The History of Calculus -A Short Documentary | Newton & Leibniz

Summary

El guion narra la fascinante historia del descubrimiento del cálculo, involucrando a algunos de los matemáticos más grandes de todos los tiempos y una pequeña controversia sobre sus orígenes. Desde los métodos de los antiguos griegos hasta las contribuciones de Newton y Leibniz en el siglo XVII, se describe cómo el cálculo evolucionó para modelar el movimiento y el cambio dinámico en el universo. La rivalidad entre ambos científicos y sus aportaciones fundamentales al desarrollo del álgebra infinitesimal y el cálculo integral, cambió para siempre la forma en que entendemos y modelamos fenómenos físicos y matemáticos.

Takeaways

• 📚 La historia del cálculo comienza en la antigua Grecia, donde matemáticos como Docis y Arquímedes emplearon métodos precursores del cálculo integral.
• 📏 Arquímedes desarrolló el método de la exhaustión para calcular áreas y volúmenes, y fue el primero en encontrar tangentes a curvas, lo que se asemeja al cálculo diferencial.
• 🚀 El cálculo evolucionó en el siglo XVII, conocido como el siglo de la Revolución Científica, con contribuciones de matemáticos como Cavaliere, Descartes, Fermat, Pascal y Wallis.
• 🌟 Isaac Newton, un joven en Cambridge, desarrolló el cálculo para explicar problemas físicos como la gravitación y los movimientos planetarios.
• 🔍 Newton enfrentó el desafío de calcular la pendiente instantánea en cualquier punto de una curva, lo que llevó a la creación del concepto de derivada.
• 🔢 Descubrió que la integración es el proceso opuesto a la derivación, estableciendo así el Teorema Fundamental del Cálculo, que vincula el cálculo integral y diferencial.
• 📈 La integral del cálculo permite calcular áreas bajo curvas, como la distancia recorrida en un gráfico de velocidad vs. tiempo.
• 🌐 El cálculo cambió la forma en que se entendía el movimiento y el cambio dinámico en el universo, impactando áreas como la física y la ingeniería.
• 📚 Gottfried Leibniz, un filósofo y matemático alemán, también desarrolló el cálculo de manera independiente, con un enfoque metafísico y una notación superior.
• 📝 Leibniz publicó su trabajo sobre el cálculo en 1684, lo que generó una controversia sobre quién lo descubrió primero, aunque hoy se reconoce a ambos como descubridores independientes.
• 🌟 La contribución de Newton y Leibniz al cálculo fue fundamental para el avance de la civilización, conectando el universo físico con la matemática.

Q & A

¿Quién fue el primer matemático que usó un método similar al cálculo integral?

Zeuxis, un matemático griego del siglo 4 a.C., utilizó un método conocido como 'exhaustión' para encontrar áreas y volúmenes de figuras geométricas.

¿Cómo describió Arquímedes el área de una circunferencia?

Arquímedes describió el área de una circunferencia como igual a PI multiplicado por el radio al cuadrado, utilizando el método de polígonos regulares que se acercaban al círculo.

¿Qué es el método de 'exhaustión' y cómo se relaciona con el cálculo integral?

El método de 'exhaustión' es un enfoque matemático que se utiliza para calcular áreas y volúmenes a partir de polígonos regulares que se acercan a las figuras curvas, lo cual es similar al concepto de integrales en el cálculo.

¿Qué es el cálculo diferencial y cómo se relaciona con el concepto de tangente a una curva?

El cálculo diferencial es una rama del cálculo que estudia los cambios en las funciones, como la tangente a una curva, mediante el uso de derivadas, que representan la tasa instantánea de cambio de una función en un punto específico.

¿Quién fue Cavalieri y qué aportó al desarrollo del cálculo integral?

Cavalieri fue un matemático del siglo XVII que desarrolló el 'método de indivisibles', que fue un paso hacia el cálculo integral y se basó en la idea de que los sólidos con secciones iguales tienen volúmenes iguales.

¿Qué es el principio de Cavalieri y cómo influenció el cálculo?

