5 Lineare Funktionen Werkzeuge - Aufstellen einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten
Summary
TLDRDas Video skizziert die Methode, eine lineare Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen. Es zeigt, wie man zeichnerisch und rechnerisch vorgeht, um die Gleichung zu finden. Es erklärt, wie man die Steigung und den y-Achsenabschnitt ablesen kann, um die allgemeine Funktionsgleichung zu erhalten. Anschließend wird gezeigt, wie man durch Einsetzen der Punkte in die Gleichung und Anwendung eines linearen Gleichungssystems die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b) berechnet. Das Video bietet auch ein praktisches Beispiel, um die Theorie zu veranschaulichen.
Takeaways
- 📐 Die Aufgabe ist es, eine Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen.
- 🖊 Die Lösung beginnt mit der graphischen Darstellung der Geraden, die durch die Punkte geht.
- 📉 Der y-Achsenabschnitt und die Steigung der Geraden werden aus der graphischen Darstellung ablesbar.
- 🔢 Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
- 📝 Die Punkte werden in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt, um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten.
- ➖ Das lineare Gleichungssystem wird durch Subtraktion gelöst, um die Steigung m zu finden.
- 🔄 Die gefundene Steigung wird dann in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um den y-Achsenabschnitt b zu bestimmen.
- 📚 Die Funktionsgleichung wird dann aus m und b abgeleitet und mit der graphischen Darstellung verglichen.
- 🔄 Es wird gezeigt, wie man die gleiche Prozedur anwendet, um die Funktionsgleichung für verschiedene Beispiele zu finden.
- 📈 Die Verfahren werden auch auf eine Wertetabelle angewendet, um fehlende Werte in einer linearen Funktion zu ergänzen.
Q & A
Wie wird die Funktionsgleichung einer Geraden aus zwei Punkten aufgestellt?
-Man verwendet die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden y = mx + b, wo m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Man setzt die Koordinaten der beiden Punkte in diese Gleichung ein, um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten, das dann gelöst wird, um m und b zu finden.
Was ist der y-Achsenabschnitt der Geraden, die durch den Punkt P gezeichnet wird?
-Der y-Achsenabschnitt der Geraden ist -5.
Wie lautet die Steigung der Geraden, die durch den Punkt P gezeichnet wird?
-Die Steigung der Geraden ist 1/3, da sie 1 runter und 3 rechts geht.
Wie wird die Steigung einer Geraden aus einem Dreiecks gelesen?
-Die Steigung wird durch die Veränderung der y-Koordinate (Senkrechte) geteilt durch die Veränderung der x-Koordinate (Waagerechte) gelesen.
Was ist der Zweck des linearen Gleichungssystems in diesem Kontext?
-Das lineare Gleichungssystem wird verwendet, um die unbekannten Variablen m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung einer Geraden zu bestimmen.
Wie wird die Steigung der Geraden aus dem zweiten Beispiel berechnet?
-Die Steigung der Geraden aus dem zweiten Beispiel ist 1/2, da sie 1 runter und 2 rechts geht.
Was ist der y-Achsenabschnitt der Geraden aus dem zweiten Beispiel?
-Der y-Achsenabschnitt der Geraden aus dem zweiten Beispiel ist -1.
Wie wird die Funktionsgleichung aus dem dritten Beispiel berechnet?
-Die Funktionsgleichung aus dem dritten Beispiel wird durch die Berechnung der Steigung und des y-Achsenabschnitts aus den gegebenen Punkten und deren Einsetzen in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + b berechnet.
Was bedeuten die Buchstaben m und b in der Funktionsgleichung y = mx + b?
-In der Funktionsgleichung y = mx + b ist m die Steigung der Geraden und b der y-Achsenabschnitt.
Wie wird der y-Achsenabschnitt aus der Wertetabelle einer linearen Funktion ermittelt?
-Der y-Achsenabschnitt aus der Wertetabelle einer linearen Funktion wird durch den Wert der y-Koordinate gefunden, wenn x gleich 0 ist.
Was ist der Zweck des Subtraktionsverfahrens in der Berechnung der Funktionsgleichung?
-Das Subtraktionsverfahren wird verwendet, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, indem man eine der Gleichungen von der anderen subtrahiert, um die Steigung m zu finden.
