¿Cómo se sugiere mejorar la aproximación del área bajo la curva si se quisiera hacer más precisa?
-Para mejorar la aproximación, se podrían utilizar más rectángulos con bases más pequeñas, distribuidos de manera más密集 a lo largo del intervalo.
Outlines
📏 Aproximación del Área Bajo una Curva
En el primer párrafo, se explica cómo aproximar el área bajo una curva utilizando el método de rectángulos. El presentador decide inscribir rectángulos de dos unidades de ancho en la gráfica de la función. Describe cómo colocar los rectángulos para que sus alturas se cruzen en la parte central de la gráfica, lo que representa una mejor aproximación. Luego, procede a calcular las alturas de los rectángulos evaluando la función en los puntos centrales de los intervalos seleccionados y multiplica estas alturas por la base de dos unidades para obtener el área de cada rectángulo. Finalmente, suma las áreas de los tres rectángulos para obtener una aproximación del área total bajo la curva en el intervalo de 0 a 6.
📐 Cálculo de Áreas y Resultado Final
En el segundo párrafo, se continúa con el cálculo del área bajo la curva. El presentador evalúa la función en los puntos clave (1, 3 y 5) para determinar las alturas de los rectángulos. Aplica la fórmula de área del rectángulo (base por altura) para cada uno de los tres rectángulos y luego suma los resultados para obtener el área total. El cálculo se detalla paso a paso, mostrando las operaciones matemáticas y los resultados intermedios. Al final, se obtiene un área total de 32 unidades cuadradas como aproximación del área bajo la curva en el intervalo de 0 a 6. El video concluye con un llamado a la audiencia para que den like si les gustó el contenido y se anuncia que en el próximo video se explorarán más temas similares.
Mindmap
Keywords
💡Aproximación del área
💡Método de rectángulos
💡Rectángulos inscritos
💡Base y altura de los rectángulos
💡Función
💡Área de los rectángulos
💡Sumatoria
💡Intervalo
💡Unidades cuadradas
💡Gráfica
Highlights
El ejercicio consiste en aproximar el área bajo una curva usando el método de rectángulos.
Se elige un intervalo de 0 a 6 para calcular el área bajo la curva.
Se decide utilizar rectángulos de base de dos unidades para la aproximación.
Se inscribirán rectángulos de dos unidades de ancho en la gráfica de la función.
Se sugiere colocar la altura de los rectángulos en la parte central de la gráfica para una mejor aproximación.
Se describe el proceso de trazado de líneas para delimitar los rectángulos en la gráfica.
Se explica cómo se determina la altura de los rectángulos a partir de la función dada.
Se calcula la altura del primer rectángulo evaluando la función en el punto 1.
Se calcula la altura del segundo rectángulo evaluando la función en el punto 3.
Se calcula la altura del tercer rectángulo evaluando la función en el punto 5.
Se multiplica la base de los rectángulos por sus alturas correspondientes para obtener el área de cada uno.
Se suman las áreas de los tres rectángulos para obtener la aproximación total del área bajo la curva.
Se obtiene un resultado aproximado de 32 unidades cuadradas para el área bajo la curva en el intervalo de 0 a 6.
Se menciona que la unidad de medida para el área es 'unidades cuadradas' sin especificar una medida lineal concreta.
Se invita a los espectadores a dar like al vídeo si les gustó el contenido.
Transcripts
hola que tal espero que se encuentren
bastante bastante bien en este ejercicio
voy a hacer la aproximación del área
bajo la curva de esta función por aquí
ya tengo la gráfica de la función es
esta curva que tenemos por aquí voy a
calcular el área bajo la curva a mí se
me ocurre calcular la en un intervalo
desde cero hasta seis voy a colocar una
línea recta aquí
y también voy a colocar una que tiene
que ver con el intervalo 6 en x ahí
necesito calcular toda esta área bajo la
curva yo lo voy a hacer utilizando el
método de rectángulos para eso tengo que
inscribir rectángulos en mi gráfica los
rectángulos a mí se me ocurre ponerlo de
dos unidades en dos unidades es decir
voy a por acá trazar líneas que van a
estar separadas por dos unidades si
ustedes lo quieren hacer lo pueden hacer
de una unidad en una unidad yo quiero
hacerlo de dos en dos así vamos a poner
que la línea de la parte superior del
rectángulo me estoy refiriendo a esta
cualquier persona me diría profe a lo
mejor estaría aquí igual o mejor estaría
acá abajo o para este rectángulo que
tengo acá tal vez la puedan poner acá o
la puedan poner acá o acá arriba lo que
yo sugiero hacer siempre es que la
altura de ese rectángulo cruce en la
parte central de la gráfica a qué me
refiero voy a hacer este otro rectángulo
que tenemos por acá y si ustedes
observan
aquí está cruzando en la parte central
de este rectángulo por lo tanto quiere
decir que la línea debe de cruzar en
este punto ese sería mi rectángulo
recuerdan aquí está cortando la parte
central ahora para este segundo
rectángulo voy a ver en qué parte está
cortando la gráfica en el centro del
rectángulo ustedes pueden ver que es
aquí por lo tanto yo voy a trazar ahí
la otra el otro lado del rectángulo
vamos a completar este cuadrito y ya lo
tenemos vamos a la siguiente gráfica me
voy a dar cuenta que en este punto está
cortando a la parte central de ese
