2. Domino y ámbito de una función
Summary
TLDREl video ofrece una explicación detallada sobre el cálculo del dominio y el ámbito de una función. Se destaca que el dominio son los valores de x, mientras que el ámbito es el resultado de sustituir el dominio en la función. Se cubren casos específicos como funciones polinomiales, algebraicas y con raíces, destacando cómo encontrar el dominio máximo y cómo aplicar restricciones para evitar la indeterminación. Se analizan ejemplos prácticos para ilustrar los conceptos y se invita a los espectadores a verificar los dominios y ámbitos por sí mismos, fomentando la participación y el aprendizaje.
Takeaways
- 📚 El dominio es el conjunto de valores posibles para las x en una función, mientras que el ámbito es el conjunto de valores que toma la función.
- 🔍 Para calcular el ámbito de una función, se sustituyen los elementos del dominio en la expresión de la función.
- 📉 Si se conoce el ámbito, se iguala cada elemento del ámbito con la función para encontrar el dominio.
- 🤔 En el caso de que solo se conozca la expresión de la función, se debe analizar las restricciones para determinar el dominio máximo.
- 📈 El dominio máximo de una función polinomial es siempre todo el conjunto de reales.
- 📌 Para funciones algebraicas, se identifican las restricciones del denominador, excluyendo los valores que hacen indefinida la fracción.
- 🔢 En el caso de funciones con raíces, si la raíz es de índice par, se toma el argumento mayor o igual que cero.
- 🚫 Si una raíz de índice par está en el denominador, se asegura que el interior del radical sea mayor que cero.
- ➗ Si la raíz es de índice impar y está en el numerador, el dominio máximo es todo el conjunto de reales; si está en el denominador, se excluye el valor que hace cero a la raíz.
- 📝 Ejemplo práctico: para la función f(x) = (x + 3) / (x^2 - 25), el dominio se limita a los reales que no son 5 ni -5, ya que estos valores hacen indefinida la función.
- 📉 Análisis de ejemplos avanzados, como el de la función con raíces y factores en el denominador, implica el uso de la tabla de signos para determinar los intervalos donde la función está definida.
Q & A
¿Qué es el dominio de una función y cómo se relaciona con el ámbito?
-El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de x que se pueden sustituir en la función sin causar errores o divisiones por cero. El ámbito es el conjunto de todos los valores que toma la función al sustituir los valores del dominio.
Si se dan las preimágenes, ¿cómo se encuentra el ámbito de una función?
-Para encontrar el ámbito a partir de las preimágenes, se sustituyen los elementos del dominio en la función y se observan los resultados, que son los valores del ámbito.
¿Cómo se calcula el dominio si se conoce el ámbito de una función?
-Para calcular el dominio a partir del ámbito, se iguala cada elemento del ámbito con el criterio de la función, es decir, se determina qué valores de x resultan en cada valor del ámbito.
En el caso de funciones polinomiales, ¿cuál es el dominio máximo?
-El dominio máximo de una función polinomial es todos los reales, ya que no hay divisiones por cero ni operaciones que causen indefiniciones.
¿Qué restricciones se deben considerar para el dominio de una función algebraica?
-Para funciones algebraicas, se deben considerar las restricciones impuestas por el denominador, evitando los valores que hacen que el denominador sea cero y, por lo tanto, la función se indefina.
Si una función contiene una raíz de índice par, ¿cuál es la restricción para el dominio?
-Si una función contiene una raíz de índice par, el dominio debe incluir solo los valores que mantienen el argumento de la raíz mayor o igual que cero.
¿Cómo se determina el dominio de una función que contiene una raíz de índice par en el denominador?
-Cuando una raíz de índice par está en el denominador, el dominio se determina asegurándose de que el interior del radical sea mayor que cero, evitando así divisiones por cero.
Si una raíz de índice impar está en el numerador de una función, ¿cómo se ve afectado el dominio máximo?
-Si una raíz de índice impar está en el numerador, el dominio máximo de la función es todos los reales, ya que no hay restricciones adicionales impuestas por la raíz.
¿Qué es una 'diferencia cuadrada' y cómo se utiliza para encontrar el dominio de una función fraccionaria?
