Todas las posibles ternas pitagóricas, visualizadas
Summary
TLDREste video explica el teorema de Pitágoras y cómo se relaciona con las ternas pitagóricas, que son conjuntos de tres números enteros donde la suma de los cuadrados de los dos menores es igual al cuadrado del mayor. Se muestra un método para generar estas ternas utilizando números complejos y se exploran diversas propiedades matemáticas. También se menciona la historia y la importancia del teorema en la matemática antigua, y se incluye una demostración visual y algebraica del teorema. Finalmente, se discute la relación con los puntos racionales en un círculo unitario.
Takeaways
- 📚 El Teorema de Pitágoras afirma que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
- 🔍 Se menciona que existen ejemplos de triángulos rectángulos con longitudes de los catetos y la hipotenusa que son números enteros, como el triángulo 3-4-5.
- 📐 Se destaca que hay casos en los que la suma de dos cuadrados perfectos resulta en otro cuadrado perfecto, pero esto no ocurre para exponentes mayores que 2, haciendo referencia al último teorema de Fermat.
- 🔢 Se define una terna pitagórica como un conjunto de tres números enteros (a, b, c) donde (a^2 + b^2 = c^2).
- 📘 Se menciona la antigüedad del problema, con referencia a tabletas babilónicas de 1800 a.C. que listan ternas pitagóricas.
- 🎨 Se comparte una demostración visual del teorema de Pitágoras, usando cuadrados y triángulos para representar la relación entre los catetos y la hipotenusa.
- 📍 Se establece una relación entre encontrar ternas pitagóricas y puntos de la rejilla con coordenadas enteras que están a una distancia entera del origen.
- 🧩 Se describe un método para generar ternas pitagóricas no triviales a través de la multiplicación de números complejos y su representación en el plano complejo.
- 📉 Se discute cómo la elevación al cuadrado de puntos de la rejilla puede resultar en nuevas ternas pitagóricas, y cómo algunos puntos pueden generar múltiples soluciones.
- 🔄 Se muestra cómo el método de elevación al cuadrado puede ser utilizado para visualizar y comprender la distribución de las ternas pitagóricas en el plano complejo.
- 🔍 Se cuestiona la completitud del método, argumentando que todos los puntos racionales en el círculo unitario deberían ser alcanzables para garantizar que se encuentran todas las ternas pitagóricas posibles.
Q & A
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
-El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.
¿Qué es una terna pitagórica?
-Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros (a), (b) y (c) que cumplen con la ecuación (a^2 + b^2 = c^2).
¿Cuál es el método presentado en el video para encontrar ternas pitagóricas?
-El método consiste en elevar al cuadrado un número complejo con coordenadas enteras para generar una terna pitagórica.
¿Cómo se relacionan las ternas pitagóricas con los puntos en el plano?
-Encontrar ternas pitagóricas es equivalente a encontrar puntos en el plano con coordenadas enteras que estén a una distancia entera del origen.
¿Qué es un número complejo en el contexto del video?
-Un número complejo en el contexto del video se refiere a un punto en el plano complejo representado como (a + bi), donde (a) y (b) son números enteros.
¿Qué sucede cuando se eleva al cuadrado un número complejo?
-Al elevar al cuadrado un número complejo, se duplica el ángulo con la horizontal y se eleva al cuadrado su longitud, resultando en una nueva terna pitagórica.
¿Cuál es la importancia de los múltiplos de ternas pitagóricas en el método presentado?
-Los múltiplos de ternas pitagóricas se incluyen dibujando líneas desde el origen a través de los puntos generados, asegurando que no se omitan ternas pitagóricas que son múltiplos de otras ternas.
¿Cómo se relaciona el círculo unitario con las ternas pitagóricas?
-Al dividir la ecuación (a^2 + b^2 = c^2) por (c^2), se obtiene una ecuación que representa un punto en el círculo unitario con coordenadas racionales.
¿Por qué es importante que el método genere todas las pendientes racionales?
