Región del plano dada por ecuaciones

Summary

En este ejercicio se analiza gráficamente un recinto definido por tres ecuaciones. La primera describe un círculo centrado en el origen con un radio de 3, abarcando su interior. Las otras dos inequaciones, y ≥ 0 y x ≤ 0, limitan la región a la parte superior izquierda del plano. Además, se estudia la recta dada por 5x - 2y ≥ -10, que establece un límite inclinado. Al combinar todas estas condiciones, se determina una región trapezoidal que incluye el área interna del círculo y las áreas definidas por las rectas, ilustrando así la intersección de estas restricciones.

Takeaways

• 😀 La primera ecuación representa una circunferencia centrada en el origen (0,0) con un radio de 3.
• 😀 Al ser 'menor o igual', la representación gráfica incluye el interior del círculo.
• 😀 La línea horizontal (y = 0) delimita la región hacia arriba.
• 😀 La restricción 'x menor o igual que 0' indica la parte izquierda del eje vertical.
• 😀 La zona determinada por las tres ecuaciones se describe como un área específica en el plano.
• 😀 La ecuación '5x - 2y menor o igual que -10' define una recta que actúa como frontera.
• 😀 Se puede encontrar puntos en la recta evaluando valores para x e y.
• 😀 El análisis de los signos en las ecuaciones ayuda a determinar las regiones válidas.
• 😀 La representación final incluye todas las líneas y el área delimitada entre ellas.
• 😀 La zona de interés es un trapecio en la región definida por las ecuaciones.

Q & A

¿Qué representan las tres ecuaciones mencionadas en el ejercicio?

Representan un recinto en el plano que incluye una circunferencia, restricciones en la dirección vertical y restricciones en la dirección horizontal.

¿Cuál es la forma de la ecuación de la circunferencia y qué significa el término 'menor o igual'?

La ecuación es de la forma x^2 + y^2 ≤ 9, lo que indica que es una circunferencia centrada en el origen con radio 3, incluyendo todos los puntos dentro y en la circunferencia misma.

¿Qué se deduce de la restricción 'x ≤ 0'?

Indica que estamos considerando solo la parte del plano a la izquierda del eje vertical (eje y).

¿Qué significa la restricción '−5 ≤ y ≤ 0'?

Define una franja horizontal entre las líneas y = -5 y y = 0.

¿Cómo se determina la recta a partir de la ecuación '5x - 2y ≥ -10'?

Se puede representar la recta en el plano hallando sus intersecciones, como (0, 5) y (-2, 0), y luego determinar qué parte del plano cumple con la desigualdad.

¿Por qué se usa el punto (0, 0) para verificar la región definida por '5x - 2y ≥ -10'?

Se utiliza como un punto de prueba para comprobar si pertenece a la región determinada por la desigualdad.

¿Cuál es la importancia de la inclusión de las líneas en la representación gráfica?

La inclusión de las líneas es crucial porque indica que los puntos en las líneas también son parte del recinto definido.

¿Qué figura geométrica se forma a partir de las restricciones dadas en el ejercicio?

Se forma una región que parece un trapecio, limitado por la circunferencia y las líneas definidas por las desigualdades.

¿Cómo se grafican las restricciones en el plano cartesiano?

Se grafican cada una de las ecuaciones y desigualdades, delimitando las áreas correspondientes a cada restricción.

¿Cuál es el área final determinada por las tres ecuaciones?

Es el área que queda a la izquierda del eje vertical, entre las líneas y = -5 y y = 0, y por debajo de la recta dada por '5x - 2y = -10'.