0. ¿Qué es una Ecuación Diferencial? Tipos de ecuaciones diferenciales, solución de ED

Summary

En este video educativo, el presentador introduce y explica conceptos fundamentales sobre ecuaciones diferenciales, diferenciando entre ecuaciones algebraicas, trigonométricas y logarítmicas. Se resalta que, a diferencia de ecuaciones que buscan números, las ecuaciones diferenciales buscan funciones que satisfagan ciertas condiciones. El video proporciona ejemplos sencillos y describe cómo resolverlas, incluyendo el uso de derivadas y variables. Se menciona la importancia de entender las funciones, derivadas y variables en el contexto de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales. Además, se tocan las ecuaciones en derivadas parciales y se promete una futura discusión sobre las aplicaciones prácticas de estas ecuaciones en un próximo video.

Takeaways

• 😀 Una ecuación diferencial es una que relaciona una función, sus derivadas y sus variables.
• 🔍 En lugar de buscar números, en ecuaciones diferenciales buscamos funciones que satisfagan la ecuación.
• 📚 Es fundamental distinguir ecuaciones diferenciales de otras como las algebraicas, trigonométricas o logarítmicas.
• 📝 Las ecuaciones diferenciales pueden incluir derivadas de cualquier orden y no necesariamente incluyen la función original.
• 👉 Se representa la función como 'y = f(x)' o simplemente como 'y', y su derivada como 'y' con un signo de derivada.
• 🌐 Las variables pueden ser 'x', 't' u otras, y es importante especificar cuál se está utilizando para evitar confusión.
• 🧩 La resolución de una ecuación diferencial implica encontrar una o más funciones que cumplen con la ecuación, no solo un valor numérico.
• 🔑 La 'solución general' de una ecuación diferencial expresa todas las funciones posibles que satisfacen la ecuación.
• 🎯 Los 'problemas de valor inicial' o 'problemas de Cauchy' son casos donde se especifica una condición inicial adicional para la función.
• 📚 Existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las ordinarias (una variable) y las en derivadas parciales (múltiples variables).
• 🔄 Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias implican resolver múltiples ecuaciones al mismo tiempo para encontrar conjuntos de funciones que satisfagan todas.

Q & A

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una que relaciona una función, sus derivadas y sus variables. Es distinta de ecuaciones algebraicas, trigonométricas o logarítmicas, ya que en lugar de buscar números que satisfagan la ecuación, buscamos funciones completas que lo hagan.

¿Por qué es importante entender qué es una ecuación diferencial?

Es importante entender qué es una ecuación diferencial para distinguirla de otros tipos de ecuaciones y poder resolver problemas que involucran funciones y sus derivadas en lugar de simplemente buscar valores numéricos.

¿Cómo se representa usualmente una función en matemáticas?

Una función se representa usualmente como f(x), aunque en algunos casos, para mayor comodidad, se puede representar como y = f(x), donde y depende de la variable x.

¿Cómo se denotan las derivadas de una función en el contexto de las ecuaciones diferenciales?

Las derivadas de una función se denotan como f'(x) o como y', donde 'prima' o 'apostrophe' indica la derivada con respecto a la variable x.

¿Qué variables se pueden utilizar para representar funciones y derivadas en ecuaciones diferenciales?

Se pueden utilizar variables como x, t (por ejemplo, para representar tiempo) u otras variables apropiadas. Es importante indicar claramente cuál es la variable utilizada para evitar confusión.

¿Por qué a veces no se muestra la función completa en una ecuación diferencial?

En algunas ecuaciones diferenciales, la función completa no necesita aparecer explícitamente, ya que se pueden trabajar solo con las derivadas de la función para satisfacer la ecuación.

¿Qué es la 'solución general' de una ecuación diferencial y cómo se relaciona con las soluciones específicas?

La 'solución general' de una ecuación diferencial es una expresión que representa todas las funciones posibles que satisfacen la ecuación, a menudo incluyendo una o más constantes. Las soluciones específicas son casos particulares de la solución general donde se asignan valores a estas constantes.

¿Qué es un 'problema de valor inicial' o 'problema de Cauchy' en el contexto de las ecuaciones diferenciales?

Un 'problema de valor inicial' o 'problema de Cauchy' es un tipo de problema de ecuaciones diferenciales que incluye una condición inicial, es decir, el valor que debe tomar la función o una de sus derivadas en un punto específico.

¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial ordinaria y una ecuación en derivadas parciales?

Una ecuación diferencial ordinaria es una que involucra una función de una sola variable, mientras que una ecuación en derivadas parciales se refiere a funciones de varias variables y implica derivadas parciales con respecto a estas variables.

¿Qué son los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y cómo se resuelven?

Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias son conjuntos de ecuaciones diferenciales que se resuelven simultáneamente. Para resolverlos, se buscan funciones que satisfagan todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo.

¿Para qué sirven las ecuaciones diferenciales y cuáles son algunas de sus aplicaciones?

Las ecuaciones diferenciales son útiles para modelar y analizar fenómenos que implican cambios y relaciones continuas en el tiempo o el espacio. Sus aplicaciones son amplias y variadas, desde la física y la ingeniería hasta las finanzas y las ciencias biológicas. Se explicarán más aplicaciones en un video posterior.

Outlines

00:00

📚 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

El primer párrafo introduce el tema de las ecuaciones diferenciales, diferenciando estas de otras ecuaciones matemáticas como las algebraicas, trigonométricas o logarítmicas. Se enfatiza que en lugar de buscar números, se buscan funciones completas que satisfagan la ecuación. Se define una ecuación diferencial como una que relaciona una función con sus derivadas y variables, utilizando notaciones como 'y' en lugar de 'f(x)' para mayor comodidad. También se aclaran conceptos como función, derivada y variable, y se dan ejemplos de cómo se representan las derivadas en una ecuación diferencial.

05:02

🔍 Ejemplos y Conceptos de Ecuaciones Diferenciales

Este párrafo profundiza en la idea de ecuaciones diferenciales, mostrando ejemplos y explicaciones sobre cómo no siempre es necesario que la función aparezca explícitamente en la ecuación. Se discute que las ecuaciones diferenciales pueden incluir derivadas de cualquier orden y que la variable puede ser representada por diferentes letras, como 't' para tiempo. Se proporciona una definición formal de una ecuación diferencial como una expresión que combina funciones y sus derivadas mediante operaciones matemáticas. Además, se destaca la diferencia entre resolver una ecuación algebraica y una diferencial, con énfasis en que la resolución de una ecuación diferencial implica encontrar funciones que satisfacen la ecuación.

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📘 Solución de Ecuaciones Diferenciales y Ejemplos

El tercer párrafo se enfoca en cómo se resuelve una ecuación diferencial, utilizando un ejemplo simple para ilustrar el proceso. Se muestra que existen infinitas funciones que pueden satisfacer una ecuación diferencial, y se introduce la idea de la 'solución general', que representa todas las funciones posibles que cumplen con la ecuación. También se menciona el concepto de 'problema de valor inicial', donde se especifica una condición que la función debe cumplir, como un valor en un punto determinado. Se ejemplifica cómo se selecciona la solución adecuada para cumplir con una condición inicial dada.

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🌐 Tipos de Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones

El último párrafo aborda los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las ecuaciones diferenciales ordinarias, que implican funciones de una sola variable, y los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, que son conjuntos de ecuaciones que se resuelven simultáneamente. También se introducen las ecuaciones en derivadas parciales, que implican funciones de múltiples variables y requieren un estudio más avanzado. Se menciona que se abordarán aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en futuras videos y se invita a la audiencia a seguir el canal para más contenido.

Keywords

💡Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una que involucra una función, sus derivadas y una o más variables. Es central en el tema del video, ya que se discute cómo se relacionan estas funciones y derivadas para resolver problemas matemáticos. Por ejemplo, la ecuación 'y' prima (la derivada de y con respecto a x) menos 2x igual a 0 es mencionada como una ecuación diferencial simple que se estudia en un curso de matemáticas.

💡Derivada

La derivada es un concepto fundamental en el cálculo y se refiere a la tasa de cambio de una función con respecto a su variable. En el video, se utiliza para construir ecuaciones diferenciales y se ejemplifica cómo 'y' prima de x (la derivada de y con respecto a x) es parte integral de tales ecuaciones.

💡Función

Una función es una relación que asigna un único valor de 'y' a cada valor de 'x'. En el contexto del video, las funciones son las entidades que se derivan y se manipulan en ecuaciones diferenciales para encontrar soluciones a problemas específicos, como en el caso de 'y' igual a x cuadrada más c.

