The Normal Distribution and the 68-95-99.7 Rule (5.2)

Summary

El video proporciona una introducción a la distribución normal y la regla 68-95-99.7, explicando la diferencia entre parámetros y estadísticas, y cómo estos describen datos de una muestra o población. Se describe la forma de la curva de la distribución normal, su tendencia a agruparse alrededor del valor central, y cómo el valor medio y la desviación estándar determinan su posición y dispersión. La regla 68-95-99.7 se utiliza para aproximar áreas bajo la curva, mostrando que la mayoría de los datos se encuentran cerca del promedio. El video incluye ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos.

Takeaways

• 📊 La distribución normal es una curva de densidad de forma campana que describe la tendencia de los datos a agruparse alrededor de un valor central, que es la media de la población.
• 🔢 Los parámetros de una población, la media (μ) y la desviación estándar (Σ), son fundamentales para describir una distribución normal y determinan su posición y dispersión.
• 📈 La media de la población (mu) indica la posición de la distribución normal en el eje de los valores, mientras que la desviación estándar (Sigma) indica cuánto se dispersan los datos.
• 📚 La diferencia entre parámetro y estadística es crucial; los parámetros describen la población, mientras que las estadísticas describen la muestra.
• 📐 La normal分布 es simétrica respecto a su media y es unimodal, lo que significa que tiene un solo pico.
• 🌐 La distribución normal se utiliza para describir variables como el peso, la altura, el volumen, la presión arterial, entre otros, que a menudo se distribuyen de esta forma en la naturaleza.
• 📉 El cambio en la desviación estándar afecta la forma de la curva normal: una mayor desviación estándar hace que la curva se extienda más y sea más plana, mientras que una menor desviación estándar la hace más alta y estrecha.
• 🔢 El 68/95/99.7% regla indica que aproximadamente el 68% de los datos se encuentran dentro de un desviación estándar de la media, el 95% dentro de dos desviaciones estándar y el 99.7% dentro de tres desviaciones estándar.
• 📚 La regla 68/95/99.7 es una herramienta útil para aproximar áreas bajo la curva de una distribución normal y es aplicable a cualquier distribución normal, independientemente de su forma o tamaño.
• 📉 Aunque la distribución normal nunca toca el eje x y se extiende hasta el infinito, las áreas más allá de tres desviaciones estándar de la media son muy pequeñas.
• 📝 La notación para una población que sigue una distribución normal se escribe como X ~ N(μ, Σ), indicando que la variable X sigue una distribución normal con media μ y desviación estándar Σ.

Q & A

¿Qué es una distribución normal y por qué se le llama también curva de campana?

Una distribución normal es un tipo especial de curva de densidad que tiene una forma de campana. Se le llama así porque describe la tendencia de los datos a agruparse alrededor de un valor central, que es la media de la población.

¿Cuál es la diferencia entre un parámetro y una estadística en el contexto de una distribución normal?

Un parámetro es un número que describe los datos de una población, mientras que una estadística es un número que describe los datos de una muestra. Ejemplos de parámetros son la media de la población (mu) y la desviación estándar de la población (Sigma), y los ejemplos de estadísticas son la media de la muestra (x-bar) y la desviación estándar de la muestra (s).

¿Cómo afecta el valor de la media poblacional (mu) en la forma de la distribución normal?

La media poblacional (mu) determina la posición de la distribución normal en el eje de los valores. Si aumenta el valor de mu, la curva se desplaza hacia la derecha, y si disminuye, la curva se desplaza hacia la izquierda.

¿Cómo se relaciona la desviación estándar poblacional (Sigma) con la dispersión de los datos en una distribución normal?

La desviación estándar poblacional (Sigma) caracteriza la dispersión de los datos en una distribución normal. Cuanto mayor sea Sigma, más dispersos estarán los datos, y cuanto menor, menos dispersión habrá.

¿Qué significa la regla 68-95-99.7 en el contexto de una distribución normal?

La regla 68-95-99.7 describe las áreas que contienen la mayoría de los datos en una distribución normal. Entre ±1 Sigma, hay aproximadamente el 68% de los datos; entre ±2 Sigmas, hay aproximadamente el 95%, y entre ±3 Sigmas, hay aproximadamente el 99.7%.

¿Por qué la distribución normal nunca toca el eje X, incluso si se desplaza más allá de tres desviaciones estándar?

