Las medianas dividen en triangulitos con la misma área
Summary
TLDREn este video, se explora la definición de mediana en un triángulo y su relación con las demás medianas. Se ilustra cómo las medianas, que son segmentos desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, intersectan en un punto conocido como el centro de masas del triángulo. Se demuestra que estas medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños, que aunque no son congruentes, tienen áreas iguales. La demostración se basa en comparar las áreas de estos triángulos menores, utilizando la fórmula de área de un triángulo (base por altura) y mostrando que tienen la misma altura y base. Este concepto es fundamental en la geometría y tiene aplicaciones en física, como el centro de masa de un objeto.
Takeaways
- 📐 Una mediana en un triángulo es un segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.
- 🔶 Cada triángulo tiene tres medianas, cada una de ellas trazada desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
- 🎯 Todas las medianas de un triángulo intersectan en un solo punto, conocido como el centro del triángulo.
- 🌀 El centro del triángulo también se conoce como el centro de masa si el triángulo tiene una masa uniforme.
- 📊 Las medianas dividen al triángulo en seis triángulos más pequeños.
- 🔍 Aunque estos seis triángulos no son congruentes, todos tienen el mismo área.
- 📈 Para demostrar que dos triángulos tienen el mismo área, se utiliza la fórmula de área de un triángulo: (base * altura) / 2.
- 📐 Se demuestra que los triángulos formados por las medianas tienen la misma base y altura, por lo tanto, el mismo área.
- 🤔 Se considera la posibilidad de que la altura de un triángulo pueda caer fuera del triángulo en casos de ángulos obtusos.
- 📉 Se utiliza un enfoque geométrico para demostrar las propiedades de las medianas y los triángulos resultantes.
- 📚 Se concluye con la demostración de que los seis triángulos formados por las medianas tienen áreas iguales, lo cual es una propiedad interesante de los triángulos.
Q & A
¿Qué es una mediana en un triángulo?
-Una mediana en un triángulo es un segmento que va de uno de los vértices al punto medio del lado opuesto.
¿Cuántas medianas puede trazar un triángulo?
-Un triángulo puede tener tres medianas, una por cada vértice.
¿Por qué las tres medianas de un triángulo pasan por un mismo punto?
-Es una propiedad especial de los triángulos que no se cumple con otras figuras geométricas; este punto se conoce como el centro del triángulo.
¿Qué se llama el punto por el que pasan las medianas de un triángulo?
-El punto por el que pasan las medianas de un triángulo se conoce como el centro del triángulo.
¿Cómo se relaciona el centro del triángulo con la masa uniforme de un objeto triangular?
-El centro del triángulo es el centro de masa si el triángulo tiene una masa uniforme, es decir, giraría alrededor de este punto si fuera lanzado.
¿Qué propiedad interesante cumplen las medianas de un triángulo?
-Las medianas de un triángulo dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños que, aunque no son congruentes, tienen la misma área.
¿Cómo se demuestra que los seis triángulos formados por las medianas tienen la misma área?
-Se demuestra comparando las áreas de pares de triángulos que comparten base y altura comunes, mostrando que tienen áreas iguales.
¿Cuál es la fórmula para el área de un triángulo y cómo se relaciona con la demostración de las áreas iguales?
-La fórmula para el área de un triángulo es medio base por altura. En la demostración, se utiliza esta fórmula para comparar áreas de triángulos que tienen la misma base y altura proyectada desde el centro.
¿Por qué los triángulos formados por las medianas pueden tener diferentes bases pero la misma altura?
-Los triángulos tienen la misma altura porque esta se proyecta desde el centro del triángulo, que es el mismo punto para todos los triángulos pequeños.
¿Cómo se deduce que todos los seis triángulos tienen la misma área si ya se sabe que hay pares con áreas iguales?
-Se utiliza la propiedad de que si dos triángulos tienen la misma base y altura, tienen la misma área, y se aplica este principio repetidamente para demostrar que todos los seis triángulos tienen áreas iguales.
¿Qué implicación tiene la propiedad de que los seis triángulos tienen la misma área en el estudio geométrico de los triángulos?
-Esta propiedad es una característica única de los triángulos que puede ser útil en la resolución de problemas geométricos y en la comprensión de las relaciones entre las partes de un triángulo.
Outlines
📐 Definición y Propiedades de las Medianas de un Triángulo
El primer párrafo introduce el concepto de mediana en un triángulo, que es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Se describe cómo se trazan las medianas desde los vértices A, B y C, y se menciona que todas estas medianas convergen en un único punto conocido como el centro del triángulo. Además, se discute la propiedad interesante de que las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños, que aunque no son congruentes, tienen el mismo área. Se ilustra este punto moviendo y comparando diferentes triángulos para demostrar que sus áreas son iguales utilizando la fórmula de área de un triángulo (base por altura) y mostrando que tienen las mismas dimensiones de base y altura.
