Área bajo la curva (Cálculo integral) Método de rectángulos. EJEMPLO 2
Summary
TLDREn este segundo vídeo, se explica cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos. La función elegida es 0.3x^2 + 2, y se utiliza un intervalo de 0 a 4 dividido en rectángulos de base de una unidad. Se detallan los pasos para trazar los límites, evaluar la función en puntos clave y calcular las alturas correspondientes. Luego, se suman las áreas de los rectángulos para obtener una aproximación del área total, demostrando que el método es flexible y puede adaptarse a diferentes intervalos y tamaños de rectángulos.
Takeaways
- 😀 Este es un segundo vídeo o ejercicio sobre cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos.
- 📐 La función utilizada en el ejemplo es 0.3x^2 + 2.
- 🔍 Se explica que la metodología para aproximar el área es la misma para cualquier función, y se hace referencia a un primer vídeo para más detalles.
- 📏 Se decide utilizar rectángulos con una base de una unidad de ancho en lugar de dos, para mostrar la flexibilidad en el tamaño de los rectángulos.
- 📈 Se elige el intervalo de cero a cuatro para evaluar la función, lo que resultará en cuatro rectángulos.
- 📍 Se enfatiza la importancia de la intersección entre la función y la altura de los rectángulos, que se determina en los puntos centrales de cada intervalo.
- 🎨 Se utilizan colores diferentes para cada rectángulo y su altura correspondiente para facilitar la visualización y el cálculo.
- ✅ Se calculan las alturas de los rectángulos evaluando la función en los puntos 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5.
- 📊 Se calcula el área de cada rectángulo multiplicando la base (1 unidad) por su altura correspondiente.
- 🔢 Se suman las áreas de los cuatro rectángulos para obtener una aproximación del área total bajo la curva, que resulta en 14.3 unidades al cuadrado.
Q & A
¿Cuál es el objetivo principal del segundo vídeo mencionado en el guion?
-El objetivo principal es enseñar cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos, con una función específica y un intervalo determinado.
¿Cuál es la función utilizada en el ejemplo del vídeo?
-La función utilizada en el ejemplo es 0.3x^2 + 2.
¿Cómo cambia la metodología de solución si se usan rectángulos con bases de diferente tamaño?
-La metodología de solución se mantiene la misma, pero el tamaño de los rectángulos inscritos dependerá del intervalo elegido, afectando la precisión de la aproximación.
¿Por qué es importante la elección del intervalo en la aproximación del área bajo la curva?
-La elección del intervalo afecta directamente al número de rectángulos necesarios y, por ende, a la precisión de la aproximación del área. Un intervalo más grande requiere menos rectángulos, mientras que uno más pequeño requiere más.
¿Cuál es la base de los rectángulos utilizados en el ejemplo del vídeo?
-En el ejemplo, la base de los rectángulos es de una sola unidad, lo que permite formar cuatro rectángulos en el intervalo de 0 a 4.
¿Cómo se deciden los puntos de corte para trazar la altura de los rectángulos?
-Los puntos de corte se deciden evaluando la función en los puntos centrales de los intervalos dentro del intervalo total, en este caso, en 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5.
¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular el área de un rectángulo en este contexto?
-La fórmula utilizada para calcular el área de un rectángulo es base por altura, donde la base es de una unidad y la altura se calcula a partir de la función en el punto de corte.
¿Cómo se calcula la altura de los rectángulos en el ejemplo del vídeo?
-La altura de los rectángulos se calcula evaluando la función en los puntos de corte correspondientes y multiplicando el resultado por 0.3, sumando 2 al producto.
¿Cuál es el resultado aproximado del área total bajo la curva utilizando los cuatro rectángulos?
-El área total aproximada bajo la curva es de 14.3 unidades al cuadrado.
¿Cómo se puede mejorar la precisión de la aproximación utilizando rectángulos inscritos?
-La precisión de la aproximación se puede mejorar reduciendo el tamaño de la base de los rectángulos, es decir, aumentando el número de rectángulos inscritos en el intervalo.
