Curva con peralte: sin rozamiento y con rozamiento. Velocidad máxima. Movimiento circular.
Summary
TLDREn este problema se busca calcular la velocidad máxima de un automóvil en una curva peraltada de 17 grados y radio de 250 metros. Se analiza el caso sin rozamiento, donde la trayectoria es parte de una circunferencia centrada en el eje X. Se descomponen las fuerzas normal y peso en componentes para aplicar la segunda ley de Newton, obteniendo una velocidad de 27,37 m/s. En el segundo caso, se considera la fuerza de rozamiento, y se ajustan las ecuaciones para incluirla. La resolución del sistema de ecuaciones da una velocidad máxima de 44,27 m/s, demostrando que el rozamiento mejora la adherencia al suelo y permite mayores velocidades.
Takeaways
- 🚗 El problema trata de calcular la velocidad máxima de un automóvil en una curva peraltada de 17 grados y radio de 250 metros.
- 📐 Se considera inicialmente que no hay rozamiento, lo que implica que la carretera tiene una inclinación con respecto a la horizontal.
- 🔍 El ángulo de peralte (Alfa) es igual al ángulo que la fuerza normal forma con el eje horizontal.
- 📉 Al disminuir el ángulo de inclinación, el ángulo Alfa disminuye proporcionalmente hasta llegar a cero, donde la normal sería perpendicular al plano.
- 🧩 Se aplica la segunda ley de Newton para analizar las fuerzas en los ejes x e y, descomponiendo la fuerza normal en componentes.
- 🔄 La aceleración centrípeta es la única considerada en el eje x, y es proporcional al módulo de la velocidad al cuadrado dividido por el radio de curvatura.
- 🔢 La segunda ley de Newton en el eje y muestra que la suma de fuerzas en esa dirección es cero, ya que el coche no se mueve en esa dirección.
- ⚖️ Se resuelve un sistema de ecuaciones para encontrar la velocidad y la fuerza normal, usando trigonometría para relacionar las componentes de la fuerza normal.
- 🛣️ En el segundo caso, se considera la presencia de la fuerza de rozamiento, que actúa hacia el centro de la curva para evitar que el coche salga hacia el exterior.
- 🔄 Se aactualizan las ecuaciones de la segunda ley de Newton para incluir la fuerza de rozamiento y se resuelve el sistema para encontrar la velocidad con rozamiento.
- 🏎️ La velocidad máxima con rozamiento es mayor que sin él, lo que es lógico ya que el rozamiento mejora la adherencia del coche a la carretera.
Q & A
¿Cuál es el objetivo principal del problema descrito en el guion?
-El objetivo principal es calcular la velocidad máxima de un automóvil que puede trazar una curva peraltada de 17 grados y de radio 250 metros, considerando y sin considerar la presencia de rozamiento.
¿Qué significa que una curva tenga peralte y cómo afecta esto a la trayectoria del vehículo?
-Un peralte indica una inclinación de la carretera con respecto a la horizontal, lo que significa que no está plana. Esto afecta la trayectoria del vehículo ya que la fuerza normal y la trayectoria del coche serán alineadas con la inclinación de la curva.
¿Por qué se considera que la trayectoria del coche es un arco de circunferencia?
-Se considera que la trayectoria es un arco de circunferencia porque el centro de curvatura de la circunferencia coincide con la dirección del eje x, lo que se utiliza para trazar el arco con un compás.
¿Cómo se relaciona el ángulo Alfa con la fuerza normal y la inclinación de la curva?
-El ángulo Alfa es igual a la inclinación de la curva y es el ángulo que forma la fuerza normal con el eje horizontal. Cuando el plano es horizontal, el ángulo Alfa es cero y la fuerza normal es perpendicular al plano.
¿Qué ley física se utiliza para analizar las fuerzas en el eje x y en el eje y?
-Se utiliza la segunda ley de Newton, que establece que la suma de las fuerzas en un eje dado es igual al producto de la masa del cuerpo y su aceleración en esa dirección.
¿Cómo se calculan las componentes de la fuerza normal en los ejes x e y?
