91. Ecuación diferencial de coeficientes constantes, con raíces complejas EJERCICIO RESUELTO

Summary

En este video educativo, se explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, específicamente la ecuación y'' - 6y' + 13y = 0. Se describe el proceso de encontrar la solución general a través de la ecuación característica y cómo lidiar con soluciones complejas involucrando números complejos. Se utiliza la identidad de Euler para transformar las soluciones complejas en una forma más manejable, usando senos y cosenos. El vídeo concluye con un ejercicio práctico y un llamado a la acción para que el público likee, se suscriba y comparta el contenido.

Takeaways

• 🧮 La ecuación diferencial que se resuelve es y'' - 6y' + 13y = 0, una ecuación de coeficientes constantes.
• 📝 La solución de una ecuación de coeficientes constantes sigue la forma y = e^(r*x), y se parte de la ecuación característica.
• 🔢 La ecuación característica asociada es r² - 6r + 13 = 0, que se resuelve usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.
• ➗ En este caso, se obtienen raíces complejas: r1 = 3 + 2i y r2 = 3 - 2i, las cuales llevan a una solución diferente a las raíces reales.
• 📐 Para las raíces complejas, la solución general toma la forma y = e^(a*x) [c1*cos(b*x) + c2*sin(b*x)], donde a es la parte real (3) y b es el coeficiente imaginario (2).
• 🔍 Se explica detalladamente cómo calcular las raíces complejas utilizando números complejos y aplicando la fórmula cuadrática.
• 🔄 La exponencial de un número complejo se descompone usando la identidad de Euler: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x), lo que conecta la exponencial con las funciones trigonométricas.
• 💡 La solución general para este tipo de ecuación diferencial es y = e^(3x) [c1*cos(2x) + c2*sin(2x)].
• 📊 El proceso de deducir esta solución a partir de la ecuación diferencial se muestra paso a paso, enfatizando la importancia de las funciones trigonométricas.
• 📚 Al final, se deja un ejercicio similar para resolver: y'' + 2y' + 2y = 0, y se menciona que las soluciones serán también complejas, aplicando la misma fórmula.

Q & A

¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el video?

Se resuelve una ecuación diferencial de coeficientes constantes de la forma y'' - 6y' + 13y = 0.

¿Cómo se inicia el proceso de resolución de la ecuación diferencial?

Se inicia diciendo que la solución de la ecuación será de la forma y = e^(rx).

¿Cuál es la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial mostrada?

La ecuación característica asociada es r^2 - 6r + 13 = 0.

¿Cómo se resuelve la ecuación de segundo grado obtenida?

Se resuelve mediante la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

¿Cuál es el resultado de aplicar la fórmula general a la ecuación característica?

El resultado es r = (6 ± √((-6)^2 - 4*1*13)) / (2*1), lo que da r = 3 ± 4i.

¿Qué significa que la solución a la ecuación característica sea un número complejo?

Significa que las soluciones generales de la ecuación diferencial incluirán funciones senos y cosenos en lugar de solo exponenciales.

¿Cómo se adapta la solución general de la ecuación diferencial cuando las raíces son complejas?

Se utiliza la fórmula y = e^(ax) * (c1 * cos(bx) + c2 * sin(bx)), donde a es la parte real de la raíz compleja y b es la parte imaginaria.

¿Por qué se prefiere expresar la solución general sin números complejos?

Se prefiere para facilitar la interpretación y el manejo de la solución, ya que los senos y cosenos son funciones reales.

¿Qué es la identidad de Euler mencionada en el video y cómo se relaciona con la ecuación diferencial?

La identidad de Euler es e^(ix) = cos(x) + i * sin(x), y se relaciona con la ecuación diferencial al permitir expresar las soluciones complejas en términos de funciones senos y cosenos.

¿Cómo se demuestra que la solución general con raíces complejas se puede reducir a la fórmula mencionada?

Se demuestra aplicando propiedades de las exponenciales y de las funciones trigonométricas, y mostrando que la combinación lineal de las soluciones correspondientes a las raíces complejas se puede factorizar y simplificar para obtener la fórmula general.

¿Cuál es la ecuación diferencial que se propone como ejercicio al final del video?

La ecuación diferencial propuesta como ejercicio es y'' + 2y' + 2y = 0.

