Método de Euler para EDOs de primer orden
Summary
TLDREl script del video explica el método de Euler para resolver problemas de valores iniciales de primer orden en ecuaciones diferenciales. Se presenta la ecuación diferencial 'dynx = f(x, y)' con la condición inicial 'x0 = y0', y se describe cómo aproximar la solución analítica mediante la integración de la ecuación. Se ilustra el proceso de integración y se proporciona un ejemplo práctico donde se resuelve analíticamente y numéricamente la ecuación 'dy/dx = x*y' con 'y(1) = 2'. Se muestran los pasos para calcular 'y1', 'y2', 'y3' y 'y4', y se compara la solución numérica con la analítica mediante una tabla de errores relativos porcentuales. Finalmente, se grafica la aproximación de Euler (línea roja) junto a la solución analítica (línea negra), destacando la buena aproximación obtenida con este método.
Takeaways
- 📚 Se presenta el método de Euler para resolver problemas de valores iniciales de primer orden en ecuaciones diferenciales.
- 🔍 La ecuación diferencial a resolver es de la forma \( \frac{dy}{dx} = f(x, y) \) con una condición inicial \( y(x_0) = y_0 \).
- 📈 La solución se grafica en el plano xy, formando una curva que pasa por el punto \( (x_0, y_0) \).
- 📝 Se aproxima la función \( y \) en el punto \( x_1 \), a una distancia \( h \) de \( x_0 \), integrando la ecuación.
- 🧩 Se utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integral y aproximar \( y_1 \) en términos de \( x_0, y_0 \) y \( h \).
- 🔢 Se describe el proceso iterativo para calcular \( y_2, y_3, \ldots \) y \( x_{n+1} \) a partir de los valores anteriores.
- 📉 Se resuelve analíticamente el problema de ejemplo \( \frac{dy}{dx} = xy \) con condición inicial \( y(1) = 2 \), obteniendo \( y = \sqrt{x^2 + 3} \).
- 📊 Se compara la solución analítica con la numérica obtenida mediante el método de Euler, evidenciando la aproximación.
- 📊 Se crea una tabla para comparar las soluciones y calcular el error relativo porcentual en cada paso.
- 📈 Se grafica la comparación entre la solución analítica (línea negra) y la aproximada por el método de Euler (línea roja).
- 🔬 Se enfatiza la importancia de experimentar con diferentes valores de \( h \) para mejorar la precisión de la aproximación numérica.
Q & A
¿Qué es el método de Euler para resolver problemas de valores iniciales de primer orden?
-El método de Euler es un algoritmo numérico utilizado para resolver problemas de valores iniciales de primer orden, como la ecuación diferencial 'dy/dx = f(x, y)' con una condición inicial 'y(x0) = y0'. La solución es una función 'y' que depende solamente de 'x' y puede ser graficada en el plano xy.
¿Cómo se aproxima una función 'y' en el punto 'x1' usando el método de Euler?
-Para aproximar la función 'y' en el punto 'x1', que está a una distancia 'h' de 'x0', se integra la ecuación diferencial del problema entre 'x0' y 'x1', asumiendo que la función 'f(x, y)' es constante en ese intervalo, lo que resulta en 'y1 = y0 + h * f(x0, y0)'.
¿Qué es la condición inicial en el contexto del método de Euler mencionado en el guion?
-La condición inicial en el contexto del guion es 'y0 = y(x0)', donde 'x0' es el punto inicial en el eje de las 'x' y 'y0' es el valor inicial en el eje de las 'y'.
¿Cómo se determina el valor de 'y2' en el método de Euler?
-El valor de 'y2' se determina usando el valor anterior 'y1', la distancia 'h' y la función 'f(x, y)' evaluada en los valores anteriores de 'x' y 'y', es decir, 'y2 = y1 + h * f(x1, y1)'.
¿Cuál es la ecuación diferencial y la condición inicial utilizada para el ejemplo analítico en el guion?
-La ecuación diferencial utilizada en el ejemplo analítico es 'dy/dx = x * y' y la condición inicial es 'y(1) = 2'.
¿Cómo se resuelve analíticamente la ecuación diferencial dada en el guion?
-Para resolver analíticamente la ecuación 'dy/dx = x * y', se separan las variables y se integran ambos lados, resultando en 'y^2 / 2 = x^2 / 2 + c'. Al sustituir los valores iniciales, se encuentra la constante de integración 'c' y se obtiene la solución 'y = sqrt(x^2 + 3)'.
¿Cuál es el primer valor de 'x' y 'y' utilizados en la solución numérica del ejemplo del guion?
-El primer valor de 'x' utilizado en la solución numérica es 'x0 = 1' y el primer valor de 'y' es 'y0 = 2'.