💡Variable

Las variables son símbolos que representan cantidades que pueden cambiar o variar. En el video, la 'x' y 't' son mencadas como variables que pueden ser independientes o con respecto a las cuales se toman derivadas en una ecuación diferencial.

💡Ecuación algebraica

Se menciona en contraste con las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones algebraicas son aquellas que involucran operaciones algebraicas y se resuelven para encontrar valores numéricos específicos. En el video, se indica que las ecuaciones diferenciales son diferentes porque buscan funciones en lugar de solo números.

💡Solución general

La solución general de una ecuación diferencial es una expresión que contiene una o más constantes arbitrarias y que satisface la ecuación. En el video, se da como ejemplo que la solución general de la ecuación 'y' prima menos 2x igual a 0 es 'y' igual a x cuadrada más c.

💡Condición inicial

Una condición inicial es una restricción adicional dada en un problema de ecuación diferencial que especifica el valor de la función o su derivada en un punto específico. En el video, se ejemplifica con la condición inicial 'y' en 0 igual a 1 para resolver un problema de valor inicial.

💡Problema de valor inicial

Es un tipo de problema de ecuación diferencial que incluye una condición inicial. Se resuelve encontrando la solución que cumple con la ecuación diferencial y la condición inicial dada. El video explica cómo se aborda este tipo de problema usando la ecuación 'y' prima menos 2x igual a 0 con la condición inicial mencionada.

💡Ecuación diferencial ordinaria

Se refiere a una ecuación diferencial que involucra funciones de una sola variable. En el video, se describe cómo las ecuaciones que el hablante ha discutido hasta ese punto son ordinarias, ya que todas las funciones dependen de una sola variable, 'x' o 't'.

💡Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Un sistema de este tipo es una colección de ecuaciones diferenciales ordinarias que se resuelven simultáneamente. En el video, se menciona cómo resolver un sistema de ecuaciones implica encontrar funciones que satisfagan todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo.

💡Ecuación en derivadas parciales

Diferente a las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones en derivadas parciales involucran funciones de múltiples variables. El video destaca que estas ecuaciones son más complejas y requieren técnicas adicionales para su resolución, como se indica con la función 'u' de 'x', 'y' y 't'.

Highlights

El video explica qué es una ecuación diferencial y cómo se diferencia de otras ecuaciones como las algebraicas, trigonométricas y logarítmicas.

Se busca funciones completas en lugar de números para satisfacer una ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial relaciona una función, sus derivadas y sus variables.

La función se representa comúnmente como f(x) o y, y su derivada como y' o f'(x).

La segunda derivada y derivadas más altas también pueden aparecer en una ecuación diferencial.

La variable de la función no siempre es x; a veces se utiliza t o cualquier otra variable para evitar confusión.

Se menciona que la ecuación diferencial puede no incluir la función original, solo sus derivadas.

Se da una definición formal de una ecuación diferencial como una expresión que combina funciones y sus derivadas mediante operaciones matemáticas.

Resolver una ecuación diferencial implica encontrar funciones que satisfacen la ecuación, no simplemente números.

Se ilustra cómo encontrar funciones que satisfacen una ecuación diferencial simple y cómo expresarlas en una solución general.

Se discute el concepto de 'problema de valor inicial' o 'problema de Cauchy', que incluye una condición inicial para resolver la ecuación.

Se muestra cómo determinar si una función específica satisface una condición inicial dada.

Se presentan diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las ecuaciones diferenciales ordinarias y las en derivadas parciales.

Se describen ecuaciones diferenciales ordinarias como aquellas que involucran funciones de una sola variable.

Se introducen sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, que son conjuntos de ecuaciones que se resuelven simultáneamente.

Se explican las ecuaciones en derivadas parciales como aquellas que involucran funciones de varias variables y sus derivadas parciales.

Se mencionan las aplicaciones prácticas de las ecuaciones diferenciales para el próximo video, prometiendo una exploración más profunda en el futuro.

Se invita a los espectadores a seguir el canal, dar like y compartir los videos para recibir más contenido sobre ecuaciones diferenciales.

