GRAFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
Summary
TLDREn este video se explica el proceso de graficar la función trigonométrica tangente. Utilizando una circunferencia unitaria y dividiéndola en partes iguales, se determinan los valores de los ángulos principales (0°, 45°, 90°, etc.) y se construye la gráfica de la tangente. Se resalta el comportamiento de la función en los cuatro cuadrantes, donde puede ser positiva o negativa según la relación entre el seno y el coseno. Además, se menciona la presencia de asíntotas en 90° y 270°, así como la naturaleza infinita de la gráfica. Finalmente, se subraya la importancia de la práctica y el servicio a los demás.
Takeaways
- 📏 La función a graficar es la tangente, representada como y = tangente de X.
- 🟢 Se utiliza una circunferencia concéntrica y unitaria, lo que significa que su centro está en el origen del plano cartesiano y su radio es 1.
- ✂️ La circunferencia se divide en partes, múltiplos de 4. En este caso, se ha dividido en 8 partes, lo que equivale a intervalos de 45 grados.
- 🔢 Los ángulos clave para la tangente son 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, y 360°, siendo 0° y 360° equivalentes.
- 📐 La tangente se calcula trazando una recta perpendicular a la circunferencia y paralela al eje Y, lo que nos permite medir su longitud.
- ➕ La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, ya que tanto seno como coseno tienen el mismo signo en estos cuadrantes.
- ➖ La tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, debido a la diferencia de signos entre el seno y el coseno.
- ➗ En 45°, la tangente es 1, y en 0° y 180° es 0. Para 90° y 270°, la tangente es indefinida debido a la paralelidad de las líneas.
- 📈 La gráfica de la tangente muestra un comportamiento creciente, acercándose a las asíntotas pero sin cruzarlas, repitiendo su patrón cada 180°.
- ⏳ El periodo de la función tangente es de 180°, y su amplitud es infinita, extendiéndose desde menos infinito hasta infinito.
Q & A
¿Qué función trigonométrica se discute en el guion?
-Se discute la función tangente, y = tangente de X.
¿Qué es una circunferencia concéntrica y unitaria?
-Una circunferencia concéntrica tiene el mismo centro que el plano cartesiano x,y, y unitaria significa que su radio es de una unidad de longitud.
¿Cuál es el significado de dividir la circunferencia en partes múltiplo de cuatro?
-Dividir la circunferencia en partes múltiplo de cuatro ayuda a determinar los ángulos en grados, como 0°, 45°, 90°, etc., que son usados para graficar la función tangente.
¿Cómo se determina la línea trigonométrica para la tangente?
-Se determina usando una recta paralela al eje y y perpendicular a la circunferencia en el punto de intersección.
¿Cuál es el valor de la tangente para un ángulo de 45 grados?
-La tangente de 45 grados es igual a 1.
¿Qué sucede con la tangente en un ángulo de 90 grados?
-La tangente en 90 grados es indefinida, ya que no hay una línea que se cruce con la recta perpendicular a la circunferencia.
¿Cuál es el comportamiento de la tangente en el segundo cuadrante?
-En el segundo cuadrante, la tangente es negativa, ya que el seno es positivo y el coseno negativo, dando un cociente negativo.
¿Cómo se determina si la tangente es positiva o negativa en un cuadrante específico?
-Se determina por el signo del seno y del coseno en ese cuadrante, ya que la tangente es la relación entre seno y coseno.
¿Cuál es el periodo de la función tangente?
-El periodo de la función tangente es de 180 grados.
¿Cómo se describe el comportamiento de la gráfica de la función tangente?
-La gráfica de la función tangente es creciente en todos los cuadrantes y tiene una amplitud que varía desde menos infinito hasta el infinito.
¿Cómo se relaciona la tangente con los otros trigonometrías en los diferentes cuadrantes?
-La tangente se relaciona con el seno y el coseno de la siguiente manera: en el primer cuadrante es positiva, en el segundo negativa, en el tercer positivo y en el cuarto negativa.
Outlines
📐 Introducción a la Función Tangente
En este párrafo se introduce la función tangente y se explica cómo graficarla usando su línea trigonométrica. Para ello, se utiliza una circunferencia concéntrica y unitaria, lo que significa que su centro está en el plano cartesiano y su radio es igual a uno. La circunferencia se divide en partes iguales de 45 grados, resultando en los ángulos de 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315° y 360°, que son las preimágenes de la función tangente.
