LA DERIVADA Y LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Summary
TLDREn este video se aborda la aplicación de la derivada para encontrar la pendiente de una recta tangente a una curva, destacando su interpretación geométrica. A través de un ejemplo práctico, se enseña cómo calcular la ecuación de la recta tangente utilizando la derivada por incrementos, también conocida como derivada de los cuatro pasos. El proceso se explica paso a paso, resolviendo dos casos: para los puntos (-2,1) y (0,0), y mostrando cómo sustituir los valores en la fórmula para obtener la pendiente de la tangente en ambos puntos.
Takeaways
- 📐 La derivada tiene una interpretación geométrica como la pendiente de la recta tangente a la curva de una función.
- 🔢 Para encontrar la pendiente en un punto específico, se deriva la función y se sustituye el valor de x.
- ✏️ Con la pendiente y el punto conocido, se puede determinar la ecuación de la recta tangente.
- 📊 Ejemplo: Dada la función f(x) = x³ - 3x, se pide encontrar la tangente en los puntos (-2,1) y (0,0).
- 📖 La derivada puede obtenerse utilizando la fórmula general por incrementos, también conocida como derivada de los cuatro pasos.
- 📉 En el proceso de derivada por incrementos, se encuentra f(x+h), se resta f(x), se divide entre h, y se aplica el límite cuando h tiende a cero.
- 🧮 La pendiente de la tangente para el punto (-2,1) es 9, y la ecuación de la tangente es 9x - y + 19 = 0.
- 📐 Para el punto (0,0), la pendiente de la tangente es -3, y la ecuación resultante es 3x + y = 0.
- 🔄 El método alternativo usa directamente el valor del punto en la fórmula de la derivada por incrementos desde el inicio.
- ✔️ Ambos métodos son válidos, pero el primero permite mayor flexibilidad para utilizar diferentes puntos en la curva.
Q & A
¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada?
-La derivada se interpreta geométricamente como la pendiente de una recta tangente a la curva de una función en un punto determinado.
¿Qué se necesita para encontrar la pendiente de la tangente en un punto específico?
-Se necesita la derivada de la función y el valor de la coordenada x del punto en el que se desea encontrar la pendiente.
¿Cómo se calcula la derivada de una función utilizando la fórmula de incrementos?
-La derivada utilizando incrementos se calcula con la fórmula del límite cuando h tiende a cero de [f(x+h) - f(x)] / h, lo que representa la razón de cambio promedio entre dos puntos que se van acercando.
¿Cuáles son los pasos para calcular la derivada por incrementos?
-Los pasos son: 1) Encontrar f(x+h), 2) Restar f(x), 3) Dividir el resultado entre h, y 4) Aplicar el límite cuando h tiende a cero.
¿Cómo se obtiene f(x+h) en este ejemplo?
-Se sustituye x por (x+h) en la función original, es decir, f(x) = x³ - 3x, y se desarrolla el binomio para obtener f(x+h).
¿Qué sucede al aplicar el límite cuando h tiende a cero?
-Al aplicar el límite, los términos que contienen h se eliminan, quedando solo los términos en función de x, lo que da como resultado la derivada final.
¿Cómo se encuentra la ecuación de la recta tangente en un punto dado?
-Una vez obtenida la pendiente de la tangente, se usa la fórmula punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1), donde m es la pendiente y (x1, y1) es el punto dado.
¿Qué pendiente tiene la tangente en el punto (-2, 1)?
-La pendiente de la tangente en el punto (-2, 1) es 9, obtenida al sustituir x = -2 en la derivada 3x² - 3.
¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en el punto (-2, 1)?
-La ecuación de la recta tangente en el punto (-2, 1) es 9x - y + 19 = 0.
¿Cuál es la pendiente de la tangente en el punto (0, 0)?
-La pendiente de la tangente en el punto (0, 0) es -3, obtenida al sustituir x = 0 en la derivada 3x² - 3.
