Maclaurin series of sine function

Summary

En este vídeo, se explica cómo calcular la serie de Maclaurin del seno de x, que es equivalente a la serie de Taylor alrededor de x0=0. Se describen los pasos para obtener las derivadas sucesivas de la función seno, luego se sustituyen en la fórmula de la serie de Taylor. El vídeo también ilustra cómo los términos con potencias pares de x se eliminan, y los signos alternan en la serie resultante. Finalmente, se aborda el intervalo de convergencia de la serie, que se determina usando el criterio de la razón y se concluye que la serie converge para todos los valores de x, es decir, en el intervalo (-∞, ∞).

Takeaways

• 😀 Se explica cómo calcular la serie de Maclaurin del seno de x, que es equivalente a la serie de Taylor alrededor de x0 = 0.
• 😀 La primera etapa para calcular la serie consiste en derivar la función seno de x varias veces.
• 😀 Las primeras derivadas de seno de x son: coseno de x, menos seno de x, coseno de x negativo, y seno de x positivo, repitiendo cada cuatro derivadas.
• 😀 Para calcular los coeficientes de la serie de Taylor, se sustituyen los valores de las derivadas en x = 0.
• 😀 Los valores de las derivadas evaluadas en x = 0 son: f(0) = 0, f'(0) = 1, f''(0) = 0, f'''(0) = -1, y f⁴(0) = 0.
• 😀 Se construye la serie de Taylor a partir de estos valores, eliminando los términos que resultan en cero.
• 😀 La serie resultante contiene términos con potencias de x impares (1, 3, 5, 7, ...).
• 😀 Se muestra que los términos con exponentes pares de x (x⁰, x², x⁴, ...) se omiten en la serie.
• 😀 Los coeficientes alternan entre 1 y -1, siguiendo la secuencia 0, 1, 0, -1, repetida cíclicamente.
• 😀 Se presenta la fórmula general de la serie usando notación sigma, con los términos siendo desarrollados cuando n es 0, 1, 2, 3, etc.
• 😀 El intervalo de convergencia de la serie de Taylor es todo el conjunto de los números reales, ya que el límite de la razón es siempre menor que 1 para cualquier valor de x.

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