📝 Tabla de Valores y Determinación de la Tangente
Este párrafo sugiere la creación de una tabla de valores con dos columnas: una para los ángulos y otra para los valores de la tangente. Luego se inicia con el ángulo de 45°, explicando que la tangente se obtiene prolongando una recta perpendicular a la circunferencia y paralela al eje Y. Se describe cómo en el primer cuadrante tanto el seno como el coseno son positivos, resultando en una tangente positiva, mientras que en el segundo cuadrante la tangente es negativa.
📊 Tangente en el Tercer y Cuarto Cuadrante
Aquí se detalla la tangente en los cuadrantes restantes. En el tercer cuadrante, ambos el seno y el coseno son negativos, lo que da como resultado una tangente positiva. En el cuarto cuadrante, el seno es negativo y el coseno positivo, lo que da una tangente negativa. Se explica el concepto de ángulos en posición normal y cómo la tangente se calcula prolongando el lado final del ángulo hasta que intercepte la recta perpendicular. Se menciona también que para 90° y 270° la tangente es indefinida debido a que las rectas son paralelas y nunca se cruzan.
Mindmap
Keywords
💡Circunferencia concéntrica
💡Unitaria
💡Ángulo
💡Preimágenes
💡Línea trigonométrica
💡Tangente
💡Recta paralela al eje y
💡Cuadrante
💡Asíntota
💡Periodicidad
💡Amplitud
Highlights
Explicación de la función tangente utilizando una circunferencia concéntrica y unitaria.
La circunferencia se divide en múltiplos de cuatro, eligiendo divisiones de 45 grados por simplicidad.
Los ángulos clave son 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315 y 360 grados, que se utilizan como preimágenes.
La tangente se calcula como la relación entre el seno y el coseno, variando en cada cuadrante.
En el primer cuadrante, la tangente es positiva ya que tanto el seno como el coseno son positivos.
En el segundo cuadrante, la tangente es negativa porque el seno es positivo y el coseno negativo.
La tangente en el tercer cuadrante es positiva porque tanto el seno como el coseno son negativos.
En el cuarto cuadrante, la tangente es negativa debido a que el seno es negativo y el coseno positivo.
La tangente de 45 grados tiene un valor de 1, lo que permite marcar un punto clave en la gráfica.
La tangente de 0 grados es 0, representando otro punto clave en la gráfica.
A 90 grados, la tangente es indefinida, lo que genera una asíntota en la gráfica.
La gráfica de la tangente es creciente en el primer y tercer cuadrantes, acercándose a las asíntotas pero nunca tocándolas.
El comportamiento de la gráfica se repite cada 180 grados, indicando que el periodo de la función es 180 grados.
La gráfica es simétrica en los cuadrantes opuestos, lo que refuerza la periodicidad de la función.
El rango de la función tangente es desde menos infinito hasta más infinito, sin límites de amplitud.
Transcripts
buenas hoy nos encontramos para el
propósito de graficar una de las seis
funciones trigonométricas en este caso
la función tangente y = tangente de X
para ello vamos a hacer uso de su línea
trigonométrica la cual se determina con
base en una
circunferencia concéntrica Qué significa
concéntrica que centro hace parte del
plano cartesiano x com y y a su vez
unitaria Qué significa unitaria que su
radio representa la unidad es decir este
punto tendría como coordenadas
0,1 Entonces esta circunferencia
concéntrica y
unitaria la vamos a dividir en partes
múltiplo de cuatro
en ese caso podría ser 8 12 16 vamos a
tomar ocho como una circunferencia tiene
360 gr si 360 gr lo divido por 8 nos da
45 gr por lo tanto cada arco o cada
porción de esa división que vamos a
hacer de la circunferencia sería de 45
gr lo que nos permite tener los
siguientes valores de los ángulos que
van a ser las veces en la función como
preimagen primero el de 0 gr 45 gr 90 gr
ya que sea 45 le sumo 45 me da 90 gr 135
gr 180 gr 225 gr 270 gr 315 gr y se
repetiría
360 gr que es el mismo ángulo para 0
gr después de esto vamos a tomar un
referente sobre la parte positiva del
eje x una longitud en este caso con base
en este punto de referencia hasta este
punto he tomado esa longitud Pues esa
longitud se divide también en el número
de partes en que hemos dividido la
circunferencia en ese caso las
divisiones deben de ser congruentes es
decir del mismo
tamaño y por lo tanto iniciamos con 0 gr
dándole las los valores de las pre
imágenes que nos van a servir como base
