Trigonometric Functions: Sine, Cosine, Tangent, Cosecant, Secant, and Cotangent

Summary

本视频讲解了三角函数的基本概念，首先通过圆和坐标平面引入正弦、余弦和正切等三角函数。然后，详细阐述了三角函数在直角三角形中的应用，以及如何使用SOHCAHTOA记忆这些函数。接着，介绍了三角函数的倒数函数——余割、正割和余切。最后，视频展示了30-60-90三角形和45-45-90三角形的常见值，帮助观众理解并计算这些特殊角度的三角函数值。

Takeaways

• 😀 三角学函数是关于三角形与角度之间关系的数学概念。
• 😀 正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）是三角学中最基本的三种函数，分别与三角形的对边、邻边和斜边的长度相关。
• 😀 记住三角函数的关系，可以使用助记符“SOHCAHTOA”，帮助理解正弦、余弦和正切的定义。
• 😀 正弦函数（sin θ）等于对边除以斜边，余弦函数（cos θ）等于邻边除以斜边，正切函数（tan θ）等于对边除以邻边。
• 😀 反三角函数是三角函数的倒数，分别是余割（csc θ）、 secant（sec θ）和余切（cot θ）。
• 😀 例如，正弦的倒数是余割，等于斜边除以对边；余弦的倒数是 secant，等于斜边除以邻边；正切的倒数是余切，等于邻边除以对边。
• 😀 使用一个三角形，边长为3、4和5，可以演示如何计算正弦、余弦和正切值。
• 😀 特殊三角形包括30°-60°-90°三角形和45°-45°-90°三角形，它们有固定的边长比，常用来简化三角学计算。
• 😀 在30°-60°-90°三角形中，边长比例为1:√3:2，三角函数值为：sin(30°) = 1/2，cos(30°) = √3/2，tan(30°) = 1/√3。
• 😀 在45°-45°-90°三角形中，边长比例为1:1:√2，三角函数值为：sin(45°) = √2/2，cos(45°) = √2/2，tan(45°) = 1。

Q & A

什么是三角函数？

三角函数是描述直角三角形各边长度与角度之间关系的数学函数，包括正弦、余弦、正切、余切、割余和余弦。

SOHCAHTOA是什么？

SOHCAHTOA是一个助记法，用来记住三角函数的定义。SOH表示正弦（sin）是对边与斜边的比，CAH表示余弦（cos）是邻边与斜边的比，TOA表示正切（tan）是对边与邻边的比。

如何计算三角形的正弦、余弦和正切值？

对于直角三角形，正弦是对边与斜边的比，余弦是邻边与斜边的比，正切是对边与邻边的比。具体数值可以通过已知的三角形边长来计算。

为什么要记住三角函数的倒数函数？

三角函数的倒数函数（余割、割余、余切）在很多数学问题中是必需的。它们的计算可以通过将原函数的分子和分母互换得到，因此需要记住这些倒数关系。

如何计算30°、60°和45°角的三角函数值？

对于30°角，正弦值是1/2，余弦值是√3/2，正切值是√3/3。对于60°角，正弦值是√3/2，余弦值是1/2，正切值是√3。对于45°角，正弦值和余弦值都是√2/2，正切值是1。

30°、60°和45°角的三角形有什么特点？

30°和60°的三角形通常是等边三角形的一部分，且其边长比例为1：√3：2。45°角的三角形是等腰直角三角形，两个直角边长度相等，斜边为√2倍的直角边长度。

正弦、余弦和正切的倒数函数有哪些？

正弦的倒数是余割（csc），余弦的倒数是割余（sec），正切的倒数是余切（cot）。

在直角三角形中，哪些边被称为邻边、对边和斜边？

直角三角形中的斜边是最靠近直角的那一边，而邻边是与角度θ相邻的边，对边则是与角度θ相对的边。

如何评估一个三角形的所有六个三角函数值？

评估一个三角形的六个三角函数值时，首先标出三角形的三个边长（对边、邻边、斜边），然后根据SOHCAHTOA和倒数关系分别计算正弦、余弦、正切、余切、割余和余弦的值。

为什么在三角函数的计算中要避免分母中出现根号？

数学上习惯于将根号移到分子中去，以简化表达式，避免分母中含有根号，从而使计算更加简洁和易于理解。