Transformaciones de las funciones trigonométrica de seno y coseno

Summary

En este vídeo se exploran las transformaciones de funciones trigonométricas, centrándose en conceptos clave como amplitud, periodo, desfase y desplazamiento vertical. Se definen y calculan estas propiedades para funciones seno y coseno, utilizando ejemplos prácticos para ilustrar cómo las letras 'a', 'b', 'c' y 'd' afectan a la gráfica. Además, se discuten métodos para encontrar el periodo a través de la observación gráfica y la ecuación, y se ejemplifica cómo se calcula el desfase y el desplazamiento vertical. Finalmente, se aplican estos conceptos a problemas prácticos, como el movimiento de una masa en un resorte.

Takeaways

• 📐 **Transformaciones de funciones trigonométricas**: Se discuten amplitud, periodo, desfase y desplazamiento vertical en funciones seno y cosenos.
• 🔍 **Definición de amplitud**: Representa la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de la función, dada por el valor absoluto de 'a'.
• 🌊 **Ejemplos de amplitud**: Se ilustra con funciones de seno y coseno, mostrando cómo la amplitud se calcula y se ve afectada por el valor de 'a'.
• 🔄 **Periodo de las funciones**: Explicado como dos pi dividido por 'b', y se muestra cómo se determina tanto por ecuaciones como por observación gráfica.
• 🔁 **Cambio de fase (Desfase)**: Se indica cómo se calcula y el efecto de desplazar la gráfica hacia la derecha o izquierda.
• 📉 **Desplazamiento vertical**: Identificado con la constante 'd', muestra cómo la gráfica se desplaza hacia arriba o abajo.
• 📘 **Ecuaciones de ejemplo**: Se trabajan ejemplos específicos para calcular amplitud, periodo, desfase y desplazamiento vertical.
• 🔢 **Fórmulas clave**: Se presentan fórmulas para encontrar amplitud, periodo y desfase a partir de la ecuación de la función trigonométrica.
• 🎓 **Aplicaciones prácticas**: Se incluyen ejercicios que aplican los conceptos aprendidos a situaciones reales, como el movimiento de una masa en un resorte.
• 📑 **Recursos educativos**: Se menciona el uso de módulos del departamento de educación para el curso de trigonometría.

Q & A

¿Qué conceptos básicos se explican al comienzo del video?

Los conceptos básicos explicados son amplitud, período, desfase y desplazamiento vertical de las funciones trigonométricas.

¿Qué representa la amplitud de una función trigonométrica?

La amplitud representa la mitad de la distancia entre los valores máximos y mínimos de la función, y se calcula mediante el valor absoluto del coeficiente 'a'.

¿Cómo afecta el valor de 'a' a la gráfica de una función trigonométrica?

El valor de 'a' afecta la amplitud de la gráfica. Si 'a' es mayor, la gráfica se alarga (se dilata); si 'a' es menor, la gráfica se contrae.

¿Qué fórmula se usa para calcular el período de una función trigonométrica?

El período de una función trigonométrica se calcula usando la fórmula 2π/b, donde 'b' es el coeficiente que acompaña a la variable x.

¿Qué significa el cambio de fase en una función trigonométrica?

El cambio de fase indica cuánto se desplaza la gráfica hacia la derecha o hacia la izquierda y se calcula con la fórmula -c/b.

¿Cómo se determina el desplazamiento vertical de una función trigonométrica?

El desplazamiento vertical está determinado por la constante 'd', que indica cuántas unidades la gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo.

¿Cómo se calcula el período de la función y = seno(x/2)?

Para y = seno(x/2), el período se calcula usando la fórmula 2π/b. Como b = 1/2, el período es 4π.

¿Qué indica un valor negativo en el coeficiente 'a' de una función trigonométrica?

Un valor negativo en el coeficiente 'a' indica que la función se refleja con respecto al eje x, invirtiendo su forma.

¿Cómo se escribe la ecuación de una función seno con amplitud 3 y período π?

La ecuación se escribe como f(x) = 3 * seno(2x), ya que el valor de 'b' que da un período de π es 2.

¿Qué describe la ecuación de un resorte en vibración en términos de funciones trigonométricas?

La ecuación describe el desplazamiento de la masa suspendida en el resorte, considerando su amplitud y período. Un ejemplo sería f(t) = 4 * cos(6πt) donde 4 es la amplitud y el período es 1/3 segundos.