0 gr 45 gr 90 gr 135 gr 180 225 270 gr
315 gr y 360
gr también se le sugiere
ajuntar una tabla de valores en este
caso esta tabla de valores tiene dos
columnas una columna que vendría a
representar los valores de ese ángulo es
decir nuestras pre imágenes y la otra
columna vendría a ser el valor numérico
que tendría para cada una de esas
preimagenes la línea trigonométrica
tangente Ahora sí iniciamos vamos a
iniciar con la de 45 gr sabemos que para
determinar la línea trigonométrica
tangente hay que adjuntar una recta como
la que vemos aquí la recta l que tiene
dos
caracterizaciones es paralela al eje y y
es perpendicular a la circunferencia Qué
significa que una recta sea
perpendicular a la circunferencia que
tiene un punto en común en este caso
este sería el punto en común que tiene
con la circunferencia para ser también
paralela tiene un punto punto en común
con ella
Entonces esa recta en este caso la
representamos en esta postura y también
lo hacemos para el segundo y tercer
cuadrante la representamos en este
margen al lado izquierdo de la
circunferencia es de recordarles que la
tangente en el primer cuadrado sabiendo
que tangente es la relación entre seno
sobre coseno
el seno en el primer cuadrante es
positivo y el coseno también es positivo
por lo tanto la tangente en el primer
cuadrante vendría a ser
positiva mientras que en el segundo
cuadrante el seno es positivo Mientras
que el coseno su línea trigonométrica
estaría en la parte negativa del eje x
sería negativa y positivo negativo ese
cociente nos da negativo que sería el
cociente tangente
en el tercer cuadrante si por encima
están los valores negativos por debajo
deben de estar los valores positivos
pero si lo relacionamos entre seno y
coseno el seno es negativo y el coseno
también es negativo negativo div
negativo nos da positivo en el cuarto
cuadrante el seno es negativo Mientras
que el coseno es positivo negativo
dividido en positivo el resultado sería
negativo teniendo Ya esa referencia de
los valores numéricos si van a ser de
naturaleza positiva o negativo Entonces
ahora sí vamos a determinar la tangente
de 45 gr para eso prolongamos en este
ángulo en posición normal Qué es un
ángulo en posición normal que este parte
positiva del eje x vendría a ser el lado
inicial de ese ángulo su vértice vendría
a ser punto origen y el lado final en
este caso está en esta posición
que tiene un récord de 45 gr con
respecto al lado inicial es decir ha
hecho un barrido de 45 gr si prolongamos
ese lado final hasta que intercepte con
la recta que hemos llamada la recta l
que cumple esas condiciones tangente a
la circunferencia y paralela al eje x
nos va a dar esta línea que vemos aquí
que la va a representar desde el punto a
al punto B Pues esta línea
trigonométrica en nuestra línea
trigonométrica llamada tangente de 45 gr
yo la mido Y en este caso la puedo medir
con la regla marcándola en esta postura
si yo la observo va a ser prácticamente
igual a la unidad es positiva entonces
la tangente de 45 gr vale 1 y si vale
uno aquí en 45 gr colocamos esa longitud
de esa línea trigonométrica y el su
extremo vendría a ser el punto de
referencia por donde va a pasar la
Gráfica
tangente Entonces ya tenemos el primer
punto Ahora si evalúo la tangente de 0
gr el lado final de ese ángulo estaría
aquí y estaría interceptando en este
punto en esta recta que por encima son
positivos y por debajo son negativos por
lo tanto sería el punto cer0 lo que
significa que la tangente de 0 gr es 0 Y
si es cer0 tendríamos este punto margen
aquí ahora va a ocurrir una
experiencia curiosa en la matemática y
Qué es que si yo obero para 90 gr no hay
línea trigonométrica porque estas dos
rectas y si incluyo la tercera recta son
paralelas ell nunca se van a cruzar
Entonces por más que prolongue este lado
el extremo del lado final del ángulo de
90 gr nunca se va a unir ni con esta
recta del lado derecho ni con el lado
izquierdo lo que significa que la
tangente es indefinida Entonces si la
tangente es
indefinida esta proyección que hemos
hecho aquí hace la vee de
asíntota para la Gráfica y Qué es una
recta o una proyección discontinua como
la que estamos haciendo allí
asíntota es aquella que para la Gráfica
es la orientación de guía de cómo va
ella prolongándose ya que ella por más
que se acerque a la asíntota nunca la va
a cruzar nunca la va a interceptar
Entonces yo podríamos entonces
