Aplicaciones de los logaritmos en la vida cotidiana
Summary
TLDRLa leyenda del ajedrez y su relación con los logaritmos se explora en este script, que comienza con la historia de un sabio que pide una recompensa exponencial de trigo en un tablero de ajedrez, lo que resulta en una cantidad asombrosa que ni siquiera los graneros del mundo entero podrían proporcionar. Este ejemplo introduce la función exponencial y su inversa, la función logarítmica, que son esenciales para resolver problemas matemáticos de la vida real. Seguidamente, se presentan dos escenarios prácticos: Allison, una atleta, calcula cuánto tiempo le tomará a su cuerpo eliminar un medicamento para evitar un problema de dopaje, y Daniel, un joven que desea comprar un teléfono inteligente, evalúa cuánto tiempo le tomaría alcanzar su objetivo a través de la inversión en un banco con diferentes tasas de interés. Ambos usan logaritmos para encontrar la cantidad de tiempo requerida, destacando la relevancia de estos conceptos matemáticos en la toma de decisiones diarias.
Takeaways
- 🚀 La historia del ajedrez y la petición de un sabio por una recompensa exponencial muestra la potencia de la progresión geométrica.
- 🧮 Los logaritmos son la función inversa a las funciones exponenciales y son útiles para resolver problemas que involucran crecimientos o decay exponenciales.
- 🏃 Allison, la atleta, utiliza la función exponencial para modelar la cantidad de medicamento que queda en su cuerpo después de un tiempo determinado.
- 💊 Para calcular la cantidad de medicamento que Allison tendría en su cuerpo después de 7 horas, se utiliza el logaritmo para despejar la variable temporal en la ecuación proporcionada.
- 📱 Daniel considera la inversión en un banco como una opción para alcanzar su objetivo de comprar un teléfono inteligente, lo que lo lleva a utilizar la fórmula del valor futuro de un capital invertido.
- 🏦 Con la tasa de interés del 25% y del 30% en dos bancos diferentes, Daniel evalúa cuánto tiempo le tomaría alcanzar su objetivo utilizando la fórmula de interés compuesto continuo.
- 🔢 El uso de logaritmos naturales es esencial para encontrar el tiempo requerido para que la inversión alcance un monto específico cuando se tiene una tasa de interés dada.
- 📈 La función exponencial describe cómo una cantidad crece de manera rápida y no lineal, y es comúnmente encontrada en situaciones del mundo real que involucran crecimientos o multiplicaciones constantes.
- 🤔 La historia y los ejemplos proporcionados destacan la importancia de comprender los conceptos matemáticos para tomar decisiones informadas en la vida real.
- 🌐 Los logaritmos son una herramienta matemática poderosa que se puede aplicar en una amplia gama de contextos, desde la medicina hasta la inversión financiera.
- 🎓 El video resume la relevancia de los conceptos matemáticos en la toma de decisiones diarias y la resolución de problemas prácticos.
Q & A
¿Cuál es la historia detrás del ajedrez que se menciona en el transcripción?
-La historia menciona que el ajedrez fue inventado en la India por un súbdito del rey hindú de la época. El rey, impresionado por el juego, llamó al inventor para recompensarlo. El inventor solicitó una cantidad de trigo que duplicase por cada casilla del tablero de ajedrez, comenzando por un grano en la primera casilla.
¿Por qué el rey se irritó con la petición del inventor del ajedrez?
-El rey se irritó porque consideró que la recompensa solicitada por el inventor era muy pequeña y menospreciaba su generosidad. No entendió inmediatamente la magnitud de la cantidad de trigo que sería necesaria.
¿Cuál fue el resultado final de la cantidad de trigo que el sabio solicitó?
-El resultado final de la cantidad de trigo que el sabio solicitó fue 18 trillones 446 mil 744 millones 33 mil 709 millones 551 mil 615 granos, una cantidad tan grande que supera el almacenamiento total de trigo en los graneros del reino y en el mundo entero.
¿Cómo se relaciona la historia del ajedrez con los logaritmos?
-La historia del ajedrez se relaciona con los logaritmos a través de la función exponencial, que es la función inversa de la función logarítmica. La historia ilustra cómo una pequeña cantidad puede crecer exponencialmente rápidamente, similar a cómo los logaritmos ayudan a manejar cálculos de crecimiento exponencial.
¿Quién es Allison y cuál es su problema?
-Allison es una joven atleta que se lesionó durante su entrenamiento para los juegos nacionales. Su problema es determinar cuánto tiempo tardará un medicamento en desaparecer de su cuerpo para evitar problemas de dopaje en la competencia.
