PCSI - video 3 - SLCI cours asservissements - Partie2 : FT et schema blocs

Summary

The script discusses the Laplace transform's application in analyzing linear time-invariant systems. It covers the transform's properties, such as linearity, uniqueness, and the effects of differentiation and integration. The importance of system poles in determining response stability is highlighted. The script then transitions to modeling systems using block diagrams, emphasizing the shift from time-domain to Laplace domain for easier polynomial equation handling. It explains how system behavior is represented by transfer functions and how these functions are used in series and parallel block combinations. The concept of knowledge-based versus behavior-based modeling is introduced, and the script concludes with a discussion on manipulating block diagrams, including moving junction points and summing points, to simplify system analysis.

Takeaways

• 📚 The script discusses the use and manipulation of Laplace transforms, particularly focusing on system responses to inputs.
• 🔍 It emphasizes the importance of understanding the properties of Laplace transforms such as linearity, uniqueness, and the effects of differentiation and integration.
• 📉 The script explains how poles of a system's transfer function affect its response, with negative real poles leading to convergent responses and positive real poles leading to instability.
• 🔧 It covers the concept of system modeling, distinguishing between models based on knowledge of the system's equations (modeles de connaissances) and those derived from experimental behavior (modeles de comportement).
• 🔄 The script introduces the transformation of time-domain differential equations into s-domain polynomial equations, simplifying system analysis.
• 📈 It explains how to derive the transfer function of a system from its differential equation, which is crucial for analyzing system behavior in the s-domain.
• 🔗 The script discusses the representation of system behavior through block diagrams, highlighting the transition from time-domain to s-domain representations.
• 🔄 It details how to calculate the overall transfer function of a system when blocks are connected in series or parallel.
• 🔢 The script touches on the concept of feedback systems, explaining how to determine the closed-loop transfer function using the open-loop transfer function and the feedback factor.
• 🔀 It provides technical insights on how to manipulate block diagrams, including moving summing points or junctions, to simplify system analysis or to prepare for specific calculations.
• 📝 The script concludes by emphasizing the practical applications of these concepts in fields like electronics and physics, and the importance of these techniques for solving complex system behaviors.

Q & A

What is the primary focus of the video script?

The primary focus of the video script is to explain the use of Laplace transforms and block diagram manipulation for analyzing linear time-invariant (LTI) systems, particularly in the context of control systems and transfer functions.

What are the key properties of the Laplace transform mentioned in the script?

The key properties of the Laplace transform mentioned include linearity, uniqueness, differentiation (multiplication by p in the Laplace domain), and integration (division by p under initial null conditions). The final value and initial value theorems are also highlighted as important.

Why is it important to consider the location of poles in the Laplace domain?

The location of poles is crucial because it determines the stability of the system's response. A pole in the left half-plane (negative real part) results in a converging or damped response, while a pole in the right half-plane (positive real part) leads to an unstable or amplifying response.

What is a transfer function and how is it derived?

A transfer function is the ratio of the output to the input in the Laplace domain, describing the system's behavior. It is derived by transforming a system's governing differential equation into the Laplace domain, simplifying the equation into a polynomial form.

What advantage does using the Laplace transform offer when solving differential equations?

The Laplace transform converts differential equations into algebraic equations (polynomials), making it easier to solve complex systems by working with polynomials instead of differential terms. This significantly simplifies calculations, especially for higher-order systems.

How are blocks in a block diagram represented in the Laplace domain?

Blocks in a block diagram are represented in the Laplace domain using their transfer functions. Each block's transfer function relates the input and output, and the interactions between blocks (in series or parallel) are expressed using simple algebraic operations.

What is the procedure for combining transfer functions in series and parallel?

In series, transfer functions are multiplied to get the overall system transfer function. In parallel, the transfer functions are added. This allows for the simplification of block diagrams when analyzing complex systems.

What is a closed-loop transfer function, and how is it calculated?

A closed-loop transfer function describes the behavior of a system with feedback. It is calculated as the transfer function of the forward path divided by 1 plus the product of the forward and feedback transfer functions. This formula is derived using block diagram manipulation techniques.

