1. Ecuación diferencial de variables separables

MateFacil

9 Jun 201606:40

Summary

TLDREn este vídeo tutorial de 'Mate Fácil', se resuelve una ecuación diferencial separable paso a paso. Se explica cómo separar las variables y manipular la ecuación para integrar ambos lados, obteniendo una solución en términos de una constante por x. Luego, se despeja la variable y se verifica la solución sustituyendo en la ecuación original. Se anima a los espectadores a practicar resolviendo ecuaciones similares y se invita a dejar comentarios para dudas o sugerencias.

Takeaways

📘 La ecuación diferencial que se resuelve es una ecuación separable.
🔄 Se reescribe la ecuación para separar las variables, colocando todas las 'x' en un lado y todas las 'y' en el otro.
✏️ Se utiliza la propiedad de que 'y' prima (la derivada de 'y') es igual a 'y' dividido por 'x'.
🔄 Se multiplica por 'x' para alinear los términos y se obtiene una nueva ecuación.
🧮 Se integran ambos lados de la ecuación para encontrar la función 'y'.
📐 Se recuerdan las integrales inmediatas para resolver la ecuación, utilizando el logaritmo natural.
📉 Se despeja la constante de la ecuación para encontrar 'y' en función de 'x'.
🔢 Se menciona que las constantes resultantes pueden ser cualquier número y se les puede asignar una sola constante para simplificar.
🔄 Se pasa el logaritmo natural al otro lado de la ecuación como una exponencial para despejar a 'y'.
✅ Se verifica la solución sustituyendo la función 'y' en la ecuación diferencial original y se confirma que la solución es correcta.
📚 Se invita a los espectadores a practicar resolviendo ecuaciones diferenciales similares para mejorar su comprensión.

Q & A

¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el vídeo?
-Se resuelve una ecuación diferencial separable.
¿Cómo se identifica una ecuación diferencial como separable?
-Una ecuación diferencial es separable si se puede organizar de tal manera que todas las variables 'x' están en un lado y todas las variables 'y' en el otro lado.
¿Qué significa 'y prima' en el contexto del vídeo?
-'y prima' representa la derivada de la función 'y' con respecto a 'x'.
¿Cómo se convierte 'y prima' en una fracción en el vídeo?
-Se escribe 'y prima' como 'dy/dx', la cual se interpreta como una fracción donde 'dx' es el denominador.
¿Cuál es la estrategia para separar las variables en la ecuación diferencial mostrada?
-Se multiplica todo lo que está a la derecha por 'dx' y se pasa todo lo que está a la izquierda por 'dy', para que las 'x' queden en un lado y las 'y' en el otro.
¿Qué operaciones se realizan después de separar las variables?
-Se integran ambos lados de la ecuación, lo que implica encontrar las integrales inmediatas de 'dy/y' y 'dx/x'.
¿Cuál es la integral inmediata de 'dy/y'?
-La integral inmediata de 'dy/y' es 'ln|y| + C1', donde 'C1' es una constante de integración.
¿Cómo se despeja 'y' en la solución obtenida en el vídeo?
-Se isola 'y' eliminando las constantes del lado derecho de la ecuación y utilizando las propiedades de los logaritmos.
¿Qué significa 'despejar y' en el contexto de la solución de ecuaciones diferenciales?
-Despejar 'y' significa aislar 'y' en el lado izquierdo de la ecuación para obtener una expresión que represente la solución.
¿Cómo se verifica que la solución obtenida es correcta?
-Se verifica sustituyendo la solución en la ecuación diferencial original y asegurándose de que los dos lados de la ecuación sean iguales.
¿Cuál es la importancia de hacer ejercicios al final de cada vídeo mencionada en el guion?
-La importancia de hacer ejercicios es para que los estudiantes prueben y apliquen lo que han aprendido, lo que ayuda a fortalecer su comprensión y habilidades para resolver ecuaciones diferenciales.

Outlines

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📘 Resolución de una ecuación diferencial separable

En este primer párrafo, se explica cómo resolver una ecuación diferencial separable. Se comienza por escribir la ecuación y separar las variables, dejando todas las 'x' en un lado y todas las 'y' en el otro. Luego, se integran ambos lados de la ecuación para obtener una expresión en términos de 'y' y 'x'. Se destacan las integrales inmediatas y cómo se manejan las constantes al despejar la variable 'y'. Finalmente, se sugiere que la constante resultante puede ser simplificada a una sola constante, y se ofrece una forma alternativa de escribir la solución utilizando las propiedades de los exponentes y los logaritmos.

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📗 Verificación de la solución y desafío para el espectador

En el segundo párrafo, se describe cómo verificar la solución de la ecuación diferencial obtenida en el párrafo anterior. Se explica que se debe derivar la solución para sustituirla en la ecuación original y comparar ambos lados para confirmar la corrección de la solución. Además, se invita a los espectadores a intentar resolver una ecuación diferencial simple por sí mismos como ejercicio, prometiendo que en el siguiente vídeo se resolverá dicho ejercicio para verificar sus resultados. Se cierra el vídeo pidiendo likes, suscripciones y compartir los videos, y se invita a los espectadores a dejar comentarios con preguntas o sugerencias.