Outlines

00:00

📚 Introducción a las Transformaciones de Funciones Trigonométricas

El primer párrafo introduce el tema de las transformaciones de funciones trigonométricas, enfocándose en la definición de conceptos como amplitud, periodo, desfase y desplazamiento vertical. Se discuten las transformaciones de funciones sen y cos, y se explica cómo cada letra en la fórmula de una función trigonométrica representa una transformación gráfica específica. Se ilustra la amplitud como la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de la función, utilizando ejemplos para demostrar cómo calcularla.

05:02

🔍 Análisis de Amplitud y Período en Funciones Trigonométricas

Este párrafo profundiza en el análisis de la amplitud y el periodo de las funciones trigonométricas. Se describe cómo determinar el periodo a través de la observación gráfica y la ecuación, utilizando ejemplos para mostrar cómo calcular el periodo y cómo los cambios en el coeficiente 'b' afectan el periodo de la función. Además, se explica cómo el periodo de las funciones se relaciona con la repetición de la forma de onda.

10:04

📉 Explicación de Desfase y Desplazamiento Vertical

El tercer párrafo se centra en el cambio de fase y el desplazamiento vertical en las funciones trigonométricas. Se define el desfase como la cantidad que se traslada la gráfica hacia la derecha o izquierda y se explica cómo calcularlo utilizando la fórmula negativo 'c' dividido por 'b'. También se discute el desplazamiento vertical, identificado con la constante 'd', y cómo afecta la posición de la gráfica en el eje vertical. Se presentan ejemplos para ilustrar estos conceptos.

15:06

📘 Ejercicios de Transformaciones de Funciones Trigonométricas

En este párrafo, se presentan ejercicios prácticos para aplicar los conceptos aprendidos sobre transformaciones de funciones trigonométricas. Se identifican las letras en la fórmula de las funciones para determinar la amplitud, el periodo, el desfase y el desplazamiento vertical. Se analizan ejemplos específicos, mostrando cómo calcular estos valores a partir de las ecuaciones dadas y cómo estos afectan la forma de onda resultante.

20:11

🔢 Construcción de Ecuciones de Funciones Trigonométricas

El quinto párrafo se enfoca en la construcción de ecuaciones para funciones trigonométricas basadas en características específicas de amplitud y periodo. Se presentan ejercicios que requieren determinar la 'a', 'b', 'c' y 'd' en la fórmula general de una función trigonométrica para que la gráfica cumpla con condiciones dadas. Se muestran los pasos para encontrar estas constantes y se verifican los resultados utilizando fórmulas de periodo y desfase.

25:13

🌟 Aplicación de Transformaciones Trigonométricas a un Resorte en Vibración

El sexto y último párrafo aplica los conceptos de transformaciones trigonométricas a un escenario práctico: un resorte en vibración. Se describe un experimento donde una masa está suspendida de un resorte y se comprime para luego liberarse, generando un movimiento oscilatorio. Se utiliza la información del periodo y la amplitud para escribir una ecuación que describe el movimiento de la masa, demostrando cómo las transformaciones trigonométricas pueden modelar fenómenos físicos.

Keywords

💡Amplitud

La amplitud representa la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de una función trigonométrica. Es clave para determinar el comportamiento de la gráfica en términos de cuánto se alarga o contrae. En el video, la amplitud se encuentra mediante el valor absoluto de 'a' en la ecuación de la función, como en los ejemplos donde se calcula para distintas funciones de seno y coseno.

💡Periodo

El periodo es el tiempo que tarda una función en completarse y repetirse. En las funciones trigonométricas, el periodo se calcula como 2π dividido entre 'b'. El video explica cómo identificar el periodo en una gráfica y mediante una fórmula, mostrando ejemplos donde el periodo cambia según el valor de 'b'.

💡Desfase

El desfase o corrimiento horizontal indica cuánto se desplaza la gráfica de una función hacia la derecha o hacia la izquierda. Se calcula con la fórmula -c/b. En el video, se muestra cómo el signo del resultado determina la dirección del desplazamiento, y se proporcionan ejemplos prácticos donde la gráfica se desplaza hacia la derecha.

💡Desplazamiento vertical

El desplazamiento vertical mide cuánto se mueve la gráfica de una función hacia arriba o hacia abajo. Está dado por el valor de 'd' en la ecuación de la función. En el video, se utiliza un ejemplo donde la gráfica se desplaza hacia arriba por dos unidades, lo que afecta la representación visual de la función trigonométrica.