Outlines

00:00

📘 Introducción a la ecuación diferencial con coeficientes constantes

El vídeo comienza explicando cómo resolver una ecuación diferencial de coeficientes constantes de la forma y'' - 6y' + 13y = 0. Se menciona que la solución general para este tipo de ecuaciones se expresa en términos de e^(rx). Para encontrar la solución, se construye la ecuación característica obtenida reemplazando y'' por r^2, y' por r y y por 1, lo que resulta en la ecuación r^2 - 6r + 13 = 0. Se resuelve esta ecuación de segundo grado usando la fórmula general para raíces de ecuaciones de segundo grado, obteniendo raíces complejas.

05:01

🔍 Solución de la ecuación característica y raíces complejas

Se procede a resolver la ecuación característica obtenida, la cual es un segundo grado, y se obtienen raíces complejas. Se explica que, al obtener raíces complejas, la solución general de la ecuación diferencial involucra números complejos. Se introduce la fórmula para resolver ecuaciones con raíces complejas, que implica la existencia de dos soluciones posibles para cada raíz compleja, una con el signo positivo y otra con el signo negativo. Se sugiere que, aunque se pueden considerar ambas raíces, en la solución general se elige una de ellas para evitar la inclusión de números complejos.

10:02

📐 Aplicación de la fórmula para raíces complejas y demostración

Se detalla cómo se utiliza la fórmula para raíces complejas en la solución general de la ecuación diferencial. Se explica que, al emplear la fórmula e^(ix) = cos(x) + i*sin(x), se pueden transformar las partes complejas de la solución en funciones senos y cosenos. Se demuestra paso a paso cómo se llega a la solución general y se factoriza la exponencial, mostrando cómo las constantes arbitrarias c1 y c2 se combinan con las funciones trigonométricas para formar la solución completa. Se enfatiza la importancia de comprender este proceso para resolver ecuaciones diferenciales con raíces complejas.

15:04

🔗 Conclusión y ejercicios adicionales

El vídeo concluye con una invitación a los espectadores para que resuelvan un ejercicio similar y se ofrecen instrucciones para verificar sus respuestas en los siguientes videos. Se menciona la importancia de aplicar la fórmula de Euler para resolver ecuaciones con raíces complejas y se alude a que, en futuras ocasiones, se utilizará directamente la fórmula sin necesidad de deducirla cada vez. Finalmente, se invita a los espectadores a dejar comentarios si tienen preguntas o sugerencias y se les recuerda suscribirse y compartir los videos.

Keywords

💡Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una que involucra una función y sus derivadas. En el vídeo, se aborda la resolución de una ecuación diferencial de coeficientes constantes, lo que indica que las relaciones entre la función y sus derivadas no cambian con el tiempo. La ecuación diferencial tratada es y'' - 6y' + 13y = 0, y es central para el tema del vídeo, que es resolverla y entender sus soluciones.

💡Solución general

La solución general de una ecuación diferencial es una expresión que satisface la ecuación para cualquier valor de las constantes involucradas. En el vídeo, la solución general se deduce a partir de las raíces de la ecuación característica y se presenta como una combinación de exponenciales y funciones trigonométricas, dependiendo de las raíces obtenidas.

💡Ecuación característica

La ecuación característica es una ecuación algebraica que se forma para encontrar las soluciones de una ecuación diferencial. Se menciona en el vídeo que se forma reemplazando las derivadas por potencias del operador de diferenciación. En este caso, se forma como r^2 - 6r + 13 = 0 y es crucial para determinar las soluciones de la ecuación diferencial.

💡Coeficientes constantes

Los coeficientes constantes en una ecuación diferencial son valores que no cambian con la variable independiente. En el vídeo, se indica que la ecuación tratada tiene coeficientes constantes, lo que simplifica el proceso de encontrar la solución general, ya que permite la formación de una ecuación característica.

💡Raíz compleja

Una raíz compleja es un resultado de la solución algebraica que incluye el número imaginario i. En el vídeo, se obtienen raíces complejas al resolver la ecuación característica, lo que lleva a la introducción de funciones trigonométricas en la solución general de la ecuación diferencial.

💡Número imaginario

El número imaginario, representado por 'i', es una cantidad que cuando elevado al平方 da -1. En el vídeo, se menciona el número imaginario al obtener raíces complejas de la ecuación característica, y se usa para construir parte de la solución general de la ecuación diferencial.

