Cálculo de los Autovectores de una matriz | Ejercicio resuelto
Summary
TLDREste video ofrece una explicación detallada sobre cómo calcular los autovectores asociados a los autovalores de una matriz. Se comienza hablando de los autovalores y su multiplicidad algebraica, y luego se profundiza en el cálculo de los autovectores para cada autovalor. Para el autovalor lambda 1, se demuestra que hay 1 o 2 autovectores asociados, y se resuelve un sistema de ecuaciones lineales para encontrarlos. Se utiliza el teorema de rango para determinar la cantidad de soluciones posibles y se obtienen dos autovectores que forman la base para generar los infinitos autovectores asociados a lambda 1. Para el autovalor lambda 2, que tiene una multiplicidad algebraica de 1, se confirma que hay un solo autovector asociado. El video también aborda la importancia de entender el teorema de Roche-Frobenius y cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales. Finalmente, el presentador anima a los espectadores a suscribirse al canal y a dejar sus dudas en los comentarios para recibir ayuda.
Takeaways
- 📚 Se continúa la explicación de conceptos vistos en un video anterior, específicamente sobre la cálculo de autovalores y autovectores.
- 🔍 Se han calculado previamente dos autovalores de la matriz: uno con multiplicidad algebraica 2 y otro con multiplicidad algebraica 1.
- 🌟 Los autovectores asociados al autovalor lambda 1 se denotan como 'h de lambda 1', y los asociados al autovalor lambda 2 como 'h de lambda 2'.
- 🧮 Se presenta una fórmula para determinar la cantidad de autovectores asociados a un autovalor dado, que varía entre 1 y su multiplicidad algebraica.
- 📐 Se resuelve un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los autovectores asociados al autovalor lambda 1, utilizando la matriz A menos el autovalor multiplicado por la matriz identidad.
- 🔢 Se destaca la importancia de entender el rango de una matriz y el teorema de Roche-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
- 📉 Se identifica que el rango de la matriz resultante no puede ser 3 para un sistema homogéneo, lo que indica la existencia de una única solución trivial (0,0,0).
- 🤔 Se calcula el rango de una matriz reducida al eliminar filas y columnas que no aportan información nueva para el sistema de ecuaciones.
- 🎯 Se utiliza un menor (sub-matriz) no nulo para encontrar la ecuación que representa al sistema de ecuaciones y, consecuentemente, la forma general de los autovectores.
- 🌀 Se describe el proceso para generar la base de autovectores a partir de la solución paramétrica, utilizando parámetros alfa y beta.
- 📝 Se confirma que el autovalor lambda 1 tiene dos autovectores线性无关 (1, -1, 0) y (1, 1, 0), mientras que lambda 2 tiene un solo autovector (0, 1, 1).
- 📚 Se recomienda la suscripción al canal y descargar el archivo PDF con los contenidos escritos en la pizarra digital para una mejor comprensión y resolución de dudas.
Q & A
¿Qué son los autovalores y cómo se calculan en la matriz proporcionada?
-Los autovalores son los escalares asociados a una matriz, que también son los factores por los cuales se amplía o reduce el volumen de un objeto en una transformación lineal. En el script, se menciona que los autovalores de la matriz son 1 con multiplicidad algebraica 2 y 0 con multiplicidad algebraica 1. Estos son encontrados a partir de la ecuación característica, que es el resultado de la matriz menos el autovalor multiplicado por la matriz identidad.
¿Qué son los autovectores y cómo se relacionan con los autovalores?
-Los autovectores son vectores no nulos que se transforman bajo una matriz en un múltiplo propio de sí mismos. Cada autovalor tiene un conjunto de autovectores asociados, que son vectores que satisfacen la ecuación Av = λv, donde A es la matriz, λ es el autovalor y v es el autovector correspondiente.
¿Cómo se determina el número de autovectores asociados a un autovalor dado?
-El número de autovectores asociados a un autovalor dado se determina por la dimensión de la base de autovectores, que es mayor o igual que 1 y menor o igual que la multiplicidad algebraica del autovalor. Esto indica que el número de autovectores puede ser entre 1 y la multiplicidad del autovalor.
¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones lineales para encontrar los autovectores?
-Para encontrar los autovectores, se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de la forma (A - λI)v = 0, donde A es la matriz, λ es el autovalor, I es la matriz identidad y v es el autovector a encontrar. Se busca la solución no trivial de este sistema, que son los autovectores.
¿Por qué es importante el conocimiento del teorema de Rouche-Frobenius al calcular autovectores?
-El teorema de Rouche-Frobenius establece una relación entre la dimensión de la base de autovectores y la multiplicidad algebraica del autovalor. Este conocimiento es crucial para entender el número de autovectores que se pueden esperar encontrar y para determinar si el sistema de ecuaciones lineales asociado tiene soluciones no triviales.
¿Cómo se calcula la dimensión de la base de autovectores para el autovalor λ1?
-La dimensión de la base de autovectores para el autovalor λ1 está comprendida entre 1 y 2, debido a que su multiplicidad algebraica es 2. Esto significa que habrá entre 1 y 2 autovectores independientes asociados con λ1.
¿Cuál es la ecuación que se forma al restar el autovalor de la matriz y multiplicarlo por la matriz identidad?
-La ecuación que se forma es (A - λI)v = 0, donde A es la matriz original, λ es el autovalor seleccionado, I es la matriz identidad y v es el autovector que se busca.
¿Cómo se identifica la base de autovectores para el autovalor λ1?
-La base de autovectores para el autovalor λ1 se identifica al resolver el sistema de ecuaciones lineales y encontrar los vectores que satisfacen la ecuación (A - λI)v = 0. En este caso, se obtienen dos autovectores independientes, que forman la base de autovectores para λ1.
¿Cómo se calcula la dimensión de la base de autovectores para el autovalor λ2?
-Dado que el autovalor λ2 tiene una multiplicidad algebraica de 1, la dimensión de la base de autovectores para λ2 está entre 1 y 1, lo que indica que hay exactamente un autovector asociado con λ2.
¿Cuál es la solución general de los autovectores para el autovalor λ2?
-La solución general de los autovectores para el autovalor λ2 se expresa paramétricamente como x = 0, y = -α y z = α, donde α es un número real. Esto significa que hay infinitos autovectores que se generan multiplicando el autovector real de la base por cualquier número real α.
¿Por qué la matriz utilizada para calcular los autovectores tiene una fila que se puede eliminar sin afectar al rango?
-La fila que se puede eliminar es totalmente de ceros o es una combinación lineal de otras filas del sistema, lo que significa que no aporta información adicional para el cálculo del rango. Eliminarla simplifica el proceso de resolución del sistema de ecuaciones lineales.
¿Cómo se determina si un sistema de ecuaciones lineales es compatible y tiene una única solución?
-Un sistema de ecuaciones lineales es compatible y tiene una única solución si su rango es igual al rango de la matriz aumentada (matriz de coeficientes más el vector solución). Si el rango es máximo (en el caso de un sistema de n ecuaciones y n incógnitas, el rango máximo es n), entonces el sistema tiene una única solución. En el caso de un sistema homogéneo, la única solución es el vector nulo si el rango es n.
Outlines
😀 Introducción y cálculo de autovalores y autovectores
El primer párrafo presenta una introducción al vídeo, enfocado en la física y las matemáticas, y continúa desde donde quedó la clase anterior. Se menciona que los autovalores de una matriz previamente analizada eran 1 y 0, con multiplicidades algebraicas de 2 y 1, respectivamente. El objetivo es calcular los autovectores asociados a estos autovalores. Se recuerda a los espectadores la terminología utilizada en el vídeo anterior y se les anima a suscribirse al canal y descargar el material en formato PDF para una mejor comprensión. Además, se aborda el cálculo de los autovectores para el autovalor lambda 1, destacando la importancia de la multiplicidad algebraica y cómo se determina el número de autovectores asociados a cada autovalor.