How can block diagrams be rearranged while maintaining correct system behavior?

Block diagrams can be rearranged by carefully relocating summing points and pick-off points (junctions). When moving these points, the transfer functions need to be adjusted by either multiplying or dividing by appropriate factors to preserve the system’s input-output relationships.

What is the difference between a knowledge-based model and a behavior-based model?

A knowledge-based model is derived from known equations that describe the system, such as electrical circuit equations. A behavior-based model is based on the observed behavior of a system, typically used for systems where the internal workings (black box) are not fully understood.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Laplace Transform and its Properties

The paragraph introduces the use of Laplace transforms in system analysis, particularly for temporal responses. It revisits key properties like linearity, differentiation, and integration in the Laplace domain, highlighting how differentiation multiplies by 'p' and integration divides by 'p', under the assumption of null initial conditions. It stresses the importance of knowing basic transforms like steps, ramps, and Dirac functions. The stability of systems is also discussed, with poles in the left half of the complex plane leading to converging responses and poles in the right half resulting in instability, often producing amplified sinusoids.

05:01

🛠 Simplifying System Representation with Laplace Transforms

This section explores the use of Laplace transforms to simplify complex differential equations into polynomial forms, allowing for easier manipulation. It explains how a system's behavior, originally described by a differential equation, is transformed into a transfer function in the Laplace domain. The paragraph elaborates on the simplification provided by transfer functions (ratio of polynomials), emphasizing their advantages over solving differential equations directly in the time domain.

10:01

🔄 Block Diagrams in the Laplace Domain

This paragraph transitions to the use of block diagrams for system representation. It explains how each block corresponds to a transfer function derived from the system's behavior, transforming block diagrams into the Laplace domain for further analysis. The section also touches on the distinction between knowledge-based models (e.g., known electrical circuits) and behavior-based models (e.g., black-box systems). It suggests that the block diagrams and their associated transfer functions are more manageable in the Laplace domain.

15:02

⚙ Transfer Functions in Series and Parallel

This paragraph covers how to compute the overall transfer function when blocks are arranged in series or parallel. For series arrangements, the total transfer function is the product of the individual block functions, while for parallel arrangements, the total transfer function is the sum. This method simplifies the determination of the global system behavior and leads to the calculation of closed-loop transfer functions in feedback systems.

Keywords

💡Laplace Transform

The Laplace Transform is a mathematical tool used to convert a time-domain function into a frequency-domain function, making differential equations easier to solve. In the video, it's introduced as a key concept for simplifying the analysis of systems, especially in relation to system response and transfer functions. The transform plays a crucial role in converting differential equations into algebraic equations that are more manageable.

💡Transfer Function

A transfer function represents the relationship between the input and output of a system in the frequency domain. It is derived from the Laplace Transform of the system's differential equations. In the video, the transfer function is emphasized as a key tool for understanding system behavior, particularly for analyzing and predicting a system's response to various inputs.

💡Poles

Poles are specific values of the complex variable 's' (in the Laplace domain) where the transfer function becomes infinite. They play a crucial role in determining the stability and behavior of the system. In the video, poles are discussed in the context of system response, where having poles with negative real parts leads to stable, converging responses, while positive real poles lead to instability.

💡Initial and Final Value Theorems

These theorems provide a way to determine the initial and final behavior of a system based on its Laplace Transform. The video highlights the importance of these theorems for analyzing the system's response without needing to solve the full time-domain equation, allowing engineers to predict how a system will start and end its behavior.

💡Block Diagram

A block diagram is a graphical representation of a system, showing its components and their interconnections. Each block represents a subsystem with a specific transfer function. In the video, block diagrams are used to simplify the analysis of complex systems by breaking them down into manageable components, where each block has a known behavior in the Laplace domain.

💡Series and Parallel Blocks

Series and parallel blocks refer to the configuration of subsystems in a block diagram. Series blocks are connected one after another, and their overall transfer function is the product of individual transfer functions. Parallel blocks, on the other hand, have their transfer functions summed. In the video, these configurations are important for understanding how different subsystems contribute to the overall system behavior.