-Una 'diferencia cuadrada' es una expresión algebraica que se utiliza para simplificar términos como (x-h)^2 - k, donde h y k son constantes. Al factorizar una diferencia cuadrada, se pueden identificar los valores que hacen que el denominador sea cero y, por lo tanto, se excluyen del dominio.
¿Cómo se utiliza el método de tablas de signos para determinar el dominio de una función que contiene raíces?
-El método de tablas de signos se utiliza para determinar los signos de cada factor en el numerador y denominador de una función, lo que permite identificar los intervalos donde la función está definida y, por tanto, el dominio de la función.
¿Por qué los infinitos siempre se incluyen de manera abierta en el dominio de una función?
-Los infinitos se incluyen de manera abierta en el dominio de una función porque el concepto de infinito no representa un valor numérico específico, sino un límite hacia el cual un valor puede tender, y por lo tanto, no se puede 'llegar' a un infinito en el sentido de incluirlo en un conjunto.
Outlines
📚 Cálculo de Dominio y Ámbito de una Función
En este primer párrafo, se discute el concepto de dominio y ámbito en matemáticas. El dominio se refiere al conjunto de valores de 'x' que pueden ser ingresados en una función, mientras que el ámbito es el conjunto de valores que la función puede producir. Se describe el proceso para calcular el ámbito a partir del dominio, simplemente sustituyendo los valores del dominio en la fórmula de la función para encontrar sus imágenes. Se menciona también el proceso inverso, donde se toma el ámbito y se iguala a los criterios de la función para determinar el dominio. Se invita a los espectadores a verificar por sí mismos el dominio y el ámbito de una función dada, y se introducen conceptos más avanzados como el dominio máximo de una función, incluyendo casos específicos para funciones polinomiales, algebraicas y con raíces.
🔍 Análisis de Ejemplos de Funciones Fraccionarias y Raíces
El segundo párrafo se enfoca en el análisis de ejemplos de funciones fraccionarias y con raíces, destacando la importancia de entender las restricciones que se deben aplicar al dominio para evitar la indeterminación de la función. Se presentan casos específicos, como el dominio máximo para funciones con raíces de índice par en el numerador o denominador, y cómo manejar funciones que involucran raíces de índice impar. A través de ejemplos prácticos, se muestra cómo factorizar y resolver ecuaciones para determinar los valores que deben ser excluidos del dominio. Se utiliza el método de tabla de signos para analizar el signo de las expresiones en diferentes intervalos, lo que ayuda a determinar los intervalos donde la función está definida y, por lo tanto, el dominio de la función.
Mindmap
Keywords
💡Dominio
💡Ámbito
💡Preimágenes
💡Sustitución
💡Polinomios
💡Álgebraica
💡Raíz de índice par
💡Raíz de índice impar
💡Diferencia de cuadrados
💡Ecuación cuadrática
💡Tabla de signos
Highlights
El dominio de una función corresponde a los valores de x permitidos, mientras que el ámbito es el conjunto de valores resultantes tras la sustitución de los elementos del dominio.
Para calcular el ámbito de una función, se debe sustituir los valores del dominio en la expresión de la función.
Si se conoce el ámbito, se puede determinar el dominio igualando cada elemento del ámbito con la función.
El dominio siempre será el conjunto de partida, mientras que el ámbito será el conjunto de llegada.
El dominio máximo de una función se determina por las restricciones impuestas por la función.
Las funciones polinomiales tienen como dominio máximo todos los reales.
Las funciones algebraicas requieren la identificación de restricciones en el denominador para determinar el dominio.
Las raíces de índice par en la función deben ser consideradas siempre mayores o iguales a cero.
Si una raíz de índice par está en el denominador, se debe asegurar que el interior del radical sea mayor que cero.
Las raíces de índice impar en el numerador permiten que el dominio máximo sea todos los reales.
El análisis de un ejemplo específico muestra cómo determinar el dominio máximo de una función fraccionaria.
La resolución de una ecuación cuadrática es necesaria para encontrar los valores que se excluyen del dominio en algunas funciones.
El uso de la tabla de signos es fundamental para determinar el signo de las expresiones en el dominio de una función.