🧐 Análisis del sistema lineal y rango de la matriz
El segundo párrafo se enfoca en el proceso de cálculo de los autovectores asociados al autovalor lambda 1. Se describe la forma de presentar una expresión que indica el número de autovectores asociados a un autovalor dado. Se resalta la importancia de entender el rango de una matriz y el teorema de Roche-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se resalta la necesidad de resolver un sistema lineal dado por la matriz menos el autovalor multiplicado por la matriz identidad, lo que resulta en un vector nulo. Seguidamente, se aborda cómo se calcula el rango de la matriz y cómo esto indica el número de soluciones posibles para el sistema, concluyendo que el rango no puede ser 3 y, por lo tanto, la solución será la trivial (000). Finalmente, se busca un menor no nulo para determinar el rango y se obtiene una ecuación que representa la solución paramétrica de los autovectores.
📐 Construcción de la base de autovectores para lambda 1
El tercer párrafo continúa con el cálculo de los autovectores, ahora para el autovalor lambda 1. Se utiliza la forma general de la solución obtenida en el párrafo anterior para generar la base de autovectores. Se separan los parámetros alfa y beta y se identifican dos autovectores que forman la base. Se destaca que estos dos autovectores son suficientes para generar todos los autovectores asociados al autovalor lambda 1, y se explica cómo se hace esto a través de la multiplicación y suma de vectores. Se confirma que la dimensión de la base de autovectores es 2, lo que indica que hay exactamente dos autovectores asociados a este autovalor.
🔍 Cálculo del autovector asociado a lambda 2
El cuarto y último párrafo se enfoca en el cálculo del autovector asociado al autovalor lambda 2, que es 0 con una multiplicidad algebraica de 1. Se utiliza la misma fórmula vista anteriormente para determinar el número de autovectores, que en este caso es uno. Se plantea un sistema de ecuaciones lineales similar al del párrafo anterior, pero con lambda 2 sustituido por 0. Se resalta que el rango de la matriz no puede ser 3 y, tras analizar el rango, se concluye que es 2. Se resuelve el sistema, encontrando que la primera componente del autovector genérico es 0, y se asigna un parámetro alfa a la tercera coordenada. Finalmente, se obtiene la forma general de los autovectores y se identifica un solo autovector que forma la base de autovectores para el autovalor lambda 2.
Mindmap
Keywords
💡Matriz
💡Autovalores
💡Autovectores
💡Multiplicidad algebraica
💡Teorema de Roche-Frobenius
💡Sistema de ecuaciones lineales
💡Diagonalización
💡Rango de una matriz
💡Vector cero
💡Solución paramétrica
💡Base de autovectores
Highlights
Se continúa el análisis de una matriz en el canal de física y matemáticas.
Los autovalores calculados en el video anterior son lambda 1 y lambda 2, con multiplicidades algebraicas de 2 y 1 respectivamente.
Se recuerda la definición de los conjuntos de autovectores asociados a cada autovalor, llamados H de lambda 1 y H de lambda 2.
Se presenta una expresión para determinar el número de autovectores asociados a un autovalor dado.
Se calcula que para lambda 1, el número de autovectores es entre 1 y 2, indicando la presencia de 1 o 2 autovectores.
Se describe el procedimiento para calcular los autovectores asociados a lambda 1, involucrando la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.
Se resalta la importancia de conocer el rango de una matriz para determinar las soluciones de un sistema lineal.
Se resuelve el sistema lineal correspondiente a lambda 1, obteniendo un sistema con una única ecuación significativa.
Se obtiene una solución paramétrica para los autovectores de lambda 1, introduciendo parámetros alfa y beta.
Se identifican dos autovectores específicos que forman la base de autovectores para lambda 1.
Se confirma que la dimensión de la base de autovectores para lambda 1 es 2, correspondiendo a dos autovectores.
Se calcula el número de autovectores para lambda 2, que resulta en un único autovector debido a su multiplicidad algebraica de 1.
Se resuelve el sistema lineal para lambda 2, encontrando que el rango de la matriz es 2, lo que indica una única solución no trivial.
