Cambio de Bases | Esencia del álgebra lineal, capítulo 09

Summary

El guion del video explica cómo describir un vector en un espacio 2D utilizando coordenadas y escalares. Se introduce la idea de sistemas de coordenadas y vectores base, ejemplificando con dos sistemas diferentes: uno estándar y otro alternativo propuesto por 'Jennifer'. Se discute cómo traducir entre sistemas de coordenadas utilizando matrices de cambio de base y multiplicación matriz-vector. El video también explora la representación de transformaciones lineales como rotaciones y cómo estas se aplican en diferentes sistemas de coordenadas, enfatizando la importancia de la multiplicación de matrices para la composición de transformaciones.

Takeaways

• 📏 El script habla sobre cómo describir un vector en un espacio 2D utilizando coordenadas.
• 🔍 Se menciona que las coordenadas son una forma de describir el movimiento de un vector en términos de escala y dirección.
• 📚 Se introduce el concepto de vectores base y su importancia en el sistema de coordenadas estándar.
• 🎯 Se describe cómo diferentes sistemas de coordenadas pueden tener vectores base diferentes, lo que afecta la forma en que se describen los vectores.
• 🤔 Se plantea la idea de la transformación de vectores entre sistemas de coordenadas usando matrices de cambio de base.
• 📐 Se discute cómo la elección de vectores base afecta la representación de las coordenadas en un espacio 2D.
• 🧩 Se explica que la multiplicación de matrices corresponde a la composición de transformaciones y cómo se puede utilizar para traducir entre sistemas de coordenadas.
• 🔄 Se menciona la inversa de una matriz de cambio de base y su papel en la traducción de vectores de un sistema a otro.
• 📈 Se da un ejemplo de cómo calcular las coordenadas de un vector en un sistema de coordenadas dado las coordenadas en otro sistema.
• 🌐 Se destaca la importancia de comprender la multiplicación de matrices y la representación de transformaciones para entender la traducción de vectores entre sistemas de coordenadas.

Q & A

¿Qué significa que un vector tenga coordenadas 3 2 en un espacio 2D?

Las coordenadas 3 2 indican que para ir de la cola al punto final del vector, se debe moverse 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba en el espacio 2D.

¿Cómo se describen las coordenadas de un vector en términos de álgebra lineal?

En álgebra lineal, las coordenadas de un vector se consideran como escalares que estiran o comprimen vectores unitarios. La primera coordenada es un escalar multiplicado por el vector unitario en dirección horizontal, y la segunda coordenada es un escalar multiplicado por el vector unitario en dirección vertical.

¿Qué son los vectores de la base en un sistema de coordenadas y por qué son importantes?

Los vectores de la base son vectores especiales que encapsulan las suposiciones implícitas de un sistema de coordenadas. Sirven para escalar y traducir entre vectores y conjuntos de números, lo que permite la descripción de cualquier vector en el espacio usando solo números.

¿Qué es un sistema de coordenadas y cómo se relaciona con los vectores de la base?

Un sistema de coordenadas es una forma de describir la posición de un punto en el espacio usando un conjunto de números. Los vectores de la base son los vectores que se escalan para representar cualquier otro vector en ese espacio según ese sistema.

¿Cómo se describe un vector usando un sistema de coordenadas con base diferente?

Se describe un vector multiplicando cada uno de los vectores de la nueva base por las coordenadas correspondientes y sumando los resultados. Esto da una representación del vector en el nuevo sistema de coordenadas.

¿Por qué pueden ser diferentes las coordenadas de un mismo vector en sistemas de coordenadas diferentes?

Las coordenadas de un vector varían según el sistema de coordenadas porque cada sistema tiene su propia base de vectores. Las coordenadas son el resultado de la proyección del vector sobre los vectores de la base de ese sistema.

¿Cómo se traducen las coordenadas de un vector de un sistema de coordenadas a otro?

Para traducir las coordenadas de un vector de un sistema a otro, se utiliza una matriz de cambio de base que relaciona los vectores de la base de un sistema con los del otro. Se multiplica esta matriz por el vector en el sistema original para obtener las coordenadas en el nuevo sistema.