💡System Stability

System stability refers to whether the system’s response converges to a steady state or diverges over time. Stability is closely tied to the location of the system's poles in the complex plane. The video explains that poles with negative real parts ensure stability, while positive real parts can cause exponential growth, leading to instability.

💡Causal System

A causal system is one in which the output depends only on current and past inputs, not future inputs. In the video, causality is a key condition for physical systems, and the transfer functions are constructed to reflect this, with more terms in the denominator (representing the system’s response) than in the numerator (representing the input).

💡Model of Knowledge vs. Model of Behavior

A 'model of knowledge' represents a system using well-understood equations and principles, such as known circuit equations. A 'model of behavior,' however, is derived from observed system behavior, often when the system’s internal workings are not fully known. The video makes a distinction between these two modeling approaches, especially when dealing with complex or 'black box' systems.

💡Feedback Loop

A feedback loop involves feeding a portion of the system's output back into the input to control the system's behavior. In the video, the feedback loop is essential for maintaining stability and improving performance, especially in systems like speed regulators. The video also introduces the concept of open-loop and closed-loop systems, with feedback playing a key role in the latter.

Highlights

The discussion focuses on the use and manipulation of Laplace transforms, particularly in the context of system responses.

Key properties of Laplace transforms are reviewed, including linearity, uniqueness, differentiation, and integration.

The importance of initial conditions in Laplace transforms is emphasized, especially when dealing with differentiation and integration.

The final value and initial value theorems are introduced as crucial concepts in Laplace transform analysis.

The concept of poles in the Laplace domain is explained, and their significance in determining system stability is discussed.

The behavior of systems with real positive poles is described, leading to unstable system responses.

The transformation of a system's behavior equation into the Laplace domain is explained, simplifying differential equations into polynomial relations.

The definition of transfer function or transmittance is provided, highlighting its role in describing the input-output relationship of a system.

The causality principle is mentioned in relation to transfer functions, ensuring the system's response is consistent with real-world physical constraints.

The process of decomposing a system into blocks and deriving their individual behavior equations is outlined.

The difference between knowledge-based models and behavior-based models is explained, with examples provided for each.

The concept of modeling a technical system is discussed, emphasizing the importance of isolating and dividing the system into subsystems.

The calculation of overall system transfer functions when blocks are connected in series or parallel is detailed.

The formula for determining the transfer function of a closed-loop system using the forward path and feedback path transfer functions is introduced.

The significance of the Bode plot in analyzing system stability and behavior is mentioned.

Technical aspects of block diagram manipulation, such as moving junction points and summing points, are discussed.

The impact of moving blocks on the system's transfer function is explained, with specific rules for moving blocks upstream or downstream.

The concept of transforming a closed-loop system into an equivalent open-loop system for analysis is discussed.

The practical applications of these concepts in control systems and electronics are highlighted.

