✅DERIVADAS por FÓRMULAS | SÉ TODO UN MASTER💯| CÁLCULO DIFERENCIAL
Summary
TLDREste video ofrece una introducción al cálculo diferencial enfocado en la derivación de funciones básicas utilizando fórmulas. Se explican técnicas como la regla de la potencia para funciones de la forma x^n, manipulaciones algebraicas para funciones fraccionadas y raíces, y el manejo de sumas y productos de funciones. El objetivo es enseñar a los estudiantes a derivar funciones de manera sistemática, destacando la importancia de la precisión en el uso de las reglas de derivación y la manipulación de exponentes positivos y negativos.
Takeaways
- 📚 El video trata sobre derivadas por fórmulas, un tema del cálculo diferencial.
- 🔍 Se comienza con las derivadas más básicas, utilizando fórmulas de derivación fundamentales.
- 📘 Se menciona la regla de la potencia como una de las reglas básicas para derivar funciones con exponentes.
- 📐 Se ejemplifica cómo derivar funciones de la forma x^n, cambiando el exponente n a n-1.
- 🔢 Se muestra el proceso de derivación de funciones como 1/x^2, utilizando la manipulación algebraica para cambiar la expresión a una forma más derivable.
- 👉 Se destaca la importancia de la precisión al trabajar con exponentes negativos y la manipulación de las reglas de potencias.
- 🌱 Se aborda la derivación de funciones con raíces, transformándolas en exponentes fraccionarios y luego aplicando la regla de la potencia.
- 📝 Se ilustra el proceso de derivación de funciones compuestas, como x^(3/2), y cómo manejar los exponentes fraccionarios.
- 📌 Se explica cómo derivar funciones que son sumas o diferencias de términos, derivando cada término por separado.
- 📈 Se presenta el caso de derivar funciones con potencias altas, como x^(2/3), y cómo manejar la complejidad de los exponentes.
- 📉 Se discute la derivación de funciones con denominadores, como en el caso de fracciones, y cómo simplificar antes de derivar.
Q & A
¿Qué es la derivada y cómo se relaciona con el cálculo diferencial?
-La derivada es una operación matemática que se utiliza en el cálculo diferencial para encontrar la tasa de cambio instantánea de una función con respecto a una variable, generalmente el tiempo o una posición.
¿Cuál es la fórmula básica para la derivada de una potencia de x?
-La fórmula básica para la derivada de una potencia de x es n*x^(n-1), donde n es el exponente de la potencia.
¿Cómo se calcula la derivada de una función que está en forma de fracción?
-Para calcular la derivada de una fracción, primero se puede realizar una manipulación algebraica para simplificar la expresión, y luego aplicar la regla de la derivada para fracciones.
¿Qué es la regla de la cadena y cómo se utiliza en el cálculo de derivadas?
-La regla de la cadena es una técnica utilizada en el cálculo de derivadas para funciones compuestas, es decir, funciones que son la composición de otras funciones. Se utiliza para descomponer la función en partes más simples y derivar cada una de ellas.
¿Cómo se maneja un exponente negativo al calcular la derivada de una función?
-Cuando se tiene un exponente negativo, se debe tener cuidado al restarle una unidad al exponente, ya que esto no hace que el exponente sea más pequeño en valor absoluto, sino que se convierte en un exponente negativo más grande.
¿Qué es una constante en el contexto de derivadas y cómo se derivan?
-Una constante es un valor que no cambia con respecto a la variable que se está derivando. La derivada de una constante es siempre cero, ya que no hay cambio instantáneo.
¿Cómo se calcula la derivada de una función que contiene múltiples términos?
-Para calcular la derivada de una función con múltiples términos, se debe derivar cada término individualmente y luego sumar o restar los resultados, dependiendo de si los términos están sumados o restados.
¿Qué significa el término 'algebraica mente' en el contexto del script y cómo se aplica?
-El término 'algebraica mente' se refiere a realizar operaciones algebraicas para simplificar una expresión matemática antes de derivar. Se aplica para hacer la función más fácil de derivar y para obtener una expresión más clara.
¿Por qué es importante expresar los exponentes en forma positiva al final de un cálculo de derivada?
-Es importante expresar los exponentes en forma positiva para mantener una notación estándar y clara en las expresiones matemáticas, lo que facilita la comprensión y el análisis de la función derivada.
¿Cómo se calcula la derivada de una función que contiene raíces o fracciones de potencias?
-Para calcular la derivada de una función con raíces o fracciones de potencias, primero se convierte la raíz en una potencia fraccionaria, y luego se aplica la regla de la derivada para potencias.