¿Qué es la multiplicación matriz-vector y cómo se relaciona con la traducción de vectores entre sistemas de coordenadas?

La multiplicación matriz-vector es una operación que se utiliza para aplicar una transformación lineal a un vector. En el contexto de la traducción de vectores entre sistemas de coordenadas, esta operación se utiliza para convertir las coordenadas de un vector de un sistema a otro mediante una matriz de cambio de base.

¿Cómo se calcula la inversa de una matriz de cambio de base y por qué es importante?

La inversa de una matriz de cambio de base se calcula usando el método estándar para encontrar la inversa de una matriz. Es importante porque permite traducir vectores de un sistema de coordenadas a otro, y viceversa, permitiendo la comunicación entre diferentes sistemas de coordenadas.

¿Por qué es útil el concepto de sistemas de coordenadas alternativos en álgebra lineal?

Los sistemas de coordenadas alternativos son útiles porque permiten entender y aplicar transformaciones en diferentes referencias. Son fundamentales para el estudio de vectores propios, valores propios y para entender cómo se ven las mismas transformaciones desde diferentes perspectivas.

Outlines

00:00

📏 Descripción de vectores en el espacio 2D

El primer párrafo introduce el concepto de vectores en un espacio 2D y cómo describirlos utilizando coordenadas. Se menciona que el vector [3, 2] implica moverse 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Se explica que en álgebra lineal, los números se consideran escalares que estiran o comprimen vectores. Los vectores unitarios î y ĵ son usados como base para el sistema de coordenadas estándar. El texto también discute la posibilidad de utilizar diferentes sistemas de vectores base, como los usados por una amiga llamada Jennifer, y cómo esto afecta la descripción de un vector en términos de coordenadas.

05:02

🔍 Traducción entre sistemas de coordenadas

El segundo párrafo se enfoca en cómo traducir entre diferentes sistemas de coordenadas. Se describe el proceso de escalar vectores base y sumarlos para obtener el vector deseado en el sistema de Jennifer, que es diferente al del narrador. Se utiliza el ejemplo de un vector con coordenadas [-1, 2] en el sistema de Jennifer y cómo se calcula en el sistema del narrador. Se introduce la idea de la multiplicación matriz-vector y cómo se relaciona con la transformación lineal, y se sugiere que la matriz que representa los vectores base de Jennifer en el sistema del narrador puede ser vista como una transformación que mueve nuestros vectores base.

10:04

🔄 Composición de transformaciones y sistemas de coordenadas alternativos

El tercer párrafo explora cómo aplicar transformaciones a vectores en diferentes sistemas de coordenadas. Se discute la composición de matrices para realizar transformaciones en el lenguaje de Jennifer, donde se traduce primero al sistema del narrador, se aplica la transformación y luego se traduce de vuelta al sistema de Jennifer. Se da un ejemplo específico de una rotación de 90 grados y cómo se compone la matriz de transformación en el lenguaje de Jennifer. El párrafo concluye con la importancia de entender la multiplicación de matrices y la composición de transformaciones para trabajar con sistemas de coordenadas alternativos y se menciona que se profundizará en este tema en un próximo video sobre vectores propios y valores propios.

Keywords

💡Vector

Un vector es un objeto matemático que tiene tanto magnitud como dirección. En el video, se utiliza para representar un punto o dirección en un espacio bidimensional, donde el vector se describe con coordenadas (3, 2), lo que indica que se desplaza 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba.

💡Coordenadas

Las coordenadas son un conjunto de números que especifican la posición de un punto en un sistema de referencia. En el video, las coordenadas son usadas para describir la posición de la punta de un vector en un espacio 2D, donde la primera coordenada indica el desplazamiento horizontal y la segunda el vertical.

💡Escalar

Un escalar es un número que puede ser utilizado para multiplicar un vector, alterando su longitud sin cambiar su dirección. En el video, se menciona que las coordenadas pueden ser consideradas como escalares que estiran o comprimen un vector de longitud 1 en la dirección del vector base correspondiente.

