Límites por racionalización 1

Summary

En este vídeo se aborda el cálculo de límites utilizando la técnica de racionalización. Se presenta un ejercicio específico: calcular el límite cuando Z tiende a 2 de la función (3z - 6) / (1 - raíz(4z - 7)). Al evaluar el límite directamente, se obtiene una forma indeterminada 0/0. Para resolverlo, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, resultando en una diferencia de cuadrados. Posteriormente, se simplifica y se factoriza para eliminar la indeterminación, obteniendo un resultado numérico específico cuando Z tiende a 2.

Takeaways

• 📘 El vídeo trata sobre el cálculo de límites utilizando la técnica de racionalización.
• 🔍 Se presenta un ejercicio específico para calcular el límite de la función 3z - 6 / 1 - raíz(4z - 7) cuando z tiende a 2.
• 🤔 Al sustituir z=2 en la función, se obtiene una forma indeterminada 0/0, lo que indica que no se puede calcular el límite de manera directa.
• 📚 Se recuerda que la racionalización es útil cuando se tienen raíces en la función, lo que es el caso en el ejercicio.
• 🔢 Se multiplica la función por el conjugado del denominador para racionalizar y eliminar la raíz.
• 📐 Se lleva a cabo una operación algebraica para simplificar la expresión y obtener una diferencia de cuadrados.
• 🔄 Se identifica un factor común en el numerador y denominador para simplificar la expresión y eliminar la forma indeterminada.
• 📉 Se evalúa el nuevo límite después de simplificaciones y se encuentra que el límite es -3 cuando z tiende a 2.
• 📝 Se enfatiza la importancia de evaluar los límites paso a paso y realizar cancelaciones adecuadas para obtener el resultado.
• 📖 Se destaca que la técnica de racionalización es una herramienta valiosa para resolver límites con raíces y formas indeterminadas.

Outlines

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📘 Introducción al Límite y Racionalización

El primer párrafo presenta un ejercicio de cálculo de límites utilizando la técnica de racionalización. Se describe el proceso de evaluación del límite directo y la identificación de una forma indeterminada '0/0'. Se explica que para resolver este tipo de límites, se puede aplicar la racionalización, que es especialmente útil cuando las funciones involucran raíces. Se detalla el proceso de multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado para racionalizar el denominador, que contiene una raíz cuadrada.

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🔍 Proceso de Racionalización y Factorización

El segundo párrafo profundiza en el proceso de racionalización, detallando cómo aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados para simplificar el denominador. Se menciona la importancia de manejar correctamente los signos, especialmente cuando hay un negativo ante un paréntesis. Además, se aborda la factorización como un paso adicional para simplificar la expresión, permitiendo la cancelación de términos y la obtención de un límite determinista en lugar de indeterminado.

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🔢 Evaluación Final y Resultado del Límite

El tercer párrafo concluye el proceso de cálculo del límite al evaluar la expresión racionalizada en el punto de indeterminación. Se realiza la sustitución de la variable y se simplifica el resultado hasta obtener un valor numérico específico. Se enfatiza la importancia de evaluar los límites paso a paso y la necesidad de repetir el proceso si es necesario para obtener un resultado claro. Finalmente, se presenta el resultado del límite cuando Z tiende a 2, que es -3.

Keywords

💡Límite

El límite es un concepto fundamental en el cálculo que se refiere a la tendencia de una función cuando su variable se acerca a un cierto valor. En el vídeo, el límite es el objetivo principal de estudio, ya que se busca encontrar el comportamiento de la función cuando 'Z tiende a 2'. Esto se ve reflejado en la expresión 'límite cuando Z tiende a 2'.

💡Racionalización

La racionalización es una técnica utilizada en el cálculo para simplificar expresiones algebraicas que contengan radicaciones. En el vídeo, se menciona la racionalización como la técnica para resolver el límite cuando aparece una forma indeterminada, es decir, cuando el numerador y el denominador tienden a cero simultáneamente.

