MÉTODO DE ARQUÍMEDES PARA CALCULAR EL ÁREA DE UNA CIRCUNFERENCIA

Rodolfo Sandín Vargas

25 Nov 202005:37

Summary

TLDREn este video, se explora el estudio de la integral definida y las sumas de Riemann, iniciando con los antecedentes históricos de Arquímedes, quien en el siglo 3 a.C. calculó áreas y superficies, contribuyendo significativamente al concepto de pi y el área de una circunferencia. Se ilustra el método de Arquímedes para calcular el área de una circunferencia utilizando rectángulos inscritos y circunscritos, comparándolo con la fórmula actual de pi multiplicado por el radio al cuadrado. El resultado del método empírico de Arquímedes se aproxima notablemente al valor obtenido por la fórmula matemática.

Takeaways

📚 La clase trata sobre el estudio de la integral definida y las sumas de Riemann.
👨‍🔬 Arquímedes, en el siglo 3 a.C., fue el primero en calcular áreas y superficies, contribuyendo significativamente a la física y las matemáticas.
🔍 Arquímedes introdujo el concepto de pi y el cálculo del área de una circunferencia, lo cual fue fundamental para futuras investigaciones.
🌐 Newton, Leibniz, Barrow y Riemann son matemáticos posteriores que continuaron el trabajo iniciado por Arquímedes.
📐 El problema inicial de Arquímedes era calcular el área de figuras geométricas, comenzando con la circunferencia.
📏 Se trazaron dos circunferencias con el mismo radio de 5 centímetros para ilustrar el método de Arquímedes.
🔶 Se utilizaron rectángulos inscritos y circunscritos para estimar el área de las circunferencias.
📏 Los rectángulos tienen una base de 1 centímetro y alturas variables, dependiendo de su posición en relación con la circunferencia.
📊 Se calculó el área de cada rectángulo inscrito y circunscrito, sumando un total de 69 cm² para los inscritos y 83,6 cm² para los circunscritos.
🧮 El método de Arquímedes propone calcular el área de la circunferencia como la suma de las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos dividida entre 2, obteniendo así aproximadamente 76,3 cm².
📌 Se comparó el resultado del método de Arquímedes con la fórmula exacta de pi (pi × radio²), obteniendo un área de 78,54 cm², lo que muestra la proximidad del método empírico a la solución exacta.

Q & A

¿Quién fue la primera persona en calcular áreas o superficies matemáticamente?
-La primera persona en calcular áreas o superficies matemáticamente fue Arquímedes en el siglo 3 antes de nuestra era.
¿Qué aportó Arquímedes a las matemáticas además de su método de cálculo de áreas?
-Además de su método de cálculo de áreas, Arquímedes aportó dos términos importantes a las matemáticas: el concepto de pi y el cálculo del área de una circunferencia.
¿Qué es el método de Arquímedes para calcular el área de una circunferencia?
-El método de Arquímedes para calcular el área de una circunferencia consiste en inscribir y circunscribir rectángulos dentro y fuera de la circunferencia y calcular el área de cada uno. Luego, se suman las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos y se dividen entre 2 para obtener el área de la circunferencia.
¿Cuál es el significado de 'inscritos' y 'circunscritos' en el contexto del método de Arquímedes?
-En el contexto del método de Arquímedes, 'inscritos' se refiere a los rectángulos que están dentro de la circunferencia, mientras que 'circunscritos' se refiere a los rectángulos que están tocando la parte exterior de la circunferencia.
¿Cómo se determinó la base de los rectángulos en el ejemplo del script?
-En el ejemplo del script, la base de los rectángulos se determinó arbitrariamente como un centímetro, tanto para los rectángulos inscritos como para los circunscritos.
¿Cuántos rectángulos inscritos y circunscritos se utilizaron en el ejemplo del script para calcular el área de la circunferencia?
-En el ejemplo del script, se utilizaron nueve rectángulos inscritos y diez rectángulos circunscritos para calcular el área de la circunferencia.
¿Cuál fue el resultado del cálculo empírico del área de la circunferencia utilizando el método de Arquímedes en el ejemplo del script?
-El resultado del cálculo empírico del área de la circunferencia utilizando el método de Arquímedes en el ejemplo del script fue de 76.3 centímetros cuadrados.
¿Cuál es la fórmula teórica para calcular el área de una circunferencia y cuál fue el resultado en el ejemplo del script?
-La fórmula teórica para calcular el área de una circunferencia es pi multiplicado por el radio al cuadrado. En el ejemplo del script, el resultado utilizando esta fórmula fue de 78.54 centímetros cuadrados.
¿Cómo se compara el resultado del método empírico de Arquímedes con la fórmula teórica para el área de una circunferencia?
-El resultado del método empírico de Arquímedes (76.3 cm²) se compara con la fórmula teórica (78.54 cm²) para observar la similitud y la precisión del método antiguo en comparación con la fórmula moderna.
¿Quiénn investigadores y matemáticos posteriores se mencionan en el script como continuadores del trabajo de Arquímedes?
-En el script se mencionan a Newton, Leibniz, Barrow y Riemann como investigadores y matemáticos posteriores que continuaron el trabajo de Arquímedes.
¿Cuál es la relevancia de los sumatorios (suma griega sigma) en el método de Arquímedes para calcular áreas?
-La relevancia de los sumatorios en el método de Arquímedes es para agregar todas las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos, lo cual es fundamental para estimar el área de la circunferencia.

