Teorema de Lagrange o del valor medio

estudiia
11 Jan 201309:42

Summary

TLDREste video explica el Teorema de Lagrange o del valor medio. Se destacan dos condiciones necesarias: la función debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). El teorema afirma que existe un punto c en el intervalo abierto donde la pendiente de la tangente es igual a la pendiente de la recta secante que conecta los extremos del intervalo. Se ilustra el teorema con un ejemplo usando la función f(x) = x², demostrando que la tangente en un punto es paralela a la recta y = 2x.

Takeaways

  • 😀 El teorema de Lagrange, también llamado teorema del valor medio, tiene dos condiciones importantes: la función debe ser continua en un intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto.
  • 📏 La función no puede ser derivable en los extremos del intervalo cerrado porque en esos puntos la tangente no está bien definida.
  • 🧮 El teorema de Lagrange establece que, si se cumplen las condiciones, existe un punto c en el intervalo abierto tal que la derivada en c es igual a la pendiente de la recta que une los extremos del intervalo.
  • 🔄 El teorema se puede visualizar como encontrar un punto donde la tangente a la curva es paralela a la recta que une los extremos del intervalo.
  • 🎨 En un ejemplo gráfico, se muestra una función continua y derivable con un intervalo [a, b], y se encuentra un punto c donde la tangente es paralela a la recta que conecta f(a) y f(b).
  • ⚖️ Un ejemplo práctico es demostrar que existe un punto en la función f(x) = x^2 tal que la tangente en ese punto es paralela a la recta y = 2x.
  • 💡 Este teorema generaliza el teorema de Rolle, donde la tangente en lugar de ser paralela a cualquier recta es paralela al eje x.
  • 📐 En el ejemplo, se demuestra que la función f(x) = x^2 cumple las condiciones de continuidad y derivabilidad en el intervalo cerrado [0, 2].
  • 🧮 Se halla que el valor de c en este ejemplo es 1, y por tanto el punto donde la tangente es paralela a la recta y = 2x es (1, 1).
  • 📊 El resultado final muestra que la recta tangente en el punto (1, 1) es paralela a la recta y = 2x, confirmando el teorema de Lagrange.

Q & A

  • ¿Cuáles son las dos condiciones que exige el teorema de Lagrange?

    -El teorema de Lagrange exige que la función sea continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).

  • ¿Por qué una función no puede ser derivable en los extremos de un intervalo?

    -Una función no puede ser derivable en los extremos de un intervalo porque en esos puntos hay infinitas tangentes posibles, lo que impide calcular una única tangente en dichos extremos.

  • ¿Qué nos dice el teorema de Lagrange?

    -El teorema de Lagrange establece que si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un punto c en (a, b) tal que la derivada en ese punto f'(c) es igual a la pendiente de la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

  • ¿Cómo se representa gráficamente el teorema de Lagrange?

    -Gráficamente, se traza la recta que une los puntos extremos (a, f(a)) y (b, f(b)), y se busca un punto c dentro del intervalo (a, b) donde la tangente a la curva sea paralela a dicha recta.

  • ¿En qué se diferencia el teorema de Lagrange del teorema de Rolle?

    -El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, donde además de las condiciones de continuidad y derivabilidad, se requiere que f(a) = f(b), lo que implica que la tangente en el punto c será horizontal (paralela al eje x).

  • ¿Cuál es el objetivo del ejemplo con la función f(x) = x² y la recta y = 2x?

    -El objetivo es demostrar que existe un punto c en la función f(x) = x² donde la tangente es paralela a la recta y = 2x, aplicando el teorema de Lagrange.

  • ¿Cómo se determina el punto c en el ejemplo de la función f(x) = x²?

    -Para determinar el punto c, se iguala la derivada de la función f'(x) = 2x con la pendiente de la recta (que es 2), lo que resulta en c = 1.

  • ¿Cuál es el valor de la coordenada y en el punto donde la tangente es paralela a la recta y = 2x?

    -El valor de la coordenada y se obtiene evaluando la función en c = 1, lo que da f(1) = 1² = 1. Por lo tanto, el punto es (1, 1).

  • ¿Qué representa geométricamente el punto c en el ejemplo?

    -El punto c representa el lugar en la curva donde la tangente es paralela a la recta dada (y = 2x), lo que confirma la aplicación del teorema de Lagrange.

  • ¿Por qué se cumple que f(x) = x² es continua y derivable en todo R?

    -La función f(x) = x² es un polinomio, y todos los polinomios son continuos y derivables en todo el conjunto de los números reales R.

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