El principio de Cavalieri afirma que si dos sólidos tienen la misma altura y sus secciones transversales tienen áreas iguales, entonces los volúmenes de ambos sólidos son iguales, lo que influenció en el desarrollo de técnicas de integración en el cálculo.

¿Cómo se relaciona la obra de Isaac Newton con el desarrollo del cálculo?

Isaac Newton desarrolló el cálculo para resolver problemas físicos relacionados con la gravitación y los movimientos celestes, introduciendo conceptos como las derivadas y el teorema fundamental del cálculo.

¿Qué es el teorema fundamental del cálculo y qué demuestra?

El teorema fundamental del cálculo establece una conexión entre el cálculo diferencial y el integral, demostrando que la integración de una función derivada recupera la función original.

¿Quién fue Gottfried Wilhelm Leibniz y qué contribución realizó al cálculo?

Gottfried Wilhelm Leibniz fue un matemático y filósofo alemán que, de manera independiente de Isaac Newton, desarrolló y publicó sobre el cálculo, introduciendo notación y conceptos que se utilizan en el cálculo moderno.

¿Cuál es la notación de Leibniz para las derivadas y cómo se diferencia de la de Newton?

La notación de Leibniz para las derivadas utiliza el diferencial 'dx' y la fórmula 'dy/dx' para representar la derivada, lo que se diferencia de la notación de Newton, que usaba 'fluxions' y 'fluents'.

¿Cómo cambió el cálculo la forma en que entendemos el movimiento y el cambio en el universo?

El cálculo permitió a los matemáticos y científicos modelar y entender fenómenos dinámicos y de cambio en el universo, como los movimientos planetarios y la fluidodinámica, proporcionando una herramienta para analizar y predecir el comportamiento de sistemas complejos.

Outlines

00:00

📚 El Nacimiento del Cálculo

Este párrafo explora el origen del cálculo, remontándose a más de 2500 años hasta los antiguos griegos. Se menciona a Zénón de Elea, quien usó el método de exhaustión para calcular áreas y volúmenes de figuras geométricas. Archimides perfeccionó este método y lo utilizó para demostrar que el área de un círculo es igual a PI r-cuadrado. También fue el primero en encontrar la tangente a una curva, lo que presagió el cálculo diferencial. Avanzando al siglo XVII, se destaca el desarrollo del cálculo integral por parte de matemáticos como Cavaliere, Isaac Barrow, Rene Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal y John Wallis. El párrafo culmina con la introducción de Isaac Newton en Cambridge, donde, enfrentado a problemas físicos, desarrolló el cálculo para explicar fenómenos como la gravitación y los movimientos planetarios.

05:01

🔍 La Innovación de Newton y Leibniz en el Cálculo

Este párrafo narra cómo Newton desarrolló el cálculo diferencial, el cual permite calcular la pendiente instantánea de cualquier curva en un punto específico, utilizando el concepto de 'flujo' y 'flujoión'. Posteriormente, Newton descubrió el cálculo integral, que es el proceso opuesto al diferencial y permite calcular áreas bajo curvas. Newton publicó su trabajo en 'Principia Mathematica' en 1687, lo que marcó un hito en la física y la matemática. También se menciona a Gottfried Leibniz, quien, de manera independiente, desarrolló y publicó sobre el cálculo, introduciendo notación que se utiliza hasta hoy en día. Aunque surgió una controversia sobre quién lo descubrió primero, ambos matemáticos son reconocidos como independientes en su contribución al cálculo.

10:03

🚀 El Impacto del Cálculo en la Civilización

El último párrafo enfatiza el impacto incalculable del cálculo en la civilización, especialmente en el siglo XVII, cuando Newton y Leibniz conectaron el universo físico del movimiento y el cambio con las matemáticas. Esto ha permitido a los matemáticos y los ingenieros modelar sistemas de cambio y movimiento en campos como la medicina y la economía, más allá de la física. El cálculo ha sido fundamental para avanzar en la comprensión y la manipulación del mundo dinámico que nos rodea.