-Se calculan utilizando trigonometría. La componente en el eje x, NX, es igual a la normal multipliada por el coseno de Alfa, y la componente en el eje y, NY, es igual a la normal multipliada por el seno de Alfa.
¿Cuál es la dirección y sentido de la aceleración centrípeta y cómo se calcula su módulo?
-La dirección de la aceleración centrípeta es hacia el centro de la curva y su sentido es el considerado positivo. Se calcula como el módulo de la velocidad al cuadrado dividido por el radio de curvatura.
¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la segunda ley de Newton para encontrar la velocidad máxima del automóvil?
-Se resuelve por sustitución o dividiendo una ecuación por la otra para simplificar y obtener una expresión para la velocidad en términos de las fuerzas y la masa del vehículo.
¿Qué sucede en el segundo caso del problema cuando se considera la fuerza de rozamiento?
-En el segundo caso, se considera que hay fuerza de rozamiento que actúa sobre el coche, lo que permite que el coche trace la curva en lugar de ir directamente debido a la falta de adhesión.
¿Cómo se modifica la trayectoria del coche y las ecuaciones cuando se considera la fuerza de rozamiento?
-La trayectoria del coche se ajusta para seguir la curva en lugar de ir directamente. Las ecuaciones de la segunda ley de Newton se modifican para incluir la fuerza de rozamiento en las direcciones x e y.
¿Por qué la velocidad máxima del coche es mayor en el segundo caso con rozamiento que en el primero sin rozamiento?
-La velocidad máxima es mayor con rozamiento porque los neumáticos tienen una mejor adhesión a la carretera, lo que permite una mayor fuerza de rozamiento que ayuda a mantener la trayectoria circular del coche.
Outlines
🚗 Cálculo de la velocidad máxima en una curva peraltada
El primer párrafo aborda el cálculo de la velocidad máxima que un automóvil puede alcanzar mientras recorre una curva peraltada de 17 grados y un radio de 250 metros. Se considera un escenario sin rozamiento, lo que significa que la carretera está inclinada en lugar de estar plana. La trayectoria del coche se describe como una circunferencia cuyo centro de curvatura coincide con la dirección del eje X. Se utiliza la segunda ley de Newton para analizar las fuerzas en los ejes X e Y, descomponiendo la fuerza normal en componentes paralelas a los ejes. La aceleración centrípeta es la única aceleración presente, y se calcula a partir de la velocidad al cuadrado dividida por el radio de curvatura. Las ecuaciones de Newton para los ejes X e Y se resuelven para encontrar la velocidad y la fuerza normal.
🏎️ Inclusión de la fuerza de rozamiento en la trayectoria del coche
El segundo párrafo introduce la fuerza de rozamiento y cómo afecta la trayectoria del coche. Se describe una situación hipotética donde los neumáticos están gastados o la carretera está helada, lo que impide que el coche trace la curva prevista y, en su lugar, sigue una trayectoria recta. La fuerza de rozamiento es crucial para evitar que el coche se desvíe hacia el exterior de la curva. Se descompone la fuerza de rozamiento en componentes paralelos a los ejes X e Y. Las ecuaciones de Newton se adaptan para incluir la fuerza de rozamiento, y se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar la velocidad y la fuerza normal. La velocidad resultante se calcula y se compara con el caso sin rozamiento.
📐 Velocidad máxima con neumáticos de mejor agarre
El tercer párrafo compara la velocidad máxima alcanzable por el coche con neumáticos que ofrecen un mejor agarre a la carretera. Se resalta que la velocidad es mayor en comparación con el escenario sin rozamiento, lo que es lógico ya que el mejor agarre de los neumáticos permite una mayor velocidad sin perder el control de la curva. Se menciona que la velocidad máxima es de aproximadamente 44 metros por segundo.
Mindmap
Keywords
💡velocidad máxima
💡curva peraltada
💡radio de curvatura
💡fuerza normal
💡fuerza centrípeta
💡segunda ley de Newton
💡coeficiente de rozamiento
💡neumáticos
💡trayectoria
💡aceleración centrípeta
💡fuerza de rozamiento
Highlights
Calcular la velocidad máxima de un automóvil en una curva peraltada de 17 grados y radio de 250 metros.