Outlines
📐 Explicación de la derivada y su interpretación geométrica
En este párrafo se introduce la aplicación de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva de una función. Se explica cómo al derivar una función se obtiene su pendiente para cualquier valor de x. También se menciona que, si conocemos un punto específico, podemos sustituir el valor de x en la derivada para hallar la pendiente de la recta tangente en ese punto. Finalmente, se presenta un ejemplo en el que se pide encontrar la tangente a la curva de una función cúbica, con dos incisos que solicitan la ecuación de la recta tangente en dos puntos diferentes.
🧮 Desarrollo de la derivada por el método de incrementos
Este párrafo detalla el proceso de cálculo de la derivada por el método de incrementos o derivada de los cuatro pasos. El primer paso consiste en encontrar f(x+h) utilizando la estructura de la función original. El autor reemplaza x por (x+h) en todos los términos de la función cúbica. Luego, se desarrolla el binomio y se simplifican las expresiones utilizando la propiedad distributiva.
➗ Continuación del proceso de derivada: Resta y división
Aquí se realiza el segundo paso, que es restar la función original de f(x+h) y simplificar. Se menciona que hay dos maneras de representar la resta: en una sola línea o de manera vertical. Después de realizar la resta, se pasa al tercer paso, que consiste en dividir el resultado entre h. El autor recomienda factorizar h para simplificar la división, lo que resulta en una expresión simplificada que se utilizará en los siguientes pasos.
🧑🏫 Aplicación del límite y cálculo de la pendiente de la tangente
En este párrafo se realiza el cuarto paso, que es aplicar el límite cuando h tiende a cero para simplificar la expresión obtenida en el tercer paso. El resultado final es la pendiente de la tangente en cualquier punto de la curva. Luego, se procede a sustituir el valor de x del punto dado (en este caso, x = -2) en la fórmula para obtener la pendiente específica en ese punto, que resulta ser 9. A partir de esta pendiente, se utiliza la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta tangente.
📊 Ejemplo de sustitución en la fórmula punto-pendiente
Se sustituye el valor de la pendiente obtenida (9) y las coordenadas del punto (-2, 1) en la fórmula punto-pendiente para obtener la ecuación de la recta tangente. Tras resolver las operaciones, se llega a la ecuación final: 9x - y + 19 = 0. Esta es la ecuación de la recta tangente en el punto (-2, 1) y se menciona cómo se graficaría esta tangente. Luego, se introduce el inciso b, que pide la tangente en el punto (0, 0), y se repite el proceso para este nuevo punto.
📉 Cálculo de la tangente en el punto (0, 0)
Para resolver el inciso b, se sustituye x = 0 en la derivada obtenida previamente, resultando en una pendiente de -3. Se utiliza nuevamente la fórmula punto-pendiente para hallar la ecuación de la tangente en el punto (0, 0), que es 3x + y = 0. Finalmente, se menciona que una pendiente negativa inclina la recta hacia los cuadrantes 2 o 3, mientras que una pendiente positiva la inclina hacia los cuadrantes 1 o 4.
🔀 Método alternativo para derivar directamente en un punto
Se describe un método alternativo para derivar, que consiste en sustituir el valor de x desde el principio en la fórmula de la derivada de los cuatro pasos. Este método es más directo, pero requiere rehacer todo el proceso si se desea calcular la tangente en un nuevo punto. Aunque no se desarrolla completamente el ejemplo, se menciona que el resultado final es el mismo que con el método explicado anteriormente. Este enfoque puede ser más eficiente si solo se necesita calcular la tangente en un punto específico.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Pendiente
💡Recta tangente
💡Límite
💡Función cúbica
💡Derivada por incrementos
💡Ecuación de la recta
💡Fórmula punto-pendiente
💡Razón de cambio promedio
💡Punto de tangencia
Highlights
La derivada se interpreta geométricamente como la pendiente de una recta tangente a la curva de una función.