💡Forma indeterminada

Una forma indeterminada es una expresión algebraica que parece no tener un valor definido, como 0/0 o ∞/∞. En el vídeo, se identifica que el límite a evaluar está en una forma indeterminada '0 entre 0', lo que indica que se requiere una técnica especial para resolverlo.

💡Conjugado

El conjugado es una expresión algebraica que se obtiene intercambiando los signos de los términos de una expresión original. En el vídeo, se utiliza el conjugado para racionalizar el denominador de la función, cambiando el signo que separa los elementos, lo que permite la simplificación de la expresión.

💡Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es una fórmula algebraica que se aplica cuando se tiene un término elevado al cuadrado menos otro término elevado al cuadrado. En el vídeo, se menciona la diferencia de cuadrados como una técnica para simplificar el denominador después de aplicar la racionalización.

💡Factor común

Un factor común es un número o variable que se divide igualmente entre dos o más números o expresiones. En el vídeo, se busca un factor común en el numerador y el denominador para simplificar la expresión, lo que finalmente ayuda a resolver el límite.

💡Factorización

La factorización es el proceso de escribir una expresión como el producto de sus factores. En el vídeo, se sugiere la factorización como una posible solución para resolver la forma indeterminada que se presenta después de la racionalización.

💡Sustitución

La sustitución es el acto de reemplazar una variable en una expresión por un valor específico. En el vídeo, la sustitución se menciona como un paso inicial para evaluar si el límite es directo o si presenta una forma indeterminada.

💡Algebraización

La algebraización es el proceso de transformar una expresión para que se pueda manejar algebraicamente. En el vídeo, se habla de pasar a un ejercicio algebraico después de aplicar la racionalización, lo que implica una algebraización del denominador.

💡Cancelación

La cancelación es el proceso de eliminar términos iguales de ambos lados de una ecuación o expresión. En el vídeo, la cancelación se menciona como un paso para simplificar la expresión después de la factorización, lo cual es crucial para resolver el límite.

Highlights

Se aborda un ejercicio de cálculo de límites usando la técnica de racionalización.

El ejercicio consiste en calcular el límite de la función 3z - 6 / 1 - raíz(4z - 7) cuando z tiende a 2.

Al evaluar el límite directamente, se obtiene una forma indeterminada 0/0.

Se decide aplicar la técnica de racionalización debido a la presencia de una raíz cuadrada en la función.

Se multiplica la función por el conjugado del denominador para racionalizar.

La multiplicación de fracciones resulta en un nuevo numerador y denominador.

Se identifica que el denominador puede ser expresado como una diferencia de cuadrados.

Se aplica la fórmula de la diferencia de cuadrados para simplificar el denominador.

Se observa que aún se mantiene una forma indeterminada después de la simplificación.

Se sugiere la posibilidad de factorización para eliminar la forma indeterminada.

Se extrae el factor común del numerador y del denominador.

Se cancelan los términos comunes en el numerador y denominador.

Se evalúa el nuevo límite después de la cancelación y se obtiene un resultado numérico específico.

Se concluye que el límite de la función cuando z tiende a 2 es -3/2.

Se enfatiza la importancia de evaluar los límites paso a paso para obtener resultados precisos.