Consideración de la ausencia de rozamiento en la curva, implicando una inclinación de la carretera.
La trayectoria del coche será un arco de circunferencia con el centro de curvatura en la dirección del eje X.
Aplicación de la segunda ley de Newton para resolver las fuerzas en los ejes X e Y.
La fuerza normal es perpendicular a la superficie de apoyo y su ángulo con el eje X coincide con el ángulo del peralte de la curva.
Cálculo de las componentes de la fuerza normal en los ejes X e Y utilizando trigonometría.
La aceleración centrípeta es dirigida hacia el centro de la curva y su módulo es V^2/r.
La fuerza resultante en el eje X es la fuerza centrípeta, que es la única aceleración en esa dirección.
La suma de fuerzas en el eje Y debe ser cero, ya que el coche no se mueve verticalmente.
Sistema de ecuaciones formado por las fuerzas en los ejes X e Y resuelto por sustitución o división de ecuaciones.
Velocidad máxima alcanzada sin rozamiento es aproximadamente 27,37 metros por segundo.
Introducción de la fuerza de rozamiento en el segundo caso, considerando neumáticos gastados o carretera helada.
La trayectoria del coche sin rozamiento sería recta, en lugar de seguir la curva.
La fuerza de rozamiento actúa hacia el centro de la curva para evitar que el coche se saliera hacia el exterior.
Descomposición de la fuerza de rozamiento en componentes paralelas a los ejes X e Y.
Aplicación de la segunda ley de Newton incluyendo la fuerza de rozamiento en las ecuaciones.
La fuerza de rozamiento se define como el coeficiente de rozamiento multiplicado por la normal.
Resolución del sistema de ecuaciones con la fuerza de rozamiento considerada, dando como resultado una velocidad máxima de 44,27 metros por segundo.
Transcripts
en este problema queremos calcular la
velocidad máxima de un automóvil con la
que puede trazar una curva peraltada de
17 grados y de radio 250 metros en el
primer caso consideramos que no hay
rozamiento que una curva tenga peralte
significa que la carretera tiene una
inclinación con respecto a la horizontal
es decir que no está plana como podemos
ver en la carrera que aparece en el
vídeo un aspecto importante es que la
trayectoria de este coche va a ser una
curva podría ser un arco de
circunferencia el centro de curvatura de
esa circunferencia es decir donde
tendríamos que pinchar con el compás
para trazar este arco está en esta
dirección que vamos a tomar como
dirección del eje x lo vemos más
claramente en este otro dibujo este es
uno de los datos del problema el radio
de curvatura es de 250 metros en nuestro
problema una vez que elegimos las
direcciones de Los ejes vamos a dibujar
el diagrama de fuerzas sobre este cuerpo
el peso vertical y hacia abajo la fuerza
normal es perpendicular a la superficie
de apoyo que es el plano inclinado el
ángulo que forma la fuerza normal con el
eje hoy coincide con el ángulo del
peralte de la curva si disminuyésemos
este ángulo Alfa hasta hacerlo igual a
cero es decir que el plano fuese
horizontal a medida que vamos
disminuyendo este ángulo este disminuye
en el mismo grado cuando el plano es
horizontal la normal sería perpendicular
al plano coincidiría con la dirección
del eje hoy de esta forma vemos que este
ángulo y este tienen que ser iguales
cuando Alfa es cero este Alfa es cero
también Y a medida que el ángulo del
peralte va aumentando este otro ángulo
crece exactamente en la misma medida
porque son iguales en este primer
apartado no hay más fuerzas porque no
hay fuerza de rozamiento como vamos a
aplicar la segunda ley de Newton a cada
uno de los ejes por separado elox y Eloy
las fuerzas que no coincidan con Los
ejes deben ser descompuestas en este
caso la única que no coincide es la
normal vamos a calcular sus componentes
sobre los ejes trazamos una paralela al
eje X por el extremo del vector normal
hasta que corte y esta será la
componente y trazamos una paralela al
eje y hasta que corte al x y esta será
la otra componente sobre la dirección
del eje x nsx si consideramos este