Se obtiene la solución general paramétrica para los autovectores de lambda 2, introduciendo el parámetro alfa.
Se identifica un solo autovector para lambda 2, que junto con el vector trivial 0, forman la base de autovectores.
Se enfatiza la importancia de entender el Teorema de Rouché-Frobenius y cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Se invita a los espectadores a suscribirse al canal, dejar comentarios y dar like si el vídeo ha sido útil.
Transcripts
hola amigos bienvenidos a este vídeo
clase del canal física y mates en este
vídeo clase vamos a continuar lo que
vimos en la anterior y es lo siguiente
dada a la siguiente matriz habíamos
calculado que sus auto valores eran la
han dado igualados con multiplicidad
algebraica igualados y la han dados
igual a cero con multiplicidad
algebraica igual a 1 y eso qué habéis
escuchado es un trueno bueno pues vamos
a calcular los auto valores asociados al
auto valor landa uno y al otro valor
landa 2 os recuerdo del vídeo anterior
que a los al conjunto a la base de auto
vectores asociados al auto valor landa 1
los llamamos h de landa 1 y al conjunto
de auto vectores asociados al auto valor
landa 2 lo llamaremos h de landa 2 bueno
pues vamos a comenzar y vamos a ver cómo
se calcula por aquí arriba os dejaré una
tarjetita por si no habéis visto el
vídeo anterior donde calculó estos otros
valores con sus respectivas
multiplicidades de esta matriz para que
veáis cómo lo he hecho
os recuerdo también que es conveniente
que os suscribas al canal os puede venir
muy bien para resolver cualquier duda y
sobre todo os recomiendo que os
descargar en formato pdf
el archivo con todo lo que escribo aquí
en la pizarra digitales que vais a
encontrar la descripción del vídeo justo
debajo del reproductor de youtube bueno
pues voy a comenzar la explicación si
escucháis algún turno de fondo es que
estoy grabando en un día de una tormenta
enorme así que no os asustéis vamos a
comenzar con el auto valor landa 1
igualados y su multiplicidad que va a
dejar haiga que valía 2 vamos a empezar
calculando los auto vectores asociados a
este auto valor
lo primero que vamos a hacer es
presentar una expresión que nos permite
saber cuántos auto vectores va a tener
asociado nuestro auto valor y es una
expresión que está al que está la
dimensión de la base de auto vectores
del auto vector landa y es mayor o igual
que 1 y menor o igual que su
multiplicidad de hebraica esta expresión
parece parece muy difícil de entender
pero lo que viene a decir es lo
siguiente de dh del anda surgir lo que
nos está diciendo es la dimensión de la
base de otro vector es decir el número
de auto vectores esto lo que nos da es
el número de auto vectores
asociados
al auto valor blanda y landa y el que
sea
y dice que ese número está entre 1 y su
multiplicidad algebraica esto que
tenemos aquí es la multiplicidad
algebraica
multiplicidad
algebraica lo voy a dejar así entonces
según esta expresión cuantos auto
vectores vamos a tener para este otro
valor bueno pues la dimensión de mi base
de auto vectores lambda uno va a estar
comprendida entre 1 y 2 qué significa
esto pues que vamos a tener 1 o 2 auto
vectores y os estaréis preguntando bueno
pues poco me va a solucionar no me dice
exactamente cuánto va a tener bueno no
te dice exactamente cuánto vas a tener
pero ya sabes que vas a tener 1 o 2 es
una información muy valiosa porque sabes
que no vas a tener ni tres ni cuatro por
ejemplo bueno hemos visto esta pequeña
expresión que vamos a usar siempre
cuando calculemos los auto vectores
asociados a cualquier otro valor vamos a
ver entonces cómo cuál es el
procedimiento para calcular los auto
vectores asociados a este auto para los
el procedimiento es muy sencillo
realmente lo que tenemos que resolver es
un sistema de ecuaciones
y ese sistema de ecuaciones lineales
viene dada por la siguiente expresión en