Transcripts

aujourd'hui nous allons nous intéresser

après avoir vu l'outil transformé de la

place nous allons nous intéresser à son

utilisation et la manipulation des

schémas bloque donc on

on pourra ensuite étudié les réponses

temporel alors un petit point sur ce

qu'il faut savoir de la transformer de

la place comme on l'a dit dans la vidéo

précédente

les relations les propriétés d'unicité

de linéarité la dérivation et

l'intégration quand on dérive on

multiplie par p quand on intègre ondes

et on divise par p sous réserve de

conditions initiales nul très important

les théorèmes des valeurs finale et

initiale le théorème du retard à avoir

osé prendre sa tête savoir ce que c'est

qu'un dira qu' un échelon et puis

connaître les transformer de la place

usuelle des échelons rampe exponentielle

et d'irak

on rappelle donc ce que l'on ce sur quoi

on s'est quittés sur la dernière vidéo

que le pôle d'un élément

deux fonctions de transfert en réponse à

un d'irak va nour est très important

dans le sens où si l'on à un pôle à

partir et est négative la réponse va

converger

elle sera soit une exponentielle

amortissent il n'y a pas de partie

complexe soit une sinusoïde avec une

enveloppe amortissent il ya une partie

complexe tandis que ce que l'on ne

souhaitera pas c'est avoir un pôle réel

positif dès qu'on a un pôle réel positif

l'an réponse à un échelon la sortie va

être instable soit sinusoïde soit

constante soit exponentielle amplifié et

dans la plupart des cas pour un complexe

quelconque une sinusoïde amplifié donc

le la partie du plan que l'on s'autorise

c'est d'avoir des pôles à partir est

elle négative alors on repart de la

caractéristique d'un bloc d'un blog la

chaîne à bloc

régis par une équation de comportement

donc le comportement des systèmes mono

variable linéaire continue invariants et

peut être représentée par une équation

différentielle de ce type là on l'a déjà

dit et donc la loi entre la relation

entre l'entrée et la sortie est régi par

cette équation différentielle résoudre

une équation différentielle c'est pas

facile d'autant plus si l'ordre des

dérivés sur la sortie et l'entrée est

grand et vous ne savez pas faire en

revanche si l'autre passe cette équation

temporelle dans le domaine de la place

sous réserve des conditions initiales

nul sur l'entrée et la sortie et leurs

relais et leurs dérivés relatif on

arrive à une relation polynomiale en

effet à 0 s de thé devient à 0 s2p à un

dérivé de s devient à 1 p x s est ainsi

de suite jusqu'à la dérive et des iem à

des dérives et des iem le temporel égale

adp puissance des fois s de la même

manière qu'au côté de l'entrée des 0,1 c

0e est un dérivé temporel 2e devient

dans le domaine de la place p 1 p 3e et

ainsi de suite jusqu'à cette dérive et

énième bn dérivés énième 2e c'est bnp

puissance n x e

tout ceci mi temps mis en facteurs nous

permet d'avoir une équation polynomiale

et travaille avec des polynômes vous

allez le voir c'est beaucoup plus facile

qu'avec des dérivés temporel ensuite à

partir de cette équation

on va pouvoir définir le rapport sorti

sur entrée que l'on appelle fonction de

transfert ou transmittance aussi appelé

transmittance nous utiliserons la

plupart du temps le la dénomination

fonction de transfert

la dénomination transmittance et bien

souvent beaucoup plus adapté aux parce

que aux études que vous ferez en

physique et en particulier en

électronique

donc suite à cette équation on trouve

facilement cette fonction de transfert

sortie sur entrée et donc un rapport de

paulino toujours n inférieur à des

imposés par le principe de causalité

donc on aura un polynôme donc plus élevé

au dénominateur que numérateur ainsi

notre le système qui était décrit par

une équation différentielle devient donc

simplement maintenant définie par une

fonction de transfert alors les

notations sont largement allégé vous en

être convaincu et l'intérêt c'est que

pour calculer la sortie dans le domaine

de la place il n'y a qu'à faire la

multiplication de la fonction de

transfert fois l'entrée de par la

définition de la fonction de transfert

tandis que dans le domaine temporel

balle équations différentielles on

savait pas la résoudre

alors une fois dit ceci et bien on

reprend la démarche initiée dans le

premier cours et dans l'illustration sur

le régulateur de vitesse on a décomposé

notre système en différents blocs et

pour chacun des blocs une équation de

comportement nous a permis d'avoir une

