identidades 1
Summary
TLDREste video de la Universidad de Costa Rica introduce a los estudiantes a las identidades trigonométricas, reglas fundamentales para reescribir y simplificar expresiones trigonométricas. Se discuten definiciones básicas como la de cosecante, secante y tangente, así como identidades pitagóricas como la suma de los cuadrados de los seno y coseno. Además, se exploran identidades para funciones como el seno y coseno de ángulos rectos y reducción, demostrando cómo se comportan en gráficos. El video finaliza con una lista de identidades para que los estudiantes puedan practicar y profundizar en su conocimiento de trigonometría.
Takeaways
- 📚 Las identidades trigonométricas son reglas que permiten reescribir y simplificar expresiones trigonométricas.
- 🔍 Se pueden deducir identidades como cosecante (csc), secante (sec) y tangente (tan) a partir de las definiciones de las razones trigonométricas.
- 🔢 La identidad de Pitágoras, \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \), es una de las más fundamentales y se puede derivar en varias formas.
- 📐 Las funciones trigonométricas como seno y coseno se relacionan con las proporciones de un triángulo rectángulo en el contexto del círculo trigonométrico.
- 👉 La identidad de tangente, \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \), se puede verificar con las definiciones de seno y coseno.
- 📉 Las identidades de reducción, como \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \) y \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \), se pueden verificar a partir de las gráficas de las funciones trigonométricas.
- 🔄 Las identidades de funciones como \( \sin(\pi/2 - \theta) = \cos(\theta) \) y \( \cos(\pi/2 - \theta) = \sin(\theta) \) se deducen a partir de la ubicación en el círculo trigonométrico.
- 🧩 Otras identidades como \( \tan(\pi/2 - \theta) = \cot(\theta) \) y \( \cot(\pi/2 - \theta) = \tan(\theta) \) también se pueden deducir de manera similar.
- 🔎 Hay muchas otras reglas de identidades trigonométricas que no se mencionan en el script, pero que son útiles para la simplificación de expresiones.
- 📚 El objetivo principal es utilizar estas identidades para reescribir y simplificar criterios trigonométricos, y se animará a los estudiantes a practicar y buscar más ejemplos.
Q & A
¿Qué son las identidades trigonométricas y para qué sirven?
-Las identidades trigonométricas son reglas matemáticas que permiten reescribir y simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Sirven para facilitar cálculos y demostraciones en trigonometría.
¿Cuáles son las identidades trigonométricas recíprocas mencionadas en el video?
-Las identidades recíprocas mencionadas son: cosecante de t es igual a 1 sobre seno de t (csc(t) = 1/sin(t)), secante de t es igual a 1 dividido por coseno de t (sec(t) = 1/cos(t)), y tangente de t es igual a 1 sobre tangente de t (tan(t) = 1/tan(t)).
¿Cómo se relaciona el tangente de un ángulo X con el seno y el coseno de ese ángulo?
-El tangente de un ángulo X se relaciona con el seno y el coseno de la siguiente manera: tangente de X es igual a seno de X sobre coseno de X (tan(X) = sin(X)/cos(X)), y también se puede expresar como coseno de X sobre seno de X (tan(X) = cos(X)/sin(X)).
¿Qué es la identidad pitagórica y cómo se deduce?
-La identidad pitagórica es la relación entre el seno y el coseno de un ángulo, que se deduce del teorema de Pitágoras. Se dice que el seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado de ese ángulo es igual a 1 (sin²(t) + cos²(t) = 1).
¿Cómo se relacionan el seno y el coseno de ángulos como pi/2 - x y x?
-Según el video, si se solicita el seno de pi/2 - x, se ubica en pi/2 - x y se entiende que es opuesto sobre hipotenusa, lo que se escribe como B/c. Sin embargo, si se ubica en x, B/c se escribe como coseno de X. Del mismo modo, el coseno de pi/2 - x se ve como adyacente sobre hipotenusa, lo que es a/c, pero si se ubica en x, a/c es seno de X.
¿Qué son las identidades de reducción y cómo se pueden verificar?
-Las identidades de reducción son aquellas que permiten simplificar funciones trigonométricas al reducir el ángulo a uno más simple. Se pueden verificar a partir de las gráficas de las funciones trigonométricas, observando cómo se comportan los ángulos en relación con el eje Y y cómo se reflejan los valores.
¿Cómo se relaciona el seno de un ángulo negativo con el seno del mismo ángulo positivo?
-Según el video, si se observa la gráfica de la función seno, se puede ver que si se ubica en pi/2, su imagen es uno, y si se ubica en el mismo ángulo pero en el lado negativo, su imagen es -1. Esto implica que el seno de un ángulo negativo es igual al seno del mismo ángulo positivo pero con signo negativo (-sin(t)).
