Autovalores y Autovectores de una matriz | Conceptos básicos
Summary
TLDREl script de este video impartido por el canal de física y matemáticas explica de manera clara y sencilla los conceptos de autovalores y autovectores de una matriz. Se menciona que estos solo se pueden calcular en matrices cuadradas, y se procede a demostrar cómo se determinan los autovalores a través de la ecuación característica y el polinomio característico. El video también introduce el concepto de multiplicidad algebraica de los autovalores. Se promete un segundo video para enseñar cómo calcular los autovectores, animando a los espectadores a suscribirse y participar en los comentarios.
Takeaways
- 😀 Los autovalores y autovectores son conceptos fundamentales en álgebra lineal que se utilizan para analizar las propiedades de una matriz.
- 📚 Para calcular los autovalores y autovectores, la matriz debe ser cuadrada, es decir, tener el mismo número de filas y columnas.
- 🔍 La ecuación matricial para encontrar los autovalores y autovectores es \( A\vec{v} = \lambda\vec{v} \), donde \( A \) es la matriz, \( \lambda \) es el autovalor y \( \vec{v} \) es el autovector correspondiente.
- 📉 Los autovalores de una matriz son los valores escalares que satisfacen la ecuación característica, y pueden ser reales o complejos.
- 🌟 Los autovectores asociados a un autovalor son vectores no nulos que se mantienen invariantes bajo la multiplicación por la matriz.
- 📝 El número de autovalores distintos que tiene una matriz es igual a su dimensión, y pueden repetirse, lo que se llama multiplicidad.
- 📋 Se utiliza el polinomio característico, que es el determinante de \( A - \lambda I \) igual a cero, para encontrar los autovalores.
- 🔢 El polinomio característico de una matriz de orden 3, como la utilizada en el ejemplo, es un polinomio de tercer grado.
- 🎯 El cálculo de los autovalores puede simplificarse a veces mediante factorización, como se muestra en el ejemplo donde se factoriza \( 2 - \lambda \) y se resuelve el polinomio resultante.
- 📘 Los autovectores se calculan una vez conocidos los autovalores, y son vectores que satisfacen la ecuación \( (A - \lambda I)\vec{v} = 0 \).
- 👨🏫 El script es una clase en vídeo que explica de manera sencilla cómo calcular los autovalores y autovectores, y se anima a los espectadores a suscribirse y descargar un archivo PDF con los detalles.
Q & A
¿Qué son los autovalores y autovectores de una matriz?
-Los autovalores y autovectores son conceptos fundamentales en la teoría de matrices. Un autovalor (también conocido como valor propio o característico) es un escalar que multiplica un vector no nulo, llamado autovector, de tal forma que la matriz resultante de la multiplicación de la matriz original por el autovector es igual a la multiplicación del autovalor por el autovector.
¿Es necesario que la matriz sea cuadrada para calcular sus autovalores y autovectores?
-Sí, la matriz debe ser cuadrada, es decir, tener el mismo número de filas y columnas, para poder calcular sus autovalores y autovectores.
¿Cómo se calcula un autovalor de una matriz?
-Para calcular un autovalor, se resuelve la ecuación característica, que es el determinante de la matriz original menos el autovalor (λ) por la matriz identidad. La ecuación se resuelve para encontrar los posibles valores de λ, que son los autovalores.
¿Cuál es la relación entre la dimensión de una matriz y el número de autovalores que tiene?
-La dimensión de la matriz (el número de filas o columnas, ya que es cuadrada) es igual al número de autovalores que tiene la matriz.
¿Qué es el polinomio característico y cómo se construye?
-El polinomio característico es una expresión algebraica que se obtiene del determinante de la matriz menos λ por la matriz identidad. Es una forma de encontrar los autovalores de una matriz cuadrada.
¿Cómo se relacionan los autovalores con el polinomio característico?
-Los autovalores son las soluciones del polinomio característico. Es decir, son los valores de λ que hacen que el polinomio sea cero.
¿Qué se entiende por multiplicidad de un autovalor?
-La multiplicidad de un autovalor es el número de veces que aparece ese valor como solución del polinomio característico. También se refiere a la cantidad de veces que el autovalor puede ser calculado de manera independiente.
¿Por qué es importante la multiplicidad algebraica de un autovalor?
-La multiplicidad algebraica de un autovalor es importante porque indica cuántas veces el autovalor se repite en la solución del polinomio característico, lo que puede afectar a la cantidad de autovectores independientes que se pueden asociar a ese autovalor.
¿Cuántos autovectores asociados a un autovalor se consideran para formar una base?
