Identidades trigonométricas, Identidades de simetría e identidades de suma y resta.

Summary

In diesem Video werden trigonometrische Symmetrieidentitäten sowie Identitäten für Summe und Differenz erklärt und angewendet, um neue Identitäten abzuleiten. Zuerst werden Symmetrieidentitäten im Einheitskreis behandelt, wobei der Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus bei positiven und negativen Winkeln untersucht wird. Anschließend werden die Identitäten für die Addition und Subtraktion von Winkeln vorgestellt, mit praktischen Beispielen zur Veranschaulichung. Das Video endet mit der Ableitung einer neuen Identität für die Tangensfunktion und einer detaillierten Erklärung der Schritte, um die Gleichung zu beweisen.

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Q & A

Was sind Symmetrie-Identitäten in der Trigonometrie?

Symmetrie-Identitäten basieren auf den Eigenschaften des Einheitskreises. Zum Beispiel ist der Kosinus eine gerade Funktion, was bedeutet, dass cos(-θ) = cos(θ), während der Sinus eine ungerade Funktion ist, was bedeutet, dass sin(-θ) = -sin(θ).

Wie kann man sich die Symmetrie von Sinus und Kosinus anhand des Einheitskreises vorstellen?

Auf dem Einheitskreis haben wir für einen Winkel θ die Koordinaten (cos(θ), sin(θ)). Für einen negativen Winkel -θ ist der Kosinus unverändert (cos(-θ) = cos(θ)), aber der Sinus wird negiert (sin(-θ) = -sin(θ)).

Was besagt die Identität für sin(π/2 - θ)?

Die Identität besagt, dass sin(π/2 - θ) = cos(θ). Dies basiert auf der Symmetrie des Einheitskreises, bei der der Sinus des Komplements eines Winkels dem Kosinus dieses Winkels entspricht.

Was ist der Unterschied zwischen der Symmetrie von Sinus und Kosinus?

Der Kosinus ist eine gerade Funktion, was bedeutet, dass cos(-θ) = cos(θ), während der Sinus eine ungerade Funktion ist, was bedeutet, dass sin(-θ) = -sin(θ).

Welche Identität gilt für cos(π/2 - θ)?

Die Identität lautet cos(π/2 - θ) = sin(θ), was wiederum auf der Symmetrie des Einheitskreises basiert.

Wie lautet die Summe-Identität für den Sinus?

Die Summe-Identität für den Sinus lautet: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). Diese Identität beschreibt den Sinus des Winkels, der sich aus der Summe zweier Winkel ergibt.

Wie lässt sich die Differenz-Identität für den Sinus formulieren?

Die Differenz-Identität für den Sinus lautet: sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b). Sie gibt den Sinus des Winkels an, der sich aus der Differenz zweier Winkel ergibt.

Wie lässt sich die Summe-Identität für den Kosinus erklären?

Die Summe-Identität für den Kosinus lautet: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b). Diese Identität beschreibt den Kosinus des Winkels, der sich aus der Summe zweier Winkel ergibt.

Was ist der Unterschied zwischen den Summe- und Differenz-Identitäten für den Kosinus?

Die Summe-Identität für den Kosinus lautet: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b), während die Differenz-Identität lautet: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Vorzeichen der zweiten Terme im Falle der Differenz umgekehrt sind.

Wie beweist man die Identität für die Tangente der Summe von zwei Winkeln?

Die Identität für die Tangente der Summe von zwei Winkeln lautet: tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b)). Um dies zu beweisen, muss man die Tangenten in ihre Sinus- und Kosinus-Terme umwandeln und dann die entsprechenden Identitäten für die Summe von Sinus und Kosinus anwenden.