¿Cómo puede quedarse sin lugar un Hotel Infinito? | Veritasium en español
Summary
TLDREl Hotel Gilbert, con habitaciones infinitas numeradas, enfrenta el desafío de alojar a un número infinito de huéspedes. A pesar de estar lleno, el gerente utiliza estrategias ingeniosas para hacer espacio: al solicitar a los huéspedes que se muden a habitaciones con números triplicados, logra alojar a un autobús infinito de personas. Sin embargo, cuando llegan autobuses infinitos con nombres formados por infinitas combinaciones de 'a' y 'b', se revela que algunos infinitos son más grandes que otros, lo que plantea un límite a la capacidad del hotel y lleva a la comprensión de diferentes tipos de infinitos.
Takeaways
- 🏨 El Hotel Gilbert tiene un número infinito de habitaciones numeradas, lo que parece permitir la hospitalidad a cualquier persona que llegue.
- 🚫 Aunque todas las habitaciones están ocupadas, hay una manera de exceder la capacidad infinita del hotel mediante una reorganización de las habitaciones.
- 📢 El gerente utiliza un sistema de altavoces para anunciar que todos los huéspedes deben moverse a una habitación con un número que es el doble del actual.
- 🔄 Al aplicar esta estrategia, se liberan todas las habitaciones impares, permitiendo alojar a un nuevo cliente en la habitación 1.
- 🚌 Si llega un autobús con 100 personas, se siguen los mismos pasos, solo que se mueven 100 habitaciones, dejando espacio para los nuevos huéspedes.
- ∞ En el caso de un autobús infinitamente largo con un número infinito de pasajeros, se le pide a cada huésped que se mude a una habitación cuyo número sea el doble de su habitación actual.
- 🔢 A través de esta reorganización, se liberan todas las habitaciones impares, permitiendo alojar a un número infinito de personas del autobús.
- 🌐 Se llega a la conclusión de que el Hotel Gilbert es capaz de albergar a un número infinito de personas, lo cual muestra la belleza del concepto de infinito.
- 🚍 Si llegan más autobuses infinitos, se crea una planilla infinita para asignar a cada persona un código que la identifica, basado en su posición y vehículo.
- 🔤 Se presenta un escenario donde un autobús de fiesta infinito tiene nombres formados por las letras 'a' y 'b', cada uno de infinita longitud.
- 🚫 A pesar de la capacidad infinita del hotel, se llega a la conclusión de que no es posible alojar a todos los pasajeros del autobús de fiesta debido a la naturaleza de los infinitos.
Q & A
¿Qué es el hotel Gilbert y cómo maneja su capacidad infinita de habitaciones?
-El hotel Gilbert es un concepto hipotético que posee un número infinito de habitaciones numeradas. A pesar de su capacidad infinita, el gerente del hotel puede hospedar a más personas mediante estrategias matemáticas creativas, como mover a los huéspedes para liberar habitaciones o reorganizarlos para acomodar grupos más grandes.
Si el hotel Gilbert ya está lleno, ¿qué hace el gerente cuando llega un nuevo huésped?
-Cuando un nuevo huésped llega y todas las habitaciones están ocupadas, el gerente pide a todos los huéspedes que se muevan a una habitación con el doble del número anterior, liberando así la habitación 1 para el nuevo huésped.
¿Cómo maneja el hotel Gilbert la llegada de un autobús con 100 personas?
-Para acomodar a 100 personas adicionales, el gerente del hotel mueve a cada huésped 100 habitaciones hacia adelante, dejando las primeras 100 habitaciones disponibles para los nuevos huéspedes del autobús.
Si llega un autobús infinitamente largo con un número infinito de pasajeros, ¿cómo resuelve el hotel Gilbert esta situación?
-En este caso, el gerente le pide a cada huésped que se mude a una habitación cuyo número sea el doble de su habitación actual, lo que libera todas las habitaciones impares para alojar a los pasajeros del autobús infinito.
¿Qué sucede cuando llegan autobuses infinitos al hotel Gilbert?