Outlines
📐 Einführung in das Aufstellen von Funktionsgleichungen
In diesem Abschnitt wird eine Aufgabe zum Aufstellen einer Funktionsgleichung anhand zweier Punkte vorgestellt. Zunächst wird die Lösung zeichnerisch erklärt, indem die Punkte P und Q eingezeichnet und durch eine Gerade verbunden werden. Der y-Achsenabschnitt wird bei -5 abgelesen und die Steigung der Gerade ermittelt. Es wird gezeigt, wie diese Informationen in die Funktionsgleichung y = 3x - 5 einfließen. Anschließend wird der rechnerische Ansatz erklärt, indem die Punkte in ein lineares Gleichungssystem eingesetzt werden, um m und b zu berechnen. Das Verfahren wird Schritt für Schritt erläutert, inklusive der Subtraktion der Gleichungen und der Berechnung von m und b.
🔢 Zweites Beispiel zur Funktionsgleichung
Ein weiteres Beispiel wird behandelt, bei dem eine Funktionsgleichung für eine Gerade aufgestellt wird, die durch zwei Punkte verläuft. Auch hier wird das Problem zunächst zeichnerisch gelöst, indem die Punkte eingezeichnet und die Steigung sowie der y-Achsenabschnitt abgelesen werden. Der rechnerische Teil zeigt erneut, wie ein Gleichungssystem zur Bestimmung von m und b erstellt wird. Das Subtraktionsverfahren wird genutzt, um die Variablen zu eliminieren, und es wird gezeigt, wie m = 0,5 und b = -1 berechnet werden. Die Lösung wird abschließend überprüft, um sicherzustellen, dass die Funktionsgleichung korrekt ist.
📊 Drittes Beispiel mit selbstständiger Aufgabe
Hier wird ein weiteres Beispiel vorgestellt, bei dem der Zuschauer aufgefordert wird, die Aufgabe selbstständig zu lösen, bevor die Lösung präsentiert wird. Es handelt sich um das Aufstellen einer Funktionsgleichung anhand von zwei Punkten. Die Lösung erfolgt sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch. Der y-Achsenabschnitt wird abgelesen und die Steigung ermittelt. Durch das Subtraktionsverfahren werden m und b bestimmt und die Funktionsgleichung lautet schließlich y = 3/4x + 0,5. Der rechnerische Ansatz bestätigt die zeichnerisch ermittelte Funktionsgleichung.
Mindmap
Keywords
💡Aufstellen
💡Funktionsgleichung
💡Punkt
💡Steigung
💡y-Achsenabschnitt
💡Lineare Gleichung
💡Subtraktion
💡Werte Tabelle
💡Koordinatensystem
💡Lösung
Highlights
Kapitel 'Aufstellen einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten' wird erörtert.
Die rechnerische Lösung wird trotz der zeichnerischen Lösung bevorzugt.
Eine Aufgabe wird vorgestellt, bei der die Funktionsgleichung einer Geraden durch den Punkt P gesucht wird.
Die Punkte werden zeichnerisch eingezeichnet und die Gerade gezeichnet.
Die y-Achsenabschnitte und Steigungen werden zur Bestimmung der Funktionsgleichung verwendet.
Die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + b wird genutzt.
Ein lineares Gleichungssystem wird konstruiert, um die Funktionsgleichung zu finden.
Die Punkte werden in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt, um das Gleichungssystem zu erhalten.
Das Subtraktionsverfahren wird verwendet, um das lineare Gleichungssystem zu lösen.
Die Steigung (m) und der y-Achsenabschnitt (b) werden aus dem Gleichungssystem berechnet.
Ein zweites Beispiel wird vorgestellt, bei dem die Funktionsgleichung einer Geraden durch zwei Punkte bestimmt wird.
Die Punkte werden erneut zeichnerisch eingezeichnet und die Gerade gezeichnet.
Die Funktionsgleichung wird erneut mithilfe des Subtraktionsverfahrens aus dem linearen Gleichungssystem berechnet.
Ein drittes Beispiel wird vorgestellt, bei dem die Funktionsgleichung einer Geraden mit einem y-Achsenabschnitt von 0,5 und einer Steigung von 3/4 gefunden wird.
Die Funktionsgleichung wird erneut berechnet, indem die Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt werden.
Ein viertes Beispiel wird vorgestellt, bei dem die Funktionsgleichung einer Geraden mit einem y-Achsenabschnitt von +3 und einer Steigung von 1 berechnet wird.
Die Wertetafel einer linearen Funktion wird besprochen und die fehlenden Werte werden ergänzt.
Die Punkte aus der Wertetafel werden verwendet, um die Funktionsgleichung zu überprüfen.
Die Berechnung der x- und y-Koordinaten für die Punkte auf der Geraden wird durchgeführt.