Al derivar una función, obtenemos su pendiente para cualquier valor de x.
Para obtener la pendiente de la recta tangente en un punto específico, es necesario sustituir el valor de x en la derivada.
La fórmula de la derivada por incrementos utiliza el límite cuando h tiende a cero para obtener la pendiente.
En el ejercicio se pide encontrar la recta tangente a la curva de una función cúbica, f(x) = x³ - 3x, en dos puntos: (-2,1) y (0,0).
La derivada por incrementos también se conoce como la derivada de los cuatro pasos.
El primer paso consiste en encontrar f(x+h) sustituyendo x por (x+h) en la función original.
El segundo paso es restar la función original de f(x+h).
El tercer paso es dividir el resultado del segundo paso entre h, lo cual puede simplificarse mediante factorización.
El cuarto paso es aplicar el límite cuando h tiende a cero para obtener la pendiente de la tangente.
En el punto (-2,1), la pendiente de la tangente es 9, obtenida al sustituir x=-2 en la derivada.
La ecuación de la recta tangente se obtiene usando la fórmula punto-pendiente, y para el punto (-2,1) es: 9x - y + 19 = 0.
En el punto (0,0), la pendiente de la tangente es -3, obtenida al sustituir x=0 en la derivada.
La ecuación de la recta tangente para el punto (0,0) es: 3x + y = 0.
Existen dos métodos para resolver este tipo de problemas: la derivada por incrementos y otro método más directo que utiliza la derivada desde el inicio, sustituyendo los valores del punto en cuestión.
Transcripts
hola a todos el día de hoy resolveremos
un problema de aplicación de la derivada
una de sus aplicaciones de es que la
derivada es equivalente a la pendiente
de una recta tangente a la curva de una
función esa es su interpretación
geométrica entonces si conocemos una
función al derivar lo que obtendremos
será su pendiente pero para cualquier
valor de x sin embargo si además
conocemos un punto podemos sustituir el
valor de x en esa en ese resultado de la
derivada y obtendremos la pendiente de
la recta tangente para ese punto un
específico una vez que tenemos la
pendiente y conocemos además el punto
podemos encontrar la ecuación de la
recta veamos cómo se resuelve veamos el
siguiente ejemplo
dice encuentro la tangente a la curva de
la función
efe de x iguala x cúbica menos 3x es una
función pública cuya gráfica tenemos acá
de este lado un bosquejo de ella
y además nos dan en el inciso a los
piden la ecuación de la recta que pasa
por el punto menos 21 que sería este
esta marcador además nos piden en el
inciso b la ecuación de la recta para
gente que pasa por un punto 0,0 que
sería este otro
entonces bueno
primero hay dos formas de resolver los
dos caminos en este caso lo voy a
resolver por ambos caminos para que cada
quien ustedes elija cuál prefiere la
derivada se puede obtener de dos maneras
para empezar la derivada es o puede
obtener por la fórmula general o es
decir la derivada por incrementos o
también conocida como derivada de los
cuatro pasos ese es el camino largo
además existe el otro camino que todavía
no hemos conocido que es la derivación
por fórmula por lo pronto vamos a
resolver este ejercicio por la derivada
de incrementos porque algo que hasta
ahorita hemos manejado entonces la
derivada por incrementos utilizan la
fórmula general que dice así derivada de
10 sobre de x que es representada
derivada o que también le podemos llamar
pendiente de la vez
con gente que en este caso lo que nos
interesa es iguala el límite cuando h
tiende a cero para la función
incrementada
- la función original y todo dividido
entre h que se recuerdan a la distancia
horizontal que separa a dos puntos en
una cuerda
y decir que h tendré que no quiere decir
que esos dos puntos cada vez están más
cerca y entonces en lugar de ser una