💡Sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas es un marco de referencia utilizado para situar objetos en un espacio. En el video, se discute cómo el sistema de coordenadas está relacionado con la elección de vectores base y cómo encapsula suposiciones sobre el movimiento en el espacio.

💡Vectores base

Los vectores base son vectores que forman la estructura fundamental de un sistema de coordenadas. En el video, se explica que los vectores base estándar son i (hacia la derecha) y j (hacia arriba), pero se puede utilizar un conjunto diferente de vectores base, como los de Jennifer.

💡Transformación lineal

Una transformación lineal es una función que mantiene las operaciones de adición y escalado de vectores. En el video, se sugiere que la multiplicación matriz-vector es un ejemplo de una transformación lineal que puede representar cambios en el sistema de coordenadas.

💡Matriz de cambio de base

Una matriz de cambio de base es una matriz que relaciona los vectores base de un sistema de coordenadas con otro. En el video, se utiliza para traducir entre los sistemas de coordenadas estándar y el sistema de Jennifer, mostrando cómo se ven los mismos vectores en ambos sistemas.

💡Matriz

Una matriz es una tabla de números organizada en filas y columnas. En el video, las matrices se utilizan para representar transformaciones y cambios de base, donde las columnas de una matriz pueden representar vectores de base en un sistema de coordenadas.

💡Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices es una operación que combina dos matrices en una nueva matriz. En el video, se menciona que esta operación corresponde a la composición de transformaciones y es crucial para entender cómo se aplican las transformaciones en diferentes sistemas de coordenadas.

💡Inversa de una matriz

La inversa de una matriz es una matriz que, al multiplicarse con la original, resulta en la matriz identidad. En el video, se discute cómo la inversa de una matriz de cambio de base se utiliza para traducir vectores de un sistema de coordenadas a otro.

💡Transformación

Una transformación es una operación que altera la posición, dirección o forma de un objeto. En el video, se discute cómo las transformaciones, como rotaciones, pueden ser representadas y aplicadas en diferentes sistemas de coordenadas utilizando matrices.

Highlights

Descripción de vectores en espacio 2D utilizando coordenadas (3, 2).

Representación de coordenadas como escalares que estiran o compriman vectores.

Explicación de los vectores unitarios i y j como base del sistema de coordenadas.

Introducción de un sistema de coordenadas alternativo con vectores base diferentes.

Descripción de cómo Jennifer utiliza vectores base que apuntan en direcciones específicas.

Comparación de coordenadas de un vector en sistemas de coordenadas diferentes.

Método para calcular coordenadas de un vector en un sistema de referencia dado otro sistema.

Importancia de la elección de vectores base para definir sistemas de coordenadas.

Representación de la cuadrícula en un espacio 2D y su dependencia de la base elegida.

Proceso de traducción entre sistemas de coordenadas utilizando matrices.

Multiplicación matriz-vector como aplicación de una transformación lineal.

Explicación de cómo una matriz de cambio de base traduce vectores de un sistema a otro.

Uso de la inversa de una matriz de cambio de base para traducir vectores en el otro sentido.

Introducción de la multiplicación de matrices para representar la composición de transformaciones.

Ejemplo práctico de cómo calcular las coordenadas de un vector en un sistema de Jennifer.

Importancia de entender la multiplicación de matrices para representar transformaciones.

Discusión sobre la representación de transformaciones y cómo se relaciona con la elección de vectores base.

Método para calcular la matriz de transformación en el lenguaje de Jennifer a partir de una transformación dada.

La matriz resultante de la composición de matrices representa la transformación vista desde la perspectiva de otro sistema.

La relevancia de los sistemas de coordenadas alternativos en el contexto de vectores propios y valores propios.