forma matricial la matriz menos el auto
valor al que le queramos calcular los
auto vectores multiplicados por la
matriz unidad y todo esto por un best
auto vector genérico v y nos quedará
igual al vector cero en este caso como
nosotros lo que estamos es calculando
los autos vectores del auto valor lambda
igualados sustituimos landa por 2 y nos
quedaría la matriz a menos dos veces la
matriz unidad y el auto vector pues lo
escribimos de forma genérica así donde
xy zetas son sus coordenadas vale este
auto vector tiene sus coordenadas x y y
ceta
y esto sería igual a 0 0 0
esta materia que tenemos aquí es muy
fácil de calcular el truco consiste en
la matriz a restarle este 2 que tenemos
aquí solamente en la diagonal principal
entonces nos quedaría 2 menos 20 el
resto de elementos de la matriz los dejo
exactamente igual aquí 1 este de aquí
que sería este me quedaría uno menos 2
que menos 1 éste me quedaría un 1 menos
11 y aquí uno menos 2 en menos 1
y esto por equis ory y por zeta me tiene
que dar 000 como podéis ver lo que
obtengo esto que tengo aquí es un
sistema
de ecuaciones lineales
para entender bien lo que vamos a hacer
ahora tenéis que saber resolver un
sistema de ecuaciones lineales tenéis
que entender bien cómo se calcula el
rango de una matriz y sobre todo tenéis
que dominar bien el teorema de roche
frobenius yo doy por hecho de que ya lo
domina y no obstante por aquí arriba en
la esquina superior derecha voy a dejar
unas tarjetitas para que si necesitáis
repasar cómo se resuelve el sistema de
ecuaciones lineales o repasar el teorema
de roche frobenius que encontréis ahí
los vídeos que yo hice en su momento
para que los re paséis bueno pues
tenemos que resolver este sistema de
ecuaciones lineales en el que la
ecuación son x iceta que son coordenadas
genéricas de nuestros auto vectores
fijaros en una cosa el rango de esta
matriz lo que nos va a decir cuántas
soluciones tiene este sistema de
ecuaciones sabemos que el rango de esa
matriz el rango de esta matriz nunca
podrá ser 3 porque si fuese 3 como
tenemos tres ecuaciones y tres
incógnitas coincidiría con el rango y
como un sistema homogéneo porque vemos
que estas columnas son de ceros son los
términos independientes de un sistema de
ecuaciones lineales pues al ser un
sistema homogéneo con el rango máximo
tendríamos que el sistema sería
compatible y determinado y la única
solución sería la que voy a escribir
ahora mismo que sería la 000 es decir la
solución trivial y este vector este otro
vector no nos valdría por lo tanto
nosotros damos por hecho que el rango
nunca va a ser 3 esto es lo que se suele
hacer al entonces borro esto para que no
os confundáis el rango nunca podrá ser 3
entonces yo lo que voy a hacer ahora
mismo
buscar sencillamente dentro de esta
matriz un menor distinto de cero para
saber cuánto vale su rango os recuerdo
que los sistemas de ecuaciones lineales
cada fila de la matriz se corresponde
con una de las tres ecuaciones del
sistema porque como tiene tres de
dimensión tres filas por tres columnas
vamos a tener tres ecuaciones y cada
columna se corresponde con una de las
tres variables que tenemos aquí la
primera columna con la x la segunda con
la iv y la tercera con la cita
vamos a calcular el rango de esta matriz
fijaros que como tenemos una línea
totalmente de cero esta línea la podemos
eliminar a la hora de calcular el rango
porque no nos va a influir
las siguientes dos líneas si veis en la
misma línea porque fijaros la tercera
línea la tercera fila es la misma que la
segunda pero x menos uno por lo tanto a
la hora de calcular el rango podemos
prescindir de la tercera porque porque
es la misma que la segunda multiplicada
por menos uno por lo tanto a la hora de
calcular el rango de esta matriz que es
lo que nos va a quedar pues nos va a
quedar solamente una fila y cuál es el
