Le nombre d'or - Micmaths

Summary

Le nombre d'or, Phi (environ 1,618), est une constante mathématique fascinante qui se retrouve dans de nombreux domaines, de la géométrie à la suite de Fibonacci, en passant par les pavages de Penrose. Ce nombre présente des propriétés uniques, comme sa capacité à se multiplier par lui-même pour donner un résultat proche de lui-même ajouté de 1. Il est aussi lié à des figures géométriques telles que les rectangles d'or et le pentagone régulier, et il est souvent utilisé dans l'art et l'architecture. Ce nombre mystérieux révèle des connexions insoupçonnées entre différentes branches des mathématiques et de la nature.

Takeaways

• 😀 Le nombre d'or, noté Phi, est une constante mathématique d'environ 1,618, qui possède des propriétés uniques et fascinantes.
• 😀 Le nombre d'or est lié à une équation du second degré, où Phi multiplié par lui-même donne Phi + 1.
• 😀 Un rectangle d'or a une longueur égale à Phi fois sa largeur. Cette propriété est utilisée dans l'art et l'architecture pour créer des compositions harmonieuses.
• 😀 La spirale d'or, qui découle du rectangle d'or, peut être tracée en dessinant des quarts de cercle dans chaque carré du rectangle.
• 😀 Bien que le nombre d'or apparaisse fréquemment dans la nature et l'art, il faut se méfier des interprétations erronées qui voient le nombre d'or partout sans justification géométrique ou logique.
• 😀 Le nombre d'or intervient dans la géométrie du pentagone régulier, où les diagonales sont Phi fois plus longues que les côtés.
• 😀 Les triangles d'or et d'argent, issus du pentagone, sont à la base des pavages aériodiques de Penrose, qui ne se répètent jamais.
• 😀 Le nombre d'or est également impliqué dans les quasi-cristaux, qui sont des matériaux dont la structure atomique rappelle les pavages aériodiques de Penrose.
• 😀 La suite de Fibonacci, où chaque terme est la somme des deux précédents, permet d'approcher de plus en plus le nombre d'or à mesure que l'on avance dans la suite.
• 😀 Le nombre d'or apparaît dans de nombreux phénomènes naturels, comme la disposition des spirales sur les pommes de pin ou l'agencement des feuilles sur une tige, grâce à la suite de Fibonacci.
• 😀 Le nombre d'or est omniprésent dans les mathématiques et la nature, et il continue d'inspirer les artistes et les scientifiques à travers l'histoire.

Q & A

Qu'est-ce que le nombre d'or et pourquoi est-il célèbre en mathématiques ?

Le nombre d'or, noté Phi (Φ), est un nombre irrationnel d'environ 1,618. Il est célèbre en mathématiques car il apparaît dans de nombreux domaines, tels que la géométrie, la suite de Fibonacci et la nature. Il possède une propriété remarquable : lorsque multiplié par lui-même, il donne Phi plus un (Φ × Φ = Φ + 1).

Comment calcule-t-on le nombre d'or exactement ?

Le nombre d'or se calcule à l'aide de la formule : Φ = (1 + √5) / 2. Cette formule donne une valeur d'environ 1,618.

Qu'est-ce qu'un rectangle d'or et quelle est sa propriété principale ?

Un rectangle d'or est un rectangle dont la longueur est égale à Phi fois la largeur. La propriété principale de ce rectangle est que si l'on dessine un carré sur l'un de ses côtés, on obtient un autre rectangle d'or, et ce processus peut être répété à l'infini.

Comment se forme une spirale d'or ?

La spirale d'or se forme en dessinant un quart de cercle dans chaque carré obtenu en découpant un rectangle d'or. Cette spirale peut se prolonger à l'infini, aussi bien dans l'infiniment grand que dans l'infiniment petit.

Pourquoi certains artistes utilisent-ils le rectangle d'or dans leurs œuvres ?

Les artistes utilisent le rectangle d'or car il est considéré comme le rectangle parfait, possédant des proportions harmonieuses. Elles sont utilisées pour organiser les éléments d'une toile de manière esthétique.

Est-ce que tous les objets qui semblent suivre la proportion du nombre d'or sont réellement liés au nombre d'or ?

Non, même si certains objets ont des rapports proches de 1,618, il ne suffit pas de mesurer un objet pour affirmer qu'il suit le nombre d'or. Il faut que ce rapport soit basé sur une structure géométrique ou logique spécifique, souvent choisie intentionnellement.

Quel rôle joue le nombre d'or dans l'étude du pentagone régulier ?

Dans un pentagone régulier, les diagonales sont Φ fois plus longues que les côtés. Le nombre d'or intervient également dans le triangle isocèle formé par deux diagonales et la base du pentagone, appelé triangle d'or.

Qu'est-ce que les pavages de Penrose et quel est leur lien avec le nombre d'or ?

Les pavages de Penrose sont des motifs non périodiques formés à partir de deux types de triangles, le triangle d'or et le triangle d'argent. Ces pavages ne répètent jamais les mêmes motifs et sont basés sur des symétries impliquant le nombre d'or.

Quel est le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or ?

La suite de Fibonacci est une série de nombres dans laquelle chaque terme est la somme des deux précédents. Les rapports entre deux nombres consécutifs de la suite s'approchent de plus en plus du nombre d'or à mesure que l'on avance dans la suite.

Pourquoi la suite de Fibonacci est-elle utilisée pour étudier la croissance des populations de lapins ?

Fibonacci a utilisé cette suite pour modéliser la croissance d'une population de lapins, où chaque couple de lapins produit un nouveau couple à partir du deuxième mois. Cela permet d'observer comment la population croît selon une progression similaire à celle de la suite de Fibonacci.