Transcripts

Hola a todos Espero se encuentren bien

en esta ocasión estaremos abordando un

ejercicio sobre límites que puede ser

resuelto mediante la técnica de

racionalización el ejercicio dice lo

siguiente calcule el límite cuando Z

tiende a 2 de la función 3z - 6 sobre 1

- ra cu de 4z - 7 para ello recordemos

que lo primero que debemos hacer es

evaluar el límite para ver si

corresponde a un límite directo o si

presenta alguna forma indeterminada para

ello pues basta con tomar el valor al

cual tiende la variable y sustituirlo

acá en la función en este caso si

hacemos pues esa evaluación observen que

sería 3 * 2 - 6 Pero bueno 3 * 2 -6 nos

estaría dando eh cer0 en el numerador y

para el denominador tendríamos 1 - 4

Perdón 1 - la ra 4 * 2 - 7 Pero bueno 4

* 2 aquí nos estaría dando 8 a 8 le

restamos si y quedamos en uno por lo

tanto tendríamos que sería la raíz

cuadrada de 1 que da 1 y 1 - 1 Pues

también nos estaría dando cer entonces

vean que estamos en el caso de la forma

indeterminada

0 entre c0 recordemos que pues esta es

una de las

formas que se puede presentar en en un

límite ahora qué podemos hacer para

resolver este límite Bueno lo que

podríamos hacer para resolver este

límite es aplicar precisamente la

técnica de racionalización porque

pensamos en racionalización bueno porque

tenemos en la función una raíz verdad

tenemos ese elemento que es la raíz y

precisamente la racionalización Pues nos

ayudaba en ese tipo de ejercicios donde

aparecían raíces Entonces vamos a

aplicar esa idea de de racionalización

por acá vamos a copiar Entonces el

ejercicio que es límite cuando Z tiende

a 2 y vean que la función que nos

brindan es 3z - 6 y 1 menos la

raíz de 4 Z

- Qué vamos a hacer entonces Bueno vamos

a aplicar Ahora sí la técnica de

racionalización vamos a racionalizar el

denominador que es donde tenemos la raíz

para ello Recuerden que como es una raíz

cuadrada vamos a

aplicar el conjugado es decir el mismo

término pero cambiando el signo que

separa los elementos Entonces vamos a

multiplicar por esta misma

expresión pero en lugar de poner un

menos

separándolas pues ahora va a ser un más

Esa es la técnica que vamos a aplicar en

este ejercicio que es la técnica de

racionalización para qué hacemos Esto

bueno vean que ya acá caemos en un

ejercicio que se va mucho a lo a lo

algebraico verdad Tenemos que trabajar

este límite algebraicamente Entonces

vamos a realizar esa multiplicación de

fracciones observen que si hacemos esa

multiplicación de

fracciones en el numerador nos estaré

quedando 3 Z -

6 multiplicado por toda esta expresión

que ya habíamos dicho pero en lugar del

menos ya habíamos dicho que era el más

entonces esa sería el numerador de

nuestra nueva fracción y Quién sería el

denominador bueno el denominador sería

este paréntesis esta

expresión que corresponde a este

denominador multiplicada con esta

expresión que vean que es exactamente la

misma idea solamente que pues en lugar

de tener un menos tenemos un más

entonces eso es lo que tenemos hasta el

momento ya tenemos el numerador y el

denominador de de esta nueva fracción

qué podemos hacer En este punto bueno

observemos que este denominador si

nosotros quisiéramos

desarrollarlo corresponde a una

diferencia de

cuadrados Okay entonces por ahí nos

vamos a ir una diferencia de cuadrados

porque

Recuerden que cuando nosotros teníamos

de materia de precálculo a + b * a - b

eso podíamos abordarlo y resolverlo como

a a la 2 - B a la 2 y es que eso es lo

que tenemos acá tenemos un paréntesis

con menos y un paréntesis con más

entonces identifiquemos quién es a Y

quién es B bueno en este caso vean que

este uno sería nuestro a y est la raíz

sería nuestro B eso es lo que tenemos

que identificar por el momento Entonces

qué Vamos a hacer en el siguiente paso

Bueno vamos a mantener nuestro

límite vamos a mantener nuestro

numerador igual a ese no le vamos a

aplicar ningún cambio y lo que vamos a

hacer es aplicarle la fórmula notable a