Transcripts

ah

ah

ah

si tengo un vector acomodado aquí en el

espacio 2 d existe una forma estándar

para describirlo con coordenadas en este

caso el vector tiene coordenadas 3 2 lo

que significa que para ir de su cola a

su punta se requiere pasar 3 unidades a

la derecha y 2 unidades hacia arriba

ahora la forma más propia del álgebra

lineal para describir coordenadas es

considerar a cada uno de estos números

como un escalar algo que estira o

compacta vectores piensa en esa primera

coordenada como escalar y sombrerito el

vector de longitud 1 que apunta a la

derecha mientras que la segunda

coordenada escala j sombrerito el vector

de longitud 1 apuntando hacia arriba las

coordenadas van a indicar la suma de

esos dos vectores escala 2 puedes pensar

en estos dos vectores especiales como si

encapsular en todas las suposiciones

implícitas de nuestro sistema de

coordenadas el hecho de que el primer

número indica el movimiento hacia la

derecha y que el segundo indique el

movimiento hacia arriba exactamente en

cuántas unidades de distancia todo esto

está sujeta a la elección de i

sombrerito y j sombrerito como los

vectores que las coordenadas tienen el

propósito de escalar cualquier manera de

traducir entre vectores y conjuntos de

números es lo que se llama un sistema de

coordenadas

y los vectores especiales y sombrerito y

j sombrerito se llaman los vectores de

la base de nuestro sistema de

coordenadas estándar lo que me gustaría

mencionar aquí es la idea de utilizar un

conjunto diferente de vectores base por

ejemplo digamos que tienes una amiga

jennifer que utiliza un conjunto

diferente de vectores base que llamaré

b1 y b2 su primer vector base b 1 apunta

hacia arriba y un poco a la derecha y el

segundo vector b 2 apunta a la izquierda

y hacia arriba ahora echa otro vistazo a

ese vector que mostré antes aquel que

describíamos usando las coordenadas 3 2

usando nuestros vectores base y

sombrerito y j sombrerito jennifer en

realidad describiría este vector con las

coordenadas 5 tercios un tercio lo que

esto significa es que la manera

particular para llegar a ese vector

usando sus dos vectores de la base es

multiplicar b1 por cinco tercios

multiplicar b 2 por un tercio y luego

sumarlos a ambos

en un momento más te voy a mostrar cómo

te podrías haber dado cuenta de esos dos

números cinco tercios y un tercio en

general siempre que jennifer utiliza

coordenadas para describir un vector

ella piensa en su primera coordenada

común múltiplo de v 1 y la segunda

coordenada como un múltiplo de b 2 luego

añade los resultados lo que ella obtiene

normalmente será completamente diferente

del vector que tú y yo podríamos pensar

que tiene esas coordenadas para ser un

poco más precisos acerca de la

configuración aquí su primer vector base

b 1 es algo que nosotros escribiríamos

con las coordenadas 2 1 y su segundo

vector base b 2 es algo que describiría

moss como menos 11 pero es importante

darse cuenta desde su punto de vista que

en su sistema esos vectores tienen

coordenadas 1 0 y 0 1

ellos son los que definen el significado

de las coordenadas 1 0 y 0 1 en su mundo

así que en efecto estamos hablando de

diferentes idiomas estamos mirando a los

mismos vectores en el espacio pero

jennifer utiliza diferentes palabras y

números para describir las permíteme

decir unas palabras sobre la forma en

que estoy representando aquí las cosas

cuando hago animaciones en un espacio 2d

típicamente uso esta cuadrícula pero

ésta es sólo una construcción una forma

de visualizar nuestro sistema de

coordenadas y por lo tanto depende de

nuestra elección de la base el espacio

propiamente no tiene ninguna cuadrícula

intrínseca jennifer podría dibujar su

propia cuadrícula que sería una

construcción igualmente inventada lo

cual significa que no es más que una

herramienta visual para ayudar a seguir

el significado de sus coordenadas su

origen sin embargo en realidad se

alinearía con el nuestro porque todo el

mundo está de acuerdo en lo que las

coordenadas 0 0 deben significar es lo

que se obtiene cuando sea escala

cualquier vector x 0 pero la elección de