-Se consideran tantos autovectores como sean necesarios para formar una base. En el caso de un autovalor que se repite, solo se consideran los autovectores que forman una base lineal independiente.
¿Cómo se calculan los autovectores una vez conocidos los autovalores?
-Para calcular los autovectores, se resuelve la ecuación (A - λI)v = 0, donde A es la matriz original, λ es el autovalor, I es la matriz identidad y v es el autovector que se busca. Esto da una ecuación lineal que se resuelve para encontrar los vectores v.
¿Por qué es útil el conocimiento de autovalores y autovectores en el estudio de matrices?
-El conocimiento de autovalores y autovectores es útil en muchos campos de las matemáticas y la física, como en la diagonalización de matrices, el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos, la comprensión de las propiedades de las transformaciones lineales y en el estudio de la estructura espacial de los datos.
Outlines
😀 Introducción a Autovalores y Autovectores
El primer párrafo introduce el tema de los autovalores y autovectores en el contexto de la física y las matemáticas. Se menciona que se explicará de forma clara y sencilla, y se enfatiza la importancia de que la matriz para calcular estos valores debe ser cuadrada. Se presenta una ecuación matricial para encontrar los autovalores (λ) y los autovectores (v), y se señala que estos pueden ser reales o complejos. Además, se invita a los espectadores a suscribirse al canal y se menciona un enlace para descargar un PDF con información relevante.
📚 Multiplicidad y Base de Autovectores
El segundo párrafo profundiza en la idea de los autovalores y autovectores, explicando que cada autovalor puede tener un conjunto infinito de autovectores que satisfacen la ecuación matricial. Sin embargo, solo se interesan aquellos autovectores que forman una base, es decir, un conjunto de vectores que permite generar todos los demás. Se ilustra con un ejemplo práctico de cómo se pueden generar nuevos autovectores a partir de una base, y se menciona que los autovalores pueden repetirse.
🔍 Cálculo del Polinomio Característico
Este párrafo se enfoca en el cálculo de los autovalores a través del polinomio característico. Se describe el proceso de construir el polinomio, que involucra el determinante de la matriz menos lambda por la matriz identidad. Se resuelve el determinante para encontrar el polinomio y se simplifica para obtener una ecuación que permite calcular los autovalores. Se utiliza un ejemplo concreto para demostrar cómo se obtienen los autovalores, destacando la importancia de factorizar y resolver la ecuación resultante.
🏁 Conclusión y Preparación para el Siguiente Vídeo
El último párrafo concluye el tema de los autovalores y presenta la multiplicidad algebraica de estos, que es el número de veces que se repite cada autovalor. Se resaltan los tres autovalores encontrados y se explica que, aunque hay dos valores distintos, en total hay tres autovalores debido a la repetición del valor 2. Se menciona que en un próximo video se abordarán los autovectores asociados a estos autovalores y se invita a los espectadores a dejar sus dudas en los comentarios y a seguir interactuando con el canal.
Mindmap
Keywords
💡Autovalores
💡Autovectores
💡Matriz cuadrada
💡Ecuación característica
💡Polinomio característico
💡Determinante
💡Matriz identidad
💡Multiplicidad algebraica
💡Base de vectores
💡Matriz
Highlights
Introducción a los autovalores y autovectores de una matriz.
Explicación clara y sencilla de los conceptos de autovalores y autovectores.
Requisito previo: la matriz debe ser cuadrada para calcular autovalores y autovectores.
Definición de autovalores y autovectores: lambda es el autovalor y el vector es el autovector.
Sinónimos: Autovalores también se llaman valores propios o característicos.
Sinónimos: Autovectores también se llaman vectores propios o característicos.
Una matriz de orden n tendrá n autovalores.
Los autovalores pueden repetirse en los cálculos.
Para cada autovalor, hay un conjunto infinito de autovectores que satisfacen la ecuación matricial.
Solo interesan los autovectores que forman una base.
Ejemplo práctico: cálculo de una base de autovectores para un autovalor específico.
Método para calcular autovalores usando el polinomio característico.
Desarrollo del determinante para encontrar los autovalores.
Resolución del polinomio característico para obtener los autovalores.
Definición de la multiplicidad algebraica de un autovalor.
Multiplicidad algebraica: número de veces que se repite un autovalor.
Próximo vídeo: cálculo de autovectores asociados a cada autovalor.