¿Cómo se comporta la función coseno en relación con ángulos negativos y su propio valor?
-La función coseno se comporta de tal manera que, sin importar si se coloca en pi o en -pi, se relaciona con la misma imagen, con el eje Y funcionando como un espejo. Esto significa que el coseno de un ángulo negativo es igual al coseno del mismo ángulo positivo (cos(-t) = cos(t)).
¿Qué se debe aclarar sobre las identidades recíprocas en relación con sus funciones base?
-Se debe aclarar que el comportamiento de las identidades recíprocas se debe a las propiedades de sus funciones base, y no todas las identidades son solo las mencionadas en el video, sino que hay muchas otras reglas que se pueden utilizar.
¿Cuál es la tarea fundamental que se espera que realicen los estudiantes con las identidades trigonométricas?
-La tarea fundamental que se espera que realicen los estudiantes con las identidades trigonométricas es utilizarlas para reescribir y simplificar criterios en trigonometría, lo cual es esencial para la comprensión y aplicación de conceptos más avanzados.
¿Qué recursos se ofrecen después de ver el video para continuar el aprendizaje de identidades trigonométricas?
-Después de ver el video, los estudiantes encontrarán una lista de identidades trigonométricas que les serán de ayuda para continuar con este módulo e incluso para otros módulos más adelante.
Outlines
📚 Introducción a las Identidades Trigonométricas
El primer párrafo presenta una introducción a las identidades trigonométricas, que son reglas fundamentales en matemáticas para reescribir y simplificar expresiones trigonométricas. Se mencionan las identidades recíprocas como cosecante de t (csc(t) = 1/sin(t)), secante de t (sec(t) = 1/cos(t)) y tangente de t (tan(t) = 1/sin(t) y tan(t) = sin(t)/cos(t)). Además, se exploran las identidades pitagóricas, donde se relaciona la suma de los cuadrados de los senos y cosenos con la unidad, es decir, sin²(t) + cos²(t) = 1. También se tocan las identidades para ángulos rectos y su relación con las funciones trigonométricas, como seno de pi/2 - x y coseno de pi/2 - x, que se relacionan con los ángulos x. Finalmente, se mencionan las identidades de reducción, que se pueden verificar a través de las gráficas de las funciones trigonométricas.
🔍 Identidades Trigonométricas y Funciones
El segundo párrafo se enfoca en cómo las identidades trigonométricas se relacionan con las funciones trigonométricas y su comportamiento en diferentes ángulos. Se discuten las propiedades de las funciones seno y tangente, donde se muestra que seno(-x) es igual a -seno(x) y tangente(-x) es igual a -tan(x). También se analiza cómo la función coseno se comporta simétricamente en ángulos de pi y -pi, donde coseno(-x) es igual a coseno(x). Se resalta la importancia de estas identidades para la reescritura de criterios y se motiva al espectador a buscar más ejemplos y a practicar utilizando una lista de identidades trigonométricas que se proporciona al final del video.
Mindmap
Keywords
💡Identidades Trigonométricas
💡Razones Trigonométricas
💡Teorema de Pitágoras
💡Identidades Pitagóricas
💡Funciones Trigonométricas
💡Recíprocas
💡Triángulo Rectángulo
💡Reducción
💡Gráficas de Funciones Trigonométricas
💡Practicar
Highlights
El video proporciona un acercamiento a las identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas permiten reescribir y simplificar criterios de funciones trigonométricas.
Se revisan las definiciones de las razones trigonométricas: cosecante, secante y tangente.
Se introducen las identidades recíprocas como 1/sen(t), 1/cos(t) y 1/tan(t).
Se explica que tangente de X es igual a sen(X)/cos(X) y cos(X)/sen(X).
Se menciona el teorema de Pitágoras y su aplicación en las identidades trigonométricas.
Se presenta la identidad fundamental: sen^2(t) + cos^2(t) = 1.
Se obtiene una nueva expresión dividiendo la identidad fundamental por cos^2(t).
Se obtiene otra expresión dividiendo la identidad fundamental por sen^2(t).
Se denominan las identidades presentadas como identidades pitagóricas.
Se discuten las identidades de funciones para ángulos rectos y su relación con los lados del triángulo.
Se relaciona sen(pi/2 - x) con cos(x) y cos(pi/2 - x) con sen(x).
Se presentan las identidades de reducción y su verificación a través de las gráficas de funciones trigonométricas.