¿Cómo se calcula el error relativo porcentual en la solución numérica del método de Euler?
-El error relativo porcentual se calcula como el valor verdadero menos el aproximado, dividido por el valor verdadero, multiplicado por 100. Es una medida del error numérico en relación con la magnitud de la solución verdadera.
¿Qué se observa al comparar la solución analítica con la solución numérica del método de Euler en el guion?
-Al comparar la solución analítica con la numérica, se observa una buena aproximación en el caso presentado, donde la línea roja representa la aproximación numérica y la línea negra la solución analítica.
¿Por qué es recomendable usar pasos más pequeños ('haches más pequeñas') en el método de Euler?
-Es recomendable usar pasos más pequeños en el método de Euler porque reducen el error numérico y proporcionan una aproximación más precisa de la solución real, aunque esto puede requerir más iteraciones y calcular tiempo.
Outlines
📚 Método de Euler para resolver EDO de primer orden
El primer párrafo explica el método de Euler para resolver problemas de valores iniciales en ecuaciones diferenciales de primer orden (EDO). Se describe cómo aproximar la función y en el punto x1 a una distancia H de x0, integrando la ecuación y utilizando el teorema fundamental del cálculo. Se proporciona un ejemplo práctico para resolver analíticamente y numéricamente la EDO 'dy/dx = x*y' con la condición inicial 'y(1) = 2'. El proceso muestra cómo calcular iterativamente y1, y2, y3, etc., y cómo el valor de y depende de x0, y0 y H. Se concluye con la fórmula para 'y(n+1)' y cómo se incrementan las x en H.
📉 Comparación entre solución analítica y numérica con el método de Euler
El segundo párrafo se enfoca en comparar la solución analítica y numérica obtenida con el método de Euler para la misma EDO vista en el primer párrafo. Se crea una tabla para observar la evolución de los valores de y y x, y cómo estos se comparan con la solución analítica. Se calcula el error relativo porcentual para evaluar la precisión de la aproximación numérica. Se sugiere que el espectador realice los cálculos por su cuenta y se concluye con una gráfica que muestra la buena aproximación obtenida con el método de Euler, destacando la importancia de experimentar con pasos más pequeños (haches) para mejorar la precisión.
Mindmap
Keywords
💡Método de Euler
💡Ecuaciones diferenciales
💡Valores iniciales
💡Condición inicial
💡Integral
💡Aproximación numérica
💡Punto de integración
💡Error relativo porcentual
💡Solución analítica
💡Incremento
Highlights
Introducción al método de Euler para resolver problemas de valores iniciales de primer orden.
Explicación de la ecuación diferencial 'dynx = f(x, y)' con condición inicial 'y(x0) = y0'.
Descripción de cómo la solución se puede graficar en el plano xy, creando una curva que pasa por el punto (x0, y0).
Aproximación de la función 'y' en el punto 'x1' a una distancia 'H' de 'x0'.
Integración de la ecuación diferencial para aproximar 'y' en 'x1'.
Uso del Teorema Fundamental del Cálculo para calcular 'y(x1) - y(x0)'.
Aproximación de la integral derecha tomando la función como constante en 'x0'.
Fórmula para calcular 'y1' a partir de 'x0', 'y0' y 'H'.
Proceso iterativo para calcular 'y2', 'x2', y así sucesivamente, usando el valor anterior de 'y' y 'x'.
Presentación del sistema de ecuaciones para el método de Euler.
Resolución analítica y numérica del problema 'dy/dx = x*y' con condición inicial 'y(1) = 2'.
Pasos para la solución analítica de la ecuación separable.
Detección de la constante de integración y obtención de la solución analítica 'y = sqrt(x^2 + 3)'.
Inicio de la solución numérica con valores iniciales 'x0 = 1' y 'y0 = 2', y el paso 'H = 0.5'.
Cálculo numérico de 'y1', 'x1', 'y2', 'x2', y su comparación con la solución analítica.
Creación de una tabla para comparar la solución analítica con la numérica y evaluar el error relativo porcentual.
Observación de cómo disminuye el error numérico a medida que se reduce 'H'.
Graficación de la solución analítica y numérica, observando la aproximación obtenida.
Recomendación de experimentar con pasos más pequeños 'H' para mejorar la aproximación numérica.