este denominador Pero bueno aplicarle la

fórmula notable a ese denominador es

Elevar al cuadrado de a pero Elevar

cuadrado del a sería Elevar al cuadrado

del 1 o sea nos da

uno menos por la fórmula de diferencia

de cuadrados y dice que elevemos al

cuadrado el B pero ya habíamos dicho que

el B elevado al cuadrado es la raíz Pero

bueno qué pasaba cuando

4 Z - 7 Y acá mucho cuidado con el

paréntesis Por qué ponemos paréntesis

bueno porque hay un menos delante y es

que recordemos que un menos delante de

una

expresión afecta los signos de todo lo

que viene de ahí en adelante entonces

claro todo este paréntesis se va a ver

afectado por culpa de este menos en este

sentido si hacemos el cambio de signos

vean que por acá el 4z estaba positivo

Ahora nos va a quedar

negativo y por

acá el

-7 Pues nos va a pasar a algo positivo

verdad Entonces nos va a quedar como un

+ 7 si nosotros hacemos esta operación

que tenemos por

acá vean Entonces a lo que estaremos

llegando de hecho vamos a copiar este

mismo y solo Vamos a trabajar con el

denominador si trabajamos con el

denominador observen que sería términos

semejantes 1 + 7 Pues eso nos daría 8 y

el -4 Z lo dejamos quietecito por ahí

Entonces estamos llegando a - 4z + 8 sin

embargo aquí todavía se sigue

presentando la forma indeterminada y

claro no hemos eliminado el término que

hace que esto pues se nos

indina Entonces tenemos que ver si es

posible aplicar alguna factorización

alguno de estos paréntesis es que bueno

si ustedes se fijan es posible aplicar

factorización al primer paréntesis que

tenemos en el numerador que corresponde

es por qué Porque Qué tienen a factor

común esos dos términos tienen un tres a

factor

común si sacamos el TR a factor común

Entonces nos estaría quedando Z verdad

de acá sacamos el TR y de acá sacamos el

TR y nos estaría quedando un

-2 y de la misma manera podríamos

aplicar un factor común al denominador

porque vean que ambos números Eh pues

presentan un factor común que

corresponde a cuatro entonces podemos

sacar ese factor común y además para que

los signos vayan coincidiendo con esto

En lugar de sacar un cuarto factor común

Podríamos sacar un

-4 Por qué bueno Porque si yo quito el

-4 de acá si lo sacamos a factor común

vean que nos quedaría Z Y si saco de acá

un

-4 pues entonces vean que nos quedaría

-2 y vean ahí donde se nos

da los paréntesis iguales entonces

cancelamos y ahí nos estamos deshaciendo

Entonces de esa forma indeterminada Qué

nos está quedando en este punto entonces

Bueno nos está quedando límite cuando Z

tiende a 2 d y en el numerador nos está

quedando 3 multiplicado por y vean que

nos queda todo este paréntesis igual a

ese no le estamos haciendo ningún ningún

cambio y que nos estaría quedando en el

denominador bueno vean que en el

denominador nos estaría quedando

solamente

un

-4 entonces en el momento en que usted

realiza esta

cancelación puedes evaluar nuevamente el

límite a ver si ya ahora sí pues te da

un resultado específico puede ser que en

algunos casos no baste con con hacer una

cancelación sino que tal vez tenemos que

hacer una segunda cancelación Pero bueno

por es es ir es importante ir evaluando

los límites Entonces si nosotros acá

hacemos la evaluación vean que nos queda

ahí 3 multiplicado por 1 más la raíz de

4 y sustituyo a la z por 2 y le resto

7 sobre

-4 Pero bueno vean que esta raíz en

particular sería la raíz de 8 - 7 que es

1 o sea la raíz de 1 pero la raíz de 1

ya sabemos que da 2 Entonces esto sería

Perdón un más bien estaba pensando en el

resultado de la suma entonces 1 más y la

raíz de de 1 da

1 y por acá tenemos el -4 entonces vean

que puesde aquí queda meramente algo

numérico que sería por cierto 3 * 2

Entre -4 podemos aplicar ahí una

simplificación Mitad y Mitad y y

llegamos a que el resultado entonces de

este límite corresponde a -3 Med de esta

manera entonces podemos asegurar que

cuando la variable

Z tiende a 2 esta función se va

acercando cada vez más a este valor de

-3 Med