Integrales | Introducción
Summary
TLDREste video ofrece una introducción al cálculo de integrales, explicando que la integración es la operación inversa a la derivación. Se ilustra con ejemplos cómo la factorización es la operación inversa de la multiplicación. Se enseña cómo encontrar la integral de una función dada, utilizando el ejemplo de 6x, y se muestra que la integral de 6x es 3x al cuadrado más una constante. El video concluye con un ejercicio para practicar y un recordatorio de que se pueden encontrar más lecciones sobre integrales en el canal.
Takeaways
- 📘 La integración es la operación inversa a la derivación en matemáticas.
- 🔄 Se ilustra la relación de integración y derivación con el ejemplo de factorización como operación inversa de la multiplicación.
- ✏️ Se da un ejemplo práctico de cómo derivar una función y luego encontrar su integral, demostrando cómo se obtiene 6x al derivar 3x al cuadrado.
- 📐 Se explica que la integral de una función, como 6x, puede resultar en múltiples funciones, siempre que su derivada sea 6x.
- 📝 Se menciona que la notación para la integral es una 's' alargada, y se describe cómo se escribe la integral de una función con respecto a x.
- 🔍 Se aclara que la integral de una función no está definida únicamente y generalmente se añade una constante ('+ C') al resultado.
- 📚 Se ofrece un ejercicio para que el espectador practique encontrar integrales, enfocándose en funciones que derivan en 8x y 5.
- 🎯 Se resuelven los ejercicios propuestos, mostrando que la integral de 8x es 4x al cuadrado y la de 5 es 5x.
- 📌 Se anticipa que en futuras lecciones se explorarán reglas y técnicas para integrar cualquier función.
- 🌟 Se invita a los espectadores a suscribirse al canal, comentar, compartir y likear el vídeo para recibir más contenido similar.
Q & A
¿Qué es la integración en matemáticas?
-La integración es una operación matemática que se considera la operación inversa a la derivación. Se utiliza para encontrar una función que, una vez derivada, nos dé una función dada.
¿Cuál es la relación entre la factorización y la multiplicación?
-La factorización es la operación inversa de la multiplicación. Mientras que la multiplicación combina dos o más términos en uno, la factorización es el proceso de descomponer un término en dos o más términos que, multiplicados, nos dan el término original.
¿Cómo se representa la integral de una función en notación matemática?
-La integral de una función se representa con una 'S' alargada, que se escribe sobre la función que se desea integrar. Por ejemplo, la integral de la función 6x se escribe como ∫6x dx, donde 'dx' indica que la integración se realiza con respecto a la variable x.
¿Qué significa la 'c' que se agrega a la respuesta de una integral?
-La 'c' representa una constante que se añade a la respuesta de una integral. Esto se hace porque la integración es una operación que puede tener múltiples respuestas, todas ellas diferenciables entre sí por una constante.
¿Qué es la derivada de la función 3x al cuadrado?
-La derivada de la función 3x al cuadrado es 6x. Esto se deduce al aplicar la regla de la derivada de una potencia, donde la derivada de x^n es n*x^(n-1), siendo n=2 en este caso.
¿Cuál es la integral de la función 8x?
-La integral de la función 8x es 4x al cuadrado más una constante. Esto se deduce al aplicar la regla de integración de una potencia, donde la integral de x^n es (x^(n+1))/(n+1) más una constante, siendo n=1 en este caso.
¿Por qué hay múltiples funciones que pueden tener la misma derivada?
-Hay múltiples funciones que pueden tener la misma derivada porque la integración es una operación que busca la 'antiderivada', y hay infinitas funciones que, al ser derivadas, pueden dar la misma función original. Estas funciones difieren entre sí por una constante.
¿Cómo se determina cuál es la función original dada su derivada?
-Para determinar la función original dada su derivada, se aplica la integración. Se busca una función tal que, al derivarla, nos dé la función proporcionada como derivada.
¿Qué se aprende en los siguientes videos del curso de integrales?
-En los siguientes videos del curso de integrales, se aprenderá cómo integrar funciones más complejas y se conocerán las reglas y técnicas para encontrar la integral de cualquier función.
¿Cómo se puede practicar lo aprendido sobre integrales?
-Se puede practicar lo aprendido sobre integrales realizando ejercicios que requieran la integración de funciones específicas, como los propuestos en el video, donde se pide encontrar la integral de 8x y 5.