Transcripts
nun kommen wir zum kapitel aufstellen
eine funktionsgleiche aus zwei punkten
wir wollen das ganze wieder rechnerisch
machen haben aber trotz allem unsere
zeichnerische lösung auf dieser seite
wir schauen uns folgende aufgabe an gibt
die funktions langen der geraden an die
durch den punkt p und den punkt geht
wir lösen das ganze zeichnerisch zwei
punkte eingezeichnet ganz einfach sie
liegen dort um die geradezu zeichnen
müssen wir sie nur noch verbinden und
die gerade sieht folgendermaßen aus
jetzt müssen wir nur noch ablesen unser
y achsen abschnitt liegt bei minus 5
steigungs dreieck wäre 1 rüber und 123
nach oben das heißt das ergebnis unserer
rechnung muss später lauten
ge hat die funktions gleichung y ist
gleich 3x - 5 so wie mache ich das ganze
nun zeigt rechnerisch immer gleichen
schema ich notiere mir beide punkte p &
co wenn ich möchte kann ich oben noch xy
hinschreiben zur sicherheit und unten
drunter notiere ich mir die allgemeine
funktionsgleiche um dies gerade geht
in dem fall geht es um eine geraden
gleichung deswegen nehme ich oops i lon
ist gleich mlx + b was wir nun tun ist
wir konstruieren uns ein lineares
gleichung system da werd drei
kennengelernt und die nutzen wir zur
lösung der aufgabe wir setzen zuerst
diesen punkt in unserer allgemeine
funktions gleichung ein so dass
folgendes unter römisch 1 steht - zwei
ist gleich einmal m + b
wenn ich mein punkt co sauber einsätze
steht da vier ist gleich dreimal m + b
jetzt kommt das lineare gleichen system
zu tragen dass wir zum lesen nutzen wir
nehmen das subtraktion verfahren
bedeutet dass wir immer von römisch 1
römisch zwei abziehen und das zwar aus
folgendem grund recht die beiden zahlen
subtrahieren kommt was raus wenn ich
meine beiden m subtrahieren kommt was
raus und das ist das ziel wenn ich von +
b nochmal b ab zidan fällt mein blick
das will ich erreichen
schauen wir uns an - 2 - 4 gibt - 6 dann
haben wir also eines 3m muss als
herauskommen - 2 m und mein b fällt weg
jetzt muss ich nur noch durch - 2 teilen
unterhalte für mein mws und schon sehen
kann
3 mein ms als erledigt fehlt mir nur
noch mein b heißt man ausgerechnet sm
setze ich in eine der beiden gleichungen
römisch 1 oder römisch 2 setzt sich ein
in welche ist egal es kommt in beiden
das gleiche ergebnis führt er aus ich
habe zwei scheins genommen also m setzt
sich in römisch 1 1
also steht folgendes dar - zwei ist
gleich einmal 3 + b einmal drei ist 3s
steht also da - zwei ist gleich drei + b
die drei bringe ich auf die andere seite
mit minus 3 sodass für mike b
wer das erwartet - fünf rauskommt und
jetzt habe ich rechnerisch meine
funktions gleichung bewiesen gar nicht
so schwer
zweites beispiel
gibt die funktion gleich einer geraden
an die durch den punkt und geht
wir machen das ganze wieder zeichnerisch
punkte eingetragen koordinatensystem
punkte miteinander verbunden steigungs
dreieck ausgehend vom y achsen abschnitt
der bei -1 liegt gehen mir 12 rüber und
eines nach oben heißt also unsere
funktions gleichung steigen wir ein halb
oder 05 xy abschnitt liegt bei -1
deswegen - 1 das muss später rauskommen
folgende unserem schema punkte
eingetragen allgemeine funktions
gleichung und nun setzen wir die punkte
ein
für römisch 1 kommt wenn man es richtig
macht folgendes raus eins ist gleich 4 m
+ b
und wenn wir unseren funkuhr richtig
einsetzen bleibt stehen - 35 ist gleich
- 5 m + b wir subtrahieren wieder
römisch 1 von römisch 152 abgezogen
und jetzt ist wichtig wir gehen es kurz
im kopf durch wir haben 1 - minus 3,5
ihr wisst - und - ergibt plus also muss
hier 45 rauskommen
gleiches gilt hier 4 m - - 5 m heißt
plus 5 m
hier muss also 9m rauskommen unter b
feld wieder weg ganz wichtig dass er den
fehler nicht macht jetzt teile ich nur
noch durch 9 und bekomme für mainz 05
aus das m setzt sich wieder in eine der
beiden gleichungen hier oben ein
ich hab mich einst genommen so dass da
steht eins ist gleich viermal 0 5 + b
495 gibt zwei die zwei auf die andere
seite bringe ich mit
- 2 so dass für unser b wer hätte das
erwartet -1 rauskommt zweite beispiel