Outlines
📐 Introducción al cálculo de área bajo la curva con rectángulos inscritos
Este párrafo presenta el segundo vídeo sobre el cálculo del área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos. La función en cuestión es 0.3x^2 + 2. Se explica que el método para aproximar el área es el mismo que en el primer vídeo, pero se utilizarán rectángulos con base de una unidad en lugar de dos. El objetivo es mostrar que se puede inscribir rectángulos de cualquier tamaño deseado. Se decide evaluar la función en el intervalo de 0 a 4, lo que resultará en cuatro rectángulos. Se detalla cómo se trazan los límites y se inscribirán los rectángulos, poniendo atención en la intersección de la función con los bordes superiores de los rectángulos.
🔢 Cálculo de alturas y áreas de los rectángulos
En este apartado, se procede a calcular las alturas de los cuatro rectángulos inscritos en el intervalo de 0 a 4. Se evalúa la función en los puntos 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5, que corresponden a la mitad de cada intervalo para cada rectángulo. Se presentan los cálculos paso a paso, utilizando colores diferentes para cada altura, y se suman los resultados de la función evaluada a los puntos correspondientes. Se detallan los cálculos numéricos para cada altura y se eliminan los trazos innecesarios para tener una visualización clara de los rectángulos con sus alturas correspondientes.
📊 Sumación de áreas para obtener la aproximación total
El último párrafo del guion describe cómo se calcula el área total a partir de las áreas de los cuatro rectángulos individuales. Se suman las áreas calculadas en el párrafo anterior, y se obtiene un resultado total de 14.3 unidades al cuadrado como aproximación del área bajo la curva. El vídeo concluye con un llamado a la acción para que los espectadores den like si les gustó el contenido y se anuncia el próximo vídeo.
Mindmap
Keywords
💡Aproximación
💡Rectángulos inscritos
💡Función
💡Base del rectángulo
💡Altura del rectángulo
💡Área
💡Intervalo
💡Evaluación
💡Suma
💡Colores
Highlights
Introducción al segundo ejercicio de aproximación del área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos.
Explicación de que la metodología para aproximar el área bajo la curva es la misma para cualquier función.
Comparación con el primer vídeo sobre la aproximación del área usando rectángulos.
Decisión de usar rectángulos con base de una unidad en lugar de dos para una mejor visualización.
Importancia de la elección del intervalo para determinar el tamaño de los rectángulos.
Estrategia para inscribir rectángulos en un intervalo de cero a cuatro con base de una unidad.
Procedimiento para trazar los límites y dividir el intervalo en cuatro partes iguales.
Determinación de la altura de los rectángulos a través de la intersección con la función en el centro de cada rectángulo.
Evaluación de la función en los puntos de corte central de cada rectángulo.
Coloreado de las alturas de los rectángulos para facilitar la identificación y cálculo.
Cálculo de las alturas para los puntos 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5 de la función 0.3x^2 + 2.
Explicación paso a paso del cálculo de las áreas de los rectángulos.
Sumatoria de las áreas de los cuatro rectángulos para obtener una aproximación del área total.
Resultado final de la aproximación del área total debajo de la curva.
Invitación a los espectadores a dar like si les gustó el vídeo.
Anuncio del próximo vídeo en la serie.