Transcripts
[Música]
el método
Deer vamos a usar el método deiler para
resolver problemas de valores iniciales
de primer
orden la ecuación es dynx = fxy con
condición inicial y x0 = y0 la solución
es una función y que depende solamente
de X esta solución se puede graficar en
el plano xy resultando una
curva esta curva pasa por el punto x0 y0
donde x0 está en el eje de las x y y0 en
el eje de las y para hacer esto vamos a
tratar de aproximar la función y en el
punto x1 el cual está a una distancia H
de x0 es decir nos queremos acercar Al
Punto x1 y de
x1 para intentar hacer esto vamos a
integrar la ecuación de nuestro problema
recordando que dy en dx es lo mismo que
y prima de X entonces del lado izquierdo
nos queda la integral de x0 a x1 de y
prima x dx que es igual a la integral
del lado derecho recordando que como y
depende de X es una integral que
solamente tiene como variable a x del
lado izquierdo por el teorema
fundamental del cálculo podemos escribir
y de x1 - y x0 que es aproximadamente
igual a la integral del lado derecho si
dejamos la función constante en x0 es
decir tomamos como el intervalo x0 a x1
es muy pequeño solamente nos fijamos en
x0 este valor es constante Entonces al
integrar nos queda x1 - x0 *
fx0
y0 despejando y1 obtenemos una expresión
que depende solamente de x0 y0 y
H entonces pues nos animamos a escribir
y2 que dependa solamente de y1 x1 y d H
este valor de y2 corresponde a un valor
x2 que está a una distancia H de
x1
entonces y de n + 1 va a ser igual al
valor anterior o sea yn + H por el valor
de la función evaluada Igualmente en los
valores anteriores de x y de
y y claro nuestras x solamente se van
incrementando en H Entonces el sistema
de ecuaciones a considerar el método de
oiler es el que está en el recuadro como
primer ejemplo resolvamos analíticamente
y usando el método de eiler el siguiente
problema dy En dx es igual a x y con
condición inicial y de 1 = 2 procedamos
primero con la solución
analítica vemos que esta es una ecuación
separable Entonces pasamos la y y el dx
multiplicando y integrando de ambos
lados obtenemos la ecuación y cu / 2 = x
cu 2 más una constante de integración
sustituyendo los valores iniciales de y
es decir 2 y de X es decir 1 podemos
encontrar que c es igual a
3/2 este valor de c lo sustituimos en la
ecuación que habíamos obtenido y
obtenemos que y cu es ig a x cu + 3 por
lo tanto obteniendo la raíz obtenemos
que y es igual a la raíz cuadrada de X
cu + 3 donde consideramos solamente el
valor positivo
Porque si sustituimos en x = a 1
obtenemos y = 2 procedamos ahora con la
solución
numérica nuestros primeros valores de x
y y son 1 y 2 x1 = a x0 + H como x0 es =
a 1 y H = 0.5 x x1 es = a
1.5 y1 vendría siendo y0 + H por la
función evaluada en x0 y y0 como la
función es nada más dividir x / y queda
x0 / y0 haciendo las sustituciones
obtenemos 2 + h *
1/2 haciendo este cálculo obtenemos que
y1 es igual a
2.25 similarmente x2 es igual a 2 o sea
a una distancia de punto 5 de x1 y y2 es
igual a y1 + h o sea 0.5 por el valor de
la función en x1 y y1 haciendo las
sustituciones obtenemos que y2 es =
2.58 similarmente x 3 es = a
2.5 y y3 es = a y2 + H por el valor de
la función en x2 y2 haciendo
sustituciones y cálculos obtenemos que
y3 es = a
2.970 x4 vendría siendo 3 y y4 es igual
a 3.
391 Hagamos una tabla en donde para
comparar la solución analítica con la
solución de
eiler agreguemos una columna que se
llame error para ver qué tanto es
nuestro error
numérico en este error vamos a poner el
error relativo
porcentual en la columna de las x
ponemos los valores que x va tomando
observa Cómo van de punto c en punto c
nuestro valor nuestro primer valor de y
es 2 independientemente del método
Entonces el error es
0% en 1.5 la l analítica se puede
calcular y vale
2.29 los cálculos se muestran en la
calculadora el valor del error relativo
porcentual es el valor verdadero menos
el aproximado entre el valor verdadero
eso multiplicado por 100 y entonces nos
queda
1.8 por Como se muestra en la pantalla
los demás cálculos son
similares es recomendable que vayas
haciendo pausas en el video para que
vayas haciendo los cálculos por tu
propia
[Música]
[Aplausos]
[Música]
cuenta
[Música]
Esta es la tabla que queda Finalmente y
si graficamos obtenemos que la línea
roja es la aproximación que nosotros
obtenemos en línea negra está la
solución analítica como vemos entonces
hay una muy buena aproximación en este
caso Esto no es siempre así y muchas
veces Tendremos que usar haches más
pequeñas te toca a ti experimentar este
problema con haches más
[Música]
pequeñas
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