triángulo rectángulo y aplicamos
trigonometría en este caso el coseno de
Alfa nos relaciona el cateto contiguo
que es n swing con la hipotenusa n y lo
escribimos de este modo cateto contigo y
dudo por hipotenusa y aquí podemos
calcular ni n por el coseno de Alfa si
la utilizamos el seno introducimos la
otra componente en su x el seno de Alfa
es igual al cateto opuesto NX esta
longitud coincide con el módulo de NX
dividido por la hipotenusa n y de aquí
despejamos NX n por el seno de Alfa
siempre que un móvil describa una curva
va a ver una aceleración centrípeta o
normal la dirección y sentido de esta
aceleración es hacia el centro de la
curva como indica la flecha amarilla el
módulo de esta aceleración es el módulo
de la velocidad al cuadrado dividido del
radio de curvatura en nuestro problema
sabemos que la dirección y el sentido
del centro de la curva es el que nos
indica el eje o x con este sentido con
el que estoy indicando ahora a la fuerza
resultante sobre el eje x se le llaman
fuerza centrípeta la única aceleración
que tenemos en la dirección del eje x y
con este sentido Es la aceleración
centrípeta que vamos a poder escribir de
este modo para verlo más claramente
sobre nuestro ejercicio Qué fuerzas hay
que tengan la dirección del eje x Pues
solo hay una que es NX y apunta hacia el
centro de la curva este sentido hacia el
centro de la curva es el que
consideramos como el positivo en este
apartado ya no hay más fuerza sobre el
eje x seguimos escribiendo la segunda
ley de Newton en este eje
esto es igual a la masa por la
aceleración centrípeta que es V cuadrado
partido por r la segunda ley de Newton
en el eje y la vamos a escribir así la
suma de fuerzas en la dirección hoy es
igual a la masa del cuerpo por la
aceleración pero en la dirección Hoy es
el coche no se mueve no se mueve ni
hacia arriba ni hacia abajo por lo tanto
la aceleración es cero y lo que tiene
que ocurrir Es que la suma de fuerzas en
esta dirección sea 0 consideramos
positivo hacia arriba y negativo hacia
abajo hacia arriba positiva solo hay NY
y negativa solo tenemos p n y menos p
igual a cero Y con estas dos ecuaciones
formamos un sistema y resolvemos el
ejercicio donde pone NX y n y vamos a
sustituir estas expresiones la p la ha
pasado a la derecha ya y he sustituido
por mg ahora este sistema tiene dos
ecuaciones y dos incógnitas que son la
normal y la velocidad que es lo que nos
pide el problema se puede resolver por
sustitución Pero hay otra forma de
hacerlo más rápido y Es que voy a
dividir una ecuación por la otra se
puede hacer eso sí sin ningún problema y
así la normal se simplifica y la masa
también el seno entre el coseno es la
tangente y en este otro lado nos queda V
cuadrado partido por gr gr pasa
multiplicando y ya puedo calcular V
cuadrado la v sería la raíz cuadrada
despejando y sustituyendo los valores se
obtiene aproximadamente una velocidad de
27,37 metros por segundo si lo haces por
sustitución por ejemplo despejas n de la
segunda la sustituyes en la primera
donde pone n escribes ya mg partido por
el coseno de Alfa por el seno de Alfa
igual a mv cuadrado partido por r m y m
se va a simplificar y seno entre coseno
lo escribes como la tangente y llegas a
la misma expresión anterior con la que
resulto este primer apartado en el
segundo apartado aparece la fuerza de
rozamiento esta vista del coche esa a
vista de pájaro como si lo estuviésemos
observando desde un helicóptero Entonces
esta es la curva por aquí va a venir el
coche he trazado en línea discontinua
cuál sería su trayectoria si trazas en
la curva correctamente el velocidad
siempre es tangente a la trayectoria
como es una curva pues es tangente al
arco de circunferencia o a la
circunferencia en el punto considerado
supongamos que los neumáticos del coche
están gastados o para entenderlo también
tendríamos una situación en la que la
carretera está completamente helada
Entonces cuál sería la trayectoria del
coche en este dibujo como no es capaz de
agarrarse a la carretera no puede trazar
la curva la trayectoria que seguiría