Transcripts
hola que tal espero que se encuentren
bastante bien este es el segundo vídeo o
un segundo ejercicio de aproximación del
área bajo en la curva utilizando
rectángulos inscritos la función ahora
va a ser 0.3 x al cuadrado más 2 la
metodología de solución para cualquier
función es exactamente la misma si no
has visto el primer vídeo te lo dejo
aquí arriba para que pasa echarle un
vistazo y sepas de que te estoy hablando
o como resolví el primer ejercicio
la variante ahora es que en el vídeo
anterior yo había utilizado rectángulos
que tenían como base dos unidades ahora
voy a hacerlo de una sola unidad para
que ustedes vean que lo podemos hacer
con bases del tamaño que nosotros
querramos solamente hay que poner
especial atención en la parte superior
del rectángulo en donde vamos a tener
los cortes o la intersección con la
función que nosotros vamos a decidir
aquí por ejemplo yo voy a decidir que la
función la voy a evaluar en el intervalo
desde cero a cuatro eso va a depender
muchísimo de lo que es un maestro a
usted le ponga como ejercicio por
ejemplo puede ser que lo pongan de 0
hasta 10 de 0 hasta 15 yo lo puedo hacer
de 0 hasta 3
0 a 2 etcétera etcétera dependiendo del
intervalo va a ser el tamaño de los
rectángulos que ustedes van a escribir
perdón van a inscribir ahora si yo tengo
un intervalo desde cero a cuatro y yo
quiero hacer rectángulos con base de dos
unidades yo podría hacerlo sin ningún
problema solamente que nada más tendría
yo dos rectángulos ya que aquí tendría
el primero y aquí tendría el segundo por
ese motivo yo lo voy a hacer de una sola
unidad para que tengamos el cálculo de
cuatro rectángulos y así puedan ver
ustedes que puedo utilizar la cantidad
de rectángulos que yo quiera siempre y
cuando sigan el mismo procedimiento
entonces como yo lo voy a evaluar desde
cero hasta cuatro lo que voy a hacer
primero que nada sería trazar los
límites en donde yo voy a estar
trabajando vamos a poner una línea que
esté realmente recta esa sería una y en
la otra sería del límite hasta cuatro ya
que ahí tengo mi intervalo
ahí tendríamos eso como yo necesito
tener cuatro rectángulos lo voy a hacer
con base de una sola unidad entonces voy
a trazar cuatro líneas que tengamos en
el intervalo 1 aquí va a ser en el punto
2 y aquí tendría otro que voy a hacer en
el punto 3 ya tengo mis 4 líneas para
formar mis 4 rectángulos ahora me hace
falta decidir dónde voy a trazar la
altura de esos rectángulos recuerden que
para trazar la altura yo necesito que
esa altura corte con la función osea en
estos puntos en la parte central de ese
rectángulo por ejemplo si nosotros vemos
aquí
esto necesitamos que aquí tengamos esta
parte es la central ya que tenemos 2.5
unidades y aquí son 2.5 unidades por lo
tanto yo voy a trazar aquí en esta parte
la altura del triángulo digo del
rectángulo ahí tendríamos entonces esa
primera parte del rectángulo ahora voy a
fijarme en esta otra tengo que checar ya
saben aquí sería la mitad ya que aquí
tengo 2.5 y 2.5 unidades entonces aquí
tendría que cortar esa línea que va a
ser la base superior de ese rectángulo
tendríamos que poner acá la línea
de esta forma y ahí lo tenemos me voy
con el siguiente rectángulo me voy a dar
cuenta que aquí está a la mitad de esta
línea por lo tanto aquí lo debo de
cortar vamos a hacer la línea de dibujar
la línea ahí lo tendríamos y luego nos
vamos con el último vamos a ver que aquí
lo tendríamos a la mitad y aquí sería a
la mitad por lo tanto vamos a trazar la
línea y vamos a completar esta otra
línea para que ya tengamos fijado
nuestros cuatro rectángulos ahora vamos
a ahorrar un poquito estas pequeñas
líneas que me quedaron de sobra y listo
ya tenemos entonces nuestros cuatro
rectángulos ahora lo que hace falta es
calcular las alturas para que no me vaya
a confundir o no los voy a confundir a
ustedes voy a poner las alturas de un
color para cada uno de los rectángulos
que tengo aquí vamos a tener la primera
altura vamos a poner de azul luego vamos
a elegir otro color vamos a ponerle un
verde esta va a ser la segunda altura
vamos a elegir el color amarillo a ver
si se ve no casi no se ve vamos a
escribir entonces con otro color azul
marino
esta sería la siguiente altura y bueno
vamos a poner el color morado para la
última altura que tendríamos
si no fue un poco chueco tenemos cuatro
