【大学数学】線形代数入門⑫(固有値・固有ベクトル)【線形代数】
Summary
TLDRこの動画の文字起こしは、線形代数の内容についての講義です。 固有値と固有ベクトルの概念と求め方に焦点を当てて説明しています。 2x2行列と3x3行列を例に、固有方程式を立てて解き、対応する固有値と固有ベクトルを求める過程が詳しく解説されています。視聴者は、この講義を通じて、固有値と固有ベクトルの理論的背景と実際の計算プロセスを理解できる内容となっています。
Takeaways
- 😀 逆行列がない行列に対して、方向を変えない特別なベクトルである固有ベクトルが存在する
- 👍 固有値と固有ベクトルはセットで現れる
- 📝 固有値は行列の固有方程式を解くことで求められる
- 💡 固有ベクトルは行列から固有値を引いた式を解くことで求められる
- 🧮 固有値、固有ベクトルの計算過程が具体例で説明されている
- 😮 3次正方行列の固有値固有ベクトルも計算している
- 👩🏫 掃き出し法を用いて固有ベクトルを計算している
- 📺 YouTubeで線形代数の授業動画を配信しているようだ
- 💰 クラウドファンディングで授業の継続を支えている
- 🙇♂️ 授業動画の支援をお願いしている
Q & A
このビデオの内容は何ですか?
-このビデオは線形代数の講義で、固有値と固有ベクトルについて説明しています。
固有値とは何ですか?
-ある行列Aに対して、ベクトルxがAx = λxを満たすときのλをAの固有値といいます。λはスカラー値です。
固有ベクトルとは何ですか?
-固有値λに対応するベクトルxをAの固有ベクトルといいます。固有値と固有ベクトルは対になっています。
なぜ固有値と固有ベクトルが大事なのでしょうか?
-行列による変換がベクトルの向きを変えない特別なベクトルがあることがわかります。固有値と固有ベクトルから行列の性質を理解できるためです。
この講義では具体的にどのような例を扱っていますか?
-2次正方行列と3次正方行列の具体例を用いて、固有値と固有ベクトルの求め方の解説と計算過程が示されています。
固有値や固有ベクトルを求める意義とは何でしょうか?
-行列の特徴を理解したり、行列式が0になることから逆行列が存在しないことがわかったりするなど、行列の性質を知る上で重要だからです。
なぜ0ベクトルは固有ベクトルとしてNGなのでしょうか?
-0ベクトルは定義上、固有値λに関係なく常にAx = λxを満たしてしまうため、固有ベクトルとして認められません。
固有値の方程式とは何ですか?
-det(A - λI) = 0という方程式のことです。これを解くことで固有値を求めます。行列の次元数と同じ個数の解が得られます。
なぜ固有ベクトルは方向のみで大きさは重要ではないのでしょうか?
-固有ベクトルは固有値に対応して方向が変わらない特殊なベクトルなので、方向こそが本質的な性質を表しているからです。
行列の特徴付けに固有値や固有ベクトルが重要な理由は何でしょうか?
-行列による変換を受けても変わらない(定数倍を除く)ベクトルがあること自体、その行列の大切な意味を含んでいるからです。
Outlines
😊 線形代数の復習
まず線形代数の基本的な概念であるベクトルと行列の掛け算について復習しています。ベクトルが行列によって別のベクトルに変換されることを一次変換と呼ぶと説明しています。次に行列に対して方向を変えない特別なベクトルである固有ベクトルの概念を説明しています。固有ベクトルとその倍率である固有値がセットで現れることを強調しています。
😮 固有値・固有ベクトルの求め方
固有値と固有ベクトルを求める方法として、行列からスカラーを引いた行列式を0にすることで得られる方程式を解くことを説明しています。この方程式を固有方程式と呼び、解くことで固有値が求まります。さらに各固有値に対応する固有ベクトルを求める方程式を解く流れを解説しています。
😃 2x2行列の具体例
2x2の行列に具体的に固有値と固有ベクトルを求める例を示しています。まず行列式から固有値が-2と-3であることが分かり、各々の固有値に対応する1次方程式を解いて固有ベクトルを求めています。固有ベクトルは定数倍で表せることを説明しています。
👍 3x3行列での計算例
今度は3x3の行列について、固有値と固有ベクトルを具体的に求める計算過程を示しています。こちらでもまず行列式から固有値を求め、各固有値に対応した連立1次方程式を解くことで固有ベクトルを求めています。1つの成分を決めれば他の成分が定まる性質についても説明しています。
😆 もう一つの3x3行列例
さらに別の3x3正方行列についても、行列式から固有値を求めた後、各固有値に対応する固有ベクトルを連立1次方程式を解いて求める過程を詳しく示しています。固有ベクトルの性質として、定数倍であれば同じベクトルと見なせることを繰り返し強調しています。