¿Cómo utiliza Allison los logaritmos para resolver su problema?
-Allison utiliza los logaritmos para resolver su problema al aplicar la fórmula que modela la cantidad de medicamento que queda en el cuerpo en función del tiempo. Aplica logaritmos para despejar la variable 't', que representa el número de horas después de la administración del medicamento.
¿Cuál es el resultado de la ecuación que Allison resuelve?
-El resultado de la ecuación que Allison resuelve es que aproximadamente siete horas después de administrado el medicamento, tendría en su cuerpo 2 miligramos, que es la cantidad permitida en una posible prueba de dopaje.
¿Quién es Daniel y cuál es su dilema?
-Daniel es una persona que tiene 280 mil colones y desea comprar un teléfono inteligente que cuestan trescientos mil colones. Su dilema es si debe seguir ahorrando o invertir su dinero en un banco para obtener una ganancia y así poder realizar la compra.
¿Cómo utiliza Daniel los logaritmos para decidir cuál es la mejor opción entre los bancos?
-Daniel utiliza los logaritmos para comparar las tasas de interés ofrecidas por dos bancos diferentes. Calcula el tiempo necesario para que su inversión duplique y llegue al monto necesario para comprar el teléfono, tomando en cuenta las tasas de interés y el tiempo.
¿Cuál es la conclusión de Daniel después de comparar las opciones de ahorro y la inversión en los bancos?
-Daniel concluye que la mejor opción es la que brinda el banco número 2, que ofrece una tasa de interés del 30%, lo que le permitiría alcanzar el monto deseado en aproximadamente 4 años, un año menos en comparación con el banco número 1.
¿Por qué los logaritmos son útiles para resolver problemas de la vida cotidiana?
-Los logaritmos son útiles para resolver problemas de la vida cotidiana porque permiten manejar cálculos de crecimiento o decay exponenciales, que son comunes en una amplia variedad de situaciones, desde la medicación hasta las finanzas personales. Facilitan la comprensión y el cálculo de ratios y proporciones en contextos muy diversos.
¿Qué proyecto se menciona en el transcripción para seguir aprendiendo más sobre los logaritmos?
-El proyecto mencionado en el transcripción es 'profe', que sugiere que podría ser una plataforma o iniciativa educativa en línea donde se ofrecen más videos y recursos para aprender sobre los logaritmos y otros conceptos matemáticos.
Outlines
😀 El ajedrez y la recompensa exponencial
Este párrafo cuenta una leyenda sobre el origen del ajedrez en la India y cómo un sabio demandó una recompensa exponencial por su invención. La historia muestra cómo una petición que parece modesta al principio puede resultar en una cantidad asombrosa al aplicar la lógica exponencial. Finalmente, se vincula esta historia con los logaritmos, introduciendo la función exponencial como la inversa del logaritmo, y se presentan ejemplos prácticos de su aplicación.
🏃 Atleta y medicamento: el uso de funciones exponenciales
Se relata el caso de Allison, una atleta que se lesionó y recibió un medicamento para curarse. Ella busca en internet cuánto tiempo le tomaría al medicamento salir de su cuerpo para evitar problemas en una posible prueba de dopaje. Se describe cómo Allison utiliza una función exponencial para modelar la cantidad de medicamento que queda en su cuerpo con el tiempo y cómo, aplicando logaritmos, calcula que después de aproximadamente siete horas, el medicamento en su cuerpo sería menor a la cantidad permitida en una prueba de dopaje.
📱 Daniel y la inversión bancaria: la tasa de interés continua
Daniel tiene una cantidad de dinero y desea comprar un teléfono inteligente. Considera la posibilidad de ahorrar o invertir en un banco para aumentar su capital. Se describe cómo Daniel evalúa diferentes tasas de interés ofrecidas por bancos para determinar cuánto tiempo le tomaría alcanzar el monto deseado para la compra. Utiliza la fórmula del valor futuro con interés compuesto continuamente para calcular el tiempo necesario en dos bancos con tasas de interés diferentes, y concluye que el banco número 2 ofrece una mejor opción para lograr su objetivo en aproximadamente cuatro años.
Mindmap
Keywords
💡Ajedrez
💡Función Exponencial
💡Logaritmos
💡Tasa de Interés
💡Ahorros a Plazo
💡Matemático Mayor
💡Jessica
💡Allison
💡Daniel
💡Dopaje
💡Interés Compuesto Continuo
Highlights
El ajedrez es un juego antiguo inventado en la India.
El rey hindú de la época se maravilló con el ajedrez y decidió recompensar al inventor.
El inventor solicitó una recompensa exponencial de trigo en el tablero de ajedrez.
