Derivadas parciales. Interpretación geométrica

Summary

En este video, la profesora Trinidad Casasús introduce el concepto de derivadas parciales y su interpretación geométrica. A través de ejemplos y definiciones claras, explica cómo calcular derivadas parciales de funciones de varias variables, manteniendo constantes todas las variables excepto la que se deriva. También se aborda el concepto de gradiente como un vector que agrupa las derivadas parciales, destacando su relevancia como perpendicular al plano tangente de la superficie en un punto dado. La sesión concluye con una aplicación práctica de estos conceptos en funciones multivariables.

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Q & A

¿Qué es la derivada en una variable y cómo se interpreta geométricamente?

La derivada de una función en una variable es el límite del cociente de diferencias cuando el incremento tiende a cero. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto específico.

¿Cómo se calcula la derivada de una función de una variable?

La derivada de una función en un punto se calcula tomando el límite de la diferencia de las imágenes de los puntos cercanos, dividido entre la diferencia de sus coordenadas, cuando el incremento en la variable independiente tiende a cero.

¿Qué es la derivada parcial respecto a una variable en una función de dos variables?

La derivada parcial respecto a una variable se obtiene derivando la función con respecto a esa variable, manteniendo fija la otra. Es útil para estudiar el cambio de la función cuando una variable varía, mientras que la otra permanece constante.

¿Qué interpretación geométrica tiene la derivada parcial respecto a x en una función de dos variables?

La derivada parcial respecto a x se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la curva obtenida al cortar la superficie por un plano paralelo al eje y.

¿Cómo se calcula la derivada parcial de la función f(x, y) = x² + y?

Para calcular la derivada parcial respecto a x, tratamos y como constante. Derivamos x², lo que da 2x, y la derivada de y, tratada como constante, es cero. Así, la derivada parcial de f con respecto a x es 2x.

¿Qué sucede al calcular la derivada parcial respecto a y de f(x, y) = x² + y?

Cuando derivamos respecto a y, tratamos x como constante. La derivada de x² es cero, y la derivada de y es 1. Así que la derivada parcial de f respecto a y es 1.

¿Qué significa el gradiente de una función de varias variables?

El gradiente de una función de varias variables es un vector que contiene todas las derivadas parciales de la función. Este vector indica la dirección de mayor cambio de la función en un punto específico.

¿Cómo se calcula el gradiente de la función f(x₁, x₂, x₃) = cos(x₁) - 3x₂ + ln(x₃²)?

Para calcular el gradiente, se calculan las derivadas parciales respecto a cada una de las variables. La derivada parcial respecto a x₁ es -sin(x₁), respecto a x₂ es -3, y respecto a x₃ es 2/x₃.

¿Qué representa el gradiente geométricamente?

Geométricamente, el gradiente es un vector perpendicular al plano tangente a la superficie en el punto dado. Esto indica la dirección de mayor aumento de la función en ese punto.

¿Cómo se aplica la derivada parcial a una función de tres variables, como x³ + 2y² + z²?

Al calcular la derivada parcial respecto a x, tratamos y y z como constantes. La derivada de x³ es 3x². Para y y z, las derivadas parciales serían 0, ya que no dependen de x. El proceso es similar para derivar respecto a y o z.