30 Ecuaciones Diferenciales con Métodos Numéricos Teoría
Summary
TLDREl script del video ofrece una introducción a los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales, enfocándose en su aplicación en física y ingeniería. Se discuten técnicas como el método de Picard, la serie de Taylor, el método de Euler, el mejorado de Heun y el de Runge-Kutta, así como el método de Milne, que son fundamentales para hallar aproximaciones a soluciones de sistemas dinámicos. El video también menciona la importancia de la programación para implementar estos métodos, sugiriendo lenguajes como MATLAB. La teoría se complementa con ejercicios prácticos y se invita a la audiencia a seguir la serie de videos para ver la aplicación de estos conceptos en problemas concretos.
Takeaways
- 📚 Las leyes fundamentales de la física y la ingeniería a menudo se basan en observaciones empíricas para explicar variaciones en las propiedades de sistemas.
- 🔄 Muchas propiedades de los sistemas cambian en el espacio o el tiempo, y estas variaciones se pueden modelar con ecuaciones diferenciales.
- 📉 Los modelos matemáticos no siempre son lineales, lo que significa que las ecuaciones diferenciales no siempre pueden resolverse analíticamente.
- 🔢 Los métodos numéricos son esenciales para proporcionar soluciones aproximadas a modelos matemáticos no lineales.
- 👨🏫 Se presentarán teoría y fórmulas detrás de los métodos más utilizados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
- 🔧 El primer método estudiado es el método de aproximaciones sucesivas de Picard, que utiliza funciones analíticas y integrales.
- 📈 El segundo método es la serie de Taylor, que consiste en calcular y reemplazar derivadas sucesivas en un punto para encontrar soluciones numéricas.
- 🔄 El método de Euler es una técnica para encontrar la solución de una ecuación diferencial de primer orden y valores iniciales conocidos.
- 📉 El método de Heun o mejorado de Euler es una extensión del método de Euler que mejora la precisión al ser de segundo orden.
- 🔧 El método de Runge-Kutta, descubierto por Heun y Kutta, es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales y un margen de error.
- 🔄 El método de Milne es un método multi paso y predictor-corrector que requiere cuatro puntos para su aplicación.
Q & A
¿Qué papel juegan las observaciones empíricas en las leyes fundamentales de la física y la ingeniería?
-Las observaciones empíricas son la base para explicar ciertas variaciones en las diferentes propiedades de los sistemas en física y ingeniería.
¿Qué se puede modelar con ecuaciones diferenciales según el video?
-Se pueden modelar sistemas cuyas variables cambian en el espacio o el tiempo y se modifican permanentemente usando ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales.
¿Por qué a veces no se pueden resolver las ecuaciones diferenciales por métodos analíticos?
-Porque los modelos matemáticos no siempre son lineales, lo que impide resolver sus ecuaciones diferenciales por métodos analíticos tradicionales del cálculo diferencial e integral.
¿Qué papel juegan los métodos numéricos en la resolución de ecuaciones diferenciales no lineales?
-Los métodos numéricos proporcionan soluciones aproximadas para modelos matemáticos no lineales, permitiendo representar los resultados muchas veces en forma tabular.
¿Qué método se presenta primero en el video y cuál es su fundamento?
-El primer método presentado es el método de aproximaciones sucesivas de Picard, que utiliza integrales del cálculo diferencial e integral para encontrar soluciones iterativas de ecuaciones diferenciales.
¿Cómo funciona el método de Picard para resolver una ecuación diferencial?
-El método de Picard encuentra soluciones iterativas sucesivas comenzando con un valor inicial conocido y construyendo las siguientes soluciones a partir de las anteriores mediante integraciones.
¿Qué es la serie de Taylor y cómo se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales?
-La serie de Taylor es una expansión que utiliza derivadas sucesivas de una función evaluadas en un punto para aproximar la solución de una ecuación diferencial. El método consiste en reemplazar estas derivadas en la serie de Taylor.
¿Qué limitaciones presenta el método de la serie de Taylor?
-Una de las limitaciones del método de la serie de Taylor es la dificultad de calcular derivadas de orden superior en algunos casos.
¿En qué consiste el método de Euler y cómo se aplica?
-El método de Euler es un método numérico que encuentra la solución de una ecuación diferencial de primer orden mediante una fórmula iterativa, avanzando con un paso h desde un valor inicial conocido.
¿Qué mejoras introduce el método de Euler mejorado respecto al método de Euler simple?
-El método de Euler mejorado introduce una corrección que permite una mayor precisión en la solución, utilizando una fórmula extendida que incluye una evaluación adicional de la función.
¿Qué es el método de Runge-Kutta y cómo se diferencia de otros métodos numéricos?
-El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos explícitos e implícitos que proporcionan soluciones numéricas con un pequeño margen de error. Se diferencia por calcular varios valores intermedios para mejorar la precisión.