💡Función seno

La función seno es una función trigonométrica que describe una onda periódica. Su forma estándar es y = a * sin(bx + c) + d. El video se enfoca en cómo transformar la gráfica del seno mediante variaciones en sus parámetros, alterando la amplitud, periodo, desfase y desplazamiento vertical.

💡Función coseno

La función coseno es similar a la función seno y también describe ondas periódicas. Se representa como y = a * cos(bx + c) + d. En el video, se utiliza la función coseno para ilustrar cómo los cambios en 'a', 'b', 'c' y 'd' afectan la amplitud, el periodo y el desplazamiento de la gráfica.

💡Transformación de funciones

Las transformaciones de funciones implican cambios en la forma y posición de la gráfica de una función debido a la modificación de sus parámetros. En el video, se estudian transformaciones como el estiramiento, compresión, desplazamiento y reflejo de las gráficas de seno y coseno al alterar los valores de 'a', 'b', 'c' y 'd'.

💡Reflexión

La reflexión es una transformación geométrica que invierte la gráfica de una función a través de un eje. En el contexto del video, las reflexiones se producen cuando el valor de 'a' es negativo, lo que invierte la gráfica de seno o coseno, generando una reflexión en el eje x.

💡Frecuencia

La frecuencia es el número de ciclos completos que una función trigonométrica realiza en un intervalo determinado. Se relaciona inversamente con el periodo, de manera que una mayor frecuencia implica un menor periodo. En el video, se menciona que 'b' afecta tanto la frecuencia como el periodo de las funciones seno y coseno.

💡Cálculo de la amplitud

El cálculo de la amplitud es un proceso clave para determinar el estiramiento o contracción de una función trigonométrica. Se realiza mediante el valor absoluto de 'a' en la ecuación de la función. El video incluye varios ejemplos de cómo encontrar la amplitud para funciones como y = -4 sin(3x) o y = 3 cos(x).

Highlights

Introducción a las transformaciones de funciones trigonométricas, como la amplitud, periodo, desfase y desplazamiento vertical.

Explicación de la amplitud como la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de la función, representada por el valor absoluto de 'a'.

Demostración de cómo identificar la amplitud en diferentes ejemplos, como en el caso de y = -4 seno(3x), donde la amplitud es 4.

Explicación gráfica de cómo la amplitud puede dilatar o contraer una función dependiendo del valor de 'a'.

Presentación de la fórmula del periodo como 2π/b y cómo calcularlo utilizando ejemplos de funciones de seno y coseno.

Uso de gráficas para observar el periodo, mostrando cómo una función se repite cada 2π unidades en el ejemplo de la función seno.

Explicación del concepto de cambio de fase, que describe el desplazamiento de una función hacia la derecha o izquierda.

Fórmula para el cambio de fase: (-c)/b, indicando cómo los resultados positivos y negativos afectan el desplazamiento de la gráfica.

Demostración práctica del cambio de fase utilizando la función f(x) = 3 seno(2x - 1/2), mostrando un desplazamiento hacia la derecha.

Descripción del desplazamiento vertical utilizando el valor de 'd', que determina cuánto se mueve una gráfica hacia arriba o hacia abajo.

Identificación de la amplitud, el periodo, el desfase y el desplazamiento vertical en diferentes ecuaciones trigonométricas, con ejemplos específicos.

Cálculo del periodo de la función coseno con amplitud 5 y periodo 8, y cómo aplicar la fórmula del periodo para encontrar 'b'.

Descripción de cómo una masa suspendida de un resorte sigue un patrón trigonométrico en su movimiento, con una compresión de 4 cm y un periodo de 1/3 de segundo.

Cálculo de la ecuación para el movimiento de la masa utilizando la fórmula 2π/b, obteniendo una ecuación final del tipo 4 cos(6t).

Conclusión del tema, destacando la importancia de las transformaciones de funciones trigonométricas y los ejercicios de práctica sugeridos.