Keywords

💡Cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que estudia los cambios y la variabilidad. Es central en el video, ya que narra la historia del descubrimiento del cálculo y su importancia en la comprensión del movimiento y el cambio dinámico en el universo. Ejemplos del script incluyen el uso del cálculo para explicar la caída de un objeto y las órbitas elípticas de los planetas.

💡Método de exhaustión

Este método, desarrollado por los matemáticos griegos, se utiliza para calcular áreas y volúmenes de figuras geométricas. En el video, se menciona cómo Arquímedes utilizó el método de exhaustión para determinar que el volumen de un cono es un tercio del volumen de su cilindro correspondiente.

💡Arquímedes

Arquímedes fue un matemático griego que contribuyó significativamente al cálculo. En el video, se destaca cómo él descubrió el área de la circunferencia y el volumen de un cono utilizando el método de exhaustión, lo que presagia conceptos del cálculo integral.

💡Cavaliere

Bonaventura Cavalieri fue un matemático del siglo XVII que desarrolló el 'método de indivisibles', un precursor del cálculo integral. En el video, se describe cómo su principio establece la igualdad de volumen de dos sólidos con secciones transversales iguales.

💡Derivada

La derivada es un concepto fundamental del cálculo diferencial que calcula la tasa de cambio instantánea de una función. En el video, se ilustra cómo Newton desarrolló la derivada para resolver problemas físicos relacionados con la gravedad y el movimiento.

💡Integral

El cálculo integral es la parte del cálculo que calcula el área bajo una curva. En el video, se describe cómo la integral se utiliza para determinar áreas y volúmenes, y cómo Newton la descubrió como el proceso opuesto a la derivación.

💡Isaac Newton

Sir Isaac Newton fue un físico y matemático inglés que, junto con Leibniz, es reconocido como el co-descubridor del cálculo. En el video, se narra cómo Newton desarrolló el cálculo para explicar fenómenos físicos y su publicación del 'Principia Mathematica'.

💡Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz fue un filósofo y matemático alemán, también considerado co-descubridor del cálculo. En el video, se menciona su enfoque metafísico al cálculo y su notación, que se utiliza en el cálculo moderno.

💡Infinitesimal

Los infinitesimales son cantidades extremadamente pequeñas, consideradas por Leibniz como los componentes básicos del cálculo infinitesimal. En el video, se describe cómo estos se utilizan para calcular áreas y volúmenes a través de un proceso de límite.

💡Límite

El concepto de límite es esencial en el cálculo para describir el comportamiento de funciones cuando sus argumentos se acercan a ciertos valores. En el video, se explica cómo el límite se utiliza en el cálculo para definir derivadas y integrales.

💡Ciencia de la Revolución Científica

El siglo XVII se conoce como la época de la Revolución Científica, un período de gran avance en el conocimiento científico y matemático. En el video, se establece este siglo como el telón de fondo del desarrollo del cálculo por parte de Newton y Leibniz.

Highlights

Calculus has an intriguing history involving the greatest mathematicians and some controversy over its origins.

The journey into calculus begins with the ancient Greeks and the method of exhaustion used by ZEUXIS in 400 BC.

Archimedes further developed the method of exhaustion to prove the area of a circle is equal to PI * r-squared.

Archimedes invented heuristics, an early form of integral calculus, to calculate areas and volumes of shapes.

Archimedes was the first to find the tangent to a curve, laying the groundwork for differential calculus.

In the 17th century, Cavaliere developed a method of indivisibles, an early step towards integral calculus.

European mathematicians like Descartes and Fermat began discussing the concept of the derivative in the 17th century.

Isaac Newton and Gottfried Leibniz are the most notable for their breakthroughs in calculus during the Scientific Revolution.

Newton developed calculus to solve physics problems of gravitation, motion, and planetary orbits.

Newton's calculus included the concept of the derivative, or the gradient function, and the method of fluxions.

Leibniz independently developed calculus, viewing integrals as sums of infinite rectangles.

Leibniz published his work on calculus, including differential and integral calculus, before Newton.

A controversy arose over who discovered calculus first, with Newton and Leibniz both recognized as independent discoverers.

Leibniz's notation for calculus is the one used in modern mathematics.