Se ilustra cómo se comporta la función seno en ángulos opuestos y su relación con el signo.
Se deduce la propiedad de tangente en función de sus valores en ángulos opuestos.
Se observa el comportamiento de la función coseno y su simetría con respecto al eje Y.
Se aclaran las identidades recíprocas y su comportamiento en función de sus funciones base.
Se enfatiza la importancia de las identidades trigonométricas en la reescritura de criterios.
Se invita a los estudiantes a buscar más verificaciones de identidades trigonométricas.
Se menciona que al final del video se encontrarán una lista de identidades trigonométricas útiles.
El video termina con una invitación a la práctica y agradece la atención de los estudiantes.
Transcripts
Hola estimados y estimadas estudiantes
reciban un cordial saludo de la escuela
de matemática de la Universidad de Costa
Rica en este vídeo tendremos un primer
acercamiento a las identidades
trigonométricas
las identidades trigonométricas son
reglas que nos permiten reescribir y
simplificar el criterio de una función
que involucra expresiones
trigonométricas
comenzaremos por verificar algunas de
estas identidades
recordemos las definiciones de las
razones trigonométricas que se muestran
a continuación de ellas podemos deducir
lo siguiente
cosecante de té es igual a 1 sobre t
también
secante de té es igual a 1 dividido por
coseno de t y además
con tangente de T es 1 sobre tan dt a
este tipo de identidades les llamaremos
recíprocas
además gracias a estas definiciones
podemos concluir que tangente de X es
igual a seno de X sobre coseno de X
y además
con tangente de X es igual a coseno de X
sobre seno de X puedes verificarlo con
las definiciones
veamos otras identidades
recordemos que por definición la
hipotenusa del triángulo mide 1 en el
círculo trigonométrico por ello seno de
cita es y opuesto sobre hipotenusa y
coseno de cita es x
adyacente sobre hipotenusa y por el
teorema de Pitágoras obtenemos lo
siguiente y al cuadrado más x al
cuadrado es igual a 1 por ello seno al
cuadrado de cita más coseno al cuadrado
de cita es igual a 1
además si en esta identidad se dividen
ambos lados por coseno al cuadrado de
cita se obtiene esto
y si la misma identidad fundamental se
divide ahora por seno al cuadrado de
cita se llega a esta nueva expresión
en resumen tenemos las llamadas
identidades pitagóricas
ahora bien
considere el siguiente triángulo
rectángulo
si nos solicitan seno de pi medios menos
x nos ubicamos en pi medios menos x y
sabemos que seno es opuesto sobre
hipotenusa por lo que obtenemos B sobre
c pero si nos ubicamos en x B sobre c Es
adyacente sobre hipotenusa por lo que
también puede escribirse como coseno de
X
de manera similar coseno de pi medios
menos x se puede ver como adyacente
sobre hipotenusa ubicándonos en este
ángulo es decir a sobre c pero si nos
ubicamos en x a sobre c es seno de X
el mismo razonamiento nos permite
deducir el resto de identidades
llamadas con funciones
que resumimos a continuación
otras identidades interesantes son las
de reducción
las cuales se pueden verificar a partir
de las gráficas de las funciones
trigonométricas
recordemos la Gráfica de la función con
criterio F de X igual seno de X podemos
ver que si nos ubicamos en pi medios su
imagen es uno y si nos ubicamos en el
mismo ángulo pero en el lado negativo su
imagen más bien Es -1
es así como seno de pi medios es casi
igual a seno de menos pi medios
basta con cambiarle el signo por lo
tanto
seno de menos pi medios es igual a menos
seno de pi medios y de manera
generalizada seno de menos cita es igual
a menos seno de cita
de manera análoga podemos deducir esta
propiedad de tangente
[Música]
similarmente podemos ver cómo se
comporta esta identidad para la función
coseno en este caso sin importar si nos
colocamos en pi o en menos pi vemos que
se relaciona con la misma imagen en este
caso el eje y funciona como un espejo
por lo tanto coseno de menos cita es
igual a coseno de cita en el caso de la
recíprocas se mantiene el comportamiento
de sus funciones base se debe aclarar
que las identidades no son solamente
estas hay muchas otras reglas que
podemos utilizar sin embargo no podemos
verificar todas ellas además nuestra
tarea fundamental será
utilizarlas para reescritura de
criterios
si te interesa puedes darte a la tarea
de buscar más verificaciones por otros
medios al salir del vídeo encontrarás
una lista de identidades trigonométricas
que te serán de ayuda para continuar con
este módulo incluso para otros más
adelante
es hora de practicar Muchas gracias por
su atención
Esperamos que este video sea de mucha
ayuda
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