Transcripts

[Música]

m

saludos a todos hoy estaremos trabajando

con transformaciones de funciones

trigonométricas

objetivos vamos a definir los conceptos

de amplitud periodo desfase y

desplazamiento vertical vamos a discutir

las transformaciones de las funciones y

vamos a calcular la amplitud el periodo

el corrimiento horizontal y el

desplazamiento vertical de las funciones

de seno y cosenos

reflexión la vida te pondrá obstáculos

pero los límites los pones tú

comencemos explicando que las curvas de

es el único seno

está dada por la forma de más menos

porsche no otro seno debe x hace más de

siendo esto la forma o la ecuación de un

estándar de la función

es importante saber que cada letra sería

a b

o de representan una transformación en

la gráfica

ej

la a nos va a ayudar a encontrar la

amplitud

labbé nos ayuda a encontrar el periodo o

la frecuencia

se nos ayuda a encontrar el

desplazamiento horizontal y de el

desplazamiento vertical

comenzamos explicando lo que es amplitud

amplitud representa la mitad de la

distancia entre los valores máximo y

mínimo de la función y está dada por el

valor absoluto de a

ejemplo tenemos una gráfica cuando

hablamos de la amplitud podemos observar

que es la mitad mira aquí tenemos una

línea que en este caso es el eje x

sería la mitad de esa distancia entre el

valor máximo y el valor

cuando nos referimos a la amplitud nos

referimos a un alargamiento o sea que

esta gráfica aumenta o se dilata o a un

acortamiento o sea que disminuye o se

contrae la gráfica en este caso para

encontrar la amplitud yo voy a buscar el

valor en el punto más alto a que yo

puedo encontrar que es 1 así que el

valor absoluto de 1 es uno ejemplo 2

tenemos ahora y es igual a menos 4 seno

por 3x pues lo primero que vamos a hacer

es identificar

el negativo 4 es a que el 3 sería b

pues la amplitud es el valor absoluto de

a

sustituimos quien es a negativo 4 por lo

tanto la amplitud sería 4

ejemplo número 3 dice fx es igual a 3

coseno de x lo primero que yo tengo que

saber es que la gráfica de la función

original tiene amplitud de 1 observe

coseno de x

tiene uno

en su amplitud y de ahí yo voy a partir

entonces para hacer una transformación

de amplitud de 3 observando ahora la

gráfica color verde

entonces la amplitud está en 3

quiere decir que esta gráfica tuvo una

dilatación o sea que aumento en su

amplitud sea de 1 aumento a 3

ejemplo número 4 dice fx es igual a un

medio coseno df

por la gráfica de la función original

tiene una amplitud de 1

vendría siendo entonces coseno de x que

está sucediendo ahora ahora tenemos una

transformación en la amplitud de un

medio quiere decir que esta gráfica

queda entonces de la siguiente forma

observé que ahora esta gráfica se

contrae osea tuvo un acortamiento de la

amplitud en vez de ser 1 ahora es un

medio

ahora observemos el comportamiento de

las tres gráficas anteriores en su

amplitud color verde tenemos el coseno

dx coseno de x tiene amplitud de 1

tenemos el color anaranjado 312 de x

amplitud 3

y el color rojo entonces sería un medio

con dx de amplitud un medio

ahora vamos a explicar

el periodo dice sea de un número real

positivo está dado por dos pi entre b

hay dos formas de encontrar el periodo

en forma de gráfica que es el ejemplo

número uno observe

el periodo de la gráfica yo lo puedo

identificar porque porque es observar

cuánto se repite la gráfica observamos

la gráfica está en el punto 0 1

acá arriba

ella baja en pie

ya vuelve y sube pero observe que sucede

en este punto

esta gráfica vuelve a ser ella misma en

el lado derecho

quiere decir que va a tener un período

donde comenzó donde terminó pero donde

ya termina ahí mismo comienza otra

por lo tanto quiere decir que ese

período de 2 p en la cantidad de veces

que ella se va a repetir o sea cada dos

de ellas se repite vamos a ver si es

verdad de este punto serve vago vuelvo y

subo así que más dos países sería menos

cuatro pi así que cada dos mil veces

ella vuelve a repetirse

la otra forma para encontrar el periodo

es por medio de una ecuación

ejemplo si la ecuación dice es igual a 2

por seno de x 3

yo entonces voy a utilizar

la fórmula que me indican que el 23

entre b como yo sé quién es b pues b se

identifica porque es el número o sea el

