¿Existen infinitos más grandes que otros?
Summary
TLDREl video explora el concepto del infinito, explicando que no solo existe un infinito, sino varios, algunos más grandes que otros. Se compara el infinito de los números naturales con otros como los números reales, demostrando que hay más números reales entre 0 y 1 que números naturales. Utilizando el famoso argumento de Cantor, se demuestra que no es posible emparejar todos los números reales con los naturales, revelando la existencia de diferentes tipos de infinitos. El video también menciona cómo este concepto desafía nuestra intuición matemática.
Takeaways
- 💡 Existen diferentes tipos de infinitos, algunos más grandes que otros.
- 🔢 Los números naturales, como 1, 2, 3, 4, forman parte de lo que se llama el 'infinito de contar'.
- 🧠 Aunque parece que hay más números naturales que números pares, en realidad hay la misma cantidad de ambos debido a una propiedad del infinito.
- 👀 Para comparar dos conjuntos infinitos, se pueden emparejar los elementos de ambos, como se hace con las personas y las sillas.
- 🔄 Emparejando los números naturales con los números pares, se demuestra que hay el mismo número de ambos.
- 📊 Sin embargo, al incluir los números reales (con decimales), como 1.3 o Pi, se demuestra que hay más números reales que naturales.
- 🧑🏫 El matemático Georg Cantor demostró que no es posible emparejar los números reales con los naturales debido a la infinita variedad de los decimales.
- 🎲 Entre cualquier par de números reales, siempre hay infinitos más números reales, lo que crea un tipo de infinito más grande.
- ✨ El 'truco de las sillas' no funciona con los números reales, ya que siempre se puede construir un número nuevo que no esté en ninguna silla.
- 🚀 En conclusión, hay infinitos distintos, como el de los números naturales y el de los números reales, lo que desafía nuestra intuición sobre el infinito.
Q & A
¿Qué es lo que mucha gente no sabe sobre el concepto de infinito?
-Mucha gente no sabe que no existe un solo infinito, sino varios, y algunos de ellos son más grandes que otros.
¿Cuántos números naturales existen?
-Existen infinitos números naturales, es decir, números de contar como 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente.
¿Hay más números naturales o números pares?
-Aunque inicialmente parecería que hay más números naturales que pares, en realidad hay la misma cantidad, ya que se pueden emparejar de uno a uno.
¿Cómo se puede comparar dos conjuntos sin contar sus elementos?
-Una manera de compararlos es emparejando los elementos, por ejemplo, asignando cada persona a una silla. Si sobran sillas, hay más sillas; si sobran personas, hay más personas.
¿Qué demuestra el experimento de emparejar números naturales con números pares?
-Demuestra que hay la misma cantidad de números naturales y números pares, ya que se pueden emparejar de manera uno a uno.
¿Qué son los números reales?
-Los números reales son aquellos que incluyen decimales, como el 1.3 o 2.456, y entre cualquier par de números reales, hay infinitos números más.
¿Hay más números naturales o números reales?
-Hay muchos más números reales que números naturales, y esto se demostró mediante un elegante argumento matemático de George Cantor.
¿Qué método utilizó George Cantor para demostrar que hay más números reales que naturales?
-Cantor utilizó un método llamado diagonalización, donde construyó un número que no podía ser emparejado con ningún número natural, demostrando así que hay más números reales.
¿Cuál es la idea detrás del argumento de diagonalización de Cantor?
-La idea es crear un número que difiera en al menos un decimal de todos los números reales emparejados con los números naturales, mostrando que no se pueden emparejar todos.
¿Cuántos tipos de infinitos existen según el video?
-El video menciona al menos dos tipos de infinitos: el infinito de contar (números naturales) y el infinito de los números reales. Sin embargo, existen muchos otros.
Outlines
♾️ La fascinante naturaleza del infinito
El concepto del infinito es más complejo de lo que parece, ya que existen diferentes tipos de infinitos, algunos más grandes que otros. Un ejemplo es el 'infinito de contar', que se refiere a los números naturales (1, 2, 3, 4, etc.). A través de un ejercicio mental, se demuestra que hay tantos números naturales como números pares, aunque a primera vista esto no parece intuitivo. Este tipo de comparaciones, como el de las sillas y personas, es clave para comprender cómo funciona el infinito.