Calculus allows for the modeling of change and motion in various fields such as medicine and economics.

Newton and Leibniz's work in calculus dramatically advanced civilization by connecting the physical universe with mathematics.

Transcripts

have you ever wondered how calculus was

discovered it's an interesting story

containing some of the greatest

mathematicians of all time and a little

controversy to the origins of calculus

go way back more than 2,500 years to the

ancient Greeks where we begin our

journey into the birth of calculus in

400 BC Greek mathematician knew DOCSIS

used a method of exhaustion to find the

areas and volumes of shapes he

discovered that the volume of a cone was

one-third the volume of its

corresponding cylinder at around 240 BC

Archimedes developed this method of

exhaustion further to prove that the

area of a circle is equal to PI

r-squared he did this by drawing regular

polygons inside a circle and to the

regular polygon had so many sides that

have practically become the circle

itself by coming up with a formula for

the area of a circle

Archimedes invented a style of

mathematics called heuristics this was

an approach to problem solving that's

not quite perfect but it's still

practical and sufficient enough

heuristics started to resemble early

integral calculus and Archimedes used

the method of exhaustion to calculate

further areas such as the area under a

parabola and the surface area and volume

of a sphere Archimedes was also the very

first to find the tangent to a curve

rather than just a circle using a method

that started to resemble differential

calculus when studying the spiral known

today as the Archimedes spiral he

separated the points motion into two

components one at radial and one

circular motion he added the two motions

together and by doing this was able to

find the tangent to a curve

moving on now from ancient mathematics

and now fast boarding to the 17th

century

at this time often called the century of

the Scientific Revolution many great

mathematical ideas formulas and proofs

were discovered Cavaliere developed a

method of indivisible x' in the 1630s

which was a more modern version of the

method of exhaustion by Archimedes and

an early step towards integral calculus

Cavaliers principle states that if we

have two solids of equal height sitting

on the same plane with equal cross

sectional areas as though we have sliced

these solids up into flat cross-sections

then the volume of these two solids must

be equal other european mathematicians

in the 17th century such as Isaac Barrow

Rene Descartes Pierre de Fermat Blaise

Pascal and John Wallis all began to

discuss the idea of something called the

derivative but the two most notable

mathematicians at this time Isaac Newton

and Gottfried Leibniz were about to make

one of the most incredible breakthroughs

in mathematics of all time in the mid

1600s at the peak of this scientific

revolution a young man called Isaac

Newton was living in Cambridge England

as a teenager he was removed from school

and his mother widowed twice tried to

make a farmer out of him the Newton

hated farming the master of king's

school eventually convinced Newton's

mother to send him back to school so he

could complete his education and it's

just as well that he did he quickly

became a top ranking student and stood

out from his peers by building things

such as Sun dials and windmills

in 1661 he began his studies at Trinity

College Cambridge

however in 1667 Trinity College was

closed due to the precautions from the

plague during this time the 22 year old

Newton was trying to solve physics

problems but he needed to come up with

some kind of dynamic mathematical system

to help explain his physics problems of

gravitation motion and the orbits of the

planets

for most he was a physicist and he

worked extensively on laws of motion and

gravitation but no mathematics yet

existed to explain how an object falls

increasing in speed every split-second

Newton also wanted to work out why the

orbits of the planets were ellipses and

as a result he developed infant assimil

calculus building on the work of

European mathematicians such as Rene

Descartes and Pierre de Fermat by

forcing a relationship between physical

phenomena like the laws of motion

gravitation and the orbits of the

planets he saw the need for the

development of a whole new dynamic

system of mathematics so how did he come

up with this dynamic mathematical system

the initial problem confronted by Newton

was that it's easy enough to find the

average gradient on a function using

rise over run such as the average speed

in a distance time graph however what

happens when the slope of the curve is

always changing a method didn't yet

exist to give the exact slope on any

point on a curve that was changing its

rate multiple times newton's started to

realize that as the secant of a curve

becomes smaller and smaller the slope

becomes an exact point and we can draw a

tangent at this point we know that the

tangent is a straight line that only

touches the curve at one point and so as

the secant approaches zero to become the

point on the curve the calculation of