sus ejes y el espaciamiento de las

líneas de su cola será diferente

dependiendo de su elección de vectores

base así que después de todo esto una

pregunta muy natural es como traducimos

entre sistemas de coordenadas si por

ejemplo jennifer describe un vector con

coordenadas menos 12 que vector sería

eso en nuestro sistema de coordenadas

como se traduce de su idioma al nuestro

bueno lo que nuestras coordenadas dicen

es que este vector es menos 1 por b 1 +

2 b 2 y desde nuestro punto de vista b

uno tiene coordenadas 2 1 y b 2 tiene

coordenadas menos 1 1

así que en realidad podemos calcular

menos 1 por b 1 + 2 b2 como se

representa en nuestro sistema de

coordenadas y calculando esto se obtiene

un vector con coordenadas menos 41 por

lo tanto esa es la forma en que

describiríamos el vector que ella piensa

como menos 12

este proceso de escalar cada uno de sus

vectores base por las coordenadas

correspondientes de algún vector y luego

sumarlos puede parecer algo familiar es

la multiplicación matriz vector con una

matriz cuyas columnas representan los

vectores de la base de jennifer en

nuestro idioma

de hecho una vez que entiendas la

multiplicación matriz vector como la

aplicación de una cierta transformación

lineal digamos viendo el que considero

el vídeo más importante de esta serie el

capítulo 3 te darás cuenta que hay una

manera muy intuitiva para pensar en lo

que está pasando aquí una matriz cuyas

columnas representan los vectores de la

base de jennifer puede ser considerada

como una transformación que mueven

nuestros vectores base y sombrerito y j

sombrerito las cosas que nosotros

pensamos cuando decimos 1 0 y 0 1 y

moverlos a la base de vectores de

jennifer que son en lo que ella piensa

cuando dice 1 0 y 0 1 para mostrar cómo

funciona esto vamos a seguir los pasos

de lo que significaría tomar el vector

que nosotros consideramos que tiene

coordenadas menos 12 y aplicar esa

transformación antes de la

transformación lineal nosotros pensamos

en este vector como una cierta

combinación lineal de los vectores de la

base menos uno por y sombrerito más dos

por jota sombrerito y la característica

clave de una transformación lineal es

que el vector resultante será la misma

combinación lineal pero él nuevos

vectores de la base menos una vez el

lugar donde queda y sombrerito más dos

veces el lugar donde queda jota

sombrerito

entonces lo que esta matriz hace es que

transforma nuestra idea equivocada de lo

que se refiere y jennifer en el vector

real al cual se está refiriendo

recuerdo que cuando estaba aprendiendo

esto por primera vez siempre sentía que

era algo al revés geométricamente esta

matriz transforma nuestra cuadrícula en

la cuadrícula de jennifer pero

numéricamente es la traducción de un

vector descrito en su idioma a nuestro

idioma lo que hizo que finalmente

pudiera entenderlo fue pensar en cómo se

traduce nuestra idea equivocada de lo

que jennifer quiere decir esto es el

vector que conseguimos utilizando las

mismas coordenadas pero en nuestro

sistema y luego se transforma en el

vector que ella quería decir en realidad

qué tal hacerlo al revés

en el ejemplo que he utilizado antes en

este vídeo cuando tengo el vector de

coordenadas 32 en nuestro sistema como

pude calcular que tendría coordenadas 5

tercios un tercio en el sistema de

jennifer se empieza con la matriz de

cambio de base que traduce el lenguaje

de jennifer en el nuestro y luego toma

su inversa

recuerda la inversa de una

transformación es una nueva

transformación que corresponde a jugar

con la primera en sentido opuesto en la

práctica sobre todo cuando se trabaja en

más de dos dimensiones tendrías que

utilizar una computadora para calcular

la matriz que representa a la inversa en

este caso la inversa de la matriz de

cambio de base que tiene la base de

jennifer como sus columnas tiene

columnas un tercio menos un tercio y un

tercio dos tercios

así por ejemplo para ver cómo luce el

vector 32 en el sistema de jennifer

multiplicamos la inversa de la matriz de

cambio de base por el vector 32 que

resulta ser cinco tercios un tercio