🔢 Números reales y un infinito aún mayor
Los números reales, aquellos con decimales como 1.1 o 2.4, forman un conjunto infinito aún mayor que el de los números naturales. Entre cualquier par de números reales siempre existen infinitos otros, lo que hace imposible emparejar los números naturales con los números reales. Esto fue demostrado por George Cantor, quien creó un número que no se puede emparejar con ningún número natural, revelando así que el conjunto de los números reales es mucho más grande. Esta es una de las demostraciones más impactantes de la matemática moderna.
🧠 Más allá del infinito: otras curiosidades matemáticas
El infinito no se limita solo a dos tipos: existen muchos infinitos distintos, cada uno con sus propias características. Aunque el vídeo ha explorado solo una parte de este tema, hay muchos problemas matemáticos relacionados con los diferentes tipos de infinitos. Sin embargo, el autor decide concluir aquí, destacando el impacto del contenido y sugiriendo otros videos relacionados sobre temas fascinantes. Termina con un tono ligero y humorístico, invitando al espectador a suscribirse al canal.
Mindmap
Keywords
💡Infinito
💡Números naturales
💡Números pares
💡Números reales
💡Emparejamiento
💡Georg Cantor
💡Diagonalización
💡Conjunto
💡Números irracionales
💡Infinito de contar
Highlights
El concepto de que existen infinitos diferentes, y algunos más grandes que otros.
El 'infinito de contar' se refiere a los números naturales, que son infinitos.
Hay tantos números naturales como números pares, aunque los pares parecen ser la mitad.
Un método para comparar conjuntos es emparejar elementos, como sillas y personas.
Los números naturales y los números pares pueden emparejarse uno a uno.
Hay tantos múltiplos de cualquier número como números naturales.
Los números reales incluyen los decimales, y entre cualquier par de ellos hay infinitos números.
Entre 0.1 y 0.2, por ejemplo, hay infinitos números, como 0.11, 0.12, etc.
No se puede emparejar los números reales con los números naturales.
George Cantor demostró que hay más números reales que números naturales.
El argumento de Cantor se basa en la construcción de un número que no puede estar en ninguna lista.
Ese número se construye eligiendo decimales que difieren de los números en cualquier posición dada.
Existen al menos dos tipos de infinito: el de contar y el de los números reales.
El infinito tiene propiedades sorprendentes y contraintuitivas.
Hay más de dos infinitos, y los matemáticos han identificado varios tipos diferentes de infinitos.
Transcripts
sabías que hay infinitos más grandes que
otros impresionado es que el infinito da
para mucho eh podríamos estar hablando
de él sin parar y no acabaríamos nunca
Pero hay una cosa que mucha gente no
sabe sobre el infinito y es que no es el
infinito sino los infinitos porque hay
más de uno diferentes y algunos más
grandes que otros
Al infinito y más allá
así que a lo mejor él tenía razón
os lo explico todos conocéis los números
de contar los números naturales verdad 1
2 3 4 5 y así todo lo que queramos
Cuántos de estos números hay
infinitos a ese infinito le vamos a
llamar por ahora el infinito de contar y
es muy curioso parece inofensivo Pero en
cuanto nos ponemos a pensar un poco
sobre él aparecen unas propiedades suyas
que nos vuelven la cabeza un poco loca
Por ejemplo Qué diríais hay más números
naturales o números pares así de
primeras uno diría que hay más números
naturales porque los pares son solo la
mitad no pero aquí está el infinito
haciendo de las suyas si nos ponemos a
contar hay los mismos cuando queremos
comparar dos conjuntos de cosas una
forma fácil es contar Cuántos elementos
tiene cada conjunto y comparando los
números podemos saber cuál de los dos
conjuntos tiene más cosas Guay si
podemos contar pero a veces no podemos o
no queremos imaginad que tenemos
un conjunto grande de sillas y un
conjunto grande de personas como los