-Generar todas las pendientes racionales asegura que se encuentren todos los puntos racionales en el círculo unitario, garantizando que se generen todas las ternas pitagóricas posibles.
¿Qué relación hay entre las ternas pitagóricas y los puntos racionales en el círculo unitario?
-Cada terna pitagórica corresponde a un punto racional en el círculo unitario, y encontrar todos los puntos racionales en el círculo garantiza encontrar todas las ternas pitagóricas.
Outlines
📐 Introducción al Teorema de Pitágoras
Se presenta el Teorema de Pitágoras, explicando que la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Se mencionan ejemplos clásicos como los triángulos 3-4-5 y 5-12-13, y se introduce el Último Teorema de Fermat, que afirma que no hay soluciones enteras para exponentes mayores que 2. Además, se introduce el concepto de terna pitagórica.
🔍 Visualización de Ternas Pitagóricas
Se explica cómo encontrar todas las posibles ternas pitagóricas, mencionando la historia antigua de las matemáticas con tabletas babilónicas que ya listaban estas ternas. También se presenta una prueba visual del Teorema de Pitágoras usando cuadrados construidos en los lados de un triángulo. Luego, se reformula el problema de encontrar puntos de coordenadas enteras que estén a una distancia entera del origen en el plano complejo.
🔢 Generación de Ternas Pitagóricas
Se detalla un método para generar ternas pitagóricas utilizando números complejos. Al elevar al cuadrado un número complejo con coordenadas enteras, se obtiene una nueva terna pitagórica. Se ejemplifica este proceso con varios puntos, mostrando cómo al elevar al cuadrado se obtiene una terna. Se menciona que algunas ternas triviales pueden aparecer, pero el método en general es efectivo.
✨ Visualización Elegante de Ternas Pitagóricas
Se destaca cómo este método de elevar al cuadrado números complejos organiza las ternas pitagóricas de manera estructurada y visible en el plano complejo. Se explica que aunque algunas ternas no aparecen directamente, son múltiplos de otras ternas generadas por el método. Se utiliza una visualización de líneas radiales para incluir todos los múltiplos posibles y se proyectan estos puntos en un círculo unitario.
🎯 Completitud del Método y Conclusiones
Se concluye que el método de elevar al cuadrado números complejos genera todas las ternas pitagóricas posibles, al incluir todas las pendientes racionales en el círculo unitario. Se proporciona una explicación geométrica de por qué esto es así, asegurando que todos los puntos racionales del círculo unitario son cubiertos. Finalmente, se menciona un patrocinador que trabaja en optimización del transporte público, relacionando el contenido matemático con aplicaciones prácticas.
Mindmap
Keywords
💡Teorema de Pitágoras
💡Terna pitagórica
💡Último teorema de Fermat
💡Plano complejo
💡Números complejos
💡Pendiente racional
💡Círculo unitario
💡Racional
💡Múltiplos de ternas pitagóricas
💡Geometría del círculo
Highlights
El teorema de Pitágoras afirma que la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Se mencionan ejemplos clásicos de triángulos pitagóricos como 2-3-4 y 5-12-13.
Existen casos en los que la suma de dos cuadrados perfectos es otro cuadrado perfecto.
Cambio del exponente a un número entero mayor que 2 conduce a la pérdida de soluciones enteras, relacionado con el último teorema de Fermat.
Se define una terna pitagórica como una terna de números enteros (a, b, c) donde a^2 + b^2 = c^2.
Se discuten las antiguas tabletas babilónicas que listan ternas pitagóricas, predatando a Pitágoras.
Se comparte una demostración favorita del teorema de Pitágoras usando cuadros y triángulos.
Se reformula la búsqueda de ternas pitagóricas en términos de puntos de la rejilla con distancias enteras del origen.
Se introduce el concepto de plano complejo para facilitar la generación de ternas pitagóricas.
Se describe el proceso de elevar al cuadrado números complejos para obtener nuevas ternas pitagóricas.
Se ilustra cómo la multiplicación compleja puede ser vista tanto algebraica como geométricamente.