Transcripts
hola amigos bienvenidos a esta vídeo
clase del canal física y mates os voy a
explicar que son los auto valores y los
auto vectores de una matriz lo voy a
explicar de una forma muy clara y muy
sencilla
y vamos a ver cómo se calculan los auto
valores podría hacer auto valores y auto
vectores pero para que el vídeo no quede
muy largo y no complicaron mucho la vida
primero os voy a explicar cómo se
calculan los auto valores y
posteriormente en el siguiente vídeo los
autor héctor es antes de comenzar la
vídeo clase os animo a que os suscribas
al canal para estar al corriente de
todos los vídeos que vamos subiendo y
que seguro que van a ser de muchísima
ayuda en vuestros estudios y recordaros
que la descripción del vídeo aparece un
enlace de descarga para descargar un
archivo pdf con todo lo que veréis que
escribo en la pizarra digital vamos a
comenzar veréis
yo tengo una matriz a esta que tenemos
aquí que tiene tres filas y tres
columnas lo que viene siendo una matriz
cuadrada de orden 3
para ello puedes calcular lea esta
matriz los auto valores y los auto
vectores hay un requisito previo que
debe de cumplir y lo he puesto aquí en
color rojo la matriz
debe ser cuadrada no podremos calcular
los auto valores y los auto vectores a
una matriz que no sea cuadrada para
calcular los auto valores y los auto
vectores para ver primero que son
partimos de la siguiente ecuación
matricial cogemos la matriz a 200 111
menos 111
y la multiplicamos por un vector y esto
nos va a dar
landa que sus números multiplicado por
el mismo vector
este número lambda puede ser un número
real
o puede ser un número complejo
bien pues a este número holanda se le
conoce con el nombre de auto
valor y este vector que tenemos aquí y
que también lo tenemos aquí es lo que se
conoce como el auto vector
a los auto valores en algunos libros lo
llaman valores propios incluso también
lo llaman valores
característicos característicos y al
auto vector se le suele llamar también
vector propio o vector característico es
decir dependiendo del libro que uséis me
entra un nombre o vendrá otro
yo voy a llamar a auto valor y auto
vector bueno pues esta es la ecuación
que nos va a permitir calcular de esta
matriz sus auto vectores y sus auto
valores el auto vector uve
realmente para este caso particular que
tenemos aquí va a tener tres coordenadas
x y y z porque como la matriz a tiene
tres filas por tres columnas para que se
puedan multiplicar y tenga sentido esta
ecuación matricial el vector v tiene que
tener tres coordenadas entonces
finalmente me quedaría la ecuación que
me da los auto valores y los auto
vectores de la matriz a me quede la
matriz 200 111 menos 111 x x y y z que
son las coordenadas del vector v igual
al anda por el mismo vector v otra vez
de acuerdo a esta ecuación la voy a
llamar ecuación número uno porque más
tarde me voy a referir a ella y para no
tener que escribir las dos veces pues me
referiré a ella como la ecuación número
uno
entonces ya hemos entendido
que es el auto valor y que es el auto
vector pero vamos a profundizar más para
poder entender perfectamente los
ejercicios una matriz a en este caso
está
tendrá y éste da esto que voy a escribir
ahora es muy importante tendrá tantos
auto valores
y esto es muy importante
como dimensión tenga
como dimensión
tenga a es decir la propia matriz
en nuestro caso particular en nuestro
caso particular la dimensión de la
matriz a vale 3 porque tenemos una
matriz cuadrada de orden 3 3 filas por
tres columnas pues esto significa que
esta matriz a va a tener 3
auto valores
los auto valores que va a tener lo voy a
llamar por ejemplo land a uno
landa 2 irlanda 3 y una cosa que es
importante
estos auto valores
pueden repetirse
que nadie se asuste si cuando calculemos
los dolores de esta matriz nos aparece
que nos salen dos veces el mismo dolor
vamos a avanzar un poquito más
de permitidme que desplace un poquito la
pizarra hacia arriba para tener más
sitio para escribir entonces
mirando esta ecuación matricial de aquí
tendremos que
para cada
para cada auto valor landázuri nosotros
lo que vamos a tener es un conjunto
infinito de auto vectores
que satisfacen esa ecuación
que satisfacen
la ecuación esta de aquí arriba
esta de aquí que la misma que esta que
satisfacen la ecuación que yo he llamado
como 1
es decir para cada auto valor de nuestro
problema hay infinitos auto vectores que
verifican esta igualdad que es la misma
que está
pero de esos infinitos auto valores
solo nos interesan
unos cuantos vale y cuáles son esos
cuantos pues esos cuantos son los que
forman
una base