La distribución normal es una curva continua que nunca toca el eje X, ya que se extiende hacia el infinito en ambos lados. A pesar de que se puede desplazar más allá de tres desviaciones estándar, la área contenida en estas regiones es muy pequeña.

¿Cómo se notifica matemáticamente que una variable sigue una distribución normal con una media mu y una desviación estándar Sigma?

Se escribe como X ~ N(mu, Sigma), lo que indica que la variable X sigue una distribución normal con una media de mu y una desviación estándar de Sigma.

¿Qué porcentaje de la población tiene una altura entre 5 y 6 pies si la altura sigue una distribución normal con una media de 5.5 pies y una desviación estándar de 0.5 pie?

Dado que el rango de 5 a 6 pies está dentro de una desviación estándar de la media, según la regla 68-95-99.7, aproximadamente el 68% de la población caerá en este rango.

Si una distribución normal tiene una desviación estándar de 10, ¿cuál es el área contenida entre 70 y 90?

Dado que el 95% de la población está dentro de dos desviaciones estándar de la media, y el rango de 70 a 90 es parte de ese intervalo, se puede calcular que el área de interés es aproximadamente el 47.5%.

¿Cuál es el área total contenida entre -2 y 1 en una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1?

Al dividir el intervalo en dos partes y aplicar la regla 68-95-99.7, se puede determinar que la área total contenida entre -2 y 1 es del 81.5%.

Outlines

00:00

📊 Introducción a la Distribución Normal y el Principio 68-95-99.7

El primer párrafo introduce el concepto de la distribución normal y el principio 68-95-99.7. Se explica la diferencia entre un parámetro y una estadística, donde los parámetros (mu y Sigma) describen la población y las estadísticas (x-bar y s) describen la muestra. La distribución normal, también conocida como curva de campana, se caracteriza por su forma de campana y su tendencia a agruparse en torno al valor central, que es la media de la población. Además, se discuten las implicaciones de la media y la desviación estándar en la posición y dispersión de la distribución, respectivamente. Se menciona que la distribución normal es unimodal y simétrica, y se puede representar matemáticamente con la notación N(mu, Sigma).

05:01

📘 Aplicación del Principio 68-95-99.7 a la Distribución Normal

El segundo párrafo se enfoca en el principio 68-95-99.7, que describe las áreas bajo la curva de la distribución normal en relación con las desviaciones estándar. Se ilustra cómo el 68% de la población se encuentra dentro de una desviación estándar de la media, el 95% dentro de dos desviaciones estándar y el 99.7% dentro de tres. También se menciona que la distribución normal no toca el eje x y se extiende a infinito, lo que implica que las áreas más allá de tres desviaciones estándar son muy pequeñas. Se proporcionan ejemplos prácticos y se animan a los espectadores a realizar preguntas de práctica para aplicar estos conceptos. Finalmente, se ofrecen recursos adicionales y se agradece a los espectadores por su atención.

Keywords

💡Distribución Normal

La distribución normal, también conocida como curva de campana o distribución de Gauss, es una forma de gráfico de densidad que se asemeja a una campana. Es fundamental en estadística y describe la tendencia de los datos a agruparse alrededor de un valor central, que es la media de la población. En el video, se utiliza para ilustrar cómo los datos naturales, como la altura o la presión arterial, tienden a distribuirse de esta forma.

💡Parámetro

Un parámetro es un número que describe los datos de una población. En el video, se menciona que la media y la desviación estándar son ejemplos de parámetros, representados por las letras griegas mu (μ) y Sigma (σ), respectivamente. Son importantes para describir las características de una distribución normal de una población.

💡Estadística

Una estadística es un número que describe los datos de una muestra. En el contexto del video, el valor promedio de una muestra se representa con x-bar (x̄) y la desviación estándar de la muestra con la letra s. Estas estadísticas son esenciales para hacer inferencias sobre la población a partir de una muestra.

💡Media

La media, o mean, es el valor central de un conjunto de datos. En el video, se destaca cómo la media de una distribución normal (mu para la población, x-bar para una muestra) determina la posición de la curva en el eje de los valores.

💡Desviación Estándar

La desviación estándar es una medida de la dispersión de los datos en torno a la media. En el video, se explica cómo la desviación estándar de la población (Sigma) y la de la muestra (s) afectan la forma de la distribución normal, indicando cuánto se extiende o se estrecha la curva.