Transcripts

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate

fácil en este vídeo vamos a ver qué es

una ecuación diferencial voy a

explicarlo de una manera sencilla con

varios ejemplos y les mostraré varios

tipos de ecuaciones diferenciales es

importante que sepamos lo que es una

ecuación diferencial para distinguirla

de otros tipos de ecuaciones como los

que seguramente ya habrán visto hasta

este momento ecuaciones algebraicas

ecuaciones trigonométricas ecuaciones

logarítmicas bueno pues en el caso de

una ecuación diferencial ocurre algo un

poquito distinto y es que en este caso

ya no estaremos buscando números que

satisfacen una ecuación sino funciones

completas bueno eso ya lo iré explicando

a continuación para empezar podemos

decir que una ecuación diferencial es

una ecuación que relaciona una función

sus derivadas y sus variables bueno es

importante aquí repasar lo que bueno son

estos conceptos así rápidamente tenemos

entonces tres conceptos que son

importantes para una ecuación

diferencial que es el de función el de

derivada

el de variable una función como ya

seguramente habrán visto en muchas

ocasiones la representamos como fx es

una representación muy usual aunque

muchas veces en lugar de poner fx la

representamos como ye porque resulta

pues mucho más cómodo simplemente poner

una ye y entender que esa y depende de

la variable x en ese sentido la ye es

una función utilizando estas notaciones

nosotros representamos la derivada de

una función como f prima de x o como ye

primas y estamos utilizando la ye para

representar la función o también la

podemos representar como leyes sobre de

x esto también representa la derivada de

la función y respecto de la variable x

y también podemos hablar pues de la

segunda derivada que por ejemplo en este

caso sería yeví prima podemos también

poner tercer derivada y cualquier tipo

de derivadas todas las derivadas pueden

aparecer en una ecuación diferencial en

todos estos casos nuestra variable ha

sido la misma

la variable es x aunque no tiene por qué

ser siempre x en muchas ocasiones en

lugar de utilizar x vamos a utilizar la

variable t por ejemplo de minúscula para

representar al tiempo o puede ser pues

cualquier otro tipo de variable aunque

en el caso en el que pudiera haber

confusión hay que dejar bien claro cuál

es la variable que estamos utilizando

por ejemplo podemos hablar de la función

efe dt y en este caso estamos diciendo

que la variable esté si vamos a utilizar

la misma letra g para representar la

función en este caso para evitar con

confusión muchas veces se escribe de

esta forma se pone que dt para indicar

que la variable de la función esté y no

x como aquí arriba aquí también

podríamos haber puesto como ye de equis

muchas veces se va a entender por la

forma de la propia ecuación cuál es la

variable de la función pero cuando no se

entiende cuál es la variable sí es

importante indicar la entre paréntesis y

bueno en este caso pues la derivada la

podríamos representar así leyes sobre de

t también podríamos ponerla como ye

prima pero entendiendo que la derivada

se está realizando respecto de la

variable t y en este caso entonces pues

nuestra variable es t bueno ya que

entendemos todos estos conceptos

entonces una ecuación

de una ecuación diferencial es una

ecuación que relaciona a estos tres

conceptos por ejemplo esta de aquí esta

de aquí es una ecuación diferencial

porque aparece una función que es la f x

aparece aquí su derivada aparece aquí la

función y aparece por aquí la variable

entonces se está relacionando a la

función con la derivada y con la

variable esto es una ecuación

diferencial ahora aquí quiero mencionar

que generalmente en las ecuaciones

diferenciales no estaremos utilizando la

anotación f x para referirnos a la

función sino que estaremos utilizando

simplemente la que porque resulta más

cómodo hacerlo de esa forma aunque claro

también podríamos utilizar fx en este

caso la ventaja es que siempre estamos

indicando cuál es la variable de la

función pero como les digo lo más usual

es que se utilice en lugar de fx a la ye

entonces en este caso utilizando para

representar la función nuestra ecuación

diferencial quedaría de esta forma vélez

sobre de x porque aquí tenemos la

derivada de la función y en este caso

presenta así también podríamos haberla

puesto como oye prima y es lo mismo y

aquí para la función f x pues ponemos

simplemente la ye entonces esta ecuación

es lo mismo que la ecuación de aquí

arriba otro ejemplo de ecuación

diferencial es este de aquí en este caso