🙌 まとめ
以上で線形代数の復習と固有値・固有ベクトルの求め方の解説を終え、練習問題を解く大切さを説いています。さまざまな行列に対して計算を重ねることで、計算力が身についていくと述べ、講義の締めくくりとして視聴者へのお礼と挨拶の言葉を述べています。
Mindmap
Keywords
💡行列
💡固有値
💡固有ベクトル
💡逆行列
💡行列式
Highlights
ラーメン屋の逆行列と線形代数の話題を組み合わせたユニークな導入
ランクnの佐野ラーメン屋という面白い例えで線形代数の説明を始める
ベクトルと行列の乗算を通じて一次変換の概念を解説
特別なベクトル、固有ベクトルと固有値の導入とその意味
行列によるベクトルの変換がどのように行われるかの直感的な説明
方向を変えない特別なベクトルの存在とその探求方法についての解説
実際の計算例を用いて固有ベクトルと固有値を求めるプロセスの詳細な説明
固有ベクトルはゼロベクトルであってはならないという重要なポイントの強調
固有ベクトルと固有値がセットであることの重要性についての説明
行列とその固有ベクトル、固有値を通じて線形代数の核心に迫る
具体的な行列の例を通じて固有値と固有ベクトルの求め方を実演
固有ベクトルが方向だけを重要視するという概念の説明
固有値問題を解くための方程式設定と解法の詳細な解説
行列式が0となる条件の下で固有値を求める方法の説明
固有ベクトルと固有値を見つけるプロセスの数学的な洞察とその教育的な価値
線形代数の学習における定義と計算プロセスの重要性の強調
Transcripts
00:00ショートフォント逆行列ができるラーメン屋ここがは佐野ラーメン屋か
00:06米社員をイスンジャー食べログでちとランク調べてみよう
00:11ランクは n さすがだな
00:21はいということで線形代数いうもの第12項では
00:24という家と小指きているところについて扱っていきたいとおもいますまぁ最初にこんな
00:28復習をしましょう
00:3012てベクトルがあるとそれに2341て行列をここで探して掛け算するとこの
00:36ベクトルは8服にカール
00:38になったねこれを一次変換って言ってベクトル
00:4112が行列によって86に変換されたって
00:45見るだっただからぜ書くとこんな感じ12というレッテルが
00:5086って言うクールに変換されば
00:53つまりここで重要になってくる考え方っていうのは行列というのは
00:57ベクトルを別の別に変換するものだと見えるって事だね
01:01そしてこういう問題に対してこんなものを考えてみましょう
01:08[拍手]
01:10はいこの何がしたの行列に対して方向を変えない特別なベクトルがあるか
01:19そしてその時の戒律は
01:24て言ってるんだけどこれがどういう意味があって言うと今12てベクトルわーこの行列
01:292341によって他の方向別の方向を向いちゃったよね
01:3212の方から8学の方法えとでもこの行列に対して何かしら方向変えないような
01:38ベクトルあるかって問題考えますここで2つだけ紹介しましょう
01:43例えば
01:44ます
01:46この両立2341に対して位置してる人の考えるぞ
01:50これは実際計算してみると
01:54ええええええ
01:56こうやって号になるんだけど峰号ってこれ後で膨れて
02:01こんな風にかける5-11ってこれって
02:0411っていうゲットるが行列23うちによって変換されても雪がカーンなかったって
02:11ことだよね
02:12イジュンギって某こと55って方向は全く同じだから
02:15ただそのバー s だけがはでドバイされたというものになります
02:21こんな風にこういうベクトルを探しているそういう倍率を探していくのが今回の授業
02:26です
02:27もう冊を紹介すると
02:30実は-3と4奴も同じです
02:34これは計算してみると
02:36pm
02:50はい6-走ってるんだけどこれって-3でくればいい
02:56あえてもともと考えたベクトルと同じ形が現れるん
03:01そしてこの時には倍率がバイアス2倍あって考え
03:05-2倍こういうのはあるんだけど
03:08今回タイトルになっているよういくつはタンクになっているようにこんな風にある行列
03:13に対して方向を変えない特別なベクトルのことを実は固有ベクトルというんで
03:22その時の倍率のことをこれこういう子っています
03:27これはもう少し数学にな言葉でまとめて今消去
03:31はいこれが定義です r n 次正方行列デーに対してこんな仕様を満たす n 次元
03:36列ベクトル x が存在するとき
03:39ラムダを a の固有値と ex オラ無駄に対する固有ベクトルというと