💡Regla 68/95/99.7

La regla 68/95/99.7 describe las áreas bajo la curva de una distribución normal que están dentro de un número determinado de desviaciones estándar de la media. Según esta regla, el 68% de los datos se encuentran dentro de una desviación estándar de la media, el 95% dentro de dos y el 99.7% dentro de tres. Es utilizada en el video para aproximar áreas de la distribución normal.

💡Curva de Densidad

Una curva de densidad es una representación gráfica que muestra la frecuencia relativa de los datos en diferentes intervalos. En el caso de la distribución normal, la curva de densidad tiene una forma de campana y su área total es igual a uno, lo que significa que representa todos los posibles valores de la variable.

💡Unimodal

El término 'unimodal' se refiere a una distribución que tiene un solo pico. En el video, se menciona que la distribución normal es unimodal, lo que indica que los datos tienden a concentrarse en torno a un único valor central.

💡Simetría

La simetría en una distribución normal significa que la curva puede ser dividida en dos mitades iguales a través de la media. En el video, se señala que la curva normal es simétrica respecto a su media, lo que ayuda a entender cómo se distribuyen los datos en torno a ella.

💡Práctica

El video incluye preguntas de práctica para que el espectador pueda aplicar los conceptos aprendidos sobre distribuciones normales y la regla 68/95/99.7. Estas preguntas son un ejemplo de cómo se pueden utilizar estas reglas para estimar áreas bajo la curva de la distribución normal.

Highlights

The video explains the concept of the normal distribution and the 68-95-99.7 rule.

Difference between a parameter and a statistic in the context of population and sample data.

Parameters include the population mean (mu) and standard deviation (Sigma), while statistics include the sample mean (x-bar) and standard deviation (s).

The normal distribution is a bell-shaped density curve that represents data clustering around a central value.

The normal distribution arises from various natural variables such as weight, height, and blood pressure.

Exam scores are an example of a normally distributed variable.

The population mean (mu) determines the position of the normal distribution on the horizontal axis.

The population standard deviation (Sigma) characterizes the spread of the normal distribution.

A larger standard deviation results in a flatter curve, while a smaller one results in a taller curve.

The normal distribution is unimodal and symmetric about its mean.

The 68-95-99.7 rule approximates the areas under the normal distribution curve within 1, 2, and 3 standard deviations from the mean.

68% of data falls within one standard deviation of the mean, 95% within two, and 99.7% within three.

The normal distribution never touches the x-axis and extends to infinity.

The 68-95-99.7 rule applies to any normal distribution regardless of its shape or size.

Practice questions are provided to apply the understanding of the normal distribution and the 68-95-99.7 rule.

The video offers support on Patreon and additional resources on the Simple Earning Power website.