notamos que aparece la segunda derivada

de ye también entonces tenemos a la

variable x multiplicada por la segunda

derivada de ella luego menos cinco por

la primera derivada de ella y más tres

en este caso no aparece como tal la

propia función y no tiene por qué

aparecer explícitamente aquí escrita

pero implícitamente pues ahí hay una

función que que debe satisfacer esta

ecuación entonces no tiene por qué

aparecer siempre la aie en la ecuación

diferencial puede únicamente aparecer

las derivadas y lo mismo ocurre con la x

no tiene por qué aparecer en la ecuación

explícitamente por ejemplo en esta

ecuación de aquí está esta ecuación

únicamente tiene la primera derivada la

segunda derivada y la tercera derivada

de y no aparece ni la propia y ni la

equis pero es una ecuación diferencial

en este caso tenemos aquí una función

que es

y en este caso puede ocurrir una pequeña

confusión porque no sabemos si la

variable que vamos a utilizar para el

ayer es la equis o slate bueno pues

generalmente cuando no nos dicen cuál es

la variable vamos a utilizar la equis o

podríamos utilizar la t sin ningún

problema simplemente dejamos indicado

que pues estamos tomando y como una

función de equis o como una función de t

bueno esta definición que les diga aquí

no es estrictamente la definición

matemática que se suele dar en los

libros hay una definición rigurosa y la

definición es esta de aquí una ecuación

diferencial es una expresión de este

tipo bueno esta expresión lo que

significa simplemente es que tenemos una

función d

variables x mi prima y así hasta llegar

a una enésima derivada de esta expresión

simplemente hay que entenderla como que

se está combinando todas estas funciones

o todas estas variables mediante

operaciones como son la suma la resta la

multiplicación la división o incluso

utilizando otras funciones como pueden

ser senos cosenos exponenciales

logaritmos etcétera o sea simplemente

estamos diciendo que una ecuación

diferencial es una expresión en la cual

combinamos todos estos símbolos usando

diferentes operaciones como por ejemplo

aquí que estamos multiplicando por dos

luego sumando y multiplicando la equis

con la chevy prima y luego restándole el

5 porque prima etcétera en este caso

bueno así es como hay que interpretar

este esta expresión de aquí simplemente

es una combinación de estos símbolos

esta es entonces la definición formal de

una ecuación diferencial bueno

ahora hay que ver qué significa resolver

una ecuación diferencial porque como les

mencionaba al principio no es lo mismo

que resolver una ecuación algebraica

cuando nosotros teníamos una ecuación

algebraica pues lo que buscábamos

simplemente era despejar la incógnita

que generalmente era la x y obteníamos

un valor o algunos valores que

satisfacían la ecuación osea números

reales que cuando los sustituimos en la

ecuación llegábamos a una igualdad en el

caso de una ecuación diferencial ya no

estamos buscando números en este caso

estamos encontrando funciones bueno una

función o funciones porque muchas veces

va a haber más de una función que

satisfaga la igualdad eso es lo que

significa resolver una ecuación

diferencial voy a mostrarlo ahora con un

pequeño ejemplo por ejemplo esta

ecuación diferencial de aquí es una

ecuación diferencial bastante sencilla

una de las primeras ecuaciones que se

estudian en un curso aquí dice ye prima

menos 2x igual a 0 entonces estamos

buscando una función y que depende de la

variable x

tal que cuando nosotros derivamos esa

función y le restemos 2x eso nos da

igual a cero bueno entonces estamos

buscando una función de entre un

conjunto infinito de funciones o sea

tenemos un montón de funciones que

podríamos intentar ver si satisfacen la

ecuación por ejemplo que iguala a la x

es una posible función de igual a 47 x

ye igual a raíz cuadrada de x cuadrada

menos 9 todas estas son funciones por

supuesto no todas las funciones van a

satisfacer esta ecuación en este caso

esta ecuación la satisface esta función

ye igual a x cuadrada si nosotros esta

función la derivamos pues ye prima es

igual a la derivada de x cuadrada que es

2x y al sustituir en la ecuación con la

que empezamos nos fijamos que bueno aquí

ya prima va a ser 2x entonces queda 2x

menos 2x y eso efectivamente nos da como

resultado 0 o sea hemos llegado a una

igualdad por lo tanto la función y igual

x cuadrado si es una solución de esta

ecuación diferencial

ahora por ejemplo la función igual a

equis cuadrada más 5 también es una

solución de esta ecuación diferencial