Outlines

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📚 Estudiando Integrales Definidas y Sumas de Riemann

El primer párrafo introduce el tema de la integral definida y las sumas de Riemann, explicando su representación gráfica. Se menciona a Arquímedes como pionero en el cálculo de áreas y superficies en el siglo III a.C., destacando su contribución al concepto de pi y el área de una circunferencia. El script describe el método de Arquímedes para calcular áreas mediante rectángulos inscritos y circunscritos dentro de dos círculos de radio 5 centímetros, utilizando un base de 1 centímetro para los rectángulos. Se calculan las áreas de estos rectángulos y se suman para estimar el área de la circunferencia, obteniendo un resultado de 76.3 centímetros cuadrados, que se compara con la fórmula exacta de pi multiplicado por el radio al cuadrado.

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🔍 Comparativo entre el Método de Arquímedes y la Fórmula Exacta

El segundo párrafo presenta un comparativo entre el resultado empírico obtenido por el método de Arquímedes y el cálculo exacto de la fórmula de la circunferencia. El script compara el área estimada de 76.3 centímetros cuadrados con el resultado de la fórmula pi * radio^2, que da como resultado 78.54 centímetros cuadrados. Esto demuestra la proximidad y utilidad del método de Arquímedes, a pesar de ser una aproximación, al resultado teórico exacto.

Mindmap

Keywords

💡Integral definida

La integral definida es un concepto fundamental del cálculo integral, que permite calcular el área bajo una curva en un intervalo determinado. En el guion, se menciona que se estudiarán las integrales definidas de manera gráfica, lo que implica visualizar y calcular áreas a través de métodos históricos como los utilizados por Arquímedes.

💡Sumas de Riemann

Las sumas de Riemann son una técnica utilizada en el cálculo para aproximar áreas bajo curvas mediante la suma de áreas de rectángulos. En el guion, se estudian las sumas de Riemann en relación con los métodos de cálculo de áreas que ya se habían visto, y se relaciona con los métodos de Arquímedes al calcular áreas mediante rectángulos inscritos y circunscritos.

💡Arquímedes

Arquímedes es un matemático y físico antiguo considerado uno de los más importantes en la historia de la matemática. En el guion, se destaca su contribución al cálculo de áreas y a la aproximación del valor de pi, lo cual es fundamental para entender el desarrollo histórico del cálculo integral.

💡Circunferencia

Una circunferencia es la curva formada por todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto fijo, llamado centro. En el guion, se menciona el cálculo del área de una circunferencia como el problema inicial que Arquímedes abordó, utilizando rectángulos inscritos y circunscritos para aproximar el área.

💡Rectángulos inscritos y circunscritos

En el guion, se describe el método de Arquímedes de trazar rectángulos inscritos (dentro de la circunferencia) y circunscritos (fuera de la circunferencia) para calcular áreas. Estos conceptos son clave para entender cómo se aproximan las áreas bajo curvas utilizando rectángulos, y se relacionan directamente con las sumas de Riemann.

💡Base y altura

La base y la altura son las dimensiones utilizadas para calcular el área de un rectángulo (base por altura). En el guion, se menciona que la base de los rectángulos es de un centímetro y la altura varía según la posición del rectángulo con respecto a la circunferencia, siendo fundamental para el cálculo de áreas.

💡Sumatoria

La sumatoria es un concepto del álgebra que se utiliza para sumar una serie de términos. En el guion, se utiliza la sumatoria para agregar las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos, lo que es esencial para aproximar el área de la circunferencia según el método de Arquímedes.

💡Promedio

El promedio es un concepto estadístico que se utiliza para encontrar un valor central de un conjunto de datos. En el guion, se calcula el área de la circunferencia tomando el promedio de las sumas de áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos, lo cual ilustra cómo se utiliza el promedio para obtener una aproximación más precisa.

💡Número pi (π)

El número pi, representado por la letra griega π, es una constante matemática irracional que aparece en la geometría como el ratio de la circunferencia de un círculo al diámetro. En el guion, se menciona cómo Arquímedes contribuyó al cálculo de áreas y al concepto de pi, que es esencial para la fórmula del área de una circunferencia (pi multiplicado por el radio al cuadrado).

💡Área

El cálculo del área es una operación fundamental en la geometría que se refiere a la cantidad de espacio bidimensional que ocupa un objeto. En el guion, el cálculo del área de una circunferencia es el objetivo principal, utilizando métodos históricos y matemáticos para aproximar y calcular este valor.

Highlights

Estudio de integrales definidas y sumas de Riemann

Arquímedes, el primer matemático que calculó áreas y superficies en el siglo 3 a.C.

Contribuciones de Arquímedes al concepto de pi y al cálculo de áreas en fin elementos

Influencia de Arquímedes en investigadores posteriores como Newton, Leibniz, Barrow y Riemann

Método de Arquímedes para calcular el área de una circunferencia

Traza de dos circunferencias del mismo radio para comparar áreas

Rectángulos inscritos y circunscritos utilizados en el método de Arquímedes

La base de los rectángulos en el método de Arquímedes es constante

Diferencia entre rectángulos inscritos y circunscritos en términos de su posición relativa a la circunferencia

Cálculo del área de los rectángulos inscritos y circunscritos

Sumatoria de las áreas de los nueve rectángulos inscritos

Sumatoria de las áreas de los diez rectángulos circunscritos

El método de Arquímedes sugiere que el área de la circunferencia es la media de las sumas de áreas inscritas y circunscritas

Resultado del cálculo de la circunferencia usando el método de Arquímedes: 76.3 centímetros cuadrados

Comparación del resultado del método de Arquímedes con la fórmula actual (pi x radio al cuadrado)

Resultado de la fórmula actual para el área de la circunferencia: 78.54 centímetros cuadrados

La similitud entre el método empírico de Arquímedes y la fórmula matemática actual