¿Qué es la manipulación algebraica y cómo se utiliza en el cálculo de derivadas?
-La manipulación algebraica es el proceso de reorganizar y reescribir expresiones matemáticas para simplificarlas o para facilitar su análisis. Se utiliza en el cálculo de derivadas para transformar funciones en formas más sencillas que sean más fáciles de derivar.
Outlines
📘 Introducción a las Derivadas por Fórmulas
En este primer párrafo, se introduce el tema de las derivadas por fórmulas dentro del cálculo diferencial. Se mencionan las fórmulas básicas de derivación que se abordarán en el video. Se empieza con el ejemplo de derivar x^6, aplicando la regla de la potencia.
📈 Ejemplos Básicos de Derivadas
Este párrafo continúa con ejemplos adicionales de derivadas usando la regla de la potencia. Se muestra cómo derivar 1000x y 1/x^2, detallando el proceso algebraico para manipular las expresiones y aplicar la fórmula correctamente.
🧮 Manipulaciones Algebraicas y Derivadas
Se explica cómo derivar funciones que involucran raíces y fracciones. Se transforma una raíz cúbica a un exponente fraccionario y se aplica la regla de la potencia para derivar. También se aborda la importancia de expresar siempre el resultado final con exponentes positivos.
🔢 Derivadas de Sumas y Restas de Funciones
Se discute cómo derivar expresiones que consisten en la suma o resta de múltiples términos. Se aplican las reglas de la derivada a cada término individualmente y se simplifican los resultados.
🔗 Ejemplos de Derivadas y Manipulaciones
Este párrafo detalla más ejemplos de derivadas, incluyendo manipulaciones algebraicas para simplificar expresiones antes de derivar. Se ilustra cómo manejar fracciones y exponentes negativos, así como la importancia de la simplificación final.
📚 Ejercicios de Derivadas y Transformaciones
Se presentan ejercicios adicionales para derivar funciones, destacando la importancia de transformar las expresiones a formas más manejables. Se realizan manipulaciones algebraicas para simplificar el proceso de derivación y se detalla cada paso cuidadosamente.
📊 Ejemplos Avanzados de Derivadas
Se abordan ejemplos más avanzados de derivadas, incluyendo derivadas de productos de términos con exponentes fraccionarios y negativos. Se muestra cómo simplificar y manipular las expresiones antes de aplicar las reglas de derivación.
🧩 Derivadas de Constantes y Funciones Compuestas
Este párrafo explica cómo derivar funciones que involucran constantes y funciones compuestas. Se detalla el proceso de derivar términos constantes con respecto a una variable y se resuelven ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Mindmap
Keywords
💡Derivadas
💡Cálculo Diferencial
💡Fórmulas de derivación
💡Regla de la Potencia
💡Exponente
💡Manipulación Algebraica
💡Constantes
💡Regla de la Cadena
💡Fracciónes
💡Potencias Fraccionarias
💡Suma y Resta de Exponentes
Highlights
Introducción al cálculo de derivadas utilizando fórmulas básicas del cálculo diferencial.
Explicación de la derivada de x elevado a la sexta potencia utilizando la regla de la potencia.
Cómo derivar una función con exponente negativo, ejemplificado con 1/x^2.
Maniobra algebraica para facilitar la derivación de fracciones con exponentes negativos.
Uso de la regla de la potencia para derivar funciones con exponentes fraccionarios.
Proceso de derivación de funciones con múltiples términos, ejemplificado con x^2 + 3x - 4.
Derivación de funciones que involucran potencias de números enteros, como 16^(1/3).
Explicación detallada del proceso de derivación de 16 al cubo y su simplificación.
Uso de la regla de la cadena para derivar funciones complejas como (x^3)^4.
Manejo de funciones con denominadores y cómo simplificarlas antes de derivar.
Derivación de fracciones que involucran exponentes y cómo manejar la simplificación.
Importancia de expresar los exponentes negativos de manera positiva al final de la derivación.
Derivación de funciones que incluyen raíces y cómo transformarlas en exponentes fraccionarios.
Proceso de derivación de funciones con términos que no contienen la variable de derivación, ejemplificado con 4p^2.
Ejercicio de derivación de funciones con múltiples términos y exponentes, como x^(3/2) + 2x^(1/2) - 3.
Maniobra algebraica para simplificar la derivación de funciones con términos complejos.
Derivación de funciones con exponentes que suman más de un número entero, ejemplificado con x^(5/2).
Conclusión de los ejercicios de derivadas básicas y la importancia de la precisión en el cálculo diferencial.