¿Cómo se aplica el método de Adams-Bashforth-Moulton y qué lo distingue de otros métodos?
-El método de Adams-Bashforth-Moulton es un método de múltiples pasos y predictor-corrector que requiere varios puntos iniciales. Se distingue por usar valores de métodos previos y aplicar fórmulas iterativas para mejorar la precisión de la solución.
Outlines
🔍 Introducción a las ecuaciones diferenciales y métodos numéricos
El primer párrafo presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y cómo se pueden resolver mediante métodos numéricos. Se menciona que las leyes fundamentales de la física y la ingeniería a menudo se basan en observaciones empíricas y que las propiedades de los sistemas cambian con el espacio y el tiempo. Estas variaciones pueden ser modeladas con ecuaciones diferenciales, que pueden ser ordinarias o parciales. Sin embargo, no todas las ecuaciones son lineales y, por lo tanto, no siempre se pueden resolver analíticamente. Por eso, se introducen los métodos numéricos para proporcionar soluciones aproximadas. El vídeo tiene como objetivo presentar teoría básica y fórmulas detrás de los métodos más comunes para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, que pueden ser programados en lenguajes de programación como MATLAB. El primer método discutido es el método de aproximaciones sucesivas de Picard, que utiliza funciones analíticas y integrales para resolver ecuaciones diferenciales con una condición inicial dada.
📚 Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales: Picard, Taylor y Euler
El segundo párrafo se enfoca en tres métodos numéricos específicos para resolver ecuaciones diferenciales: el método de Picard, el método de la serie de Taylor y el método de Euler. El método de Picard se describe como una técnica iterativa que construye una solución interactiva. El método de Taylor se basa en calcular las derivadas sucesivas de la función dada y evaluarlas en un punto para construir la solución a través de la serie de Taylor. El método de Euler, por otro lado, es un método de primer orden que avanza la solución mediante una fórmula que involucra el valor inicial y el paso 'h'. También se menciona un método mejorado de Euler, conocido como el método de Heun o de Yum, que es de segundo orden y ofrece una corrección para mejorar la precisión. Además, se introduce el método de Runge-Kutta, que es una extensión de los métodos iterativos y permite un margen de error más pequeño con respecto a la solución real.
📘 Conclusión y próximos pasos en la serie de videos sobre métodos numéricos
El tercer y último párrafo concluye el video sobre ecuaciones diferenciales y métodos numéricos invitando a la audiencia a seguir la serie en los próximos videos. Se menciona que se abordarán problemas concretos de aplicación y se utilizarán las fórmulas mostradas en el video para resolverlos. El presentador anima a la audiencia a seguir el canal para ver la parte práctica de lo discutido teóricamente y a colaborar con un 'like' y compartir el video con amigos, compañeros y profesores. Además, se invita a los espectadores a dejar comentarios y se les envía un saludo de paz.
Mindmap
Keywords
💡Ecuaciones Diferenciales
💡Métodos Numéricos
💡Método de Picard
💡Serie de Taylor
💡Método de Euler
💡Método de Heun (o Heun's Improved)
💡Método de Runge-Kutta
💡Método de Milne
💡Condiciones Iniciales
💡Funciones Analíticas
Highlights
Las leyes fundamentales de la física y la ingeniería a menudo se basan en observaciones empíricas para explicar variaciones en propiedades de sistemas.
Las propiedades de los sistemas cambian frecuentemente en el espacio o el tiempo y se pueden modelar con ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales son herramientas clave para modelar sistemas cuyas variables cambian.
Los modelos matemáticos no siempre son lineales, lo que hace que las ecuaciones diferenciales no se puedan resolver analíticamente.
Los métodos numéricos son esenciales para proporcionar soluciones aproximadas a modelos matemáticos no lineales.
El método de aproximaciones sucesivas de Picard utiliza funciones analíticas y integrales del cálculo diferencial e integral.
El método de Picard construye una solución interactiva para ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno.
El método de Taylor se utiliza para obtener soluciones numéricas a partir de la serie de Taylor y derivadas sucesivas de la función dada.
El método de Euler es una técnica numérica para encontrar la solución de una ecuación diferencial de primer orden y valores iniciales conocidos.
El método de Euler mejorado, también conocido como el método de Heun, es una extensión del método de Euler y es de segundo orden.
El método de Runge-Kutta, desarrollado por Carro y Kutta, resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales y ofrece un margen de error.
El método de Runge-Kutta es una colección de métodos genéricos, interactivos, explícitos e implícitos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
El método de Milne es un método multi paso y predictor-corrector que requiere cuatro puntos para su aplicación.
Para aplicar el método de Milne, se utiliza el método de Runge-Kutta para hallar tres puntos adicionales además de la condición inicial.