será la que le marque la velocidad es
decir se iría recto y no trazaría la
curva es lo que le ocurre a los coches
de Fórmula 1 cuando se quedan sin
neumáticos y los comentaristas dicen que
ha hecho un recto se sale de la curva
esto A qué equivale sobre este dibujo
bueno fijaos como el coche sale hacia el
exterior de la curva sobre esta
perspectiva equivaldría a que el coche
se va hacia el exterior de la curva es
decir seguiría esta trayectoria que es
lo que va a impedir que el coche se vaya
hacia el exterior de la curva que tenga
unos buenos neumáticos y que se agarra
la carretera entonces la fuerza de
rozamiento va a tener esta dirección y
este sentido va a impedir va a evitar
que el coche se vaya hacia el exterior y
es así como tenemos que dibujar la
fuerza de rozamiento por lo tanto la
fuerza de rozamiento la vamos a dibujar
sobre el cuerpo con la dirección y
sentido que he indicado realmente
aparecería sobre las ruedas pero estamos
considerando que todas las fuerzas
actúan sobre un único punto es decir
realmente estamos considerando a todo el
coche como un punto y sobre ese punto
actúan todas las fuerzas como la fuerza
de rozamiento no coincide con Los ejes
la vamos a descomponer paralela al eje x
hasta que corte al Y esta es la
componente fry paralela al eje hoy hasta
que corte al x y esta sería frx ángulo
que he aquí es Alfa que coincide con el
del plano inclinado es el que forma la
dirección de la carretera
con la horizontal Esta es la horizontal
Y esta es la dirección de la carretera
Así que este es Alfa ahora como siempre
aplicando el trigonometría a este
triángulo rectángulo el seno de este
ángulo es el cateto opuesto FR y
dividido por la hipotenusa FR y el
coseno es el cateto contiguo frx
dividido por la hipotenusa FR y de aquí
despejamos frx y FR
y ahora como antes volvemos a aplicar la
segunda ley de Newton a todo este
sistema vamos a ver qué modificaciones
se hacen con respecto a las ecuaciones
anteriores el caso sin rozamiento que
son las que aparecen aquí en la
dirección del eje x tenemos una fuerza
nueva que es la fuerza de rozamiento X
que tiene la dirección hacia el centro
de la curva por lo tanto se considera
positiva porque todas las fuerzas que
apunten hacia el centro de la curva
tienen el sentido de la fuerza
centrípeta de modo que le tenemos que
Añadir un término a esta ecuación para
la otra ecuación para la del eje hoy
ahora tenemos otra fuerza que antes no
aparecía que era fry que apunta hacia
abajo y que hemos considerado negativo
hacia abajo vamos a Añadir Este término
el sistema formado por estas dos
ecuaciones resolverá el apartado
donde pone frx escribimos FR por el
coseno de 17
me pone en x escribimos n por el seno de
17 y hacemos lo mismo con las
componentes y
el peso es la masa por la gravedad la
fuerza de rozamiento se define como el
coeficiente de rozamiento por la normal
lo que he hecho es donde aparece FR
pongo el coeficiente de rozamiento que
es un dato por la normal lo que voy a
hacer en la primera ecuación es sacar n
factor común y ya me queda seno 17 + 0,4
por el coseno de 17 que se puede hacer
con la calculadora sustituyó ya también
el valor del radio que es un dato y
ahora en la segunda ecuación voy a sacar
n factor común y al menos mg lo paso a
la derecha con signo positivo ahora voy
a hacer estas operaciones en los
paréntesis con la calculadora y ya pongo
el número decimal correspondiente como
antes este sistema se puede resolver por
ejemplo por sustitución Pero yo lo que
voy a hacer es dividir una ecuación por
la otra de este modo n y n se
simplifican y m y m también
0 67 entre 0 84 0,8 aproximadamente y
aquí me queda V cuadrado dividido por
250g G también es un dato 9,8
aproximadamente y ya podemos despejar V
operando se obtiene una velocidad de 44
con 27 metros por segundo como podemos
observar es mayor con respecto al
apartado anterior lo cual Es lógico
porque ahora tenemos unos neumáticos que
nos agarran más a la carretera
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