03:43へ大事なところで少し強調したいと思いますまずこれがすごく大事で固有ベクトルは
03:49絶対ゼロベクトルであってはダメです
03:51なんでかっていうとこれは定義の問題なんだけど零華プロ許すとこれ当たり前のように
03:56この式を満たしてしまうから
03:570ベクトラ党左辺が0ゲットになってでこっちがをせるべくになるから当たり前だった
04:01かねそういうのを排除するために
04:03固有ベクトルは true ベクトルでないとします
04:06そして大事なのはこの子裕二
04:10と固有ベクトル
04:12が必ずセットであるということこれ見てみるとわかるんだけどことも重要な無駄を a
04:17の固有1 e
04:18でものベクトル x オラ無駄に対する固有ベクトルというとだから必ずこういう人
04:23越えたらセット等現れると認識しておいてください
04:28はいそれを踏まえたので猫の死期を迎え見てみるとこれが聞こえて大事なことって何
04:34かっていうとこういう人固有ベクトルはある行列に対してそういう特別なべきだとそう
04:40いう特別なタイガー
04:41こういうべくとこいう子ってことで行列が先にやってこの行列に対して特別なものない
04:47かなって考えたときに現れるのは
04:48固有値固有ベクトルですこの順番を逆にしてしまうと混乱するのでよく押さえておいて
04:53ください
04:54行列何かね見てこいつの特殊な統一に対して特別のベクトルとか
04:59やっぱりないかなと考えずに現れるのがこういう人固有ベクトルね
05:03b でしょうそして最初の方向かないって簡単に左脚チェックチェーンは
05:08書いたけども知れ見る動向なってはずだな方向は変わらないってのは何かベクトル行列
05:14体を指してももともとのベクトル農家で定数倍とそうすれば方向は変わらないかです
05:19さっきの例みたいに反対があって言ってもいいんだけどこの直線上にあるような関係の
05:23時
05:24のものをそういうベクトルを固有ベクトルって言いますいいでしょうかここまででは
05:30ですね実際にかいう1ヶ月求め方をやっていきましょーかいました
05:35では求め方
05:38もちろんスタートはあの式
05:41はいここで忘れちゃいけないのがもう行列 a というのは与えられた何かで自分たち
05:46がとかなきゃいけないのはこの式を満たすベクトル x と
05:49ランドだったことでこれはせずにいきましょうまず最初にこの辺を左辺に移行します
05:55そうすると
06:08ブーブー行列は行列とティガースルニョすればいいかというと実はここに良いをつける
06:15体育そうすれば
06:18料理福香
06:18鬱になっているとどうしてこんなことができるかというと上の式の段階でここに良いが
06:23隠れていると思えばわかりやすいと思います
06:26いいが隠れてるたんよりつい言って別にベクトル何も変化してないから
06:30ex って回答エッグ崎海岸同じものなんだけどこれに良いがあるとすると
06:35酒に移行した時に来られるのがこのラムダいいダークのわかりやすくなくて
06:39そう考えればいいと思いますこの式について考えていくとそしてここで考えて欲しいの
06:45かなぁ
06:51bouvet しまったら
07:00ブーブー言ったら
07:04にょ自分たちが
07:06そういうベクトルを国家らんちゅう額になったら
07:09少なくても作法者あるためでね
07:11[拍手]
07:20ブーブー場合は do do をっぱてぃあ in 愛媛式って-x
07:35についてゼロベース医大の海を持つとなるね
07:38この右側の定数止めるというのが場合って必ず
07:41こいつを打ち出したら必ず海があるわけで
07:45行列式が0ってことは逆打つ持ってないから
07:480ベクトル色合いが解をもつんだったねこれは英語での頭の復習してみてくださいで部
07:53地域情報でしたっていうのは
07:55分かりますただいまよ知識がせるの番して考えますとこの式をどう見るべきかというと
08:01これはラムダについての肯定した
08:03たってもええがわかってるしーは決まってるよいつかからラブだけが未知数として残り
08:08ますそしてこれで米僅かでよくわかるんだけども
08:11この n 次正方行列の形
08:14選ぶのか
08:15に入ってるも相手この秒知識ってラムダの ng 方程式になります
08:22なのだの n 次方程式メンバーの方程式のことをよく固有奉呈してきたです
08:28これなどについての ng 奉呈したからもちろん控除等頂けたら
08:33これぞとった
08:35そうするとおおぉ