Transcripts

in this video we'll be learning about

the normal distribution and the 6895

99.7 rule when we talk about normal

distributions we refer to data we get

from a population or sample so before we

actually talk about the normal

distribution we need to first

distinguish the difference between a

parameter and a statistic a parameter is

a number that describes the data from a

population whereas a statistic is a

number that describes the data from a

sample examples of parameters and

statistics are the mean and standard

deviation but because of the definitions

we just talked about we have to be very

careful with what symbols we use to

represent these numbers when we are

dealing with a sample we use the symbol

x-bar to represent the sample mean and

we use the letter s to represent the

sample standard deviation these are

statistics when we are dealing with a

population we use the Greek letter mu to

represent the population mean and we use

the Greek letter Sigma to represent the

population standard deviation these are

parameters the population parameters mu

and Sigma are very important when we

talk about normally distributed

populations so what is a normal

distribution anyways a normal

distribution is a special type of

density curve that is bell-shaped for

this reason the normal distribution is

sometimes called the bell curve or the

normal curve the normal distribution

describes the tendency for data to

cluster around a central value in fact

this central value is the population

mean mu which is always located in the

middle of the curve so for any normal

distribution we can say that some data

points will fall below the mean other

data points will fall above the mean but

most of the data values are located near

the mean the normal distribution and its

shape actually arises from many

different variables found in nature such

as weight height volume blood pressure

and many more this is why the normal

distribution is commonly studied for

example exam scores are known to follow

a normal distribution

some people do great on exams some

people do poorly on exams but a large

majority of people score near the

average or the mean in this example the

average exam score is 50

because it is located in the middle of

the curve now that you know what a

normal distribution looks like we need

to talk about the population mean meal

and the population standard deviation

Sigma

both of these tell us important

information about how the normal

distribution looks we all talk about the

population mean mu first the population

mean mu characterizes the position of

the normal distribution if you increase

the mean the curve will follow and move

towards the right and if you decrease

the mean the curve will still follow and

move towards the left this happens

because the data will always cluster

around the mean in normally distributed

populations as a result the value of the

mean determines the position of the

normal distribution on the other hand

the population standard deviation Sigma

characterizes the spread of the normal

distribution the larger the standard

deviation the more spread out the

distribution will be and the smaller the

standard deviation the less spread order

will be notice that when the spread

increases the curve gets much flatter

and when the spread decreases the curve

gets taller the reason for this is

because the normal distribution is a

density curve and the total area of any

density curve must remain equal to one

or a hundred percent so changes in the

width of the curve must be compensated

for by changes in the height of the

curve and vice versa overall here are

some points about the normal

distribution the normal distribution is

unimodal this means that the

distribution has a single peak the

normal curve is symmetric about its mean

so you can clearly see that the

distribution can be cut into two equal

halves the parameters mu and Sigma

completely characterized the normal

distribution the population mean mu

determines the location of the

distribution and where the data tends to

cluster around the population standard

deviation Sigma determines how spread

out the distribution will be the

notation given to a population that

follows a normal distribution can be

written like this although it looks

scary it means what it says for the

variable X it follows a normal

distribution and has the mean mu with a

standard deviation of Sigma now that

you've been introduced to the normal

distribution

we can talk about the 6895 99.7 rule if

we were measuring the heights of all

students at a local university and found

that it was normally distributed with a

mean height of 5.5 feet and a standard

deviation of half a foot or 0.5 we can

construct a normal distribution as

follows

from here we can create intervals that

increase by the standard deviation so

we'll have six six point five and seven

and on the other side we'll have five

four point five and four so what the 68

95 99 point seven rule says is that

within one standard deviation away from

the mean it contains a total area of

zero point six eight or 68% because of

this we can say that 68% of the

population are between five and six feet

tall and if he go to standard deviations

away from the mean it contains an area

of 95 percent this means that 95 percent

of the people in the population have a

height between four point five and six

point five feet and finally within three

standard deviations away from the mean

it contains a total area of ninety-nine

point seven percent this means that for

the population we are studying

ninety-nine point seven percent of the

people are between four and seven feet

tall now you might be wondering what

happens if we go four standard

deviations away from the mean or five or

six standard deviations away from the

mean and to answer that you actually can

a normal distribution actually never

touches the x-axis it continues on to

infinity so you can go as many standard

deviations away from the mean as you

want but the area contained within these

regions will be very very small

the 6895 99.7 rule is a great way for

approximating the areas of a normal

distribution and this works for any

normal distribution no matter what shape

and size so let's do some practice

questions feel free to pause the video

at any point so you can try these

questions for yourself

question number one the normal

distribution below has a standard

deviation of 10 approximately what area

is contained between 70 and 90

in this question we know that the

population mean is equal to 70 because

it's in the center of the distribution

we also know from the question that one

standard deviation is equal to 10 and we

can see this because each interval goes

up by 10 according to the 6895 99.7 rule

we know that there is an area of 95

percent contained within two standard

deviations of the mean

two standard deviations to the right

gets us to 90 and two standard

deviations to the left gets us to 50

according to the 68 95 99 point 7 rule

this means that there is an area of 95

percent contained within this interval

however we are only interested in the

area from 70 to 90 so dividing this area

by two gives us our area of interest

95 percent divided by two gives us an

area of forty seven point five percent

and that is our answer question number

two for the normal distribution below

approximately what area is contained

between negative two and one in this

example we know that we have am u of

zero because zero is in the center of

the distribution and we know that we

have a sigma of one because each

interval goes up by one to approximate

the area between negative two and one we

use the 6895 99.7 rule we can

strategically divide this area into two

parts so that we can easily incorporate

this rule we'll start with the right

half which goes from zero to one we know

that one standard deviation away from

the mean gives us 68% and half of this

is 34% giving us our area from zero to

one the next half goes from zero to

negative two but we know that within two

standard deviations from the mean we

have an area of 95% dividing this by two

gives us the area from zero to negative

two which is equal to forty seven point

five percent and finally to get that

total area contained between negative

two and one

all we have to do is add these two areas

together and when we do we get a total

area of 81.5% if you found this video

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