recta zt se convierte en una oferta de
gente aquella recta que une a ambos
puntos bueno entonces lo que tenemos que
hacer es seguir este este procedimiento
que conocemos merma por incrementos o
derivadas de los cuatro pasos entonces
el paso 1 va a ser
el paso alguno va a ser encontrar f de x
más a donde nos vamos a encontrar bueno
pues vamos a aliarnos con una función
original esto que está acá esta es la
función que vamos a utilizar y con su
estructura lo que vamos a hacer ahora es
determinar fx + h a qué me refiero con
eso bueno fíjense de la estructura dice
así x cubita pero aquí en lugar de x voy
a dejar el espacio que quede elevado al
cubo aquí adentro originalmente idioma x
pero voy a dejar el espacio y luego la
estructura dicen menos 3 x de igual
manera aquí adentro y espacio x
de tres partes pero en lugar de poner
aquí lo voy a sustituir por otro valor
que este valor va a ser x + h en todos
los lugares donde existía x ahora lo
también por el valor x + h bueno ese es
el primer paso y de una vez en que
estamos ahí vamos desarrollando esta
estas operaciones este sobrenombre el
cubo y esta es una multiplicación usamos
la propiedad distributiva entonces vamos
desarrollando este binomio y nos
quedaría cubo del primer término más
triple producto del cuadrado del primer
término por el segundo más triple
productos del primer término por el
cuadrado del segundo término
más jugo del segundo término
luego aquí aplicando una propia
distributiva multiplicamos en menos 3
por ambos términos de el paréntesis y
nos queda menos 3 x menos 3 h bueno ahí
he terminado el primer paso
que para esa parte de este nuevo
el paso 2 va a ser restar la original
entonces aquí hay dos formas de
representar reales puede escribirlo aquí
abajo que es la forma en la que yo
prefiero hacerlo pero también se puede
escribir acá estelar
yo prefiero hacerlo así restar - x
ubicar
y más 3x nada
recuerden que a perdón acá estoy
equivocada
nada más recuerden que cuando restamos
una función siempre cada uno de esos
términos queda con signo contrario
entonces yo prefiero acomodar los así en
forma vertical y resolver la resta aquí
y decimos x publican menos x kubica nos
da cero entre menos 3 x 3 x 2 a 0 pero
también pudieron haberla escrito a cada
iluminados y se les facilita más o menos
x kubica más 3 x es exactamente lo mismo
debe representar la resta en un solo
renglón y restar términos semejantes con
ellos o representar la resta en forma
vertical con ustedes
de igual de cualquiera de los otros
caminos que utilicen de todas formas el
resultado de esto nos va a quedar 3x
cuadrada h
+ 3
kubica menos 3
y ya terminé de resolver el segundo paso
el tercer paso es dividir ese resultado
entre h entonces voy a hacer esa
división tercer paso dividir todo
se hace todo lo que está
el resultado del segundo paso todo esté
dividido de la siguiente manera 3 x 3 x
3 ante todo eso entre h entonces vigente
de verdad poder dividiendo de uno por
uno o también mejoramos puedo factorizar
término como un h
entonces hagamos eso es más es más
fácil de identificar qué se debe decir
entonces aquí el término común h h por
3x cuadradas más h por 3x h más h por h
cuadrada menos h por 3 para que me dé
todo esto de nuevo si una vez que falta
dice lage pues es mucho más fácil
dividir h / h recuerden que al dividir
el resultado es un entero y algún entero
no se escribe lo pueden haber dejado
arriba o abajo pero no se escribe así
que no es necesario nos queda por lo
tanto 3x cuadrada más 3
h más cuadrada menos
recuerden que el resultado del tercer
paso siempre será la razón del cambio
promedio que también equivale a la
pendiente de una recta secante y
entonces esta ecuación de acá me da como
resultado la república me promedio en