Los métodos numéricos estudiados son aplicados en problemas concretos en futuras sesiones de la Multiversidad Matemática.
Se animará a la audiencia a seguir los siguientes videos para ver la parte práctica de los métodos numéricos presentados.
Se invita a la audiencia a colaborar con un like, suscribirse al canal y activar la campanita para recibir futuras publicaciones.
Se anima a compartir el video con amigos, compañeros y profesores para difundir el conocimiento sobre métodos numéricos.
Se invita a los espectadores a dejar comentarios y se les envía un saludo de paz profunda.
Transcripts
las leyes fundamentales de la física y
de la ingeniería con frecuencia se basan
en observaciones empíricas para explicar
ciertas variaciones de las diferentes
propiedades que poseen sus sistemas
muchas de esas propiedades cambian
frecuentemente ya sea en el espacio o en
el tiempo ahora todo sistema cuyas
variables cambian se modifican
permanentemente con paradores tales como
aumenta disminuye incrementa decremento
crece decrece y otra sinónimas se pueden
modelar con ecuaciones diferenciales ya
sean ecuaciones diferenciales ordinarias
o bien en derivadas parciales pero por
otra parte este modelo matemático no
siempre va a ser lineal por tanto sus
ecuaciones diferenciales no se podrán
resolver por métodos analíticos
conocidos por el cálculo diferencial e
integral
es aquí donde aparecen los métodos
numéricos para dar soluciones
aproximadas a esos modelos matemáticos
no lineales y representados muchas veces
es tabular es en este vídeo les
presentaré una breve teoría y sobre todo
las fórmulas que los gobiernan aquellos
métodos más utilizados para resolver
ecuaciones diferenciales ordinarias y
que las mismas por supuesto se pueden
programar haciendo uso de diferentes
lenguajes de programación tales como el
mad lab por ejemplo sean una vez más
bienvenidos a multiversidad matemática
con el auspicio de educar test
comenzamos
[Música]
como ya les anuncié en la introducción
de este vídeo hoy veremos la parte
teórica de lo que son las ecuaciones
diferenciales pero resueltas con métodos
numéricos y el primer método que vamos a
estudiar es el método denominado por
aproximaciones sucesivas de picar este
es un método que todavía trabaja con
funciones con funciones analíticas es
decir hace uso de las integrales del
cálculo diferencial e integral y que
enseñar este método ese método dice lo
siguiente para un problema de coche con
la ecuación diferencial de prima fx y
condición de contorno y en el x sub 0
igual a 0 donde se puede asegurar la
existencia y universidad de solución
para un dominio de x-men o sexo pero
menor a 10 menos y es 10 menor a b
entonces es posible construir una
solución de forma interactiva para
resolver la ecuación diferencial de la
siguiente manera piense aquí tenemos la
ecuación por el método de picard podemos
hallar laico en la solución y en su pene
más 1 conociendo para comenzar
0 pero también aquí tenemos un valor
anterior de iu y a su vez uno que
tenemos y a su vez es decir si conocemos
y es un 0 podemos hallar y es 1
conociendo 10 1 hallamos 10 y 2
conociendo ya sus 2 y es un 3 y así
sucesivamente vamos integrando entonces
este es el primer método que vamos a
hacer ya ejercicios en el aula
presencial de multiverso de matemática
para estudiar justamente las el método
de profesiones sucesivas de picar y
resolver una ecuación diferencial de la
forma y prima igual a efe de xy el
segundo método que vamos a estudiar se
trata de la serie de taylor este método
sirve también para obtener soluciones
numéricas de las ecuaciones
diferenciales y consiste en calcular las
derivadas son las derivadas sucesivas la
primera la segunda la tercera en fin de
la función de la ecuación diferencial
dada y estas vamos a evaluar en un punto
equis sub 0 y luego reemplazamos el
resultado en la serie de taylor y aquí
les muestro todo esto es la serie de
taylor
ahora este método presenta una
dificultad que es justamente el de
derivar muchas veces hallar las
derivadas de orden superior en algunos
casos eso no es ningún problema son
derivadas digamos es sumamente sencillas
pero en algunos ejemplos si se puede
sería muy complicado obtener las
derivadas de orden superior
pero una vez derivando reemplazamos en
esta fórmula y con esto vamos a
encontrar la solución y lx que es la
solución de la ecuación diferencial y en
prima igual a efe de xy y el método que
siguen o no podía faltar por supuesto
leonard hoy leer el método consiste
justamente en encontrar interactivamente
la solución de una ecuación diferencial
de primer orden y valores iniciales
conocidos para un rango de valores
partiendo de un valor inicial x sub zero
y avanzando con un paso h se pueden
obtener los valores de la solución
mediante la fórmula siguiente aquí
tenemos la fórmula fíjense y en n basuro
iguala y eso viene más
h por efe de evaluado en x cnn y en