loi reliant l'entrée et la sortie d'un

bloc soit très simple on a obtenu un

gain la sortie est un gain linéaire un

coefficient fois l'entré soi avec un

travail comme on vient de le préciser

précédemment on a modélisé par une

équation différentielle son comportement

l'entrée et la sortie et on arrive dans

le domaine de la place à une fonction de

transfert qui caractérise le transfert

entre sorties sur entrée et donc ceci

pour tous les blogs que l'on a étudié on

peut mener ces études là on obtient donc

un schéma bloc qui ne sera plus

uniquement un schéma bloc de principe

avec le nom des constituants qui ne sera

pas un schéma bloc de principe avec les

équations différentielles à l'intérieur

des blocs temporel mais un schéma bloc

dans le domaine de la place les grandes

heures des changes entre les blocs sur

les liens seront donc exprimé dans le

domaine de la place et dans les blocs

ont l'indiquent les fonctions de

transfert des constituants dans le

domaine de la place petit retour sur la

notion de modélisation pour modéliser un

système technique il faut et c'est ce

qu'on a fait dans l'introduction

intuitive mais du coup on le redit la en

cours on isole de façon globale le

système on le découpe en sous système

alors bien évidemment grâce aux outils

diagramme ci saml bdd et ib dès le

passage de schémas bloc est facilité

puis disposant du schéma bloc bas on

associer à chacun des soucis c'est un

modèle de connaissance ou un modèle de

comportement un modèle on va ici donc

faire le point sur modèle de

connaissances et modèles de comportement

donc tout ceci c'est ce que je viens de

dire aussi précédemment

l'idée ici c'est de distinguer un modèle

de connaissance d'un modèle que deux

comportements

alors si le système réel et très très

bien connu est modélisé par des modèles

très classique très simples comme ici un

circuit

rl eh bien on peut proposer un modèle de

connaissance il ya la connaissance que

l'on a du système réel par un ensemble

d'équations de systèmes d'équations que

l'on transposera dans le domaine de la

place très facilement comme c'est le cas

ici

pour ceux-ci l'url en revanche si notre

système est du type boîte noire c'est à

dire que l'on ne connaît pas ce qu'il ya

à l'intérieur on ne va pas pouvoir

proposer modèle de connaissances pour

modéliser un tel système

c'est ce que l'on fera en tp on va

proposer une entrée on va imposer une

entrée à ce système

par exemple ici un échelon et on va

identifier travailler sur la mesure de

la sortie que l'on va en fait suite à

une connaissance

issu du comportement on va pouvoir

modéliser le système etc on appelle sans

que ceux-ci un modèle de comportement un

modèle issu du comportement expérimental

observé donc voilà la différence entre

modèles de connaissances je connais le

système j'ai un système d'équations je

peux proposer un modèle est un modèle de

comportement issus de l'observation d'un

comportement expérimental

donc revenons à nos schémas bloc dans

chacun des blocs on a donc un modèle de

connaissances ou de comportement issu de

la modélisation que l'on fait et de ce

que l'on peut connaître sur le système

pour pouvoir utiliser ces blocs il faut

un petit point sur le calcul le calcul

lorsqu'on a des associations du bloc

alors lorsqu'on a des associations de

blocs en série ici x un tronçon

transfert h1 des knicks depuis fonction

transfert age ii d'onyx trois pistes

fonction de transfert h32 y la fonction

de transfert qui permet le transfert

global entre x1 et y donc est

représentée ici en pointillés va être le

produit de h1 h2 h3 en effet si on

l'écrit y égale h 3 x 3 or x3 égal h2x 2

or x2 et ganache un x1 si on combine ces

trois équations n'aura bien y égale h 3

x h deux fois à chaque fois x1 donc

fonction de transfert h en série produit

des fonctions de transfert des blocs en

série lorsque les blogs sont en

parallèle

bien évidemment on va en faire la somme

donc si j'ai une entrée x chi x h un dan

y ait un barrage de john y de parage 3

donne y 3,6 ensuite j'additionne c3 y y

pour avoir y est bien la fonction de

transfert équivalente h permettant le

transfert depuis x jusqu'à y va bien

évidemment être à jeun plus sage de plus

h 3 en effet y égale la somme des h 10

or chacun des d y est pardon or chacun d

y y

voa chi x x donc y égale h un poids x

plus h 2 x x + hb 3 x x donc le bloc

équivalent h égale y 1h un pardon plus h

2 + h3 lorsque les blogs sont en

parallèle on some les fonctions de

transfert