08:39こうやって中会を含めて n この海がいわれる米でそれぞれ濃厚の n このラムダ
08:44のことをこういうちっています
08:48はいそうすることによって
08:50こいつが逆行列を持たないは花の店花体がわかっ
08:54はそのそれぞれに対してベストレックスを求めて行こうという話になります
08:59あこのラム度合いはそれぞれ代入した形
09:04こいつを磨いていけばいいかね
09:07ちょっと口でこれはなんだ本停止になっているかと言うと今もうこれは決まった行列で
09:12も止まったら無駄でたい靴も暇適用したから残ってくるのがこのベクトル x-成分
09:17です
09:18こいつの園児計の根津ベクトルだから
09:20これはこのセーブに対する連立一方でしたねだから
09:24n 現連立1次方程式以来くん
09:26[拍手]
09:29入ってストレッチに関する n 原0 t 次方程式とこいつを解くことになると
09:35なのでこの式を解いてあげた結果ば
09:40こんな風にかけて xi ん広州のことをこういう振っています
09:46はいえーとここまでて今までの話をまとめていきましょう
09:51まず今からこの式を満たすべくトレイ空のだが c 大実に移行する
09:55注意するのは飯田たいパターン4ズルいそしてこれ
09:59定数500の場合だから必ず猫の毛 pro ex 会を持つんだけども
10:04今こいつ逆よると思っちゃったら
10:060ベクトルだけの花になってしまうとそれでは面白くなったんですよこういうことも
10:10言えないから
10:11だからこいつが0学とリーが葉が持つようにこいつが逆行列を持たぬよう
10:15痛みなんとば0って式を解きますでこの子キーとこの式を通り出てきたが無駄っていう
10:20のがいわゆる保有地これが額より伴い場合のだめだです
10:24何度なが出てくる
10:25そしてものなのだそれぞれに対して大事なものを磨いてあげるとこういったわけで今
10:32必ず回持つことがわかっていてそして0m 以外の海を持つことがわかってるわけだ
10:37から
10:38これって連立1次方程式の授業でやったらいいちなみこれ必ず会は不停性を持つんだね
10:44にょ2医療見て
10:45それを実感して傘必ず二帝政が残るような会になります
10:490ベクトル以外の鍵を持つ時っていうのが必ずこのレンズ状奉呈式は平静を保つかなと
10:55はいそして出てくるものそれぞれのペース x-回 xy ってのは
11:00のラウド安易に対するこれ全部白ラベル奴はね駄目だ
11:04市に対しては x11団に対しはいつに入って風にそれぞれに対応した
11:09こういう人がも止まっていくということになりますまあ今やパティシエよってみたんだ
11:13けども
11:14中山で具体で見る理由はその関係
11:15はつかめないと思うので具体例をやってみて認識して甘くないその実感するのかなと
11:20思いますじゃあ具体でいきましょう
11:23ハイウェイの一つ目として冒頭のネレイドも使った行列人三様市下吉野改革を求めてみ
11:29ましょう
11:30まぁ最初にやることはこの式を解くことなんだけどこれはこういう方でショットことな
11:34んだけど
11:34a マイナスなを抱いて何になるかというと2つに簡易映画
11:39234域でラブないっていうのはいわゆる
11:42ん
11:43医学に妖魔夜行なんだからこれを計算すると
11:48こうなってそれでも政府を非難するから
11:53こうだねこれの行列してを計算していくことになります
11:58ではやっていきましょう
12:02はい見かけにの場合両知識はすごく簡単でこれかけこれ-これがこれだよねだから
12:12こんな風になって微式を束ね整理すると行く f
12:16油の二条
12:18狙うダノン1時の高がマイナスなどがマイナスにあるならから-3なんだっ
12:25そうして定数項が膿が出てくるからと-10
12:29はいこれにスプーン関すると
12:33p
12:34フォアねそしてまあ自分たちがしなきゃいけないのはこれ以降ゼロのた犬ですかになる
12:39ような
12:40ラムダとくわけだから=0
12:44より
12:46やって選んだがあ
12:482つ選んでくるか事もマイナスです
12:51もっと-3他こうやってこういう子がまとまった後になりますだからこの行列の固有値
12:58はもう夫-2後分かると自分達はそうと何かというと
13:025に対する固有ベクトルとマイナスに対するこういう人の求めるところまではね
13:07この問題のゴールなので次に事
13:10マイナスに対するこういう打っての言葉
13:11でいきましょう
13:13ではラクダ=後に大成功描くている求めましょう
13:18ラムダを決めたらええマイナスだまだいいの塩な無駄に猫を入ればいいじゃない