solo nos interesan los que forman
una base
qué es una base de vectores pues es un
conjunto de vectores a partir del cual
se pueden encontrar todos los demás es
decir desde los infinitos auto vectores
que genera cada auto valor solo nos van
a interesar los que forman una base
que genera
pues los infinitos auto vectores
y se suele llamar generalmente auto
vector a los auto vectores de la base no
a los infinitos esta base se suele
representar de la siguiente forma con la
letra h mayúscula y entre paréntesis se
mete el auto valor correspondiente
permitirme que desplace un poquito hacia
abajo la pizarra por ejemplo vamos a
hacer un ejemplo para que lo veáis
por ejemplo para el auto valor landa uno
igual a 2
tenemos una base de auto vectores que se
escribiría así h de la cndh a uno igual
y ahora entre llaves se meten los
vectores aquí tendríamos este vector por
ejemplo y este vector por ahora no he
dicho cómo se calcula esto he dicho lo
que significa esto significa que para la
matriz que hemos visto anteriormente el
primer auto valor vale 2 y este otro
valor genera infinitos auto vectores
pero nos quedamos con una base de auto
vectores que son aquellos que generan
todos los demás por ejemplo como ésta
que está aquí en la base pues yo puedo
estos dos vectores y formar un
nuevo auto vector
por ejemplo multiplicó por tres el
primer auto vector
de la base el segundo lo multiplicó por
2
y lo sumo y me quedaría el 330 y ahora
el menos 202 y esto me quedaría 32 es
113 aquí y 12 aquí bueno pues este
vector es un auto vector de la matriz
y lo hemos generado con la base que ya
os diré cómo se calcula de acuerdo esto
es lo que significa cada auto valor
lleva asociado una base de auto vectores
con los que se forman todos los
instintos auto vectores lo que pasa que
los libros para no confundir mucho
suelen llamar auto vectores a los auto
vectores esto de aquí de la base y es a
los que nosotros vamos a llamar a otro
vector es realmente bueno pues ya hemos
definido qué son los auto valores y qué
son los auto vectores vamos entonces a
ver cómo se calculan los auto valores
vamos a comenzar entonces con el cálculo
de los auto valores de la matriz y hemos
visto que cumple el requisito previo de
que es una matriz cuadrada
hemos dicho anteriormente que el número
de otros valores que tiene nuestra
matriz es igual al de su dimensión
entonces como la dimensión de la matriz
a vale 3
esto significa que esta matriz tiene 3
auto valores
que como he dicho pueden repetirse como
los cálculos muy sencillos construimos
lo que se conoce con el nombre de
polinomio
turístico
vamos a ver qué es eso del polinomio
característico y cómo se monta
y se calcula con la siguiente fórmula el
determinante de la matriz menos lambda
por la matriz unidad correspondiente
igual a cero
esta matriz unidad va a tener la misma
dimensión que la matriz por lo tanto
como la matriz es de orden 3 la matriz
unidad será de orden 3 os recuerdo que
la matriz unidad es una matriz donde
todos sus elementos son 0 menos los de
la diagonal principal que sería esta de
aquí que valen 1
pero esto es muy sencillo porque esto lo
que viene a decir para montar este
polinomio característico lo que tenemos
que hacer lo siguiente cogemos la matriz
y en la diagonal principal que se está
de aquí le restamos el valor lambda es
decir me quedaría 2 - lambda el resto de
valores tal como están en la segunda
fila 1 aquí 1 - lambda este tal como
está fijaros que sólo estoy afectando en
la recta del lambda a los valores de la
diagonal principal menos 11 y aquí pues
1 - landa y ahora esto labor
determinante y lo igualó a cero aquí
conviene poner el paréntesis para que no
nos confundamos los paréntesis son
gratis los podéis usar todo lo que
queráis
y bueno vamos a resolver
está este polímero característico vamos
a empezar a resolver el determinante
2 - 1 2 - holanda por 1 - landa por
número normal
landa me quedaría 2 - landa por 1 -
holanda por 1 - holanda más ahora me
quedaría uno por uno por cero es 0 +
menos uno por cero por uno es 0 - menos
1 por esto y por esto es 0 más uno por
uno y por dos menos lambda pues dos
menos landa y ahora más uno menos blanda
por uno por cero es cero fijaros que
estos elementos
2 - lambda 1 - landa y no menos landas
yo los trato como si fuese un único
número
y bueno voy a seguir aquí voy a empezar
a resolver esto fijaros do menor lambda
por 1 - holanda por 1 - holanda me
quedaría
2 - lambda por 1 - lambda al cuadrado
+ 0 0 no hace nada y menos esto pues me
quedarían menos 2 - lambda igual a cero
como sabemos que va a tener tres autos
valores porque la dimensión de la matriz