Transcripts
[Música]
hola hoy vamos a ver un vídeo de
derivadas por fórmulas es un tema de lo
que es cálculo diferencial entonces
vamos a empezar con las derivadas más
básicas aplicando nuestras fórmulas de
derivación cabe mencionar que estas son
las fórmulas básicas que entraremos en
este vídeo si nos damos cuenta son las
fórmulas más simples entonces vamos a
atenderlas haciendo referencia a cada
una de ellas primer ejemplo tenemos
derivar x sexta entonces para la
derivada es muy simple aplicamos nuestro
símbolo que es f prima de x esto me va a
indicar derivada o también ahorita
veremos otra anotación entonces aquí
utilizaríamos la regla de la potencia la
realidad la potencia en las derivadas de
regla es ésta donde me dice que seguirá
que ser una potencia en décima n pasa a
multiplicar a la equis y le resta una
unidad de su exponente entonces si lo
hacemos nos quedaría de la siguiente
forma el 6 que es n multiplica pasa a
multiplicar algo x 6x y el 6 baja un
grado su exponente en este caso 6 menos
uno pues me quedaría
5 entonces la derivada de x extra sería
6x kim vamos ahora con la segunda que es
esta ahora bueno en este caso ya no es f
prima sino la función ya como tales y
entonces puedo poner mi prima y prima de
esta función es la misma es la potencia
entonces sería 1000 por x sería mil x y
bajamos el grado una unidad mil menos
uno pues sería 999 ahí está nos quedaría
de esta manera
bien vamos ahora con el ejercicio 3 y
esto es igual a 1 sobre x cuadrado al no
tener funciones para no tener fórmulas
derivación donde las letras estén abajo
lo que podemos aquí emplear es primero
hacer una manipulación algebraica de
esto es decir la función como tal 1
sobre x cuadradas sabemos por reglas
algebraicas que si nosotros pasamos esto
a la parte de arriba cambia el signo del
exponente en este caso sí es positivo
cambia a negativo entonces la función en
lugar de ser 1 sobre x cuadrada es x a
la menos 2 y otra vez podemos emplear
ahora si nuestra fórmula de la regla de
la potencia para derivadas menos 2 por
equis sería menos 2x y ojo aquí puede
cometer un error poner el menos uno por
qué porque realmente hay que restarle
una unidad al exponente entonces sería
menos 2 lo voy a poner en dos pasos
menos 2 - 1 esto que nos daría si nos
damos cuenta menos 2 menos unos números
menos 1 si no me da menos
entonces ojo al momento de tratar con
exponentes negativos y restar los una
unidad no nos va a ser más más pequeños
en cuanto al número sino nos va a ser
más grandes en cuanto a la notación de
exponente negativo y finalmente de bueno
pues esto lo expresamos de manera
correcta
ahora x a la menos 3 está arriba si yo
lo cambio de posición abajo entonces
pasaría como x kubica ya con el cambio
de signo en el exponente y ahora vamos
con este también hay una ligera
manipulación como no tenemos reglas para
raíces estos sabemos que puedo cambiarlo
a exponente fraccionario siempre la
potencia es el numerador y el
denominador es la el índice de la raíz
que es 3 entonces la función me queda x
a la dos tercios si derivamos a esto
aplicando la regla misma regla a los
exponentes serían dos tercios
que multiplica a la equis y aquí
tendríamos que restar donde dos tercios
le vamos a quitar una unidad no lo voy a
hacer también en dos pasos
entonces ya prima nos quedaría dos
tercios y ahora la exponente final de la
x sería dos tercios menos una unidad
entonces recuerden como hacemos estas
operaciones básicas vamos a restarle 1
pero para que lo hagamos rápido en lugar
de un no voy a poner tres tercios porque
la operación en fracción es en tercios
entonces dos tercios menos un tercio
pues 2 - 3 - 1 de tercios entonces el
resultado sería dos tercios a la lx a la
menos un cáncer y ya que tenemos así
entonces hacemos nuestro cambio dos
tercios y equis que tiene exponente
negativo pasamos en la parte del
denominador para cambiar el exponente x
al a un tercio y que sea siempre
positivo
si nosotros nos quedamos hasta aquí a
poner el exponente negativo aún no está
completo de ejercicio forzosamente
tenemos que expresar algebraica mente ya
por ley
y tener siempre los exponentes positivos
así entonces esto hay que aprenderlo
siempre y tener en la mente de que
siempre hay que llegar a el resultado
expresar lo con exponente positivo
bien vamos ahora a resolver estos
ejercicios vamos con el 5 entonces aquí
nuestra derivada voy a ponerlo justo