porque si derivamos esta función la

derivada de x cuadrada de 2x y la

derivada de 5 es cero

entonces la derivada simplemente es otra

vez 2x y al sustituir otra vez nos queda

2x menos 2x igual a cero o sea que x

cuadrada más 5 es una solución y el 5

pues aquí no tiene nada de especial

puede ser cualquier otra constante

también podría ser x cuadrada más 1 x

cuadrada más 7 en general que igual a x

cuadrada más c donde se es una constante

va a ser una solución de esta ecuación

diferencial entonces vemos que existen

una infinidad de funciones que

satisfacen la ecuación diferencial o una

función para cada valor que le demos a

la constante por ejemplo si le damos el

valor 5 pues tenemos esta función si le

damos el valor 0 tenemos esta función

entonces tenemos una infinidad de

funciones que satisfacen la ecuación en

este caso decimos que esta es la

solución

de la ecuación diferencial porque

estamos expresando en una sola expresión

pues todas las funciones posibles que

satisfacen esta ecuación

entonces por eso le llamamos solución

general

en algunas ocasiones nos interesa

solamente una de todas las posibles

funciones que satisfacen la ecuación y

en este caso se nos tiene que decir qué

condición debe cumplir esa función por

ejemplo se nos puede dar el siguiente

problema resolver la ecuación

diferencial y el prima menos 2x igual a

0 donde además la función que debe

cumplir que he evaluado en 0 es igual a

1 a esta de aquí se le llama condición

inicial que debe satisfacer la función

en este caso a este tipo de problemas se

le llama problema de valor inicial o

problema de coss y bueno para resolver

un problema de coche lo que hay que

hacer pues es encontrar pues primero la

solución general como ya lo hicimos aquí

arriba que igual a equis cuadrada más c

y después ver qué valor debemos darle a

la constante c para que satisfaga esta

condición inicial ya más adelante iremos

viendo métodos con los cuales

encontraremos tanto la solución general

de una ecuación diferencial como

el valor de la constante aquí por

ejemplo en este caso podríamos

preguntarnos si la solución que igual a

x cuadrado es una solución de este

problema ya sabemos que quiere igual a x

cuadrado si satisface la ecuación

diferencial entonces únicamente nos

faltaría ver sigue igual a x al cuadrado

satisface la condición inicial para eso

tendríamos que ver sigue en 0 es igual a

1 para esta función entonces en este

caso y en 0 significa sustituir el cero

en la equis de aquí entonces nos queda 0

al cuadrado y en 0 es igual a 0 al

cuadrado pero 0 al cuadrado es cero

osea que obtenemos que en cero es igual

a cero no se cumple entonces

la condición inicial que nosotros

queremos nosotros queremos que lleguen 0

sea igual a 1 y nos jockey en 0 es igual

a 0

por lo tanto la función y igual a x

cuadrado no resuelve el problema de

valor inicial que tenemos aquí la

función que si resuelve ese problema es

esta de aquí que igual a x cuadrado más

1 aquí por ejemplo podemos comprobar que

que en 0 es igual a 1 igual que antes

simplemente tendríamos que sustituir el

cero en las x entonces nos queda 0 al

cuadrado más 10 al cuadrado es 00 + 1 es

1 así que nos queda que lleguen 0

efectivamente es igual a 1

por lo tanto estaré aquí sería la

función que satisface el problema de

valor inicial o problema de coss y ahora

vamos a ver algunos tipos de ecuaciones

diferenciales que son muy importantes en

primer lugar tenemos una ecuación

diferencial ordinaria la cual vamos a

abreviar como

una ecuación de este tipo es una

ecuación diferencial de funciones con

una variable todos los ejemplos que

hemos visto hasta este momento son

ecuaciones diferenciales ordinarias por

ejemplo esta ecuación que acabamos de

ver es una ecuación diferencial

ordinaria porque aparece una función de

una sola variable que en este caso la

variable de la función es la x

esta de aquí también es una ecuación

diferencial ordinaria aparece la segunda

derivada de iu y aparece aquí la propia

aie y la variable x en este caso vamos a

entender que es una función que depende

únicamente de x también podemos tener en

una ecuación diferencial otras letras

para representar tanto a las funciones

como a las variables en este caso

nuestra función sería la p porque aquí

estamos calculando la derivada de p

respecto de t entonces esta propia

expresión es la que nos dice cuál letra

vamos a entender cómo funciona y cuál

trabamos a entender como variable en el

caso de esta expresión pues la letra que

aparece aquí arriba es la función que se