the slope becomes closer and closer to

the exact slope at this point this is

when Newton calculated something called

the derivative or gradient function

which can accurately give the slope at

any point on any function Newton called

this process of calculating the

instantaneous rate have changed the

Fluxion and the changing wine x-values

the fluence

which is the differential calculus we

use today

once he had come up with the derivative

function or the gradient function you

tan establish that it's been really easy

to find the instantaneous rate of change

on any curve at any point by just

inserting a value FEX Newton then came

up with the discovery that the opposite

of differentiation is integration and he

named integration as the method of

fluence in his fundamental theorem of

calculus where Newton links integral and

differential calculus he saves that

differential and integral calculus are

opposites or inverse operations so that

when you differentiate a function and

then integrate it the original function

is retrieved so what exactly is integral

calculus the integral of a curve is the

formula for calculating the area bound

by the curve in the x axis between 2x

points the area under a velocity time

graph for example would be the actual

distance traveled integration can be

achieved by breaking the area into

infinitesimally thin rectangles and then

adding up all the areas of all the

rectangles to get the exact area under

the curve the thin of the rectangles are

in their width the more accurate the

area under the curve would be which

eventually would approach the exact area

this is known as a limiting procedure as

the width of the rectangles approaches

zero in the same way that the length of

the secant approach 0 for

differentiation the development of

mathematics by the Greeks up until this

time was very static however calculus

would allow for mathematicians and

engineers to really make sense of motion

and dynamic change in the world around

us such as the orbits of the planets and

the motion of fluids Newton was

considered one of the most influential

figures in history to this day and in

1687 he published principia mathematica

the principles of natural philosophy

which dominated the scientific view of

the universe for the following three

centuries moving on now to the second

discoverer of calculus Scott Fred

Leibnitz Gottfried Leoben it's born in

Germany in 1646 or Sunter a professor of

moral philosophy he was lucky enough to

inherit his father's personal library

who unfortunately died when he was

only six years old his father's library

enabled him to study a wide variety of

advanced philosophical and theological

works not available in general

schoolwork he was only 18 when he

graduated with the master's in

philosophy and after only one year of

legal studies he was awarded a Bachelor

of law after meeting mathematician and

friend Christian Huggins he convinced

Leibnitz to dedicate time to the study

of mathematics and so in 1674 Leibnitz

began working on calculus his approach

to calculus was from a metaphysical

point of view he reasoned that the

integrals are some of the ordinates the

infant is little intervals in the

abscissa so the sum of infinite

rectangles from these definitions he

quickly identified the relationship of

integration with differentiation and he

realized the potential to form a whole

new system of mathematics

in 1684 he published his work on the

theory of calculus which included

differential and integral calculus

completely independently of Isaac Newton

as Newton hadn't published anything on

calculus yet a controversy arose as to

who discovered calculus first eventually

Newton was credited as a first

discoverer and Lieber Nets was credited

with the first to publish work over the

years there have been both accepted as

independent discoverers of calculus it

was Lebanese who thoughtfully used

superior notation to Newton which is the

notation used today in modern calculus

if we compare the calculus of Newton and

Leibnitz the descriptive terms to

describe change by both mathematicians

was essentially very different for

Lebanese change was the difference

ranging over a sequence of infinitely

close values called infinitesimal these

are the basic ingredient in the

infinitesimal calculus developed by

Leibnitz infinity smalls for lab nets

were the small quantities such as the

tiny rectangles and the tiny gradient

values of the secant eventually

approaching zero they are so small in

fact that there isn't any way of

measuring them later on mathematicians

would describe this as a limit the rise

of calculus by Newton and Leibnitz in

the 17th century was such a unique and

significant moment in mathematics it was

a whole new system and form of maths too

help describe our dynamic universe the

benefits of using calculus to model any

system of change or motion today is

virtually unlimited in any field such as

medicine and economics and is not

restricted to physics only we can

appreciate Newton and Leibnitz for

pushing civilization forward in such a

dramatic way in the 17th century by

connecting the physical universe of

motion and change with mathematics

[Music]

you