aquí abajo si se dan cuenta cuando
tenemos ahora varios términos y es un
poco diferente como vimos el primer caso
cuando tenemos esta situación la regla
nos dice que nosotros podemos ir sacando
derivadas
ya sea en suma o en resta de funciones
diferentes y lo que tenemos que hacer es
nada más ir derivando cada uno de los
términos que se están sumando se están
restando entonces vamos a ver cómo nos
quedaría
derivada de x cuadrada entonces sería 2x
a esta es el 2 que pasa multiplicando y
la equis que baja un grado su exponente
ahora más 3 derivada de x recuerden que
la derivada de x es 1 entonces sería 3 x
1 que automáticamente me va a dar 3
derivada de menos 4 que es una constante
todas las derivadas las constantes valen
entonces qué quiere decir esto que nos
va a quedar 3 por 1 pues 3 y el 0 ya no
se escribe y la derivada me queda sin 2
x 3 vamos con este ejercicio el 6
efe prima de x y la regla de la potencia
me dice que esta potencia aquí este 3
pasa a multiplicar aquí entonces lo
pondríamos como 3 paréntesis 16 x
tendremos aquí bueno de hecho de esta
manera es un poco complicada porque
realmente hay que derivar lo de adentro
pero para poder hacerlo primero
necesitamos es mucho más fácil primero
antes de poder hacer nuestra derivación
hacer lo siguiente antes de poder
indicar esto porque no hemos visto
todavía la regla de la cadena para
funciones de este tipo pero no hay
necesidad de llegar a esa óptima de esa
ley lo que tengo que hacer es primero
elevar el cubo 16 x entonces cuando va a
quedar el 16 al cubo será 16 por 16 por
16
entonces esto que sería manual 16
ahí está ok y luego en este caso la
equis también para el cubo sería x
cúbica ahora cuánto es 16 al cubo bueno
nosotros sabemos que el 16 se descompone
como 2 a la cuarta ok y este 2 a la
cuarta del 16 pero el 16 lo de adentro
está el cubo donde quedaría 2 a la
recuerden que la regla de las potencias
y multiplican 3 por 4 12 2 me quedaría 2
a la 12
entonces cuento es 2 a la 12 cuando lo
podemos dejar así no hay ningún problema
si quieren ya lo saca nadie con
calculadora para saber exactamente
cuánto equivale entonces esto es 2 a la
2
es una constante todo esto por equis
kubica está entonces lo que tengo que
hacer aquí es en 2 a la 12 elevarlo
vamos a ver cuánto cuánto nos da sido
sala
a la 8ª vamos a recibir 22 a la quinta
menos 32 2 a la sexta 64 2 a la séptima
128 2 a la octava 256 2 a la novela 512
y 2 a la décima me daría 1000
1024 entonces 2024 penas dos a la a la
décima dos a la anunciada sería el 1024
x 2 entonces vamos a hacerlo aquí 24 x 2
me daría 84 y me daría 2048 acá voy dos
a la onceava ahora me falta otro por dos
para llegar a 12 la doceava que esto de
esto son las gráficas el 16 por el 6 por
16 entonces dos por ocho medidas 16 2
por 4 8 y 19 está 2 por 0 0 y 2 por 24
en 3 me quedaría 4.096 entonces esto de
aquí el 2 a la a la 2 se me daría 4.096
y ahora sí podemos derivar a nuestro
poder la función y ahora sí en el
siguiente paso aplicamos la derivada
tres por cuatro mil 96 bueno ya me va a
quedar algo muy grande
voy a poner a indicado y x baja su grado
3 1 cuadrado no quedan
ya está tenemos ya también está que
bueno quizá hacer aquí sin calculadora
no la tenía la mano vale ahora vamos con
el ejercicio 7
el ejercicio 7 por espacio primero vamos
a transformarlo entonces antes de pasar
a hacer una derivada si nos damos cuenta
hay un denominador hay una división
entonces para poder efectuar lo necesito
primero por medio de manipulaciones
algebraicas hacer esto más simple
entonces cómo nos quedaría si no hacemos
más simple para empezar este que es x
raíz de x lo podemos escribir en lugar
de verlo así como x a la un medio
ahí está el primer paso ahora como la
equis algún medio divide a todos
entonces puedo hacer lo siguiente puedo
hacer una separación de variables de las
fracciones
4x / x algún medio más 3
x entonces me puede ir quedando de esta
manera bueno parece que ya no ya no cabe
vamos a hacer un poquito más atrás
y ahí está para que se vaya viendo ahí
está entonces lo que hicimos fue ir
separando este x al a un medio dividido
entre cada uno de los términos ahí está
y ahora lo que me permite voy a pasar al
siguiente a esta parte de la pizarra
aquí lo vamos a escribir
y
todo esto voy a empezar a simplificarlo
no estamos derivando todavía que estamos
haciendo es ir ordenando un término para
que la derivada sea más fácil x cuadrada