El rey inicialmente consideró la recompensa como indigna y menospreciadora de su generosidad.
El matemático mayor de la corte reveló que la cantidad de trigo solicitada era enormemente grande.
La historia ilustra la función exponencial y su relación con los logaritmos.
Se presentó el ejemplo de Allison, una atleta que investigó la desaparición del medicamento en su cuerpo para evitar dopaje.
El medicamento se elimina exponencialmente y Allison usó una ecuación para calcular la cantidad restante.
Se utilizó el logaritmo común para resolver la ecuación y determinar el tiempo necesario.
Allison descubrió que después de aproximadamente siete horas, el medicamento estaría por debajo del límite permitido.
Daniel, con 280 mil colones, consideró la inversión en un banco para alcanzar el dinero necesario para un teléfono inteligente.
Las opciones de inversión ofrecidas por los bancos involucraron tasas de interés del 25% y 30%.
El valor futuro de la inversión fue calculado usando la fórmula de interés compuesto continuamente.
El logaritmo natural se aplicó para encontrar el tiempo requerido para alcanzar el monto deseado en la inversión.
Daniel descubrió que el banco número 2 ofrecía una mejor tasa de interés y un tiempo menor para alcanzar su objetivo.
Los logaritmos son útiles para resolver problemas cotidianos relacionados con la tasa de crecimiento o disminución exponencial.
El proyecto Profe ofrece más videos para aprender sobre aplicaciones prácticas de los logaritmos.
Transcripts
[Música]
ah
[Música]
el ajedrez es un juego antiquísimo y por
eso no es de extrañar que estén ligadas
a el leyendas cuya veracidad es difícil
comprobar el ajedrez fue inventado en la
india cuando el rey hindú de la época lo
conoció quedó maravillado de lo
ingenioso que era al enterarse de que el
inventor era uno de sus súbditos el rey
lo mandó llamar con objeto de
recompensarle personalmente por su
acertado invento el inventor se presentó
ante el soberano sabio
quiero recompensarte dignamente por el
ingenioso juego que has inventado dijo
el rey de la recompensa que te satisfaga
y la recibirás soberano dijo el sabio
manda que me entreguen un grano de trigo
por la primera casilla del tablero de
ajedrez un simple grano de trigo
contestó admirado el rey sin soberano
por la segunda casilla ordena que me den
dos
por la tercera cuatro por la cuarta 8
hasta interrumpe irritado rey recibirás
el trigo correspondiente a las 64
casillas del tablero de acuerdo con tu
deseo por cada casilla doble cantidad
que por la precedente pero has de saber
que tu petición es indigna de mi
generosidad al pedirme tan mísera
recompensa menosprecias irreverente mi
benevolencia retírate mis servidores te
sacarán un saco con el pedido que
solicitas el sabio sonrió abandonó la
sala y quedó esperando a la puerta del
palacio por la mañana comunicaron el rey
que el matemático mayor de la corte
solicitaba audiencia para presentarle un
informe muy importante antes de comenzar
preinforme le dijo el soberano quiero
saber si se ha entregado por fin al
sabio la mísera recompensa que ha
solicitado precisamente para eso me
atrevo
a presentarme tan temprano contexto del
anciano hemos calculado escrupulosamente
la cantidad total de granos que se ha
recibido el sabio resulta una cifra tan
enorme de prometido darle esa recompensa
y por lo tanto hay que entregársela
soberano no depende de tu nunca
discutirse la gente deseo en todos tus
graneros no existe la cantidad de trigo
que exige el sabio tampoco existe en los
graneros de todo el reino hasta los
graneros del mundo entero son
insuficientes el rey escuchaba lleno de
asombro las palabras del anciano sabio
dime cuál es esa cifra tan monstruosa
ojo soberano 18 trillones 446 mil 744
millones
33 mil 709 millones 551 mil 615
y qué buena historia por cierto yo soy
jessica y voy a trabajar con usted las
aplicaciones de los logaritmos y qué
tiene que ver esta historia con los
logaritmos este es un excelente ejemplo
de la función exponencial y recuerde que
la función exponencial es la función
inversa de la función logarítmica
acompáñenme a ver unos ejemplos
allison es una joven atleta que se está
preparando para competir en los juegos
nacionales mientras se entrenaba se
lesionó por lo que tuvo que acudir al
médico el cual al revisarlas la
tranquilizó informándole que no era nada
grave y que se recuperaría sin ningún
problema con el suministro de un
medicamento como la competencia estaba