establecer que la la Gráfica en el
primer cuadrante de esta función cada
vez nos vamos a acercar más y más a esa
asíntota pero no se van a unir Entonces
nos da una forma como lo que vemos aquí
una gráfica creciente en el primer
cuadrante nos va vamos al segundo
cuadrante para la tangente de 135 gr
prolongaría este lado de manera tal que
me da la intersección en este punto al
cual voy a llamar el punto de D hasta e
este segmento de e sería nuestra línea
trigonométrica de tangente de 135
gr lo calculo lo califico sobre la regla
y si lo evalúo sobre el plano sabemos
que es negativo que en el segundo
cuadrante negativo nos daría en ese caso
men1 entonces para 135 gr sería -1 lo
colocaría debajo esta misma longitud que
ya la tengo marcada en la regla la
coloco por debajo de la recta a la que
hemos llamado eje x porque sería
negativa entonces me daría este
punto para 180 gr la proyección sería
que este sería el lado inicial de ese
ángulo este sería el vértice y este
sería el lado final lo proyecto para que
cruce o corte a esta recta l pues la
corta en el punto donde hay la
diferencia de los negativos con los
positivos Es decir me da 0
gr si me da 0 gr Entonces lo marco aquí
como sabemos que para 90 gr ella no se
va a unir quiere decir que ella vendría
en esta forma vendría de una manera tal
que se está cada vez distanciando a
medida que se va proyectando el valor
aumentando su preimagen se hace entonces
creciente el valor de ese de esa
tangente entonces también en el segundo
cuadrante ella es creciente pasamos para
el tercer cuadrante en el tercer
cuadrante si prolongamos
este lado final que sería de 225 gr el
ángulo lo prolongo como lado final ya
que el lado inicial estaría Aquí
estaríamos hablando de este ángulo ese
ángulo me da esta intersección en este
punto al que lo voy a llamar el punto F
de D a f lo mío con la regla y resulta
que tiene la misma longitud en este caso
de esa unidad como es positiva Ya que en
el tercer cuadrante la tangente es
positiva me daría es valor de aquí
Entonces como lo tengo ya marcado aquí
lo coloco para 225 gr y me daría este
punto qué pasaría para el de
270 pues en ese caso se va a repetir lo
mismo que para el de 90 gr ya que por
más que prolongue este lado final de un
ángulo de 3 3 cuartas partes de la
circunferencia que es el de 270 gr no se
va a unir ni con la recta l de lado
derecho ni con la la recta l del lado
izquierdo que son las tangentes que
buscamos esa intersección Entonces no
habría línea trigonométrica tangente
para 270 gr es
indefinido como sabemos que es
indefinido entonces la Gráfica tendría
este comportamiento Y si nosotros lo
revisamos con el primer cuadrante vamos
a ver que se repite lo que ya podría
decir que el periodo de esta gráfica es
cada 180 gr y volvería a ser creciente
como la vimos ayer lo cual es en el
cuarto cuadrante vendríamos a ver esta
misma imagen aquí en el cuarto cuadrante
vamos a verificarlo en ese caso yo
prolongaría este lado final que es de el
ángulo de 135 gr que sería todo este y
este es su lado final lo prolongo hasta
que intercepte con la recta y donde
intercepta lo mido en este caso me diría
esta longitud y esa longitud como vemos
es negativa y sería -1 lo cual sería
este mismo punto este mismo punto que
está de referencia aquí lo puedo
prolongar y colocarlo aquí entonces
sería este punto ahora sabemos que para
360 gr se cumple los mismo que 0 gr lo
que significa que en ese caso para 360
gr me da
0 Entonces como ella viene decreciente
desde el primer desde 270 gr viene como
proyección siendo una asíntota la vemos
cada vez más cerca Pero a medida que se
va distanciando va a ser esto Esta
gráfica sería entonces creciente en
todos los cuadrantes y esta gráfica
sería la Gráfica de la función y =
tangente de X una gráfica cuyo periodo
es de 180 gr y su amplitud podríamos
decir que es desde menos infinito hasta
el infinito como vemos Ya vendría desde
menos infinito y pasa al infinito es una
gráfica que se comportaría de esta
forma Espero que este proceso este
material que hemos en este caso
planteado en nuestro desarrollo de la
Gráfica sea de beneficio para tu
práctica de graficar la función tangente
con el corazón misericordioso y humilde
que Dios nos invita a tener en nuestro
interior así obremos hacia los demás con
el servicio y la voluntad espero
entonces vernos en una próxima
ocasión
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