colores diferentes por lo tanto voy a
calcular primero que nada las alturas
porque las alturas porque recuerdan que
como yo necesito calcular el área de sus
rectángulos las bases ya lo conozco yo
sé que esta base es una unidad esta vale
1 esta vale 1 y esta vale 1 por lo tanto
lo que yo voy a hacer nada más es
calcular la altura de todos esos
rectángulos cómo lo vamos a hacer
ustedes pueden observar que aquí esto
está en 0.5
esto está en 1.5
esto está en 2.5 y esto está en 3.5 por
lo tanto la función de esa curva yo la
voy a estar evaluando en esos cuatro
valores recuerden 0.5 1.5 2.5 y 3.5 de
hecho lo voy a hacer con los colores que
tengo por acá para que no nos vayamos a
confundir vamos a poner entonces la
función evaluada en 0.5
me va a quedar igual a 0.3 por 0.5
elevado al cuadrado más 2 luego lo
tenemos de color verde y ya va a ser
ahora para 1.5 por lo tanto voy a
escribir acá efe
no lo cambia de color vamos a cambiarlo
sería entonces
efe de 1.5 va a ser igual la función va
a ser la misma lo único que voy a
cambiar es el valor de x ahora voy a
poner 1.5 al cuadrado + 2 luego me voy
con el color azul marino que sería el de
este triángulo que tenemos acá está
evaluado en 2.5 vamos a hacer la
evaluación en 2.5 va a ser igual a 0.3 x
2.5 elevado al cuadrado más 2 y por
último tenemos la altura de morado que
aquí la vamos a tener que evaluar en 3.5
entonces sería efe de 3.5 es igual a 0.3
por 3.5 elevado al cuadrado más 2 y
bueno hay que hacer todos esos cálculos
es muy sencillo vamos a calcular 0.5 al
cuadrado 0.5 al cuadrado va a ser igual
a 0.25 x 0.3 me da cero punto 0 75 y eso
lo voy a sumar 2 por lo tanto el
resultado sería 2
2 075 ese sería mi primer resultado
vamos a hacer el cálculo del siguiente
sería 1.5 al cuadrado 1.5 al cuadrado
son 2.25 eso multiplicado por 0.3 me va
a dar igual a cero puntos 675 y si le
sumo dos
entonces me va a dar 2.675 y ahí lo
tendríamos lo que sigue también lo voy a
hacer fácilmente 2.5 al cuadrado 2.5 al
cuadrado es igual a 6.25 y ese resultado
lo voy a multiplicar por 0.3 y a ese
resultado le voy a sumar 2 me quedaría
como resultado 3.875 y por último nos
vamos con el de moradito si yo efecto la
operación del morado así rápidamente me
daría como resultado 5.675 y con esto ya
tengo calculadas las alturas de todos
esos
en rectángulos voy a borrar esas líneas
que les dice a cada rectángulo y voy a
escribir por allá las alturas que
tenemos bueno ahí tendríamos ya escrita
todas las alturas que acabo de calcular
ahora lo que sigue es bastante fácil ya
que tengo que calcular las áreas ustedes
recuerden que el área de un rectángulo
lo voy a poner como área subíndice r va
a ser igual la base por altura como las
bases son de una unidad pues quiere
decir que uno va a estar multiplicado
por la altura lo voy a hacer aquí voy a
poner rectángulo rectángulo 1 rectángulo
2 rectángulo 3 y rectángulo 4 lo voy a
hacer paso a paso si alguien quiere
saltarse este este procedimiento lo
puede hacer pero yo lo voy a hacer paso
a paso entonces el área del rectángulo 1
va a ser igual a la base que es 1 x la
altura que vale 2 puntos 0.75 entonces
me daría 2 puntos 0 75 unidades al
cuadrado
si hago lo mismo con el área del
rectángulo 2 voy a poner área del
rectángulo 2 va a ser igual a 1
multiplicado por la altura que vale
2.675 entonces me daría 2.675 unidades
al cuadrado y ya que se dieron cuenta
que las demás áreas me van a dar lo
mismo que tengo como altura porque como
la base es de una unidad pues todo lo
que multiplicó por 1 me va a dar lo
mismo entonces ya sin hacer los demás
cálculos puedo poner que el área del
rectángulo número 3 va a ser igual a
3.875 el área del rectángulo número 4 va
a ser igual a 5.675 unidades al cuadrado
y unidades al cuadrado con eso ya tengo
todas las 4 varias calculadas que es lo
que me interesaba el área de estos
cuatro rectángulos para calcular el área
total o la aproximación del área total
debo de sumar el área de sus cuatro
rectángulos por lo tanto voy a escribir
rápidamente
área total va a ser igual
ahí tenemos la expresión de la suma por
lo tanto el área total es igual a 14.3
unidades al cuadrado y entonces ese
sería el resultado y hasta aquí vamos a
dejar el vídeo si te gustó regálame un
like y nos vemos en el próximo vídeo
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