13:23だから考える式っていうのはこれが a マイナスだ話題なんだから
13:26ここにこのラムダに子を突っ込んだ式ですだから
13:34コーナーこれが a は安田無題そしてベクトル x の西部の xi だとすると
13:40これが zero 月になればねっ
13:43これを解けばいいわけですそしてこの式から出てくる
13:48方程式ってこれであります
13:50まずマイナス3x +3 y =0
13:55そして4x まらしぃ思え混ぜろ
13:59となるんだけど晴れて例えば上の支給を-3で割ったら x -は=0でこの式を4で
14:05割っても x -は=0単なる同じこと言ってるんだねだからこれと
14:10この隙を考えることは同じです
14:14はい x -は=0とってこれっていわゆる
14:17式の本数がはずないから早く体方程式なったよね
14:20f 10汚泥して別に何でも会が階納戸メーカーていたそうじゃなく腕など1分暮らし
14:25のセフ定方停止があったら
14:27エクサが塗何でも許される方そうじゃないよねこの式は昔まで釣られているされるって
14:32いうのがあって方程式です
14:33なのでこれ二つ同時に不能だできないので一つを決め落ちしてその時の
14:38もう一歩を計算します
14:40ここで xg 行こう
14:42s 1で訂正使えます別バウンドするとあ
14:45一つ組めるともう1個は必ず決まるは岩をの者意見は妹 s まんじゃなきゃいけない
14:50と
14:51よってベクトルの形で書くと
14:54乗っていまラムダ=後に対する超える人の x ランとするとこの方程式の解
15:01x マンっていうのは
15:04x 成分がエースバン by 成分も s ワンカラー高かけるんだけどせっかくだ
15:10から別がんでくくってあげて
15:13こんなふうに書くことにしましょうとこれが求めなかった
15:17一つ目の小指で取るです
15:19はいそして今この貝本会極と s あっての兄ペース
15:27力で省略てしまってる本もあるんだけども
15:30今井チョコにスプーンはゼロだったら0よっているなっちゃうからー s 1は出るん
15:33じゃない
15:34ハイタカな場合その50を除くにでーすだと思ってください
15:38こんな風に小指振ったのは11の定数倍だと何でもいいようなことになりますだから
15:43冒頭へ出てきた11っていうのは別番外地な場合についての
15:47そのうち長いの子幼稚だったねって実際にこれ
15:51ビーチ市って言っての底スーパー全部こういうことになっている
15:54はけっこうこれ明らかにわかりますどうせかというとこういう人これでは定義を
15:59ちょっと子に立つに変えてみましょう
16:02まずこの式が成立してるんだったら例えば
16:06両辺には愛したこの形伊林ますには売って
16:09様何か得られるから打ってこっちの2倍してこれ数と風と入れ替えられるから
16:14この後両手にはしてこうなるんだけどこの式も
16:19これを外のベクトルとしてみたらこういうエフェクトになってるね
16:22同じ固有値に対する恋人になってるでしょだからというベクトルの定数ば今ゼロの服
16:28訂正場池全部
16:29湖湧別なんだね
16:31だから大事なのは方向だけであってもと元の大きさではありません
16:35方向が大事だからいちいち方向を向いたペットだったら行列レイに対して今回はから
16:39必ず
16:40ぽいベクトルになっているということになりますいろんな音視点から理解ができた
16:44でしょうか
16:45だから答えは生き時の定数ばまずロイがあって方何でもいいよってことがええわかった
16:50と
16:51と動画定義をしからそういうのはそんなはずだってわかるよね
16:54だからこそねそういうこの連立方程式の会議平成が残るわけです
16:59いいでしょうか
17:00はいということでですねまだ持ってですねこれはラムダ=後に対する肥え太るだって
17:05毛髪のこういうベクトルを計算してましょうじゃあラムないこれ-2
17:10じゃったんですね
17:13love 大これ-2を時と今押せないようにこの a もやしの不在の試投されて
17:17おきました
17:18このラムだり-3を突っ込むから
17:22後半はこれが a マイナスだんだんいってベクトルヘッド制度を x ワイド古そう
17:28こうこれが zero ブスだから
17:31これを解けばいいんでね
17:33ねこれ x テーブルが出てくる肯定しも y 成分が出てくる法廷心からマジである
17:394x +3 y だけしか出てきませんなので一つだけました
17:44これが解ければよいということになります