Se da un ejemplo práctico de cómo multiplicar un número complejo por sí mismo resulta en un triángulo pitagórico.
Se anima a los espectadores a experimentar con el método para encontrar triángulos pitagóricos.
Se discute cómo algunos resultados son triviales, como cuando las coordenadas del punto inicial son iguales o una es cero.
Se presenta una fórmula elegante para generar ternas pitagóricas a partir de coordenadas de puntos de la rejilla.
Se visualiza el movimiento de puntos en el plano complejo hacia su cuadrado, ilustrando la generación de ternas pitagóricas.
Se analiza la representación de puntos de la rejilla en el círculo unitario y su relación con ternas pitagóricas.
Se argumenta que el método de elevar al cuadrado de números complejos produce todas las pendientes racionales posibles.
Se concluye que el método propuesto garantiza encontrar todas las ternas pitagóricas posibles.
Se menciona Remix, una plataforma de planificación para el transporte público, en busca de ingenieros de software con experiencia en matemáticas.
Transcripts
cuando aprendiste por primera vez acerca
del teorema de pitágoras que dice que la
suma de los cuadrados de los catetos en
un triángulo rectángulo es siempre igual
al cuadrado de la hipotenusa puedo
adivinar que te familiarizas t con unos
pocos ejemplos tales como el triángulo
de la 2 3 4 y 5
o el triángulo de la 25 23
y creo que es seguro asumir que incluso
existen ejemplos donde la suma de los
dos cuadrados perfectos es otro cuadrado
perfecto pero recuerda en comparación
que si cambias el exponente a cualquier
otro número entero mayor que 2 pasas de
tener muchas soluciones enteras a no
tener ninguna solución este es el famoso
último teorema de fermat
ahora bien hay un nombre para cualquier
terna de números enteros abc donde al
cuadrado más b al cuadrado es igual a
sea al cuadrado se le llama terna
pitagórica
y lo que voy a hacer en este vídeo es
encontrar cada uno de los posibles
ejemplos y además lo haremos de modo que
puedas visualizar como cada una de esas
ternas encajan
esta es una cuestión de las más antiguas
en las matemáticas existen algunas
tabletas de arcilla babilónicas de 1800
antes de cristo- más de un milenio antes
del mismo pitágoras que lista en estas
ternas
y por cierto ya que hablamos del teorema
de pitágoras sería una pena no compartir
mi prueba favorita por si alguien no la
ha visto todavía
comenzamos dibujando un cuadrado en cada
cara del triángulo y si tomamos el
cuadrado de la 12 y añadimos 4 copias
del triángulo original alrededor suyo
obtenemos un gran cuadrado cuyo lado
tiene x longitud a más b pero también se
puede reordenar el cuadrado de lado a y
el del lado b junto con las 4 copias del
triángulo original para obtener un gran
cuadrado cuyo lado tiene x longitud
también a más b lo que esto significa es
que el espacio negativo de cada uno de
estos diagramas el área de ese gran
cuadrado menos 4 veces el área del
triángulo es desde una perspectiva
claramente al cuadrado más b al cuadrado
pero desde otra perspectiva es sea al
cuadrado
en cualquier caso volvamos a la cuestión
de cómo encontrar las soluciones enteras
comencemos por reformular la pregunta
ligeramente de entre todos los puntos en
el plano con coordenadas enteras es
decir los puntos del plano donde se
cruzan las líneas de la rejilla cuáles
son los que están a una distancia entera
del origen por ejemplo el punto 34 está
a una distancia 5 del origen y el punto
25 está a una distancia 13 del origen
por tanto encontrar las ternas
pitagóricas es completamente equivalente
a encontrar los puntos de la rejilla que
están a una distancia entera del origen
por supuesto para la mayoría de los
puntos como por ejemplo 21 la distancia
del origen no es un número entero pero
es al menos la raíz cuadrada de un
número entero en este caso 2 al cuadrado
mazón al cuadrado de 5 por lo que la
distancia la hipotenusa es la raíz
cuadrada de 5
ahora daremos el que puede parecer un
paso extraño pero que se justificará en