💡Función par

Una función par es aquella que se refleja sobre el eje y cuando invertida horizontalmente. En el vídeo, se menciona que el coseno es una función par, y se utiliza esta propiedad para simplificar la solución general de la ecuación diferencial al manejar los términos de seno y coseno.

💡Función impar

Una función impar es aquella que se refleja sobre el origen cuando invertida horizontalmente. En el vídeo, se menciona que el seno es una función impar, y se usa esta propiedad para manipular los términos de la solución general y eliminar los signos negativos.

💡Identidad de Euler

La identidad de Euler es una relación en matemáticas que conecta números reales, números complejos y funciones trigonométricas. Aunque no se menciona explícitamente por ese nombre en el vídeo, se usa para transformar exponenciales complejas en funciones trigonométricas, lo cual es esencial para encontrar la solución general de la ecuación diferencial.

💡Constante arbitraria

Una constante arbitraria es una cantidad que puede tomar cualquier valor y se utiliza para expresar la generalidad de una solución. En el vídeo, las constantes arbitrarias c1 y c2 aparecen en la solución general de la ecuación diferencial, lo que permite que la solución se ajuste a diferentes condiciones iniciales.

Highlights

Introducción al vídeo sobre cómo resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes.

Explicación de que la solución de la ecuación diferencial será de la forma y = e^(rx).

Forma de escribir la ecuación característica a partir de la ecuación diferencial.

Colocación de términos en la ecuación característica basada en las derivadas de y.

Obtención de la ecuación r^2 - 6r + 13 = 0 a partir de la ecuación característica.

Resolución de la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general.

Explicación de los coeficientes a, b y c en la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Cálculo de los valores de r utilizando la fórmula general.

Obtención de raíces complejas para la ecuación diferencial.

Transformación de la raíz cuadrada de un número negativo en un número complejo.

Explicación de la representación de números complejos y su relación con la raíz cuadrada de -1.

Consideración de dos posibilidades para los valores de r: 3 + 2i y 3 - 2i.

Sustitución de los valores de r en la ecuación y = e^(rx) para obtener soluciones.

Diferenciación entre el manejo de valores reales y complejos en las soluciones de ecuaciones diferenciales.

Uso de una fórmula especial para soluciones generales cuando las raíces son complejas.

Explicación de la fórmula y = e^(a*x) * (c1*cos(b*x) + c2*sin(b*x)) para raíces complejas.

Demostración de cómo se deduce la fórmula para soluciones generales a partir de las raíces complejas.

Uso de propiedades de las exponenciales para simplificar la solución general.

Aplicación de la identidad de Euler para transformar exponenciales complejas en funciones trigonométricas.

Utilización de propiedades de funciones trigonométricas para simplificar la solución.

Factorización de la solución general en términos de constantes arbitrarias y funciones trigonométricas.

Conclusión sobre cómo se obtiene la solución general de una ecuación diferencial con raíces complejas.

Propuesta de un ejercicio similar para resolver la ecuación diferencial y'' + 2y' + 2y = 0.

Invitación a los espectadores a dejar comentarios, suscripciones y compartir el vídeo si les gustó.