donde h se calcula de esa manera x - x 0
/ / n
este método el método de oria podemos
decir es un método 100% que pertenece a
los métodos numéricos porque aquí vamos
a tener una función tabular la función f
lo vamos a volver una función tabular
justamente con ciertos valores aquí
tenemos n
es un valor que nosotros damos de 5 10
20 dependiendo mientras más grande sea
el más pequeño va a ser así por supuesto
sólo hacemos esto hacía manu cálculos a
mano
hay que tomar mucho valor en los valores
muy grandes de enero hasta 10 puede ser
pero si trabajamos ya en computadoras
entonces n puede valer cualquier valor
este es el método de hoy leer el primer
método que ha calculado ahora también
tiene haber otro método que lo vemos a
continuación este es el método de hoy
leer el método oyler mejorado o llamado
también el método de yum
este método fíjense es se puede
considerar como una extensión del
anterior método de hoy leer pero ahora
es un método de segundo orden
en cambio el anterior era del primer
orden debido a la escasa aproximación
que brinda el anterior método de hoy
leer con este método mejorado vamos a
introducir una corrección
que va a permitir justamente mejorar su
precisión
ahora fíjense la fórmula este es una
fórmula muy similar a la anterior hasta
ahí por ejemplo todo esto sería el
método de oler el anterior que hemos
visto pero ahora le añadimos este otra
es otra función
efe y efe vamos a evaluar en x sub camas
1 y es sub que más 1 h sigue siendo x
menos x 0 sobre n y cava valer de ese 0
123 entonces este es el método de doble
mejorado y justamente esta es la fórmula
que vamos a utilizar para encontrar ya
la solución de la ecuación diferencial y
en prima igual a fx y continuamos con
los métodos que vamos a ver ya
presencialmente el aula presencial un
método bastante utilizado es el método
de roy discuta si descubierto por carro
y cicuta este método sirve para resolver
numéricamente problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias con condiciones
iniciales y proporciona digamos un
pequeño margen de error con respecto a
la solución real del problema este
método se utiliza para resolver
ecuaciones diferenciales de la forma y
prima
fx y con una condición inicial y es
evaluado en x sub zero es igual a cero y
fíjense como la ecuación igual a cero
más uno es un sexto y aquí multiplica
casi 122 más dos casos tres más caso 4 y
h es igual a x men x sub zero ahora como
encontramos como calculamos casos 1 caso
dos casos 3 vemos a continuación aquí
tenemos justamente la foto también de
kuta se puede decir que este método de
discuta es un conjunto de métodos
genéricos interactivos explícitos e
implícitos que sirven para resolver
ecuaciones diferenciales de primer orden
como estamos manejando los prima y aquí
tenemos los valores de cada caso 1 k sub
23 y caso 4 entonces conociendo estos
valores del caso bureau carlos cáceres y
caso 4 reemplazamos aquí en esta otra
fórmula igual a 0 para su sexto y aquí
tenemos todos los valores de beca y de
esta manera encontramos calculamos la
ecuación diferencial por el método de
roses cootad finalmente vamos a estudiar
el método de mayo
los métodos anteriores que hemos visto
hasta su disfruta son considerados
digamos como métodos de un paso porque
solo requieren el valor de la condición
inicial para emplearlos y nada más
en cambio este método el voto de mails o
milne es un método multi paso y además
es un predictor corrector pero para este
método fíjense se requieren cuatro
puntos para aplicarlo uno de ellos ya
conocemos es la condición inicial y
hacen falta otros tres puntos bueno los
valores de los otros tres podemos
calcular los recurriendo a los otros
métodos que hayamos visto que realmente
se usa el método discuta para hallar el
valor por decirles de elías uno no
conocemos leyes 10 y el día seguro
hallamos con el método de ruta y de ahí
para adelante ya utilizamos la fórmula
que ven aquí y h es igual a x menos x
pero sobre n entonces este es un método
nos olvide un método denominado de multi
paso que además es un predictor correcto
en los siguientes vídeos de
multiversidad matemática dedicado a los
métodos numéricos está resolviendo
varios
problemas concretos de aplicación donde
utilizaremos las fórmulas que hoy les he
mostrado así que si quieren ver la parte
práctica de lo que hoy vimos la teoría
de hoy pues síganos en los siguientes
vídeos que difundiremos y como si de
presiones gustó este vídeo pues
colaboramos con un like también
suscriban a nuestro canal y presione la
campanita para que reciba los otros
vídeos que saque de mocidade múltiple se
llama temática dedicado a los métodos
médicos comparta también este vídeo con
sus amigos compañeros profesores
etcétera y si tiene algún comentario
pues digamos aquí en la casilla de
comentarios como siempre les envío un
saludo de paz profunda
[Música]
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