tan solo un momento pensemos en esto
como el plano complejo de forma que cada
uno de los puntos tales como 2 1 es en
realidad un número complejo individual
en este caso 2 más y esto nos da lugar a
una forma fácil de modificar el punto
para obtener un nuevo punto cuya
distancia del origen está garantizada
que sea un número entero basta con
elevarlo al cuadrado algebraica mente
cuando se eleva al cuadrado un número
complejo al expandir este producto y
ajustar todos los términos similares
dado que todo lo que se necesita es
multiplicar y sumar enteros está
garantizado que cada componente será un
entero en este caso se obtiene 3 + 4 y
pero también se puede pensar en la
multiplicación compleja de forma más
geométrica tomemos esta línea desde el
origen al número complejo y consideremos
el ángulo con el eje horizontal así como
su longitud que en este caso es la raíz
cuadrada de 5
el efecto de multiplicar cualquier otro
número por este número complejo es
rotarlo por ese ángulo y expandirlo en
un factor igual a esa longitud
de modo que cuando se multiplica el
número por sí mismo el efecto es
duplicar el ángulo y lo que es más
importante elevar al cuadrado su
longitud
puesto que la longitud inicial era la
raíz cuadrada de algún número entero
está garantizado que la longitud
resultante será un número entero en este
caso 5
ahora intentemos otro ejemplo comencemos
con algún número complejo que tenga las
coordenadas enteras tal como tres más
dos y en este caso la distancia entre
este número y el origen es la raíz
cuadrada de tres al cuadrado más dos al
cuadrado resultando la raíz cuadrada de
13
multipliquemos ahora este número
complejo por sí mismo la parte real
resulta ser 3 al cuadrado más 2 y al
cuadrado es decir 9 menos 4 y la parte
imaginaria es 3 por dos más dos por tres
por lo que el resultado es 512 y
y la magnitud de este nuevo número es 13
el cuadrado de la magnitud del número
inicial 32 y por tanto con tan solo
elevar al cuadrado nuestro número de la
rejilla elegido al azar obtenemos el
triángulo 5 12 13 hay algo mágico al ver
esto en funcionamiento casi parece que
estuviéramos haciendo trampa se puede
empezar con cualquier punto de la
rejilla del azar por ejemplo 4 massey y
simplemente tomando su cuadrado se
genera una terna pitagórica en este caso
4 más y al cuadrado es 15 más 8 y cuya
distancia del origen es 17
si juegas con esto lo cual te animo a
hacer verás que algunos de los
resultados son aburridos si ambas
coordenadas del punto inicial son la
misma o una de ellas es cero entonces la
terna al final incluirá el cero por
ejemplo 2 + 2 y al cuadrado es igual a 8
y
y aunque técnicamente este es realmente
un punto de la rejilla que está a una
distancia entera del origen la terna que
le corresponde es 0 al cuadrado más 8 al
cuadrado es igual a 8 al cuadrado lo
cual no es nada espectacular
en general este método de elevar al
cuadrado números complejos es una forma
sorprendentemente simple de generar
ternas pitagóricas no triviales
incluso se puede generalizar para
obtener una fórmula elegante si se
describen las coordenadas del punto
inicial como uribe entonces cuando se
calcula aún más b y al cuadrado la parte
real es o al cuadrado menos b al
cuadrado y la parte imaginaria es dos
veces uno por ver la distancia
resultante al origen será el cuadrado
más b al cuadrado
es casi hasta divertido trabajar con
esta expresión algebraica mente y ver
que ciertamente funciona y también es
entretenido sustituir algunos valores
enteros
para obtener una terna pitagórica
esencialmente hemos creado una máquina
donde al introducir cualquier par de
números devuelve una terna pitagórica
una forma realmente elegante de
visualizar esto que será familiar a
cualquiera que haya visto el vídeo sobre
la función zeta es ver como cada punto
ce está en el plano complejo se mueve
hacia el punto z de al cuadrado así por
ejemplo el punto 3 + 2 y se moverá hacia
5 + 12 y
el punto y rotar a 90 grados hacia su