🔍 Demostración de que los Triángulos Generados por las Medianas Tienen Igual Área
El segundo párrafo profundiza en la demostración de por qué los seis triángulos formados por las medianas tienen áreas iguales. Se analiza la igualdad de áreas entre triángulos más grandes formados por la intersección de las medianas, como los triángulos AVE, AHE y ACB. Se utiliza la proyección perpendicular desde el centro del triángulo para comparar las alturas y se deduce que, dado que tienen la misma base y altura, sus áreas son iguales. Finalmente, se aplica este razonamiento a todos los triángulos involucrados para concluir que los seis triángulos tienen el mismo área, lo cual se demuestra mediante el uso de la fórmula de área y la comparación de las dimensiones de base y altura correspondientes.
Mindmap
Keywords
💡Triángulo
💡Mediana
💡Centro de un triángulo
💡Área de un triángulo
💡Congruente
💡Base y altura
💡Perpendicular
💡Obtuso
💡Demostración geométrica
💡Conclusión
Highlights
Definición de mediana en un triángulo: es un segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.
Relación entre las medianas de un triángulo y su importancia en la geometría.
Las tres medianas de un triángulo intersectan en un mismo punto, conocido como el centro del triángulo.
El centro de un triángulo también es conocido como el centro de masa si el triángulo tiene masa uniforme.
Medianas dividen al triángulo en seis pequeños triángulos que, aunque no son congruentes, tienen la misma área.
Demostración de que los triángulos formados por las medianas tienen la misma base y altura, lo que implica que tienen la misma área.
La altura común se encuentra trazando la perpendicular desde el punto medio hasta el lado opuesto.
Aunque la altura puede estar fuera del triángulo en casos de ángulos obtusos, la longitud de la altura es la misma.
Aplicación del principio de áreas iguales para diferentes pares de triángulos generados por las medianas.
Demostración de que los triángulos AFG y CGE tienen la misma área utilizando la altura común desde el punto G.
Se establece que las áreas de los triángulos EFG y FGA son iguales utilizando la misma altura desde el punto F.
Conclusión de que los seis triángulos generados por las medianas tienen áreas iguales a través de la demostración geométrica.
Análisis de triángulos más grandes como AVE y CB para demostrar que también tienen áreas iguales.
Uso de la fórmula de área de triángulo (base por altura) para comparar áreas de triángulos con la misma base y altura.
Demostración de que el área de los triángulos ADC y ADV es igual, utilizando la misma base y altura.
Conclusión final de que los seis triángulos formados por las medianas tienen áreas idénticas.
Transcripts
aquí tenemos un triángulo a bs lo que
quiero hacer en este vídeo es dar la
definición de mediana ver cómo se
relacionan las medianas de un triángulo
entre sí y ver qué propiedades
interesantes cumplen bueno una mediana
en un triángulo es un segmento o bien lo
puedes pensar como la recta que va de
uno de los vértices al punto medio del
lado opuesto por ejemplo si aquí de
fuera el punto medio es decir un punto
tal que vd es igual a cede entonces a d
sería mediana del triángulo esta de aquí
sería una mediana también podemos trazar
una mediana por b y una por c vamos a
dibujarlas entonces aquí necesitaríamos
el punto medio digamos en un punto tal
que hay fuera igual a ese y esta mediana
vamos a pintarla con azul la mediana b y
finalmente voy a trazar la mediana desde
c la voy a poner en color rosa brillante
entonces ahí tenemos rosa brillante y
vamos a tener que aquí llega al punto
medio
efe de hecho bueno ya hice el dibujo del
dibujo así pero no lo he explicado de
hecho las tres medianas pasan por un
mismo punto eso
no voy a demostrar ahorita pero es algo
especial verdad usualmente tres rectas
no tienen por qué pasar por un mismo
punto en el caso de las medianas si
suceden y a ese punto especial por el
que pasan se le conoce como el centro de
un triángulo después cuando veas un poco
de cosas de física vas a ver que ese es
el centro de masa si el triángulo tiene
una masa uniforme y luego si lanzas ese
triángulo no sé digamos si está hecho de
metal y lo lanzas girando entonces justo
va a girar alrededor del centro aire
pero bueno ahorita ahorita no nos
queremos meter con lanzar triángulos más
bien lo que queremos hacer es estudiar
esto geométricamente y ver una propiedad
bien padre que se cumple y esta
propiedad es la siguiente observa que
con las tres medianas dividimos al
triángulo en seis pequeños triangulitos
bueno pues resulta que esos seis
triangulitos aunque no sean congruentes
este es muy distinto de éste pero aunque
no sean congruentes tienen la misma área
vamos a ver por qué se cumple eso déjame
empezar bueno déjame empezar llamándole
a este punto el punto
así se denota usualmente el centro desde
un triángulo y lo primero que vamos a