Outlines
📚 Introducción a las Integrales
Este primer párrafo presenta la introducción al tema de las integrales. Se explica que la integración es la operación inversa a la derivación y se utiliza para encontrar una función dada su derivada. Se utiliza el ejemplo de la factorización como una operación inversa a la multiplicación para ilustrar el concepto. Luego, el guionista procede a demostrar cómo, dada la derivada de una función, se puede encontrar la función original mediante la integración. Se introduce el símbolo de la integral y se explica cómo se escribe y lee. Además, se menciona la adición de la constante 'c' en las integrales, ya que una función y su constante pueden tener la misma derivada.
🔍 Multiplicidad de Funciones en las Integrales
En el segundo párrafo, se profundiza en la idea de que no hay una única función cuya derivada sea un número dado, sino que puede haber múltiples funciones que, al derivarse, resulten en la misma derivada. El guionista utiliza el ejemplo de la derivada de 6x, mostrando que 3x al cuadrado, más o menos una constante, siempre dará como resultado 6x al derivarse. Esto se demuestra con tres ejemplos diferentes, cada uno con una derivada de 6x. Se concluye que la integral de 6x es 3x al cuadrado más una constante 'c'. Finalmente, se invita a los espectadores a practicar con ejercicios y se menciona que en futuras lecciones se explorarán reglas para integrar cualquier función.
Mindmap
Keywords
💡Integrales
💡Derivación
💡Operaciones Inversas
💡Factorización
💡Primitiva
💡Símbolo de Integral
💡Constante de Integración
💡Función
💡Ejercicios de Integración
💡Regla de Integración
Highlights
Introducción al curso de integrales y su relación con la derivación.
Definición de integrar como la operación inversa a la derivación.
Ejemplo de operaciones inversas: factorización como la inversa de la multiplicación.
Demostración de la factorización a través de un ejemplo sencillo.
Ejemplo de integración: encontrar la función original a partir de su derivada.
Explicación del símbolo de integral y su significado.
Procedimiento para escribir la integral de una función.
Importancia de la constante 'c' en las integrales como resultado de múltiples posibles primitivas.
Ejercicio práctico: derivación de funciones para encontrar la integral.
Análisis de que no hay una única función cuya derivada sea 6x, sino múltiples.
Introducción a la noción de primitiva o integral de una función.
Ejemplo de cómo la integral de 6x es 3x al cuadrado más una constante.
Invitación a los estudiantes a practicar el cálculo de integrales.
Anuncio de futuras lecciones para aprender a integrar cualquier función.
Conclusiones del curso y llamado a suscribirse y compartir el contenido.
Transcripts
[Música]
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de integrales y
ahora veremos una pequeña introducción a
este tema y pues primero que todo
debemos hablar de qué es integrar
entonces integrar es una operación que
se le hace a las funciones entonces qué
es integrar es la operación inversa a
derivar obviamente si ustedes están
viendo integrales es porque acabaron de
ver si recientemente acabaron de ver la
derivación sí entonces ustedes se supone
que ya deben saber derivar entonces la
integración es lo contrario de derivar
les voy a poner un ejemplo aquí sí y
este es otro ejemplo de operaciones
inversas la factorización es una
operación inversa de la multiplicación
recordemos por qué voy a hacer aquí una
multiplicación sencilla obviamente si
nosotros multiplicamos un término por
dos términos acordémonos que se
multiplica en este caso esa equis por
los dos términos entonces aquí nos
quedaría x por eso es x xi colocándolos
en orden no puedo colocar x
x + x por b que es b x si pero si yo
llego a factorizar esto si miren que
aquí en este caso esto se podría
factorizar por factor común entonces yo
lo que diría si quisiera factorizar esto
sería x es el factor común entonces
colocó la
y como ese es el factor común aquí
dentro del paréntesis coloco esto que
está aquí sin la equis entonces a x sin
la equis es la an más bx sin la b sin la
equis da b y miren que aquí multiplique
y cuando factor hice que fue lo que hice
me devolví a lo que tenía al comienzo si
entonces si yo me voy de la parte
izquierda a la derecha si desde aquí
llegué acá estoy
multiplicando pero si me voy de la
derecha a la izquierda lo que estoy
haciendo es la operación inversa o sea
estoy factor y sando vamos a ver un
ejemplo ahora sí con la integración por
ejemplo si nos dicen que derivamos esta
función entonces supongo que ya saben
derivar no acordémonos que para derivar