Transcripts

Hola y bienvenidos a otro video de Mate

fácil en este video vamos a resolver la

siguiente ecuación diferencial de

coeficientes constantes yv prima - 6y

prima + 13y = 0 como es una ecuación de

coeficientes constantes empezamos

diciendo que su solución va a ser de

esta manera y = e elevado RX y

escribimos la ecuación característica de

nuestra ecuación diferencial Recuerden

que la ecuación característica la

podemos escribir a partir de la forma

que tiene la propia ecuación diferencial

donde aparece la segunda derivada de y

vamos a poner una r cuadrada donde

aparece la primer derivada de y vamos a

poner una r y donde aparezca únicamente

y no vamos a poner nada nada más

colocamos el puro coeficiente de Y

entonces nos queda r cu - 6r + 13 = 0

ahora tenemos aquí una ecuación de

segundo grado que podemos resolver

mediante la fórmula general la fórmula

general recordemos es esta de

aquí aquí hay que recordar que a es el

coeficiente de la r cuadrada que en este

caso vale 1 B es el coeficiente de r que

en este caso Vale -6 y C es el término

independiente que en este caso es 13

Simplemente hay que sustituir aquí en la

fórmula y obtenemos lo siguiente

empezamos poniendo que r es igual a - b

que es -6 más menos la raí cu de B

cuadrada - 4 * a que vale 1 * C que vale

13 sobre 2 * a que vale 1 y lo siguiente

que tenemos que hacer son las

operaciones que están siendo aquí

indicadas lo primero es multiplicar y

elevar al cuadrado Entonces vamos a

hacer esta multiplicación menos por

menos da más entonces queda 6 positivo

-6 cu es 36 positivo porque cualquier

número negativo al cuadrado se convierte

en positivo luego Aquí 4 * 1 4 * 13 son

52 entonces queda -52 y aquí 2 * 1 2

ahora hacemos esta resta 36 - 52 Y eso

nos da

-16 en este caso esta raíz cuadrada no

nos da un número real como resultado ya

que se trata de una raíz cuadrada de un

número que es

negativo Entonces el resultado va a ser

un número complejo simplemente lo que

hacemos es obtener la raíz cuadrada del

número 16 que es 4 y multiplicarla por

el número complejo

I es decir la raíz cuadrada de -16 es la

raíz de 16 que es el número positivo o

sea lo consideramos sin signo que es 4 y

como en este caso se trata de un número

negativo hay que agregarle esta I esto

es de números complejos si nunca han

visto números complejos Bueno pues

simplemente aquí hay que tener en cuenta

que y lo pueden pensar lo pueden

imaginar como si fuera la raíz cuadrada

de -1

estrictamente la definición de I es un

poco distinta pero lo podrían imaginar

como si fuera la raíz cuadrada de -1 y

como si aquí lo que estuviéramos

haciendo es raíz cuadrada de -1 * 16

Entonces es raí -1 * ra 16 la raíz de 16

es 4 y la raí de -1 es

I Así es básicamente entonces aquí

tenemos un número que es

complejo Bueno entonces igual que antes

vamos a considerar dos posibilidades el

signo posito y el signo negativo a R1 le

vamos a poner cuando es el signo

positivo que es 6 + 4i sobre 2 que

podemos separar bueno como como Tenemos

aquí una fracción con una suma en el

numerador lo podemos Separar en dos

fracciones 6 / 2 + 4i sobre 2 y aquí

podemos hacer algunas divisiones 6 / 2

nos da 3 4 / 2 nos da 2 entonces nos

queda el número 3 + 2i que es un número

complejo y por otro lado si tomáramos el

signo negativo simplemente haríamos todo

Exactamente igual nada más que aquí en

lugar de un signo más tenemos un signo

menos así que el resultado termina

siendo 3 -

2i Bueno ahora lo que normalmente

hacemos cuando hemos obtenido los

valores de r es sustituirlos aquí

en en donde pusimos al principio y = e a

la RX aquí en la r es donde sustituimos

los valores de r Pero eso lo hacemos

únicamente cuando hemos obtenido valores

reales Por ejemplo si aquí hubiéramos

obtenido un cco y aquí hubiéramos

obtenido un do tendríamos que una

solución sería y = e a la 5x y otra

sería y = e a la 2x pero cuando hemos

obtenido números complejos como aquí

donde aparece la i la situación es un

poco distinta lo que vamos a hacer es

utilizar una fórmula esta fórmula de

aquí cuando nosotros tenemos una raíz de

la forma a + b la solución general va a

ser de esta forma y = a e elevado a AX

donde a es la parte que no tiene la i

que en este caso sería el 3

y luego eso multiplicado por c1 coseno

de BX + C2 por el seno de BX donde B es

el coeficiente de la i en este caso el

dos aquí el dos se pone sin necesidad de