entre x algún medio me va a quedar x y
recuerden que la división los exponentes
se restan 2 menos un medio me da tres
medios entonces ojo rectifique no ya
según calculadora o hagan local más 4 y
ahora simplificamos x a la un entero
entre x al a un medio
esto me da si restamos un entero menos
un medio pues me queda un medio en quizá
la un medio y luego este término como no
tiene x lo único que puede hacer es esta
x al a un medio subirlo que acompañe a
nuestro 3 para que sea 3 x al menos un
medio y ahora sí que nos damos cuenta
ya tenemos sumandos que aparecen
entonces ya podemos aplicar nuestra
derivada
entonces sería su primer x serían aquí
tres medios de equis y sería tres medios
menos unos vamos a hacer mentalmente
tres medios menos uno me da un medio es
decir son tres medios menos dos medios
ahora vamos con el siguiente sería más
cuatro por éste un medio pasa a
multiplicar el 4 en donde quedaría si un
medio de x y es un medio menos un entero
porque hay que restar una unidad siempre
un medio menos un entero me queda menos
un medio ahí está y luego vamos con el
siguiente más x menos en la derivada me
daría menos 3 que multiplica algún medio
y me quedaría x a la menos un medio
menos un entero
eso me da menos tres medios
entonces hay que ir ejercitando la parte
de las fracciones siguiente y último
paso reducir y simplificar lo que se
pueda tratarlo puedo entonces se queda
así tres medios de x sala un medio aquí
sí puedo cuatro entre dos pues me da 2x
a la menos un medio y finalmente de este
lado me queda menos 3 mitad les dejé
quizá la menos tres medios podamos que
siempre habría que expresar el resultado
de manera limpia con todos los
exponentes positivos entonces como
último paso lo único que tengo que hacer
es ir cambiando de posición los
exponentes que aún no son positivos como
este x al menos un medio pasa abajo como
quizá la un medio
en los tres medios y acá tengo otro
entonces va a quedar aquí abajo y como
está la menos tres medios aquí serán
tres medios y listo ya también tengo ese
ejercicio y resuelto
y bien para completar esta serie de
ejercicios estamos con el chico del 9
para en el caso del ejercicio número 8
nos piden la derivada con respecto a x
estamos derivando todo entonces si no
tiene la equis significa que todo lo que
no tenga x es constante en este caso 4 p
cuadrada por más de que tengamos el
cuadrado acá sería un error intentar
hacer el 2 que multiplicar 4 para que me
quede 8 para esto sería un error porque
porque esto es una constante con
respecto a la letra que estamos
derivando que es la x en cálculo
acostúmbrense a derivar todo con
respecto a x si ven una x entonces a la
x es la que la aplica en la regla como
no tengo x entonces todo esto es
constante y cuál es la derivada una
constante puede ser dos derivada de
cuatro p cuadrada será automáticamente
no hay más ok no hay que aplicar aquí
otra regla
vamos con el 9 primero transformamos
esto a una función que sea un poco más
fácil de derivar esto es x y esto es x a
la un medio x x x al a un medio me
quedaría x esto es una entera y esto es
un medio en multiplicación se suman y me
queda
a tres metros
ahora este de abajo como nos va a quedar
2 x x ala un medio dos es cuatro medios
cuatro medios más un medio porque se
están multiplicando serían 5
como se encuentra en la parte de abajo
es mucho mejor
hacer un último cambio aquí para que me
quede esto de aquí abajo vamos a ponerlo
en la parte de arriba para que
rápidamente tengamos la anotación
entonces nos va a quedar x al menos
cinco medios entonces esta función se
transformó en esta y este a la puedo
derivar pondríamos yo prima y aplicando
la regla la potencia tres medios de x
tres medios menos uno sería un medio
ahora que vienen menos cinco medios por
más me quedan menos cinco medios equis y
recuerden que acá es menos cinco medios
menos uno voy a ponerlo aquí arriba
menos cinco medios menos uno el hilo lo
pueden ver como dos medios y son la
fracción está dada en medios me queda
menos siete medios 5 y 27
ahí está entonces me quedaría menos 7
medios en resultado y ahora ya saben
como último paso conviene siempre
expresar lo de manera correcta
aquí será un medio y la manera correcta
de siempre el exponente dejarlo positivo
así
y entonces hasta que ya nos quedaría
nuestros ejercicios de derivadas básicas
con las fórmulas más elementales
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