rango máximo que podemos encontrar aquí
pues el determinante más grande que
podemos encontrar sería el formado por
un solo número por ejemplo este y sería
uno entonces vamos a escribir cuál sería
la ecuación asociada al menor que hemos
cogido que será multiplicar esta fila
por la columna de las incógnitas me
quedaría x menos i
+ z igual a cero ahora quiero que miréis
una cosa como en el menor que yo he
cogido se corresponde con la variable x
las otras dos variables las tengo que
pasar a la otra parte de la igualdad
entonces tomé quedaría x es igual hay
menos zeta
y a cada variable que tengamos en la
parte derecha de la igualdad le
asignamos un parámetro qué significa eso
pues sencillamente que a la iss la voy a
llamar alfa y a la aceta la voy a llamar
be está siendo alfa y beta dos números
reales entonces cuál sería la solución
genérica en la solución genérica de mi
auto vectores que significa genérica que
con esa expresión cálculo de los
infinitos auto vectores pues sería ésta
la equis vale y menos zeta pero como
hemos llamado a la x y y la z beta me
quedaría alfa menos beta la y sería alfa
y la zeta sería beta esto esta solución
paramétrica lo que me da son los
infinitos auto vectores que satisfacen
la ecuación que vimos en el vídeo
anterior para el alto valor
landa igualados pero como cálculo a la
base de auto vectores que realmente a lo
que se conoce como el nombre de otro
vector es pues hace lo siguiente
con esta forma general alfa - beta alfa
y beta y la separó en sus respectivos
parámetros es decir pongo aquí por
ejemplo alfa alfa y 0 + beta
0 - beta perdón 0 y beta fijaros que la
suma de estos dos vectores me queda este
alfa más menos beta sexto alfa +0 es
alfa y 0 más beta set y ahora de manera
que en cada elector me quede una de las
dos uno de los dos parámetros y ahora lo
que hago es que salgo factor común aquí
landa y me quedaría entonces 110 aquí
saco factor común beta y me quedaría
entonces menos 101
voy a desplazar un poquito la pizarra
hacia arriba porque necesito tener más
sitio para escribir así
bueno pues estos dos auto vectores que
están aquí son la base de auto vectores
que yo estaba buscando es decir el 1 1 0
y el menos 101 estos son los dos auto
vectores asociados a mi auto valor landa
igualados como veis con estos 2 auto
vectores
yo puedo generar cualquiera de los
infinitos que va a tener como pues
multiplico el primero por un número el
segundo por otro y lo sumo me sale otro
auto vector distinto por eso decía yo en
el vídeo anterior que no se suele llamar
auto vectores a los infinitos que hay
sino simplemente a aquellos que
conforman una base es decir a aquellos
que originan los infinitos
volviendo a unos minutos atrás vimos que
el número de la dimensión de mi base
decide el número de otros vectores y va
a ser uno o dos se confirma que es 2
bueno pues vamos ahora con el siguiente
auto valor que era landa 2 igual a 0 con
multiplicidad igual a 1 vamos a por ello
bueno pues tenemos que tenemos aquí la
matriz a de nuevo para no tener que
estar yendo hacia atrás para recordar la
tenemos que nuestro auto valor valía 0 y
su multiplicidad era 1 vamos a ver pues
vamos a calcular cuántos auto vectores
primero vamos a tener con la fórmula que
hemos visto anteriormente la dimensión
de h de landa 2 está entre 1 y la
multiplicidad algebraica de landa 2 que
vale 1 entonces fijaros en este caso
esta expresión sí que me da mucha
información porque si el número de autos
vectores va a estar entre 1 y 1 que
significa pues que voy a tener un auto
vector
solamente un auto vector
bueno pues para calcularlo planteamos la
misma secuaz sistema de ecuaciones que
hemos hecho en el caso anterior
tendríamos a menos landa por y por el
auto vector genérico v igual al vector
cero
y bueno esto lo que era es la matriz
fijaros que aquí como holanda vale 0 0 x
y me va a quedar 0 y en la matriz unidad