eso en pocas palabras es como se traduce

en vectores individuales entre sistemas

de coordenadas la matriz cuyas columnas

representan los vectores de la base de

jennifer pero escrita en nuestras

coordenadas traduce vectores de su

idioma a nuestro idioma

y la matriz inversa hace lo opuesto

sin embargo los vectores no son la única

cosa que se describe con el uso de

coordenadas para la siguiente parte es

importante que te sientas cómodo

representando transformaciones con

matrices y que sepas cómo la

multiplicación de matrices se

corresponde a la composición de

transformaciones sucesivas

definitivamente hace una pausa y echa un

vistazo a los capítulos 3 y 4 si algo de

esto te resulta difícil

considera alguna transformación lineal

como la rotación a 90 grados en sentido

antihorario cuando tú y yo representamos

esto con una matriz seguimos hasta donde

van cada uno de los vectores de la base

y sombrerito y j sombrerito y sombrerito

termina en el punto que en coordenadas 0

1 y j sombrerito termina en el punto con

coordenadas menos 1 0

así que esas coordenadas se convierten

en las columnas de nuestra matriz pero

esta representación está fuertemente

vinculada a nuestra elección de los

vectores base por el hecho de que

estamos siguiendo y sombrerito y j

sombrerito en primer lugar al hecho de

que estamos registrando sus lugares de

destino en nuestro propio sistema de

coordenadas como describiría jennifer

esta misma rotación del espacio de 90

grados

puedes verte tentado a simplemente

traducir las columnas de nuestra matriz

de rotación en el lenguaje de jennifer

pero eso no es del todo correcto esas

columnas representan a dónde van

nuestros vectores base y sombrerito y j

sombrerito sin embargo la matriz que

jennifer quiere debe representar a dónde

van sus vectores base y necesita

describir esos puntos de destino en su

idioma he aquí una forma común de pensar

en cómo se hace esto comienza con

cualquier vector escrito en el lenguaje

de jennifer en lugar de tratar de seguir

lo que le ocurre en términos de su

lenguaje en primer lugar vamos a

traducirlo a nuestro idioma mediante la

matriz de cambio de base aquellas cuyas

columnas representan sus vectores base

en nuestro idioma esto nos da el mismo

vector pero ahora escrito en nuestro

idioma a continuación aplica la matriz

de transformación a lo que obtengas

multiplicando por la izquierda esto nos

dice donde aterriza ese vector pero

todavía en nuestro idioma

luego como último paso aplicamos la

inversa de la matriz de cambio de base

multiplicando por la izquierda como de

costumbre para obtener el vector

transformado pero ahora en el lenguaje

de jennifer puesto que podríamos hacer

esto con cualquier vector escrito en su

lengua primero aplicando el cambio de

base luego la transformación y luego la

inversa del cambio de base esta

composición de las tres matrices nos da

la matriz de transformación en el

lenguaje de jennifer se inicia con un

vector en su lenguaje y nos arroja la

versión transformada de ese vector en su

idioma para este ejemplo específico

cuando vectores de la base de jennifer

se ven como 2 1 y menos 11 en nuestro

idioma y cuando la transformación es una

rotación de 90 grados el producto de

estas tres matrices tiene columnas un

tercio cinco tercios y menos dos tercios

menos un tercio así que si jennifer

multiplica esa matriz por las

coordenadas de un vector en su sistema

le devolverá la versión girada de ese

vector 90° expresado en su sistema de

coordenadas

en general cada vez que veas una

expresión como ad inversa multiplicada

por m multiplicada por a se sugiere una

especie de empatía matemática esa matriz

de enmedio representa una transformación

de algún tipo como tú lo ves y las dos

matrices externas representan la empatía

el cambio de perspectiva y el producto

total de las tres matrices representa

esa misma transformación pero como

alguien más lo ve para aquellos que se

preguntan por qué nos importan los

sistemas de coordenadas alternativos en

el siguiente vídeo sobre los vectores

propios y valores propios habrá un

ejemplo muy importante de esto hasta

entonces

[Música]