coeficiente numérico que está en x este

numerito que está con x ese va a ser mi

b

así que yo puedo identificar y decir que

el dow es a que es la amplitud ya

estudiamos y que el número acompañado de

una variable ese va a ser mi b

pues comenzamos sustituir 2 p / b

sería 2 p / 3

continuamos

ejemplo número 3 dice fx es igual al

seno de x entre 2 observemos

que tenemos el color verde que nuestra

gráfica original que es la de seno

la dc no podemos observar que tiene un

periodo de dos o sea que cada dos veces

ella se vuelve a repetir y observamos

entonces la gráfica de seno de x un

medio que es la que es color azul que de

este punto a este punto que es 4 y ella

se vuelve a repetir o sea cada 4 y ver

si ella vuelve a repetirse vamos a ver

si eso es verdad pues yo digo

2 p / b

sustituir donde ves sería un medio

por 2 entre 1 multiplicamos 4 p y todo

número dividido entre 1 es el mismo así

que podemos observar que es cierto

qué quiere decir esto mira quiere decir

que si nosotros alteramos el valor debe

observar

aquí si yo alteró este valor debe

y ese valor va a influir en el valor del

periodo

observé aquí era uno por lo tanto el

periodo era 2 p

como ve se alteró ahora el período es 4

pi

esto ocasiona que la gráfica entonces

tenga un comportamiento de alargamiento

podemos observar que ahora ella sea

continuamos

ejemplo número 4

efe de aquí es igual al seno de 2x

observamos la gráfica podemos observar

que de este punto a este punto

tenemos un periodo de pi

vamos a ver utilizando la fórmula

2 p / b es igual a 2 y entre 2

2 entre los cancela y me queda y así que

sí queda demostrado que el periodo speed

cambio de fase

el cambio de fase nos indica cuánto se

va a trasladar la gráfica hacia la

derecha o hacia la izquierda y se puede

conseguir

con la fórmula negativo se entrevé

el resultado

si me da a un número positivo vamos a

tener un corrimiento hacia la derecha

si el resultado es negativo entonces el

movimiento ocurre hacia la izquierda

vamos a ver en dónde se encuentra la c

en la ecuación general

observe

sería la amplitud b

es el número el coeficiente numérico que

acompaña la variable de x

y se va a ser el número que está adentro

de un paréntesis

vamos a ver un ejemplo

ejemplo número uno allá el corrimiento

de fase iii es igual a tres por seno de

2x menos y medio

utilizamos la fórmula de negativos entre

b y comenzamos a sustituir

sabiendo que tenemos primero

tenemos ave

y tenemos hace

hey

resolvemos negativo por negativo es

positivo así que quedaría y medio

por un medio quedando entonces como

resultado y cuarto esto quiere decir que

al resolver este ejercicio me da a un

número positivo quiere decir que la

gráfica se mueve hacia la derecha

observe la gráfica

la gráfica estaba en el punto

00 ahora tuvo un corrimiento hacia la

derecha

y desplazamiento vertical el

desplazamiento vertical está

identificado con la constante de de y

muestra una transformación en la gráfica

en la cual la gráfica se va a desplazar

hacia arriba o hacia abajo

ejemplo número uno tenemos fd x es igual

a 3 por coseno de 2 x + 2 la d es el

número que está afuera del paréntesis

porque si está adentro s

así que quién es el desplazamiento

vertical 2

esto nos indica

y si tenemos en la gráfica original

esta gráfica va a tener un movimiento

o sea que se va a desplazar hacia arriba

dos unidades quedando entonces de esta

manera

vamos ahora para ejercicios de práctica

número dice mira allá la amplitud el

periodo el desfase y el desplazamiento

vertical de la siguiente ecuación que

vamos a identificar primero las letras

tenemos a tenemos ave adentro de este

paréntesis teníamos que tenerse y afuera

teníamos que tener ave quiere decir que

a es dos veces 2

y como no está presente es 0 y de

también va a ser ser comenzar

el valor absoluto de a es el valor

absoluto de 2 y eso me da a 2

período 2000 / b y b es 2

2 entre dos cancelas quedando como

resultado

desfase sería negativo c pero se es cero

en 3b que es en este caso es 2

y esto me va a dar como resultado cero

en este punto quiere decir que la

función inicial está en cero no tuvo

ningún cambio

y que el desplazamiento vertical es cero

no tuvo ningún cambio

vamos ahora para un segundo ejercicio

dice

haya la amplitud el periodo el desfase y

el desplazamiento vertical de la