rectángulo por lo tanto voy a trazar una
línea aquí y bueno voy a completar esta
otra línea que había puesto por acá y
con eso ya tengo mis tres rectángulos
inscritos voy a borrar un poco esta
línea para que se vea mejor y ahí nos
quedaría ya tenemos entonces para
calcular el área bajo la curva en el
intervalo de 0 a 6 ya tengo 3
rectángulos 1 2 y 3
cada rectángulo la parte central está
cortando en la gráfica como es una
aproximación se sobreentiende que este
pedazo que me queda afuera seguramente
es lo que nosotros vamos a tener como
área aquí en esta parte de la gráfica
este pedacito que me queda afuera se
sobreentiende también que va a ser esta
parte de acá y este pedazo que me queda
afuera se sobreentiende que sería este
rectángulo este triángulo que tenemos en
la parte superior que sigue pues yo
tengo rectángulos que son de base 2
ustedes saben que para calcular el área
del rectángulo el área de un rectángulo
siempre va a ser igual a la base
multiplicada por su altura entonces
nosotros ya tenemos la base cada
rectángulo tiene de base dos unidades
aquí lo estamos viendo 2 2 y 2 nos hace
falta calcular la altura esa altura
nosotros lo vamos a considerar con este
número que tenemos aquí con 1 quiere
decir que vamos a utilizar esta función
para evaluar esa altura en 1 voy a
utilizar esta función para saber la
altura obviamente en el punto 3 y voy a
utilizar esta función evaluada en 5 para
poder saber cuál es la altura de ese
rectángulo lo voy a hacer para cada uno
aquí en esta parte de abajo
posteriormente lo voy a borrar ahora voy
a borrar la fórmula del área de los
rectángulos y voy a comenzar con la
primera función recuerden voy a
evaluarla en uno porque en uno porque
aquí vamos a tener la altura de este
rectángulo y obviamente aquí está
tocando a la gráfica entonces aquí
pondría que va a ser igual
a 3 + 0 punto 2 x 1 al cuadrado si
nosotros hacemos las operaciones 1 al
cuadrado es 1 x 0.2 me va a dar 0.2
sumado con 3 entonces me daría 3.2
quiere decir entonces que la altura de
este rectángulo va a ser igual a 3.2 ya
tengo la primera altura voy a calcular
la segunda altura ahora ya no lo voy a
evaluar en uno sino lo voy a evaluar en
esta parte central que sería ahora en
tres por lo tanto voy a escribir la
función evaluada en tres sería 3 + 0.2
por 3 al cuadrado y eso cuanto me va a
dar bueno nosotros sabemos que 3 al
cuadrado es 9 y 9 x ese 2 que tenemos
allá por 0.2 perdón sería 9 por 0.2 me
da 1.8 y sumado con este con este 3
perdón sería 4.8 recuerden la operación
es muy simple 3 al cuadrado son 99 x 0.2
es 1
8 y 1.8 sumado con 34.8 esa sería la
altura de ese rectángulo acá lo voy a
escribir h va a ser igual a 4.8 ahí
tenemos entonces la altura de ese
rectángulo ahora voy a hacer exactamente
lo mismo pero con el tercer rectángulo
ustedes observen que la parte central en
donde está tocando la gráfica
corresponde a 5 quiere decir que la
función yo la voy a evaluar en 5
entonces me quedaría tres más 0.2 x 5
elevado al cuadrado
si yo llevo 5 al cuadrado me daría 25 25
x 0.2 me da 5 y si a eso le sumó 3
entonces
me daría como resultado 8
por lo tanto aquí tendríamos que esta
altura va a ser igual a perdón función 3
y bueno aquí vamos a escribir que la
altura del tercer rectángulo va a ser 8
que lo tenemos y listo ya tenemos la
altura de los tres rectángulos ahora lo
que me hace falta es calcular las áreas
voy a borrar toda esta parte de los tres
rectángulos y voy a calcular el área de
cada un rectángulo que tenemos aquí el
primer rectángulo tiene por base 2 vamos
a poner acá entonces rectángulo 1 vamos
a ponerle a este rectángulo 1 rectángulo
2 y rectángulo 3 el primer rectángulo
tiene una base de 2 unidades y eso lo
vamos a multiplicar por 3.2 que es la
altura si nosotros lo multiplicamos me
va a dar un resultado de 6.4 unidades al
cuadrado luego voy a hacer lo mismo con
el rectángulo número 2 el rectángulo
número 2 también tiene una base de 2
unidades entonces aquí voy a escribir 2
x la altura que nosotros calculamos que
era 4.8
y el resultado que me va a dar va a ser
nueve puntos seis unidades cuadradas y
por último voy a calcular el área del
rectángulo número tres recuerden que la
base es igual a dos unidades
multiplicado por la altura entonces
sería 2 por 8 y esto me daría 16
unidades al cuadrado esa anotación que
tengo es eso que tengo al final de
unidades al cuadrado solamente lo estoy
poniendo como unidad de medida ya que no
me dice si son centímetros metros
kilómetros etcétera entonces nada más lo
voy a simplificar como unidades
cuadradas en el caso de que se
trabajando en centímetros pues le pongo
centímetros al cuadrado y así
sucesivamente con cualquier unidad
lineal ahora lo que sigue si yo quiero
saber el área total vamos a escribir
aquí que el área total va a ser la
sumatoria obviamente de 6.4 más 9.6
+ 16 tengo que sumar el área de la de
los 3 rectángulos por lo tanto el área
total va a ser igual si yo sumo 6.4 más
9.6 tendría 16 16 eso me daría un
resultado de 32 unidades cuadradas y
bueno ese sería mi resultado de calcular
o aproximar el área bajo la curva de esa
función y igual a 30.2 x al cuadrado en
el intervalo de 0 a 6 espero que les
haya gustado el vídeo si fue así regalen
un like y nos vemos en el próximo vídeo
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