tan próxima ella decidió investigar en
internet sobre cuánto tardaría el
medicamento en desaparecer del organismo
para que en el momento de la competencia
no se le presenten problemas por posible
dopaje
ella encontró que el medicamento se
elimina a través de la orina la cantidad
que queda en el cuerpo dependerá del
tiempo y que se puede modelar con una
función act es igual a 10 por 0.8 a la t
donde a de t es la cantidad del
medicamento que queda de horas después
de suministrado por lo que allison sería
la tarea de determinar después de
cuántas horas de administrado el
medicamento tendría en su cuerpo 2000
gramos que es lo permitido en una
posible prueba de dopaje
entonces se tiene que a dt en la
cantidad de medicamentos y es la
variable dependiente que son las horas
que viene a ser la variable
independiente como adt es igual a 2 se
debe determinar el valor de t
trabajando con la ecuación 2 es igual a
10 por 08 a la t despejamos dividiendo
entre 10 y simplificando obtenemos que
0.2 es igual a 0.8 a la t aplicando
logaritmo común a ambos lados obtenemos
que el logaritmo de 0.2 es igual al
logaritmo de 0,8 a la t y utilizando las
propiedades de los logaritmos tenemos
que logaritmo de 0 2 es igual a t por
logaritmo de 0.8
ahora dividiendo entre el logaritmo de
0.8 obtenemos que t es igual a 7,21
por lo tanto aproximadamente siete horas
después de administrado el medicamento
allison tendría en su cuerpo 2
miligramos que la cantidad permitida en
una prueba de dopaje que le pareció
vamos a ver otro ejemplo daniel tiene
ahora 280 mil colones y desea comprarse
un teléfono inteligente
cuyo precio ronda los trescientos mil
colones él piensa que puede seguir
ahorrando más para poder adquirirlo o
buscar una opción de invertir en un
banco lo que tiene para poder obtener
una ganancia y así realizar la compra
que desea
entonces se dio a la tarea de consultar
en varios bancos sobre los ahorros a
plazo para determinar si es viable
obtener el monto total a partir de lo
que ya tiene ahorrado y le presentaron
la siguiente opción si un monto inicial
pe se invierte a una tasa de interés
anual r compuesta continuamente durante
años el valor futuro es a igual
ape por el elevado al aire t en el banco
número 1 le dijeron que la tasa de
interés es de 25 por ciento por lo que
trabajando con la información brindada
tiene que a es igual a 300.000 p es
igual a 80 mil r es igual a 25 por
ciento que es lo mismo que 0.25
[Música]
sustituyendo la fórmula tenemos que
300.000 es igual a 80.000 por el elevado
a las 0.25 t despejamos dividiendo entre
80.000 obtenemos que 15 cuartos es igual
a y elevado a las 0.25 t
aplicando el logaritmo natural a ambos
lados obtenemos que logaritmo natural de
15 cuartos es igual a logaritmo natural
de elevado a las 0.25 t utilizando las
propiedades de los logaritmos tenemos
que logaritmo natural de 15 cuartos es
igual a 0.25 t por logaritmo natural de
y recordemos que el logaritmo natural de
equivale a 1 por lo que tendríamos que
logaritmo natural de 15 cuartos es igual
a 0.25 t y dividiendo entre 0.25
obtenemos que el valor de t es igual a
5.28 por lo tanto tardaría
aproximadamente cinco años por generar
el monto deseado en el banco número uno
en el banco número 2 le dijeron que la
tasa de interés es de 30% por lo que
tendría que a es igual a 300.000 p es
igual a 80.000 r es igual a 30% que es
lo mismo que 0,3 sustituyendo la fórmula
300.000 es igual a 80.000 por el elevado
a las 03 t
dividiendo entre 80.000 obtenemos que 15
cuartos es igual a y elevado a las 03 de
aplicando logaritmo natural a ambos
lados obtenemos que el logaritmo natural
de 15 cuartos es igual a logaritmo
natural de y elevado a las 03 esté
utilizando las propiedades de los
logaritmos tendríamos que el logaritmo
natural de 15 cuartos es igual a 0,3 t
por logaritmo natural de y dado que el
logaritmo natural de es igual a 1
tendríamos que el logaritmo natural de
15 cuartos es igual a 0 3 de
dividiendo entre 0 3 obtenemos que t es
igual a 4 41 es decir tardaría
aproximadamente 4 años en general
el monto deseado en el banco número 2 en
conclusión daniel observó que una buena
opción es la que brinda el banco número
2 sin embargo considera que es mejor
seguir hablando si quiere pronto su
celular como vimos los logaritmos son
muy útiles para resolver problemas de la
vida cotidiana siga viendo más vídeos
del proyecto profe en caso
[Música]
[Música]
Ver Más Videos Relacionados
5.0 / 5 (0 votes)