17:47さてそしてですねこの方程下やっぱり不停方程式なんだけども
17:52なにかしら一つの文字を定数とてその時に対応するも数の値を止めればいいんだけど
17:58例えば猫で1たずにやると x =
18:01書くみたいやんが適度な文字にすると s 2とするとって
18:04マーレ染色 s とすると
18:07た
18:08ワイバーどーんというと移行して3で割るから毎日4/3へ
18:15ふうに分せなった金で分数になっても構わないんだけども
18:18ブース者にかけるんだったらまあ一番それがいいかなと思うので分数じゃないような
18:22ってユースの置き方をしてみましょう
18:26裁判こんな風によく方法とこれ
18:31x =-3 s 普通とれています
18:35そうする投稿は-3 s 2が入って
18:38-12 s になるから移行して10人 sf 2例3で割るから4 s っ
18:48こんなふうに書くことができるのだから兄点数の整数バーで書けるよね
18:53フォレストが嬉しいところそうすると別の型性格と言って
18:59い学ぶないこれ-22に対する行為だと fx 2とかこの
19:02そうすると
19:05こうなるんだけど演出で食ってあげれば
19:09はいこれが求める固有ベクトルということになりましたから
19:13-34-定数倍とはっ cad みたいに x = s 都市で s そしててきた時
19:20には伊賀-3流 s になるんだけどそれも別に同じですあの
19:251-3分の8の定数倍というのがマイナス3度予定数倍とこれ
19:29動くかよまじだから例えばだから打ったらしいんだけど
19:32ここが定数だった招き持ちようとかを祈っていは定数なるように文字を置いてみました
19:37これはね行くを省略します s 2-22定数でゼロでないという点数ですね
19:42入って実際にくりぼー堂で出てきたようなこういう2
19:4511とかまいなさんはられたということになりますってその時の倍率言われ固有値も
19:50これの時はごとっこれの時はマイナスいっていうのもちゃんと式出てきたね
19:55こんなふうに声をかけすらもというのができますよとほどになります
19:59小鍋に確認を唯一あったら引かせ簡単に計算ができるわけですからですねこのよいつが
20:04でかくなっていくと結構ね難しい問題が増えてきたりして計算力増えるのでここでは
20:09参加家さんのね
20:10両立について考えてみてお芝居しましょうでは三角屋さん
20:14はいじゃあこんな3次正方行列の固有ショコリブ風呂研鑽してみましょう
20:18音最初にあるのはという方程式を解くことこういう方程式っていうのはこのよう列から
20:23ラウダーいいを引いたものの行列式だったから
20:29これを計算すれば良いとでこの計算暴行はもちろんさん格さんだから晒すの方法でも
20:35やってもいいしかっこよくでうまく4因子展開ではとなっても変わりませんとりあえず
20:38出てくる日同じ班分
20:40この行事機を出してまとめると
20:45行うならダメだ枚明日のランダー-1-2条ドラムだ-4と
20:48よって出てくるかいてのが
20:51ラムザ法律とようなんだけど市は10階です
20:55枝から今回のケースを通して10巻が出る場合のこういう人こういう別の計算の仕方
20:59までよく学んでみてくださいはいということで固有値がわかったとそれぞれについて
21:04こういうプロ計算しましょうまず
21:06ダラダラ=市こういうベクトルについて
21:10危ない高1の時このな胸に位置を突っ込んだものと考えればいいわけだから
21:17骨で酸性度今までから
21:20はい踊り子有する成分 x はジェットしておきましたこれが zero プールに
21:24なりますね
21:27これを磨いてあげればいいんだけど出てくる式でもなしだねえっくさすバイパスれて
21:30これてるぞ
21:33はいそうすると3つ変数あって1本しかし気がないのでこれ二つ決め打ちしないと
21:38決まらないねこれを不停方程式です
21:41なのでやった勧めしましょうここで x =
21:46いつまそして by を設けましょうは=
21:50t バーにします違うのです
21:52そのそ z が市に定まって z =
21:57マイナスエースノア泊まらせていいわなるもんねだからこういうベストですけどな
22:04こんな風にかけるとで文字ごとに整理してあげると
22:07一方るー
22:10s は思っているのは x 会分党 z 7
22:15こんなんそして t は思ってるのは
22:21マイ成分とずっと成分だからいっ
22:25tan
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