-El gerente crea una planilla infinita y asigna una fila para cada autobús, y otra fila para los huéspedes actuales del hotel, organizando una línea zigzag que atraviesa cada código de identificación de las personas para asignarles habitaciones únicas.
¿Cómo se identifican las personas en el autobús de fiesta infinito del hotel Gilbert?
-Las personas en el autobús de fiesta infinito son identificadas por nombres únicos formados solamente por las letras 'a' y 'b', y cada nombre es de longitud infinita, como 'ava', 'abb', 'ave', etc.
¿Por qué el gerente del hotel Gilbert no puede acomodar a todos los pasajeros del autobús de fiesta infinito?
-A pesar de tener un número infinito de habitaciones, el número de pasajeros en el autobús de fiesta es de un tipo de infinito 'más grande' o 'incontable', lo que significa que hay más personas que no se pueden alinear con un número entero, dejando siempre a alguien sin habitación.
¿Cómo se demuestra que algunos infinitos son más grandes que otros en el contexto del hotel Gilbert?
-Se demuestra al intentar alinear cada persona del autobús de fiesta con un número entero y notar que siempre quedan personas sin una habitación asignada, lo que indica que el infinito de las secuencias de 'a' y 'b' es de un orden diferente al del infinito contable de las habitaciones.
¿Qué es la diferencia entre un infinito contable y un infinito no contable en el contexto del hotel Gilbert?
-Un infinito contable, como el de las habitaciones del hotel Gilbert, es un infinito que se puede put en correspondencia uno a uno con los enteros positivos. Un infinito no contable, como el de los nombres en el autobús de fiesta, no se puede mapear de esta manera y es de un orden superior de cardinalidad.
¿Cómo se resuelve la paradoja de no poder acomodar a todos en el hotel Gilbert si hay infinitamente más habitaciones que personas?
-La resolución se encuentra en entender que hay diferentes 'tamaños' de infinitos. El hotel Gilbert puede acomodar un infinito contable de personas, pero no un infinito no contable, como en el caso del autobús de fiesta con nombres infinitos formados por 'a' y 'b'.
Outlines
🏨 El Hotel Hilbert y el Infinito
El video comienza explicando el concepto del Hotel Hilbert, un establecimiento hipotético con un número infinito de habitaciones numeradas. Cada habitación está ocupada, pero cuando llega un nuevo huésped, el gerente utiliza una estrategia ingeniosa para hospedarlo: pide a todos los huéspedes que se muden a la habitación con el doble número. Esto libera todas las habitaciones impares para alojar a los nuevos huéspedes. Si llega un autobús con un número finito de personas, se aplica la misma estrategia, pero con infinitos pasajeros, se requiere un plan más sofisticado: cada huésped se muda a una habitación cuyo número es el doble del actual, liberando todas las habitaciones impares para el autobús infinito. El video ilustra cómo el infinito puede ser manejado de manera sorprendente y cómo estos conceptos matemáticos pueden tener aplicaciones prácticas.
🔢 Los Diferentes Tamaños del Infinito
El segundo párrafo profundiza en la distinción entre diferentes tipos de infinitos. Mientras que el número de habitaciones en el Hotel Hilbert es un infinito 'contable', similar al de los enteros positivos, el número de personas en el autobús es de un tipo de infinito 'incontable', como el de los reales. Esto implica que no es posible asignar a cada persona en el autobús un número entero único sin dejar a algunas sin alojar. A pesar de los intentos de alojar a todos, el video concluye que hay un límite en la capacidad del Hotel Hilbert para acomodar a todos, lo que lleva a la introducción de un nuevo concepto matemático que tiene implicaciones prácticas, como la invención del dispositivo que permite ver el video actual, aunque esta historia se detiene aquí para una futura ocasión.
Mindmap
Keywords
💡Hotel Gilbert
💡Infinito
💡Gerente del Hotel
💡Habitaciones
💡Pasajeros del autobús
💡Combinaciones infinitas
💡Contabilidad del infinito
💡Planilla infinita
💡Línea recta infinita
💡Nombres infinitos
Highlights
El hotel Gilbert tiene un número infinito de habitaciones numeradas, lo que podría sugerir que podría albergar a cualquier persona que llegara.