está derivando y la letra que aparece

abajo es la variable respecto a la que

se está derivando así que aquí

entendemos que p es una función que

depende de t por lo tanto también es una

ecuación diferencial ordinaria porque es

una función de una sola variable

también podemos tener sistemas de

ecuaciones diferenciales ordinarias en

este caso sería algo similar a los

sistemas de ecuaciones que ven en

álgebra es simplemente un conjunto de

ecuaciones que hay que resolver al mismo

tiempo es un conjunto de ecuaciones

diferenciales de funciones de una sola

variable porque son también diferente

ecuaciones diferenciales ordinarias

entonces en este caso se nos da un

conjunto de ecuaciones y tenemos que

encontrar un conjunto de funciones que

satisfacen ese conjunto de ecuaciones al

mismo tiempo por ejemplo estas dos

ecuaciones de aquí estas dos ecuaciones

vamos a entenderlas bueno primero como

un sistema o sea las dos ecuaciones se

están resolviendo al mismo tiempo y si

no queda muy claro que estas dos

ecuaciones pertenecen al mismo sistema

muchas veces se utiliza este símbolo una

llavecita como esta de aquí para indicar

que se están resolviendo las dos

ecuaciones de forma simultánea en este

caso las funciones las vamos a entender

como xy que que como vemos aquí son las

que llevan la derivada

la derivada únicamente la llevan las

funciones por lo tanto tanto la x como

la x son funciones mientras que la t es

la variable de esas funciones

eso también lo podemos indicar

escribiéndolo de esta forma x cc y pp y

resolver un sistema de ecuaciones

diferenciales significa encontrar dos

funciones x de tdt tales que al

sustituir las tanto en la primera

ecuación como en la segunda ecuación se

satisface la igualdad este tipo de

sistemas ya los veremos más adelante

y otras ecuaciones que son muy

importantes son estas de aquí que son

las ecuaciones en derivadas parciales

los ejemplos que vimos anteriormente

veíamos que todas las funciones

dependían de una sola variable que

podría ser la equis o podría ser la t en

este caso las ecuaciones en derivadas

parciales son aquellas que formamos con

funciones de varias variables una

función de varias variables la

representamos de esta forma por ejemplo

esta función de aquí la función es la uv

y entre paréntesis estamos indicando sus

variables que son xy t entonces se trata

de una función de dos variables que son

xy t y que en este caso la función es x

cuadrada más 2 t aquí es importante que

ya no podemos hablar como tal de la

derivada de la función cuando se trata

de una función de varias variables de lo

que podemos hablar son de derivadas

parciales

por ejemplo la derivada parcial de un

respecto de x que en este caso sería 2x

y la derivada parcial de un respecto de

t que en este caso sería 2 entonces una

ecuación en derivadas parciales es una

expresión en la cual se están

relacionando tanto a la función a las

variables y a las derivadas parciales de

la función respecto a algunas de las

variables por ejemplo esta ecuación de

aquí aquí estamos diciendo la derivada

parcial de un respecto de la variable t

debe ser igual a c por la segunda

derivada de un respecto de la variable x

esta misma ecuación también la podríamos

escribir de esta forma que resulta

muchas veces más cómoda en lugar de

indicar derivada parcial de un respecto

de te lo ponemos como o con el subíndice

t y en lugar de indicar la segunda

derivada parcial de un respecto de x lo

ponemos como como subíndice x x bueno

este tipo de notación y este tipo de

derivadas parciales son cosas que se

aprenden en un curso de cálculo

vectorial es posible que algunos de

ustedes aún no hayan visto todos estos

conceptos pero aquí lo importante

es recalcar que pues existen también

este tipo de ecuaciones que son

ecuaciones en las cuales la función

depende de más de una variable estas

ecuaciones ya las veremos más adelante y

para resolverlas necesitaremos primero

saber ecuaciones diferenciales

ordinarias las ecuaciones que les

mostraba hace un momento bueno hasta

este punto puede que ustedes estén

preguntando y todo esto realmente para

que nos va a servir para qué sirven las

ecuaciones diferenciales bueno esto ya

lo explicaré en el siguiente vídeo

mostraré por ahí algunas de las

aplicaciones y empezaremos a resolver

algunos problemas más adelante entonces

los invito a que miren el siguiente

vídeo y si les gustó este vídeo apoyen

me regalándome un like suscriban a mi

canal y compartan mis vídeos y recuerden

que si tienen cualquier pregunta o

sugerencia pueden dejarla en los

comentarios