El análisis de signos permite identificar los intervalos donde la función está definida y no se indefine.
El dominio de una función con raíz cuadrada y otros factores en el denominador debe ser cuidadosamente analizado para excluir los valores que hacen a la función indefinida.
Los valores que hacen cero al denominador de una función son excluidos del dominio máximo.
El ejemplo 88 se menciona como un caso particular que requiere una análisis más profundo en una sesión de clase.
El dominio de una función con múltiples factores en el denominador se determina tomando en cuenta las restricciones de cada factor.
Los infinitos son siempre considerados abiertos en el dominio de una función.
Transcripts
en este vídeo hablaremos sobre el
cálculo de del dominio y el ámbito
recordemos que El dominio corresponde a
las x y el ámbito corresponde
para calcular el ámbito de una función
se debe sustituir los elementos del
dominio recordemos entonces que si me
dan las pre imágenes o me dan El dominio
lo que hago es sustituir para encontrar
el ámbito
Ahora qué pasa si me piden calcular el
ámbito El dominio si me dan para
calcular el dominio Entonces tengo el
ámbito y lo que hago es que cada
elemento del ámbito lo voy a igualar con
el criterio de la función para encontrar
El dominio vean el en este caso les dejo
para que verifiquen ustedes Cuál es el
dominio El dominio y el ámbito de la
función en este caso no te sé que El
dominio siempre va a ser el conjunto de
de
partida y el como mínimo va a ser el
conjunto de llegada que El dominio
entonces va a ser menos 112 el convenio
va a ser todo lo real Pero cómo hago
para sacar el ámbito Es simplemente
hacer la sustitución de cada valor del
dominio en el criterio de la función es
decir calcular la imagen de -1 calcula
la imagen de uno y calcular imagen de
2 específicamente los que ustedes
verificar que el ámbito de las funciones
06 y 9 ahora vamos a hablar sobre el
dominio máximo de una función en este
caso considera lo siguiente sea F una
función de variable real donde vamos a
tener una función que va de un conjunto
a hacia los Reales evidentemente
recordemos que el conjunto a debe de
pertenecer a Los reales y vamos a
definir dos dos polinomios p y q de
variable real y n como un número natural
vamos a decir entonces los siguientes
casos en relación al dominio máximo de
una función
recordemos que anteriormente vimos que
para calcular el dominio lo que debo
hacer es tomar cada elemento del ámbito
e igualarlo ahora bien Qué pasa si
solamente me dan el criterio Entonces
vamos a ver el caso 1 si la función es
polinomial El dominio máximo siempre van
a ser todo los Reales
caso 2 si la función es álgebraica
específicamente lo que tengo que hacer
es encontrar las restricciones del
denominador y entonces lo voy a notar
como todos los Reales menos los valores
que hacen que se me indefina la fracción
algebraica asociada a la función es
decir todos los valores
que
hacen que el denominador sea cero ahora
tenemos el caso 3 el caso 3 corresponde
si la raíz si la raíz es de índice par
si la raíz es de índice para lo que hago
es tomar
tomar el argumento o el subradical y lo
hago siempre mayor o igual que cero
esto es si solamente tengo la raíz de
índice par ahora el caso 4 el caso 4 si
la raíz de índice par está en el
denominador lo que hago es tomar el
interior en términos coloquiales toma el
interior del radical y lo hago mayor que
cero
y el caso 5 en este caso si la raíz es
de índice
impar en el numerador siempre va a ser
como dominio máximo todos los Reales si
estuviera en el denominador por ejemplo
que tuviéramos hipotéticamente lo
siguiente
q de x entre la raíz de 12 n más uno
entre px Este es un caso particular lo
que hago entonces es tomar p de x y lo
hago distinto de cero es como si
estuviéramos aplicando el caso 1 ahora
vamos a ver los siguientes ejemplos vean
que me dan la función F de X igual al
criterio de x entre x - 1 la función es
fraccionaria y no te sé que el
denominador Está compuesto por un
polinomio que en este caso es x -1
entonces lo que hago es tomar x menos 1
y lo hago distinto de cero despejo la X