entonces multiplicamos estos dos
entonces 3 por 2
x y a la equis le restamos 1 entonces
quedaría 1 que fue lo que hicimos acá
para pasar a este lado lo que hicimos
fue derivar bueno aclarando lo con
respecto a x no entonces lo que hicimos
fue derivar si me dicen encuentre la
derivada de 3x al cuadrado cuales 6x
pero lo contrario si me llegaron a
preguntar 6x era la derivada de algo
cuál era ese valor entonces lo que me
están preguntando es la integral vuelvo
a decirle si me llegaran a preguntar en
este caso haga la integral de 6x lo que
me están preguntando es 6x era la
derivada de cuál valor entonces la
respuesta sería la integral de 6x es
3x al cuadrado si ya no nos vamos hacia
la derivada si no empezamos a pensar
cuál es la integral entonces aquí en
esta parte esta se llama la derivada sí
pero la que estaba al comienzo se llama
la integral o la primitiva también se le
puede llamar ahora vamos a hablar del
símbolo que fueron supongo que de pronto
ya lo vieron entonces cómo se hace para
escribir o para simbolizar la integral
simplemente se escribe de esta forma se
hace un como algo como una s alargada y
se escribe la función que vamos a
integrar generalmente se le agrega este
de x que esto quiere decir que se derivó
con respecto a x y en este caso que toca
integrar con respecto a x ya nosotros no
sabemos esto esto como se lee se lee la
integral de 6x de x osea lo que nos
están preguntando es cuál era la función
que al derivar la nos dio 6x de x
nosotros ya lo sabemos pues porque acabo
de hacer el ejercicio la derivada era 3x
al cuadrado por qué pues porque si esto
lo derivamos
nos dan 6x sí porque 3 x 2 6 x y el
exponente es el resto 1 pero
generalmente a las integrales al
resultado se les agrega más c porque voy
a hacer aquí un ejercicio para
aclararles esta parte cita si si me
dicen derive esta función entonces al
derivar esta función que es lo que
hacemos 3 x 2 6 x y se le resta 1 el
exponente entonces 6 x más la derivada
de 10 que es 0 aquí la misma una
derivada similar derivamos nuevamente 3
x 2 6 x y el exponente se le resta 1 -
la derivada de 5 que es 0 pero pues
obviamente aquí dice + 0 entonces si se
lo puede borrar menos 0 también lo puede
borrar y si vamos a sacar esta derivada
también primera función segunda y
tercera función la derivada de esta
función
nuevamente 3 x 2 2 6 x y el exponente se
le resta 1 entonces miremos que la
derivada de esta función es 6x
esta función también es 6x y de esta
función es 6x entonces miren que aquí
nos están preguntando es cuál era la
función que al derivar la le dio 6x
miren que no hay solamente una función
que al derivar la mesma de 6x en este
caso pues hay 3 porque yo puse tres
ejemplos pero si ustedes se dan cuenta
lo importante es que todas tienen esto
3x al cuadrado
y no importa si está solo o si se le
está sumando un número o si se le está
restando un número siempre la derivada
va a dar 6x entonces por eso es que aquí
se le describe más ce esto que quiere
decir que es 3x al cuadrado la primitiva
así esta es la primitiva de 6x ésta
también es la integral de 6x y la
integral de 6x entonces aquí lo que
estamos diciendo es la integral de 6x es
3x al cuadrado pero no se sabe si le
sumamos un número que es una constante o
le podemos restar una constante por eso
siempre se le coloca este más c porque
hay muchas respuestas que van a ser 3 x
al cuadrado con algo bueno con esto
damos por terminada la introducción a la
integral como siempre por último les voy
a dejar un ejercicio para que ustedes
practiquen ya saben que pueden pausar el
vídeo lo que ustedes van a hacer es
encontrar estas dos integrales si
recordemos que lo que tienen que hacer
es buscar algo que al derivar lo de 8x
y algo que al derivar lo de 5 y la
respuesta va a aparecer en 321 estas
eran las respuestas y bueno obviamente
en los siguientes vídeos lo que vamos a
ver es cómo saber rápidamente cuál es la
integral o porque ésta es la integral de
cualquier función listos en este caso
era 4x al cuadrado porque porque si
derivamos esto nos da 8x si aquí bajamos
el exponente de 2 por 48 x y se le resta
1 entonces da 8 x aquí si sacamos la
integral se al derivar esta parte si la
derivada de 5 x 5 por eso es que esta es
la integral como les digo los siguientes
vídeos obviamente vamos a ver cómo saber
o cuáles son las reglas para integrar
cualquier función bueno amigos espero
que les haya gustado la clase recuerden
que pueden ver el curso completo de
integrales disponible en mi canal los
invito a que se suscriban comenten
compartan y le den laical vídeo y no
siendo más
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