bolt iguala 0 y esto es la matriz a que
es 2 0 0 1 1 1 1 1 1
por el auto vector v que va a tener unas
coordenadas genéricas x y z como en el
caso anterior igual al vector 0 que es 0
0 0
bueno pues nos encontramos otra vez con
un sistema de ecuaciones lineales como
en el caso anterior para resolverlo
tenemos que ver el rango que tiene esta
matriz de aquí
a la hora de mirar el rango sabemos que
el rango no puede ser tres por el mismo
motivo que vimos en el caso anterior si
fuese tres el autómata el auto vector
que nos saldría sería el auto vector
trivial el 0 0 0 entonces a la hora de
mirar el rango como ya sabemos que tren
no puede ser pues como por ejemplo este
menor que tengo aquí
y me sale que este determinante es
distinto de 0 por lo tanto que es lo que
tengo tengo que el rango vale 2
recordad también lo que lo que explique
en el casino en el auto valor anterior y
es que cada fila se corresponde con una
ecuación y cada columna se correspondía
con una variable
entonces fijaros como el menor que yo he
cogido solamente coge las dos primeras
filas de las dos primeras columnas pues
monto las ecuaciones correspondientes a
estas dos filas es decir multiplicó la
primera fila por esto me quedaría 2 x x
+ 0 x y que sería 0 + 0 x 0 que sería
cero igual a cero y ahora multiplicando
1 x x x + 1 x y más 1 x zeta ceta igual
a 0 y este mi sistema de ecuaciones
antes de seguir fijaros que la primera
ecuación tengo 2 x igual a cero de aquí
ya tengo que la x vale 0 esto significa
que de mi auto vector genérico de otro
vector genérico tenía las coordenadas x
z pues ya sé que me otro vector va a
tener siempre la primera componente
igual a 0 de fidel va a ser así 0 y dos
cosas más los números más sustituyendo
este 0 en la segunda ecuación me
quedaría pues que y más z es igual a
cero
como la zeta no queda dentro del menor
que yo he cogido lo veis pues la paso a
la otra parte de la igualdad como
hicimos en el apartado en el auto valor
anterior y me quedaría igual a menos z
ya esa variable que queda a la derecha
de la igualdad le asignamos un parámetro
yo a la zeta
la voy a llamar la cndh alfa perdón
donde alfa es un número real entonces la
solución general de mí de mis auto
vectores
sería x igual a 0
la i es igual a menos z es decir a menos
alfa y la zeta es igual a alfa esta
sería la forma general o la ecuación o
la forma paramétrica que me da a
entender cuáles son los infinitos auto
vectores pero a mí de los infinitos me
interesa la base de auto vectores es
decir aquellos que generan todos los
infinitos cómo se hace eso pues se hace
exactamente como lo hicimos en él
en el caso anterior escribo 0 alfa alfa
saco factor común alfa y me quedaría 0 1
y 1 y fijaros la base de auto vectores
del auto valor landa 2 pues sería el 0 1
1 es decir un solo auto vector para como
habíamos predicho aquí anteriormente
fijaron en esta expresión lo fácilmente
que se ve aquí esto se corresponde con
los infinitos auto vectores
entonces fijaros los infinitos auto
vectores cómo se generan pues se generan
fácilmente multiplicando
el auto vector real de mi base por
cualquier número alfa
por lo tanto ya hemos hemos calculado
cuáles son los auto vectores asociados
al primer otro valor
landa 1 igualados con multiplicidad es
hebraica 2 y a éste le han dado igual a
0 con multiplicidad de 'break' a 1
bueno amigos espero que el vídeo haya
resultado entretenido que hayáis
aprendido es conveniente que repasemos
el teorema de roche frobenius y cómo se
resolverlas los sistemas de ecuaciones
lineales y si tenéis alguna duda la
podéis dejar planteada en los
comentarios para que yo o cualquiera de
vosotros o cualquier compañero vuestro
las pueda resolver suscribiros al canal
darle a like si el vídeo te ha sido útil
y nos vemos en el siguiente vídeo hasta
luego
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