a ya sabemos que esto es un polinomio de
tercer grado no entonces fijaros que
aquí tendríamos que hacer este cuadrado
multiplicar por esto restarle esto y
después nos quedaría un polinomio del
3er creador que habría que hacerle la
regla de a ruffin y muy lioso pero en
este caso éste se puede resolver de una
forma muy sencilla porque como tenemos
dos sumando y tenemos 2 - landas en los
dos suman 2 puedo sacar factor común 2 -
landa y me quedaría
1 - landa al cuadrado
menos uno igual a cero yo lo único que
he hecho ha sido sacar factor común que
tenemos aquí un producto igual a cero si
este producto es igual a cero tiene que
ocurrir una de estas dos cosas o que el
primer término del producto sea nulo es
decir dos menos landas sea igual a cero
y de aquí despejó la lnd ahí me queda
lambda igual a 2 por lo tanto ya tengo
mi primer auto valor
y la segunda opción es que
1 - lambda al cuadrado menos 1 sea cero
aquí ya no me queda más remedio que
desarrollar esto me voy a venir a esta
parte de aquí y tendría uno menos grande
al cuadro sería el cuadrado del primero
más el cuadrado del segundo
- el doble producto del primero por el
segundo y ahora menos uno
igual a cero fijaros que esto se me va
con esto y me quedaría landa al cuadrado
menos 2 landa igual a cero esto es una
cuestión del segundo grado que es fácil
de resolver
pero yo la voy a resolver sacando factor
común también porque lo veo más sencillo
aquí fijaros saco factor común landa y
me quedaría landa menos 2 igual a 0 y
por el mismo procedimiento que he hecho
aquí una posibilidad es que lambda sea
cero es decir que el primer término sea
cero porque tengo por lo tanto ya tengo
aquí mi segundo auto valor y la otra
posibilidad es que el anda menos dos sea
cero por lo tanto tengo aquí que landa
es igual a 2 y tengo mil mi tercer o tu
valor entonces fijaros
voy a subrayar tengo aquí mi primer otro
valor aquí tengo el segundo y aquí tengo
el tercero tal como preveíamos aquí
arriba tenemos tres auto valores ya
desplazó un poquito hacia abajo la
pizarra
y ahora por último para terminar ya el
cálculo de los ocho valores tenemos que
ver lo que se conoce como multiplicidad
esto es un dato muy es una definición
muy importante al es hebraica
del auto valor
landa y perdona un momento que me he
confundido del auto valor
landa y se suele representar así en
minúscula por
qué es la multiplicidad de un auto valor
es el número de veces que se repite ese
auto valor así de sencillo yo tengo tres
autos valores tengo el anda uno me ha
salido queda dos landa dos me ha salido
que es cero y landa tres me ha salido
que es dos esto yo lo podría dejar así
pero tengo que escribirlo de una forma
más elegante utilizando para ello este
bonito término o concepto que acabo de
definir aquí que es lo que se conoce
como la multiplicidad algebraica del
otro valor landay y como se escribe esto
utilizando esta definición pues yo digo
primero auto valor landa uno igual a 2
cuánto vale su multiplicidad la
multiplicidad uno fijado que el
subíndice uno hace referencia a que es
la multiplicidad del auto valor uno pues
como se repite dos veces
una y dos pues esto vale 2
segundo todo el oro diferente
el 0 cual es la multiplicidad del 0 del
otro valor 2 1 porque eso solo se repite
una vez de acuerdo y entonces esto lo
tenemos que marcar en un cuadrito porque
este cuadrito es decir el número de
autos valores con la multiplicidad
algebraica de cada uno de ellos es el
dato esencial que vamos a utilizar para
en el siguiente vídeo calcular los auto
vectores asociados a cada uno de los dos
auto valor es una cosa algunos puede que
se esté preguntando aquí hay una cosa
que no me cuadra porque tú has dicho que
íbamos a tener tres autos valores y aquí
los tenemos los tres uno debajo de otro
pero si los pones así sólo tenemos dos
autos valores no no os confundáis
tenemos dos auto valores distintos pero
son tres porque este se repite dos veces
es decir tenemos el 2 2 veces y el 0 una
vez en total 3 auto valores
bueno amigos esto ha sido todo en el
siguiente vídeo vamos a seguir este
ejercicio y vamos a os voy a enseñar
cómo se calculan los autos vectores si
tenéis alguna duda la podéis dejar en
los comentarios que yo gustosamente
responderé en cuanto me sea posible y os
animo como ánimo siempre a que os
suscriban por favor al canal y que le
deis al botón de like si el vídeo os ha
resultado útil y así me apoyáis para que
siga subiendo vídeos nos vemos en el
siguiente vídeo calculando los auto
vectores de este bichito hasta luego
amigos estudiar mucho en ellos
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