Aplicaciones de la Derivada | tasa o razón de cambio ejercicio 3

Summary

En este video, se aborda un problema de física sobre un cohete que viaja verticalmente con una velocidad inicial de 120 m/s. Se exploran tres aspectos clave: el tiempo que tarda el cohete en llegar al suelo (24.49 segundos), la altura máxima alcanzada (734.69 metros), y la aceleración constante durante su vuelo, que es igual a -9.8 m/s². A través de derivadas y el análisis de la función de posición, se demuestra cómo calcular estos valores en un escenario de tiro vertical bajo la influencia de la gravedad.

Takeaways

• 😀 El problema trata sobre un cohete que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 120 m/s y cuya posición está dada por una función cuadrática.
• 😀 Para calcular el tiempo que tarda el cohete en llegar al suelo, se utiliza la ecuación de la posición igualada a cero. El tiempo obtenido es aproximadamente 24.48 segundos.
• 😀 La ecuación de la posición del cohete es: s(t) = -4.9t² + 120t, donde t es el tiempo en segundos.
• 😀 La forma de despejar el tiempo cuando la distancia es cero implica factorizar la ecuación cuadrática y luego despejar t.
• 😀 Para determinar la altura máxima alcanzada por el cohete, se calcula la velocidad usando la derivada de la función de posición.
• 😀 La derivada de la función de posición s(t) es la velocidad del cohete: v(t) = -9.8t + 120.
• 😀 El cohete alcanza su altura máxima cuando la velocidad es igual a cero. Esto ocurre cuando t = 12.24 segundos.
• 😀 Una vez encontrado el tiempo de máxima altura (12.24 segundos), se sustituye este valor en la función de posición para calcular la altura máxima, que es aproximadamente 734.69 metros.
• 😀 La aceleración del cohete, que es constante, se obtiene derivando la función de velocidad. Esta aceleración es de -9.8 m/s², que es el valor de la gravedad terrestre.
• 😀 Este tipo de problemas ilustra un movimiento rectilíneo vertical bajo la influencia de la gravedad, donde el objeto desacelera mientras sube y acelera al caer.
• 😀 El video concluye invitando a los espectadores a suscribirse para más contenido sobre derivadas y tasa de cambio en física.

Q & A

¿Cuál es la ecuación que describe la posición del cohete?

La ecuación que describe la posición del cohete es: s(t) = -4.9 t^2 + 120 t, donde 's(t)' es la posición en metros y 't' es el tiempo en segundos.

¿Cómo calculamos el tiempo que tarda el cohete en llegar al suelo?

Para calcular el tiempo en que el cohete llega al suelo, debemos igualar la ecuación de la posición a cero (s(t) = 0) y resolver para 't'. Esto nos da dos soluciones: t = 0 (momento del lanzamiento) y t ≈ 24.49 segundos (tiempo para llegar al suelo).

¿Qué significa que la posición del cohete sea igual a cero?

Cuando la posición del cohete es igual a cero, significa que el cohete ha regresado al suelo, es decir, ha tocado el suelo después de su trayectoria ascendente y descendente.

¿Cómo determinamos la altura máxima alcanzada por el cohete?

La altura máxima se determina al calcular el momento en que la velocidad es cero. Esto se logra derivando la función de posición para obtener la función de velocidad y luego resolviendo para el tiempo en que la velocidad es cero. Posteriormente, sustituimos ese tiempo en la función de posición para hallar la altura máxima.

¿Cómo obtenemos la velocidad del cohete en cualquier instante de tiempo?

La velocidad en cualquier instante de tiempo es la primera derivada de la función de posición. Para esta ecuación, la derivada es v(t) = -9.8 t + 120.

¿Cuánto tiempo tarda el cohete en alcanzar la velocidad cero?

El cohete alcanza la velocidad cero a los 12.24 segundos, ya que ese es el tiempo cuando la función de velocidad es igual a cero.

¿Qué sucede cuando la velocidad es cero?

Cuando la velocidad es cero, significa que el cohete ha alcanzado su altura máxima y se detiene momentáneamente antes de comenzar su caída hacia el suelo debido a la gravedad.

¿Cómo calculamos la altura máxima alcanzada por el cohete?

Sustituimos el tiempo t = 12.24 segundos en la ecuación de posición s(t) = -4.9 t^2 + 120 t, lo que da como resultado una altura máxima de aproximadamente 734.69 metros.

¿Cuál es la aceleración del cohete durante su trayectoria?

La aceleración del cohete durante su trayectoria es constante y es igual a -9.8 m/s², que es la aceleración debida a la gravedad.

¿Por qué la aceleración es constante durante todo el trayecto?

La aceleración es constante porque estamos considerando que la única fuerza que actúa sobre el cohete es la gravedad, que tiene una magnitud constante de -9.8 m/s², independientemente de la altura o el tiempo transcurrido.