caso de que me lo preguntaran o también
me sirve para encontrar la pendiente y
más rectas delante en caso
bueno pero no nos preguntan eso nos
preguntan en la pendiente de la tangente
entonces voy al cuarto paso en el cuarto
paso es donde aplicó el límite con
marketing de acero para todo lo que me
quedó del tercer paso que fue esto de
aquí entonces va a límite cuando se
tiende a cero para 3x cuadrada más 3x h
más así kubica menos 3 entonces lo que
voy a hacer es donde hay h voy a
sustituir con un cero por lo tanto aquí
me queda a cero que multiplica 3x fuera
es todo esto se hace cero igual que h
que ubicar también se hace será por lo
tanto el resultado de ese paso me va a
quedar así
me va a quedar 3x cuadrada menos 3
este resultado es la razón del cambio
instantánea
y también es la pendiente de una recta
tangente pero para cualquier valor de x
es decir yo puedo usar el valor de x2 y
sustituirlo aquí y obtener la pendiente
para
punto o puede usar el cero y sustituirlo
aquí y voy a obtener la pendiente para
este
de esta forma este camino es lo que nos
permite usar varios puntos de la misma
curva sin necesidad de estar haciendo el
procedimiento claves si entonces bueno
una vez que ya tengo eso ya nada más es
cuestión de sustituir el punto de
obtengo like entonces después lo voy a
ver los continuamos ahora vamos a
sustituir bueno entonces me había
quedado que del cuarto paso la pendiente
en la recta tangente está por 3x
cuadrado menos 3 ese pueblo es otro que
obtuvimos entonces ahora lo que vamos a
hacer para el decisor es sustituir el
valor de x igual a menos 2 de dónde sale
ese menos después de la coordenada en x
del punto por lo tanto vamos a encontrar
la pendiente de la tangente sustituyendo
ese menos 2 en el resultado de la
derivada
esta función
entonces esto nos quedaría así menos 2
al cuadrado son 4 por 3 son 12 menos 39
por lo tanto ese 9 es la pendiente de la
tangente que pasa por este punto
una vez que tengo la pendiente ya puedo
encontrar la ecuación de la tangente la
ecuación de la recta
esta baja por hay varias fórmulas
dependiendo de los datos que conozco
pero en este caso me va a funcionar la
fórmula punto pendiente que dice así
hermanos yo uno es igual a gm por x men
2 x 1 donde x 1 y 1 son el punto
conocido y m es la pendiente que acabo
de obtener
entonces si estoy aquí es x sumo ninguno
y esta es la m que conozco que en este
caso su valor las 9 pero vamos a
sustituir y en la ecuación quedaría si
bien menos yogur no es igual a m
x
- x1 entonces aquí es menos por menos
bueno voy a resolver estas estas
operaciones de al menos 1 es igual a una
vez lo multiplicó por ambos términos del
paréntesis sería el 9 x quedamos que
aquí se va a volver más 29
y ahora lo que sigue es igualar esa
ecuación a 0 dejando todos los términos
del mismo lado del igual en este caso
siempre se deja se mantiene la equis
positiva
diferencias entonces como la 9 x está
positivo lo que voy a hacer esto todos
estos dos términos mandarlos para este
lado entonces va a quedar así 9 x la y
que estaba positiva va a pasar restando
menos en menos uno va a pasar sumando a
18 entonces marcar más 19 y van a ser
bueno
esta es la ecuación
de la recta
tangente al punto
- y ahora dónde está esa recta si la
gráfica más así en un bosquejo de la
recta debe ser tangente a este punto
entonces quedaría actuación
ahora veamos el hechizo en este caso nos
están dando puntos 0,0 y de igual manera
nos piden la ecuación de la renta
tangente que pasa por ese punto entonces
como ya tenemos la derivada que es estar
aquí 3x cuadra dándonos atrás para el
inciso ver lo que hacemos es utilizar el
valor x igual a 0 que es la coordenada
del punto que me están dando y lo voy a
sustituir de nuevo en la serie en la