poner el signo menos O sea en realidad

siempre que tengamos una raíz

compleja vamos a tenerla doble siempre

van a ser dos raíces complejas y la

única diferencia entre una raíz compleja

y la otra es que la parte que tiene la i

una queda positiva y la otra queda

negativa nosotros debemos tomar

únicamente una de esas raíces complejas

podemos tomar únicamente la que tiene la

positiva es esta de aquí 3 + 2i y

quedarnos Entonces como con a como 3 y

con b como 2 y usar esta fórmula Y

entonces en este caso la solución

general termina siendo y = e a la 3x

porque dice en primer lugar e elevado a

AX y como ya dijimos a vale 3 entonces

queda e a la 3x y esto multiplicado por

c1 coseno de BX en este caso como B vale

2 pues queda c1 coseno de 2x + C2 seno

de 2x y estas es la solución general de

nuestra ecuación diferencial Cuando

tenemos una raíz compleja bueno en este

punto algunos de ustedes pueden tener la

duda de Por qué es que se hace De esta

manera y no eh se sustituye aquí más

bien en la r 3 + 2i y 3 - 2i y se hace

como en las otras ocasiones bueno

básicamente la razón es que queremos

expresar la solución general de nuestra

ecuación diferencial sin utilizar

números complejos Y si

esta fórmula entonces quédense en el

video porque voy a demostrar ahora cómo

es que a partir de estas dos raíces

obtenemos esta solución general y o

bueno si no les interesa mucho saber

esta razón pues pueden pasar al final

del video donde les dejo un ejercicio y

continuar viendo los demás videos porque

a partir de ahora voy a eh mostrarles De

dónde sale esta solución

general Bueno entonces vamos a ver de

dónde sale esa fórmula que les mostraba

hace un un momento con este mismo

ejemplo hemos obtenido dos raíces para

la ecuación característica que han sido

números complejos el número 3 + 2i y el

número 3 - 2i vamos a escribir la

solución general de esta ecuación

diferencial como lo hemos hecho

anteriormente colocando aquí en r el 3 +

2i y el 3 - 2i y escribiendo la solución

como una combinación lineal es decir

escribimos que y es igual a una

constante arbitraria c1 * e elevado 3 +

2i por x y más una constante C2 * e

elevado a 3 - 2i * x Esto es lo que

hemos estado haciendo en los ejercicios

anteriores simplemente colocar cada una

de las raíces en r obtenemos dos

soluciones y a cada una la multiplicamos

por una constante arbitraria y

escribimos eso como una combinación

lineal Bueno ahora Aquí vamos a aplicar

algunas propiedades para empezar podemos

hacer la multiplicación 3 * x y 2i * x y

entonces nos queda 3 * x 3x 2i * x queda

2 i x que bueno vamos a a expresar como

I * 2x ahorita vamos a ver por qué

conviene escribir la y en primer lugar y

Aquí hacemos lo mismo 3 * x quea 3x y

aquí -2i * x vamos a escribirlo como - I

* 2x Bueno ahora tenemos la exponencial

de una suma sabemos nosotros que la

exponencial de una suma la podemos

separar como un producto de

exponenciales o sea lo podemos separar

como e a la 3x * e a la i * 2x y aquí

también e a la 3x * e a la - i * 2x eso

es por leyes de exponentes cuando

nosotros multiplicamos potencias los

exponentes se suman Entonces si tenemos

una suma de exponentes lo podemos

separar como un producto de potencias

ahora Aquí vamos a utilizar una fórmula

que es una fórmula conocidísima en

variable compleja en cálculo complejo si

nunca han visto variable compleja Bueno

no importa de todas formas Esta es la

fórmula que que se utiliza y que ya

llegarán a ver en algún momento la

fórmula es esta de aquí e elevado a ix

es igual al coseno de X + I * el seno de

X La exponencial de un número complejo

está muy relacionada con las funciones

trigonométricas de esta manera Entonces

esta fórmula la vamos a utilizar con

esta exponencial y con esta exponencial

que son las que tienen la i en el

exponente por eso es que convenía

escribir la i al principio porque aquí

podemos ya ver que para poder utilizar

esta fórmula vamos a tomar x como el 2x

de aquí en este caso y en este caso como

-2x o sea con todo y el signo negativo

entonces aplicamos la fórmula y nos

queda lo siguiente nos queda c1 * e a la

3x que es esta parte del principio y ya

en lugar de escribir e a la i * 2x

ponemos coseno de 2x que es esta parte +

I * el seno de 2x eso con esta

exponencial y con la otra exponencial

Algo similar nada más que en este caso

se va tomar como -2x entonces va a