hacer es ver que jefe de ig se detiene
en la misma área entonces esta figura la
voy a copiar para acá la voy a girar la
voy a girar para que sea un poco un poco
más cómoda de trabajar por acá voy a
poner g por acá voy a poner g de este
lado estás en de este lado esta vez de
este lado esta vez y finalmente por aquí
está el punto medio de digamos más o
menos por ahí vale es un punto tal que
esto es igual a esto bueno entonces
vamos a ver qué gsd y gvhd tienen la
misma área y para eso para eso lo que
vamos a hacer es ver que tienen las
mismas bases y la misma altura porque
porque la fórmula de área de un
triángulo es un medio de base por altura
entonces si tenemos dos triángulos con
la misma base y la misma altura entonces
tienen tienen la misma área bueno pero
ver que tienen la misma base es súper
fácil verdad porque se desigual la bebé
ya que de ese punto medio este de aquí
es igual a estar acá
además tendríamos que ver que tienen la
misma altura desde eje pero observa osea
en ambos casos para ambos triángulos lo
que hacemos para encontrar la altura es
trazar la perpendicular desde eje
entonces estaré acá es la altura común
para ambos triángulos y por lo tanto los
dos triángulos tienen una altura de la
misma longitud porque básicamente es la
misma altura ahora aquí puede parecer un
poco raro que la altura quede fuera de
este triángulo pero eso sucede en
general con los triángulos obtuso es
verdad con los triángulos o tus ángulos
si este ángulo de aquí es demás es mayor
de 90 grados
entonces al bajar la perpendicular queda
fuera del segmento pero bueno no hay
problema ya tenemos dos triángulos con
la misma base y la misma altura así que
estos dos triángulos tienen la misma
área déjame llamarle a esa área x
entonces tenemos que esta área x de acá
es igual a esta área x de acá bueno
vamos a aplicar este mismo principio
para otras parejas de triángulos ahora
vamos con la ahe y cg aquí es
exactamente la misma idea
es igual a ese y podemos bajar la altura
desde g
ahora esto es una altura común este es
el obús ángulo que hay afuera del eje y
adentro de ese eje pero no importa
porque pues mide lo mismo entonces base
es igual a esta base altura es igual
esta altura por lo tanto tenemos que
estos dos triángulos tienen la misma
área déjame ponerle que tienen una
cierta área y todavía no sabemos que ye
sea igual a x después lo vamos a ver
pero por el momento déjame ponerle nada
más y bueno y finalmente aplicando ese
mismo argumento a este lado tenemos que
efe gv y fg a tienen la misma base
porque f me dio la misma altura
proyectando desde eje y entonces los dos
tienen una misma área digamos zeta ceta
y zeta bueno ya tenemos tres parejas de
triángulos que tienen la misma área pero
nos gustaría ver que los seis triángulos
tienen la misma área bueno pues lo que
vamos a hacer es otra vez aplicar este
principio pero ahora desde un punto de
vista distinto ahora se lo vamos a
aplicar a triángulos más grandotes al
ave
ave
y al cb a estos dos se acaba le bueno
pues vamos a ver qué nos dice en este
caso una vez más tenemos que tienen la
misma base tienen la misma altura
proyectando desde uve verdad cuando
hacemos esto tienen la misma altura
entonces los dos triángulos tienen la
misma área déjame ponerlo aquí el
triángulo a v
el área del triángulo a hebe que es 12 h
12 h tiene la misma área que el área del
triángulo a c y b se ve entonces estos
dos son iguales y el área de ccm es 2 x
más 12 x más pero a partir de estas dos
podemos deducir que 2 z massieu es igual
a 2 x mac os x más podemos restar de
ambos lados y dividir entre 2 y de aquí
concluimos que x es igual a z 1 si
quieres lo pongo como z es igual a x z
es igual a x de esta forma estas áreas
de aquí dice que son zeta pero las
podemos poner como x como x y entonces
ya tenemos cuatro triángulos con la
misma área y además faltaría a ver qué
pasa con estos de iu pero simplemente
tenemos que hacer lo mismo rotado es
decir ahora vamos a verlo desde la
perspectiva de esta base de esta base y
este punto de acá es decir vamos a
comparar los triángulos que estoy
sombreando ahorita el adc
y el a dv
entonces tenemos una vez más que estos
dos triángulos tienen la misma área
tienen esta misma base y la misma altura
proyectando desde a entonces eso nos
dice que 3 x 3 x es igual a 2 x es igual
a 2
x y por lo tanto restando x de ambos
lados 2x es igual a 12 2x es igual a 2 y
por lo tanto x es igual a que x es igual
a ye estalle se llama en realidad x
estalle se llama realidad x y listo
demostramos esta propiedad súper bonita
de los triángulos si tomamos las rectas
que van de un vértice al punto medio del
lado opuesto si tomamos esas tres esas
tres pasan por un mismo punto y dividen
al triángulo en seis triángulos bueno
pues la propiedad súper bonita es que
esos seis triángulos como mostramos aquí
abajo tienen la misma área
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