ceci nous permet donc de

de revenir et de déterminer la fonction

transfert d'un système en boucle fermée

grâce à ses petits calculs à un système

avec une entrée une sortie une chaîne

direct un retour qu'à boucler donc on

considère éventuellement qu'ici bas

c'est la fonction de transfert associé à

un capteur la fonction de transfert et

qui bat équivalentes j'ai faisant le

lien entre l'entrée et la sortie s va

être exprimées par la fonction de

transfert en chaîne direct h / un plus

la fonction de transfert en boucle

ouverte h k en effet il faudra mener un

petit calcul et ça nous le ferons en

classe de petits calculs pour démontrer

cette formule de black que je vient

d'illustrer nous en reparlerons en

classe la fonction de transfert en

boucle ouverte par définition c'est la

fonction de transfert

lorsque l'on ouvre la boucle est donc

c'est la fonction de transfert reliant

la sortie du comparateur à son retour

aux comparateurs j'ouvre la boucle et je

fais le lien de comparateurs à

comparateur la fonction de transfert en

boucle ouverte

on va noter souvent ft bo est ici h x

cas on en reparlera en classe entière

pour parler de la formule de black

dernier dernier point technique sur la

manipulation des schémas bloc il est

possible de déplacer des points de

jonction ou des sommateurs alors sur la

première ligne là on a trois schémas

bloc équivalent un schéma de départ pour

lequel s et galbées x v v égal à foix eu

w égal c'est v si je veux des place et

ce point de jonction vers l'amont donc

le mettre en amont et le maître ici eh

bien il va

que deviennent les blocs alors il me

faut toujours avoir les relations que

l'on a on viens de dire est que vous

avez écrite s et galbées à une et puis w

galles c'est à lui donc comme et ses

galbes et a pu

il nous faut le garder s et galbées à la

question et que devient ce bloc là si je

déplace le point ici

alors il me faut toujours w égal c'est a

pu comme je prends un point de fonctions

directement sur rue il me faut à fois

c'est dans ce bloc si je veux déplacer

dans l'aval le maître ici je veux

toujours avoir s et galbées a eu je ne

change pas cette chaîne direct par

contre il me faut w égal à ces put donc

w égal à c ur

il faut / b x c'est dans ce bloc là donc

c'est sûr b le raisonnement que l'on

vient de mener

il est il ne prend pas beaucoup de temps

à être menées régulièrement si on a

besoin de déplacer des blocs

vous pouvez néanmoins retenir que quand

on déplace vers l'amont on va multiplier

par le blog dont le retour là et quand

on déplace vers l'aval eh bien on va

diviser par le bloc que l'on

que l'on passe même chose linux ou pour

les sommateurs si j'ai ce schéma de

départ s et galbées fois epsilon or

epsilon égale v - m

avec v égal à u n égale cw vous pouvez

l'écrire ça nous donne s et galbées

parenthèse à une - cw si je veux des

place et le sommateurs vers l'amont

premier première proposition là que

faut-il mettre ici eh bien je vérifie

que la proposition propres indiqué juste

j'ai bien s et galbées à une - bcw c'est

bien la même chose que la s et galbées a

pu - bcw quand on développe le facteur

que l'on a cité tout à l'heure de la

même manière si je veux des place et le

le sommateurs vers l'aval je vais donc

avoir besoin toujours d'avoir s égale b

a eu donc ici me faut mettre il faut

sortir le bloc b et le mettre là et puis

la même manière sortir le bloc b et le

maître ici s et galp et a eu moins bcw

donc de la même manière quand on a un

déplacement si nécessaire deux blocs de

point de jonction ou de sommateurs on

n'hésite pas à réécrire localement les

petite équation reliant les variables

pour s'assurer que la solution qu'on

propose est bien juste

on peut donc dans tous les cas à partir

du système bouclé précédent le ramener à

un système bouclé avec un retour unis

d'un ski aura certains avantages en

particulier pour utiliser des abaques

des courts près des courbes prédéterminé

comme on le verra par la suite

ainsi le schéma précédent où on avait h

dans la chaîne direct et cas dans la

chaîne de retour si jamais je veux un

retour

enchaîne direct je vais donc mettre ici

qu'à x h qui reste la boucle ouverte la

boucle ouverte n'a pas changé la chaîne

du comparateur aux comparateurs et

toujours car x h et pour pouvoir bien

m'en sortir

et bien je vous invite à vérifier que en

mettant un sur cas ici on a bien les

mêmes relations reliant l'entrée et la

sortie

voilà pour la fin de ce point sur les

systèmes linéaires continuer