quedar coseno de -2x má y por el seno de

-2x Aquí vamos a utilizar una propiedad

de las funciones trigonométricas que es

la de que el coseno es una función par y

el seno es una función impar o sea

coseno de menos teta es igual al coseno

de teta y el seno de os teta es igual a

menos el seno de teta en el caso del

seno el signo menos se puede sacar hasta

acá afuera y en el caso del coseno se

puede quitar eso es lo que significa que

el coseno sea una función par y que el

seno sea una función impar entonces

usamos esas propiedades aquí para quitar

esos signos negativos y entonces esto lo

podemos escribir como coseno de 2x como

el coseno es función par simplemente

quitamos el signo menos y como el seno

es función impar extraemos este signo

menos lo ponemos hasta acá afuera

multiplicamos menos por más queda menos

entonces queda coseno de 2x - y por el

seno de

2x bueno ahora lo que vamos a hacer es

multiplicar esta suma por el la

constante c1 y esta suma por la

constante C2 no vamos a multiplicar por

la exponencial porque ahorita la vamos a

factorizar en el siguiente paso entonces

simplemente vamos a multiplicar por las

constantes Y entonces nos queda en el

primer caso la exponencial de 3x esa la

seguimos dejando afuera del paréntesis

simplemente multiplicamos c1 * coseno de

2x que es c1 coseno de 2x y c1 por el

seno de 2x y luego Aquí también lo mismo

C2 * coseno de 2x y C2 por el seno de de

2x bueno ahora tenemos aquí una

exponencial aquí otra exponencial

podemos

factorizarlos únicamente e a la 3x y

entre paréntesis colocamos lo de este

paréntesis y lo de este otro o sea

ponemos c1 coseno de 2x + I c1 seno de

2x que es lo de los primeros paréntesis

y lo de los segundos paréntesis quedaría

aquí + C2 coseno de 2x - I C2 seno de

2x bueno ahora aquí podemos también

factorizar algunas cosas podemos

factorizar el coseno de 2x y podemos

factorizar el seno de 2x Entonces vamos

a factorizarlos y nos queda de esta

manera cuando factorizamos coseno de 2x

las constantes que están multiplicando

al coseno son c1 + C2 Entonces eso queda

en un paréntesis y cuando factorizamos

seno de 2x lo que está multiplicando al

seno de 2x es ic1 men

ic2 ahora Aquí vamos a razonar esto de

la siguiente manera Tenemos aquí una

constante arbitraria c1 + una constante

arbitraria C2 cuando nosotros sumamos

dos constantes arbitrarias lo que

obtenemos como resultado sigue siendo

una constante

arbitraria aquí lo mismo y por c1 y por

C2 son constantes arbitrarias Aunque

tengan este número complejo el número

complejo I también es una

constante Entonces estamos haciendo una

resta de constantes arbitrarias Por lo

cual el resultado sigue siendo una

constante arbitraria que es distinta de

esta otra constante arbitraria Así que

esta constante arbitraria la vamos a

colocar como c1 y esta como C2 pero con

minúsculas para diferenciarlas entonces

ponemos aquí c1 con coseno de 2x y C2

con seno de 2x y noten que esto de aquí

es exactamente la solución general que

les había mostrado hace un momento con

la fórmula entonces así es básicamente

Cómo se deduce la fórmula que les

mostraba hace un momento y que es la

fórmula que estaremos utilizando cuando

obtengamos raíces complejas siempre que

obtengamos raíces complejas no es

necesario realizar todo este

procedimiento para llegar a la solución

general simplemente basta con recordar

que la parte compleja se va a convertir

en senos y cosenos debido a esta fórmula

que se conoce como identidad de oiler y

que la parte real se va a quedar en una

exponencial y con eso Entonces más

adelante iremos viendo más ejemplos en

los cuales ya no voy a a deducir esta ya

no voy a hacer todo este procedimiento

simplemente vamos a utilizar la fórmula

que vimos en un

principio Bueno entonces Esta es la

solución general de nuestra ecuación

diferencial Ahora les dejo a ustedes un

ejercicio similar resolver la siguiente

ecuación diferencial yv prima + 2y prima

+ 2y = 0 Y en el siguiente video les

muestro el procedimiento completo para

que verifiquen su respuesta en este caso

la ecuación característica también va a

quedar con soluciones que son complejas

Así que se va a utilizar la fórmula que

vimos en este video y bueno si les gustó

este video apóyenme regalándome un like

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cualquier pregunta o sugerencia pueden

dejarla en los comentarios