Mindmap

Keywords

💡ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una que implica una relación entre una función y sus derivadas. En el vídeo, se resuelve una ecuación diferencial separable, que es un tipo de ecuación diferencial en la que la función y sus derivadas pueden ser alineadas en ambos lados de la igualdad para facilitar la resolución. Se menciona que la ecuación diferencial resuelta en el vídeo es una ecuación separable, lo que indica que se puede resolver reorganizando términos para que todas las 'x' estén en un lado y todas las 'y' en el otro.

💡separable

Una ecuación diferencial separable es aquella que se puede dividir en dos funciones, una de 'x' y otra de 'y', que se pueden integrar por separado. En el vídeo, se utiliza este concepto para resolver la ecuación diferencial inicial, permitiendo que el proceso de integración sea más sencillo y directo, como se ve cuando se dice 'eso significa que podemos dejar todas las x de un lado y todas las del otro lado'.

💡integrar

El integrar es el proceso de encontrar una función cuya derivada es otra función dada. En el vídeo, se menciona el proceso de integrar ambos lados de la ecuación diferencial una vez que se han separado las variables. Se ilustra cómo se integran 'de entre y' y 'x entre x', obteniendo logaritmos naturales, que son funciones que resultan de integrar ciertas expresiones.

💡logaritmo natural

El logaritmo natural es el logaritmo de una cantidad con la base e (una constante matemática aproximadamente igual a 2.71828). En el vídeo, se menciona que la integral de 'de entre y' resulta en el logaritmo natural más una constante, lo cual es un resultado típico de la integración de funciones de la forma 1/x.

💡constante

Una constante en matemáticas es un valor que no cambia. En el contexto del vídeo, las constantes surgen al integrar ambos lados de la ecuación diferencial y se mencionan explícitamente como 'constante 1' y 'constante 2'. Más adelante, se muestra cómo estas constantes pueden combinarse en una sola constante, 'c3', para simplificar la notación.

💡despejar

Despejar una variable significa aislarla en un lado de la ecuación para resolver por esa variable. En el vídeo, se describe el proceso de despejar 'y' al final de la integración, restando las constantes al lado derecho de la ecuación y pasando la constante al lado izquierdo, obteniendo una expresión más simple para 'y'.

💡exponencial

Una función exponencial es una que sigue la forma a^x, donde 'a' es una constante. En el vídeo, se utiliza el concepto de función exponencial para despejar el logaritmo natural, pasando la ecuación del lado izquierdo a una forma exponencial. Esto se ilustra cuando se dice 'para quitar un logaritmo natural lo que hacemos es pasarlo al lado derecho como exponencial'.

💡funciones inversas

Dos funciones son inversas si la aplicación de una seguida de la otra produce el resultado original. En el vídeo, se menciona que el logaritmo natural y la función exponencial son inversas, lo que significa que se pueden cancelar cuando están juntos, como se ve en la parte donde se pasa del logaritmo natural a la exponencial.

💡condiciones impuestas

Las condiciones impuestas son restricciones o valores específicos que se aplican a una ecuación para determinar valores exactos de las constantes. Aunque en el vídeo no se menciona el uso de condiciones impuestas para resolver la ecuación diferencial en cuestión, se hace referencia a cómo estas condiciones pueden afectar el valor de las constantes en otros problemas.

💡solución final

La solución final es la respuesta obtenida después de resolver completamente una ecuación o problema. En el vídeo, la solución final de la ecuación diferencial se presenta como 'y igual a c por x', lo cual es una forma simplificada de la ecuación que se ha manipulado paso a paso a lo largo del vídeo.

Highlights

El vídeo de 'Mate Fácil' presenta cómo resolver una ecuación diferencial.

La ecuación diferencial es separable, lo que permite agrupar términos con 'x' de un lado y términos con 'y' del otro.

Para separar la ecuación, se escribe la derivada 'y'' como 'dy/dx'.

Se considera 'dy/dx' como una fracción para facilitar la separación de variables.

Después de separar, se integra ambos lados de la ecuación para encontrar la solución.

Las integrales son inmediatas y se resuelven utilizando propiedades de logaritmos y fracciones.

La solución inicial incluye constantes que se diferencian por su contexto en la ecuación.

Se despeja 'y' para encontrar la solución en términos de 'x' y constantes.

Se utiliza la propiedad de que la resta de constantes sigue siendo una constante.

Para simplificar, se combina las constantes en una sola constante 'C3'.

Se explica cómo despejar completamente 'y' utilizando propiedades de exponentes y logaritmos.

La solución final se escribe en términos de 'c' multiplicado por 'x'.

Se verifica la solución sustituyendo en la ecuación diferencial original.

Se propone un ejercicio para que el espectador pruebe a resolver una ecuación diferencial similar.

El vídeo enfatiza la importancia de hacer ejercicios para comprender mejor las ecuaciones diferenciales.

Se invita a los espectadores a suscribirse, compartir y comentar sus dudas o sugerencias.