cuadrado menos 1 el punto menos 1 se
moverá hacia uno etcétera ahora veamos
qué ocurre cuando se hace esto con cada
punto singular del plano incluyendo las
líneas de la rejilla que además
coloridas de forma que sea fácil de
seguir
por tanto las líneas de las rejillas se
convierten en estos arcos parabólicos y
cada punto donde estos arcos se cruzan
es un lugar donde se traslada un punto
de la rejilla por lo tanto corresponde a
alguna terna pitagórica es decir si
dibujas un triángulo cuya hipotenusa sea
la línea entre cualquiera de estos
puntos y el origen y cuyos catetos estén
sobre los ejes entonces estas tres
longitudes del triángulo serán números
enteros
lo que me encanta acerca de esta
aproximación es que normalmente cuando
se observan las ternas pitagóricas por
separado parecen completamente
aleatorias y desconectadas y podrías
estar tentado a decir que no hay un
patrón pero aquí tenemos muchas
colocadas de forma organizada justo en
las intersecciones de estas curvas
espaciadas agradablemente
ahora podrías preguntarte si aparecen
aquí todas las ternas pitagóricas
desgraciadamente no por ejemplo nunca
aparecerá el punto 6 + 8 y utilizando
este método incluso aunque 6 8 10 es una
eterna pitagórica perfectamente vale
simplemente no existen enteros tales que
uno más veía al cuadrado o sea 6 más 8 y
de igual modo nunca se encontrará 9 12 y
pero estas ternas no parecen nada
realmente nuevo verdad puesto que cada
uno de ellos se puede obtener
multiplicando la terna más familia 3 4 y
5 la cual si es producida por nuestro
método en realidad por razones que
explicaré en breve cada terna pitagórica
que se nos escapa es tan sólo un
múltiplo de otra terna que si generamos
por dar otro ejemplo se nos escapa el
punto 4 3 y no existen enteros vive
tales que uno más veía al cuadrado es 4
3 y en realidad nunca encontraremos
ningún punto cuya componente imaginaria
sea impar sin embargo si encontramos 8 +
6 y que es 3 más si al cuadrado
así que cuando se nos escapa 43 y es tan
solo la mitad del punto que encontramos
y por cierto nunca tendrás que
multiplicar por un factor menor en un
medio
una interesante manera de pensar acerca
de estos múltiplos que se nos escapan es
tomar cada punto que obtenemos usando
este método de elevar al cuadrado y
dibujar una línea desde el origen a
través de ese punto hacia el infinito si
marcamos todos los puntos de la rejilla
que coinciden con la línea incluiremos
todos los múltiplos de esos puntos que
podríamos haber perdido
si hacemos esto con todos los puntos
posibles incluiremos todas las ternas
pitagóricas todos los triángulos
rectángulos que has encontrado o puedes
encontrar en el futuro con lados de
longitud entera están marcados en alguna
parte de este diagrama
para ver por qué cambiaremos ahora a
otra vista del problema de la terna
pitagórica una que requiere encontrar
los puntos de un círculo unitario con
coordenadas racionales si se toma la
expresión al cuadrado más b al cuadrado
igual ac al cuadrado y se divide por sea
al cuadrado se obtiene a sobre c al
cuadrado más b sobre c al cuadrado igual
a 1 esto nos da un punto sobre círculo
unitario x al cuadrado más d al cuadrado
igual a 1 cuyas coordenadas son ambas
números racionales esto es lo que
llamamos un punto racional del círculo
vital
si vamos en la otra dirección si
encontramos un punto racional en el
círculo unitario cuando se multiplica
por un denominador común cada una de las
coordenadas acabarás en un punto que
tiene coordenadas enteras y cuya
distancia del origen también es entera
con esto en mente consideremos nuestro
diagrama donde elevamos al cuadrado cada
punto posible de la rejilla y entonces
dibujamos estas líneas radiales
atravesando los para inscribir todos los
múltiplos que se nos podrían haber
escapado si proyectas todos estos puntos
en el círculo unitario moviendo cada uno
por su línea radial correspondiente
acabarás con un montón de puntos
racionales en ese círculo y recuerda por
cierto que estoy dibujando tan sólo una