ecuación del marcador para la pendiente
de la tangente entonces puede sustituir
aquí 3 0 al cuadrado una industria en
este caso bueno todos todos ceros en el
cuadrado 0 por 3 sigue siendo cero
entonces la pendiente de la tangente en
para este punto es menos 3
y lo que vamos a hacer ahora es
sustituir de nuevo en la ecuación de la
recta llamada punto pendiente por título
nos hemos dependiente y conocemos las
coordenadas del punto x 1 y 1 entonces
vamos a hacer eso de nuevo nos queda 10
menos de 1 es igual a m por x menos x 1
aquí como nos quedaron dos ceros pues
está muy fácil de resolver nos quedaría
menos menos tres por igual menos tres
por equis queda menos 3x y eso es todo
cómo podemos escribirlo todo igualando a
cero buscando siempre que el término con
x que da positivo entonces ahora esto lo
vamos a pasar para el otro lado del
igual iba a pasar con signo contrario
operación contraria aquí está restando
va a pasar sumando entonces va a quedar
3x más 10 igual a cero y esta es la
ecuación de la recta para gente que pasa
por el punto cero como cero
que decir las personas pueden sería éste
recuerden que una pendiente positiva
quiere decir que la recta está inclinada
hacia él hacia el cuadrante 114 y una
pendiente negativa quiere decir que la
está inclinada hacia los cuadrantes 2 o
3
bueno ahora ese es el camino que yo
recomiendo para resolverlos pero hay
otro camino que también se puede
utilizar vamos a ver cómo se ve eso
bueno ahora les mencionar que existe un
cambio alternativo que podemos utilizar
para resolver este mismo ejercicio para
obtener la ecuación de la recta tangente
a la curva de una función dado y punto
en este caso menos 2.1 y podemos usar
este camino de nuevo volvemos a la
fórmula de la derivada de los cuatro
pasos que también es equivalente a la
pendiente de la gente
entonces aquí lo que haríamos es desde
un inicio utilizar el valor del punto de
la coordenada x x ivana menos 2 en este
caso y lo que haríamos es sustituir la x
desde un inicio aquí en la fórmula de
los cuatro pasos no lo voy a resolver
todo porque ya se ve el objetivo del
procedimiento pero esto quedaría así la
pendiente de la tangente es igual al
límite cuando antes tiende a cero
efe de aquí en lugar de poner x8
usaríamos el valor de x menos 2 h
- efe - 2 de nuevo sustituyendo
y lo que haríamos sería resolver los
cuatro pasos igual que ya sabemos para
con estos valores o sea
[Música]
nos quedaría en la siguiente manera voy
a usar la función original la estructura
de ella y me quedaría aquí en lugar de x
el valor del valor que voy a usar
elevado del jugó menos 3 x en lugar de
xx su valor cuál es
[Música]
luego
sigue desarrollar esto luego restarle la
original que serían 3 - 2 es decir poner
aquí en menos dos menos dos nos daría
- 2 al 1 - 3 - 2
efe del -2 sería por lo tanto menos 8
611 menos 2 también si entonces bueno
eso sería ir sustituyendo todo por
valores numéricos y al final nos daría
un resultado numérico que nos debe
volver a dar exactamente el mismo que
nos dio con el camino anterior que
para terminar pero ya para que se
enumera ese es un camino alternativo
camino a nuestra mente este cambio de
nombre gusta porque no me permite
utilizar otro punto este camino es
exclusivamente para el punto 1 2 1 y si
quiere usar el punto 0,0 entonces tengo
que empezar de nuevo otra vez desde acá
y por una hora cero - h
efe de cero y resolver otra vez todo
desde el principio entonces a mí por eso
me parece mejor utilizar sin sustituir
el valor de x y hasta el final hasta que
ya tengo el resultado el cuarto paso
entonces es sustituir
pero bueno eso ya depende de cada quien
como les parezca mejor o se les facilite
espero haberles ayudado muchas veces
hasta luego
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