A pesar de tener un número infinito de habitaciones, el hotel Gilbert enfrenta un reto para albergar a más personas cuando todas las habitaciones están ocupadas.
El gerente del hotel Gilbert utiliza la idea del infinito para reorganizar las habitaciones y hacer espacio para nuevos huéspedes.
Cuando un autobús con 100 personas llega, el gerente mueve a los huéspedes 100 habitaciones adelante, liberando las primeras 100 habitaciones para los nuevos huéspedes.
La llegada de un autobús infinitamente largo con un número infinito de pasajeros presenta un nuevo desafío para el hotel Gilbert.
El plan para el autobús infinito implica que cada huésped se mude a la habitación cuyo número es el doble de su habitación actual, liberando las habitaciones impares para los nuevos huéspedes.
El hotel Gilbert es capaz de albergar a un número infinito de personas, lo que demuestra la belleza y complejidad del concepto de infinito.
La llegada de múltiples autobuses infinitos al hotel Gilbert plantea la posibilidad de un infinito mayor que otro, lo que lleva a la idea de diferentes tamaños de infinitos.
El gerente del hotel crea una planilla infinita para asignar habitaciones a las personas de los autobuses infinitos, utilizando una combinación de vehículo y posición.
Se utiliza una línea zigzag en la planilla infinita para asignar únicamente cada código de identificación a una habitación.
La planilla infinita se transforma en una línea recta infinita para ubicar a cada persona en una habitación única del hotel.
La llegada de un autobús de fiesta infinito con nombres formados por las letras 'a' y 'b' presenta un reto aún mayor para el hotel Gilbert.
A pesar de los esfuerzos para asignar habitaciones a las personas con nombres infinitos, hay una persona cuyo nombre no aparece en la planilla, demostrando la existencia de diferentes tipos de infinitos.
El hotel Gilbert, a pesar de tener un infinito contable de habitaciones, no puede albergar a todas las personas del autobús de fiesta, debido a la existencia de un infinito mayor.
La distinción entre diferentes tamaños de infinitos, como el infinito contable y el infinito mayor, tiene implicaciones profundas en la matemática y la filosofía.
El descubrimiento de diferentes tipos de infinitos llevó a la invención de un dispositivo que podría tener aplicaciones prácticas en el futuro.
Transcripts
imagina un hotel con una cantidad
infinita de habitaciones están numeradas
1 2 3 4 y así infinitamente
este es el hotel gilbert y tú eres el
gerente quizás parece que puedes
hospedar a cualquiera que venga al hotel
pero existe un límite una forma de
exceder incluso la capacidad infinita
del hotel gilbert comencemos diciendo
que sólo se permite una persona en cada
habitación y que todas las habitaciones
están ocupadas hay un número infinito de
personas en una cantidad infinita de
habitaciones luego alguien nuevo llega
al hotel y solicita una habitación pero
están todas ocupadas qué haces entonces
un gerente de poca experiencia lo
rechazaría pero tú sabes sobre el
infinito por eso anunciadas por los
altavoces que todos los huéspedes deben
moverse una habitación así el huésped de
la habitación uno se muda a la 12 de la
2 a la 3 y así sucesivamente ahora
puedes colocar al nuevo cliente en la
habitación 1 si llega un autobús con 100
personas sabes exactamente qué hacer
solo mueve a los huéspedes 100
habitaciones y coloca los nuevos en las
que se liberen pero ahora imaginemos que
llega un autobús que es infinitamente
largo y tiene una cantidad infinita de
pasajeros sabías qué hacer con un número
finito de personas
pero qué haces con una cantidad infinita
lo piensas unos momentos hasta que se te
ocurre un plan le dices a cada uno de
los huéspedes que se mude a la
habitación cuyo número es el doble de su
habitación actual así la persona en la
habitación uno se muda la dos lados a la
4 la 3 a las 6 y así sucesivamente y
ahora todas las habitaciones impares se
hallan disponibles y sabes que hay una
cantidad infinita de números impares por