aufgabe kommen wir zur dritten die
dritte aufgabe würde ich euch bitten
selbstständig anzugehen indem es auf
pause drückt und die ausführliche lösung
kommt in 321 jetzt wir machen das ganze
wieder zeichnerisch tragen unsere beiden
punkte ein
verbinden diese haben unsere gerade und
ich mache das ganze jetzt ein bisschen
schneller y achsen abschnitt ablesen die
steigung ablesen wer das richtig macht
kriegt folgendes ergebnis raus funktions
gleichung von ge ist drei viertel plus
0,5 und das gucken wir mal ob man das
ganze rechnerisch auch aus bekommen wir
gehen wieder nach dem schema vor beide
punkt aufgeschrieben allgemeine
funktions gleichung wir bestimmen
römisch 1 - 1 ist gleich - 2 m + b
bei der zweiten krieges raus - 25 ist
gleich - 4 m + b wir subtrahieren wieder
und jetzt ist wieder wichtig dass man
keinen fehler machen - 1 - - 25 heißt
+25 heißt 15 kommt raus und auch hier -
2 - -4 ist nichts anderes wie - zwei
plus vier kommt also zwei raus ich teile
15 durch zwei und bekomme drei viertel
raus diese setze ich ein 1 1 sodass
folgendes dasteht - 1 ist gleich - zwei
mal drei viertel + b wenn ich - zweimal
drei viertel mache bekomme ich - ein
5 raus die bringe ich mit plus auf bzw
mit minus - also mit plus auf die andere
seite und erhalte somit für mainz 05 und
unsere funktionsgleiche in ihr seht die
passt wieder eine letzte beispiel
aufgabe die ein wenig abweicht ein
bisschen anders ist
scheuch folgendes an die machen wir
gemeinsam beziehungsweise jeder probiert
sie selbstständig zu lösen zur übung und
anschließend erläuterte ich euch in 321
jetzt die lösung die werte tabelle
gehört zu einer linearen funktion
ergänzt die fehlenden werte so ich habe
eine werte tabelle und wir sehen
der punkt p und der punkt die sind
bereits angegeben
wir gehen wieder schrittweise vor
meine beiden punkte die ich hier habe
ich verbinde sie und bekomme als
funktions gleichung raus ich mach jetzt
ein bisschen schneller y achsen
abschnitt liegt bei plus 3 und besteigen
ist ein trüber 1 hoch also steigen 1 das
muss später rauskommen so gehe man
folgendermaßen vor ihr seht wer erkennt
den fehler
hier müsste erstehen stadt co
hier ist unser punkten den 6 x 1
genau
gut gucken was uns an ein gesetz steht 2
ist gleich - ein m + b dann unseren
punkte eingesetzt nicht cool sondern er
steht da 5 ist gleich zwei m + b
wir wenden das subtraktion verfahren an
hier kann nichts großartig falsch laufen
was kriege aus - 3
und hier auch - 3 wir teilen durch -3
bekommen für unser m1 raus wie was ihr
schon hatten
ich setze wieder in römisch 1 1 sodass
folgendes dasteht 2 ist gleich - 1 x 1 +
b - 1 x 1 gibt - 1 die -1 kriege ich mit
plus 1 auf die andere seite so dass für
unser b3 rauskommt und unsere funktions
gleich und somit auch wieder passt so
jetzt stehen uns hier ja noch zwei
punkte aus die muss man entsprechend
jetzt wo die funktionsreichen haben ist
das kein problem
diese beiden punkte zu ermitteln was
aber berechnung von q1 notieren wir
erinnert euch die funktions gleichung
und die halbfertigen punkt koordinaten
wir wissen der punkt liegt darauf das
heißt wir setzen alles was wir haben
setzten wir ein hier wer eher der punkt
bei null strich 3 da ist seemann und
gucken wir mal ob das rechnerisch
aufpasst 0 eingesetzt
aber da stehen obst an ist gleich null
plus 303 gibt drei also passt unser
punkte hat die koordinaten 0 strich 3
schauen dann unseren punkt es an unseren
punkt es hat die y koordinaten also wir
notieren alles was wir haben wir wissen
hat die y koordinaten die liegt bei 8
das heißt unsere unser punkt muss also
hier drüben liegen und wenn man schauen
muss hier raus kommen für die iks
koordinate 5 schauen wir mal ob das
passt wir setzen ein und seine psion
wert in hama gegeben
es steht also da 8 ist gleich fix plus 3
die +3 kriegt man mit minus auf die
andere seite so dass für unser iks wie
wir vorhergesagt haben fünf rauskommt
und die koordinaten unseres punktes
somit lauten 5 strich 8
soviel zum aufstellen einer funktions
gleichung aus zwei gegebenen punkte
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