comparamos sin contar pues sencillo que
cada persona se siente en una silla y si
nos sobran sillas es que había masillas
Y si nos sobran personas es que había
más personas sin contar fácil Bueno pues
vamos a comparar el conjunto de los
números naturales que harán de sillas
con el conjunto de los números pares que
harán de personas cómo los emparejamos
cómo sentamos a las personas en las
sillas Pues en la silla uno al sentamos
al número 2 en la 2 al 4 en la 3 al 6 en
la 4 al 8 y así todo el rato está claro
que cada silla tiene una persona y
viceversa Así que hay tantas sillas como
personas hay tantos números naturales
como números pares flipantes Y eso mismo
te vale para ver que hay también el
mismo número de múltiplos de tres o de
cinco o de
238.474 el infinito de contar tiene
estas cosas Pero bueno os he dicho que
hay otros infinitos más grandes y es
verdad pero para eso tenemos que dejar
entrar a los otros números los números
con decimales esos que los matemáticos
llamamos números reales el uno con tres
el dos con cuatro cinco seis o los que
tienen muchísimos decimales incluso
infinitos como pi bueno números de esos
Hay un montón hay tantos que entre dos
cualquiera de ellos hay infinitos
también por ejemplo entre el 0,1 y el
0,2 están en el 0,11 y el 0,12 y el 0,13
y a su vez entre el 0,1 y el cero con
uno dos están en el cero con uno uno el
cero con uno uno dos el cero con uno uno
tres etcétera hay más números naturales
o más números de estos reales hombre
parece que hay muchos más números reales
pero cuidado que aquí entra el infinito
hacer de las suyas no pasará como cuando
los pares que podemos hacer un juego de
esos de sillas y personas y emparejarlos
como antes Bueno pues resulta que no se
puede realmente hay más números reales
que naturales y esto lo demostró el
superhéroe del infinito George canto
cantor de una demostración preciosa y
muy elegante de que no podemos emparejar
los números reales con los naturales
preparados que esto es alta matemática
supongamos que podemos emparejar todos
los números reales que hay entre 0 y 1
con los números naturales o sea
supongamos que sentamos a uno en cada
silla El caso es que hay uno en la silla
uno otro en la silla dos y así por
ejemplo aquí podría poner este que está
entre 0 y 1 aquí podría poner este
aquí podría poner otro
etc Bueno pues vamos a construir un
número que está entre 0 y 1 y que no
puede estar en ninguna silla Así que no
no era verdad que los podíamos sentar a
todos Bueno pues elegimos como primer
decimal uno diferente del primer decimal
que tenga el que está en la silla uno
como tiene un dos voy a poner aquí un
tres como segundo decimal uno diferente
al segundo decimal que tiene el de la
Silla 2 como tiene un tres voy a poner
aquí un 7 como tercer decimal voy a
poner uno diferente al tercer decimal
que el que está en la silla número 3 en
lugar de un 5 Pues voy a poner un dos y
así todo el rato ese número que acabo de
construir En qué si ya está pues no
puede estar en ninguna desde luego en la
primera no está porque su primer decimal
es diferente en la segunda Tampoco
porque su segundo decimal es diferente
en la tercera Tampoco porque su tercer
decimal es diferente ni en ninguna
porque tiene al menos un decimal
diferente que cualquiera de los que
están en las sillas no es ninguno de
ellos muy fuerte hay infinitos
diferentes por lo menos dos el infinito
de contar y el de los números reales
toma ya Bueno en realidad hay muchos
infinitos diferentes y hay problemas
matemáticos sobre los distintos
infinitos podría hablaros de ello Es
verdad pero voy a terminar aquí que este
vídeo no es infinito
acabo de currarme un vídeo súper chulo
lo menos que podríais hacer es reíros un
poco no
te amo la del vídeo pues te ha puesto pi
contra uno a que si pinchas Aquí
encontrarás otros que te flipen tanto
como este simple cuestión de
probabilidad
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