lo que puedes darle a cada una de las
personas del autobús infinito una única
habitación impar este hotel comienza a
aparecer capaz de albergar a todo el
mundo esa es la belleza del infinito
continúa para siempre luego
sorpresivamente llegan más autobuses
infinitos al hotel no solo uno o dos
sino una cantidad infinita de autobuses
infinitos que puedes hacer ahora
bueno armas tu planilla infinita por
supuesto trazas una fila para cada
autobús el autobús uno el dos el tres
etcétera y una fila por encima con todas
las personas que ya son huéspedes del
hotel las columnas son para las
posiciones que ocupa cada persona
entonces tienes habitación 1 habitación
2
3 etcétera y también autobús 1 a 101
autobús 1 a 102 y así sucesivamente y
así cada persona obtiene un código que
lo identifica que es la combinación de
su vehículo y su posición en el cómo
asignas las habitaciones comienza en la
esquina superior izquierda y dibuja una
línea que vaya en zigzag hacia adelante
y hacia atrás a través de la planilla
atravesando cada código de
identificación sólo una vez
luego imagina que jalas de los extremos
de esa línea haciendo que se reacomoden
los códigos partimos de una planilla
infinita en ancho y alto y pasamos a una
línea recta infinita así se vuelve
simple ubicar a cada persona en esa
línea recta en una habitación única del
hotel todos caben y no hay problemas
pero ahora un gran autobús llega al
hotel un autobús de fiesta infinito sin
asientos aquí cada persona a bordo es
identificada a través de un nombre único
lo que es algo inusual sus nombres están
formados solamente por las letras a y b
pero cada nombre es infinitamente largo
por eso alguien se llama abb aa
hay así infinitamente y otro es llamado
ave ave ave ave etcétera en este autobús
hay una persona por cada secuencia
infinita posible de estas dos letras
ahora ave vea a quien ahora apoyaremos a
va ingresa al hotel para organizar las
habitaciones pero tú le dices lo siento
no hay forma en la que podamos ubicarlos
a todos en el hotel y él responde como
puede ser somos un número infinito de
personas y aquí hay un número infinito
de habitaciones cuál es el problema así
que le muestra su planilla infinita
nuevamente y comienzas a asignarle
habitaciones a las personas entonces
tienes la habitación 1 asignada a ava la
habitación 2 a a bbb infinito y así
continúas colocando todas las
combinaciones de aire en cada número de
habitación pero aquí está el problema le
dices a abba digamos que completamos una
lista infinita
aún así puedo escribir el nombre de una
persona que aún no tenga su habitación
la forma de hacerlo es tomar la primera
letra del primer nombre y cambiarla de
una a una vez luego tomar la segunda
letra del segundo
y cambiarla de una vez a una y continúas
haciendo esto a lo largo de toda la
planilla y el nombre que obtienes será
uno que definitivamente no aparece en
ninguna parte de esa planilla porque no
coincidirá con la primera letra del
primer nombre ni la segunda del segundo
nombre ni la tercera letra del tercer
nombre será diferente a todos los
nombres en la lista en al menos una
letra aquella que está en la diagonal
el número de habitaciones del hotel
hilbert es infinito claro pero es
contablemente infinito quiere decir que
hay tantas habitaciones como enteros
positivos de 1 a infinito en cambio el
número de personas en el autobús es
incontable mente infinito
si intentas alinear cada persona con un
número entero todavía quedarían personas
que sobran algunos infinitos son más
grandes que otros
así que hay un límite para la cantidad
de gente que puedes albergar en el hotel
gilbert esto ya es lo suficientemente
sorprendente pero lo que es más loco aún
es que el descubrimiento de los
infinitos de distintos tamaños dio
comienzo a una línea de investigación
que nos llevó directo a la invención del
dispositivo en el que estás viendo este
vídeo ahora mismo pero eso es una
historia para otra ocasión
[Música]
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