cantidad finita de estos puntos y líneas
porque si dibujará todas las infinitas
líneas correspondientes a cada punto
posible de la rejilla cuadrada llenaría
todos los píxeles de la pantalla
ahora bien si nuestro método fuera
incompleto si estuviéramos perdiendo
alguna terna pitagórica por algún lado
esto significaría que hay algún punto
racional en este círculo que no
encontramos nunca al proyectar toda la
rejilla en el círculo veamos ahora por
qué esto no puede ocurrir
tomemos cualquiera de esos puntos
racionales y dibujemos una línea que lo
una con menos 1
cuando calculamos la elevación sobre la
pendiente de esta línea la elevación
entre los dos puntos es racional y la
distancia es también racional por lo que
la longitud de la pendiente misma tiene
que ser un número racional por tanto si
podemos mostrar que nuestro método de
elevar números complejos al cuadrado
produce todas las posibles pendientes
racionales en este diagrama quedará
garantizado que encontraremos cada punto
racional del círculo unitario correcto
pensemos en nuestro método comenzamos
con un punto con coordenadas enteras y
este número presenta un ángulo con la
horizontal al cual llamar teta al elevar
este número al cuadrado el ángulo
resultante respecto a la horizontal será
dos veces theta
y por supuesto al proyectarlo sobre el
círculo unitario está colocado en la
misma línea radial por lo que el punto
racional del círculo unitario
correspondiente también tiene el mismo
ángulo dos veces theta
aquí usaremos ahora un poco de geometría
del círculo siempre que tengamos un
ángulo entre dos puntos de la
circunferencia y su centro resulta que
el ángulo es exactamente el doble del
ángulo entre esos mismos puntos y
cualquier otro punto de la
circunferencia siempre que ese punto no
esté entre los dos puntos originales
en nuestra situación esto significa que
la línea entre -1 y el punto racional
del círculo debe presentar un ángulo
theta con la horizontal
en otras palabras esta línea tiene la
misma pendiente que la línea entre el
origen y nuestro número complejo inicial
pero observa la elevación y la distancia
de la línea definida por nuestra
elección de enteros vive la pendiente es
b sobre v
y por supuesto podemos elegir bello como
enteros arbitrarios por tanto hemos
incluido todas las pendientes racionales
posibles
así que ya están las líneas radiales de
nuestro método determinadas por todas
las posibles elecciones de uribe ante
pasar por todos los puntos racionales
del círculo lo cual significa que
nuestro método encontrará todas las
ternas pitagóricas posibles
si no has visto todavía el vídeo acerca
de cómo pises con las regularidades de
los primos los temas allí están
fuertemente relacionados con los de aquí
también usa algunos hechos bastante
sorprendentes cuando se reformula un
problema acerca de los puntos de la
rejilla en términos de números complejos
por lo que diría que este vídeo encaja
particularmente bien con el otro tanto
este vídeo como aquel han sido
respaldados parcialmente por remix que
busca reclutar ingenieros de software
particularmente aquellos con experiencia
en matemáticas lo cual podría incluir
potencialmente a algunos de ustedes
remix ha creado una plataforma de
planificación para el transporte público
lo cual significa que ofrecen a la
ciudad es un producto que les ayuda a
encontrar los modos más eficientes y
baratos para servir a la comunidad y a
la población objetivo lo que proveen
está mucho más avanzado que lo que
muchas ciudades usan para este problema
siempre están intentando hacer las cosas
mejor lo cual abre las puertas a algunos
problemas de optimización muy
interesantes para aquellos de ustedes en
condiciones de aplicar a una posición
como ésta podrían trabajar con un equipo
increíblemente capaz resolviendo
problemas que se ubican en esa
intersección entre lo que es importante
y lo que es interesante
enlaces en la descripción del vídeo si
quieres saber más
[Música]
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