y notes Y puede llegar que mi
restricciones de que es distinto de uno
por lo tanto van a ser todos los Reales
distinto de uno como dominio máximo
ahora
vamos con el ejemplo 87 tengo x + 3
entre x cuadrado menos 25 es
fraccionaria lo que hago entonces es
resolver o factorizar
al máximo para encontrar los dos
posibles valores que hagan que mi
función
se interfina no te sé que en este caso a
través de una diferencia cuadrados y a
través de resolver una ecuación
cuadrática va a llegar a que x es igual
a 5 o que x es igual a menos 5 estos dos
valores son los que tengo que sacar del
dominio Por qué Porque tengo que
sacarlos Porque si yo vengo y hablo con
la función original Se me indefine
entonces El dominio máximo van a ser
todo los Reales menos los valores de 5 y
menos 5
ahora notes y que tengo el ejemplo 88 y
quiero que analicen el ejemplo 88
llevarán a duda en particular al ejemplo
88 del ejemplo 88 a la sesión de clase
Porque aquí abordaremos con mayor
profundidad Este ejemplo lo que tenemos
que hacer es tomar y analizar lo
siguiente ven que tengo la raíz cuadrada
de x - 1 entre x + 1 x - 2 tomo el
interior de radical y lo hago mayor
igual que cero específicamente voy a
empezar a sacar los ceros Cuál es el
cero específicamente para x-1 x = 1 y
saco las restricciones Cuáles son las
restricciones x distinto de -1 porque no
te sé que específicamente el primer
factor del denominador si hace Cero en
-1 y x igual a 2 por qué Porque el
segundo factor se hace Cero en dos
montamos una tabla de signos y aquí
específicamente tomes
un detalle a continuación una vez que
todo está factorizado entonces voy a
colocar el numerador x-1 x + 1 como el
primer factor del denominador y x menos
2 como el segundo factor del denominador
y nótese que acá tengo la el criterio de
la función güey bueno o el interior del
criterio de la función de acuerdo
Entonces voy a
colocar ahora los las raíces y las
restricciones en recta numérica arrancó
siempre con menos uno vean que mi
primera restricción es -1 luego mi
primera en raíces 1 mi restricción sería
2 y ahora tengo hacia más infinito ahora
x menos 1 donde se hace Cero en uno de
acuerdo Entonces
coloquialmente pregúntese lo siguiente
Qué valor o qué signo tiene la x
adelante como la x es positiva entre
comillas todo lo que está antes de sus
cero es negativo entonces negativo y
negativo y todo lo que esté después de
su cero va a ser positivo entonces de
una dosis positivo y de dos a más
infinito es positivo ahora x + 1
pregúntese Dónde está su cero su cero
está en -1
ahora preguntas al signo Cuál es el
signo de la x positivo o negativo y
observe que es positivo entre comillas
entonces todo lo que está antes de su
cero es negativo Entonces desde menos
infinito menos uno es negativo y de lo
que está desde menos infinito en
adelante va a ser positivo x menos 2
donde se hace cero este en dos entonces
todo lo que está antes de su cero si la
x es positiva entre comillas va a ser
negativo entonces negativo negativo
negativo negativo negativo hasta llegar
al 2 y todo lo que está después del 2 es
más infinito y ahora lo que hago es
simplemente ley de signos hacia abajo
menos por menos más más por menos menos
por más menos menos por menos más más
por más más más por menos menos más por
más más por más más y notese que mi
condición inicial era específicamente
todos los valores que sean mayores o
iguales a cero es decir que sean
positivos recordemos que si
restricciones no se incluye este valor
entonces Cuáles intervalos nos dieron
positivo nótese que nos dieron positivo
desde
desde menos 1 a 1 y de 2 hacia más
infinito entonces vengo y colocó desde
menos 1 a 1 y 12 más infinito ahora por
qué el menos uno va a ir abierto porque
no puede incluirlo por eso lo colocó
abierto tengo que colocarlo abierto
menos uno no puede estar dentro del
dominio de la función porque si no me
interfine desde -11 con el uno no tengo
problema porque no me indefine entonces
va cerrado Unido desde dos abierto
porque dos va abierto porque me indefine
y recordemos que los infinitos siempre
van abiertos
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