siguiente ecuación

vamos a identificar

las letras o sea que tenemos a tenemos

ave tenemos hacer y tenemos ave

comenzamos buscando la amplitud valor

absoluto de a que sería el valor

absoluto de negativo 4 que eso es

positivo

4

el periodo 2000 entre b y b es 3

y dos tercios nos simplifica se queda de

esta forma expresado

negativos y se es

negativo y medio

/ / b&b estrés

resolvemos

negativo por negativo es positivo y

medio

lo multiplicamos por un tercio quedando

como resultado y sexto

quiere decir que en este punto insecto

se mueve hacia la derecha la gráfica se

mueve hacia la derecha y el

desplazamiento vertical

sería negativo 3 o sea que esta gráfica

se mueve hacia abajo

ejercicio número 3

escribe la ecuación o sea vamos ahora a

buscar una ecuación de una función de

seno que tenga la característica d

amplitud 3 periodo

bueno lo primero que yo tengo que saber

es que la ecuación siempre está dada de

la siguiente manera

se hace no conocer en este caso me dice

que es cero

por bebé pues ya sabemos qué es la

amplitud que es 3 por el seno

pero ahora me falta el valor del ave que

vamos a buscar ave me da en el período

me del período y yo voy a usar la

fórmula del período la fórmula del

período era 2 p / b

fue sustituido donde ahora me va a ser

y entre y cancela quedando como

resultado 12 y ese va a ser entonces me

ve

teniendo entonces como resultado final

que la ecuación es fx es igual a 3 por

el seno

de 2x

vamos a ver si lo que yo acabo de hacer

está correcto pues mire lo que vamos a

hacer ahora es comenzar a sustituir en

el periodo 2 p / b

tiene 2

2 entre dos cancelas y queda para el

período mira así está dado

así que hemos encontrado nuestra

ecuación de la función de seno

ejercicio número 4 determinó una

ecuación para la siguiente gráfica

observemos la gráfica

tenemos que identificar la amplitud

y el período

o que la amplitud sería 5

y el periodo

sería 8

observamos la gráfica la gráfica es de

coseno de la función de ccoo 0 pues

comenzamos efe de x es igual a 5 que es

la amplitud

por el coseno de un valor desconocido

todavía yo no sé quién es

por e

vamos a buscar el valor del ave

utilizando la fórmula de periodo la

fórmula de periodo era 2 pi entre b

2 p ahora ve es 8

2 entre 8 simplifica

dándome a

y cuarto así que ve sería

y cuarto

vamos a ver si eso es verdad pues yo voy

a utilizar ahora nuevamente la fórmula

del periodo 2 p / b

quien ve mi cuarto

2 p

x en este caso sería 4 pi

4 x 2 8 p / pi pi pi pi cancela y queda

a 8

mire no es correcto por lo tanto la

ecuación de esta gráfica sería entonces

fx es igual a 5 por coseno y cuarto x

tenemos ahora una situación de un

resorte en vibración comenzamos dice una

masa y está suspendida de un resorte

observe tenemos la masa

suspendida de un resorte

el resorte se comprime mi dedo se

comprime a una distancia de cuánto de

cuatro centímetros y luego se libera

observen ella se va a liberar

podemos observar que la masa regresa a

su punto comprimido después de un tercio

segundo

describe una ecuación para el movimiento

de la masa utilizando la siguiente forma

terminábamos identificar y establecer

los datos donde la amplitud sería

donde ella se comprime ah pues 4

centímetros

ella tiene un periodo comprimido después

de un tercio segundo

yo quiero hallar una ecuación mirando

describe una ecuación de esta forma

comenzamos a sustituir pero antes de

sustituir yo tengo que encontrar el

valor del ave usando que el periodo

bueno pues 2 p / b

vendría siendo un tercio

2

x

3 / 1 esto me da

6

y de ahí yo puedo sacar la ecuación

donde hay 4 coseno de 6 p

que no quiere indicar esto se mira que

obteniendo esa ecuación donde f

te vendría siendo el desplazamiento a

partir de la posición en reposo de ese

tiempo

porque hubo un desplazamiento en ella y

de esta forma podemos observar como

trabajamos nosotros entonces el

comportamiento de la alteración en

listas gráficas

ahora van a realizar estos dos

ejercicios de práctica

y la contestación va a salir en 3 2 1

ahora van a realizar estos dos

ejercicios de práctica

y la contestación salen 3 2 1

bueno esto ha sido todo por hoy

estuvimos trabajando el libro del curso

de trigonometría en la página 92 93 y

utilizamos los módulos del departamento

de educación hasta la próxima