Tensor Calculus 4: Derivatives are Vectors

Summary

في هذا الفيديو، يتم شرح كيفية تطبيق المشتقات العريضة على الحقول المتجهة على طول منحنى. يبدأ الفيديو بمراجعة طريقة تفكيك المتجهات إلى مجموعات خطية باستخدام الأسس القديمة والجديدة. بعد ذلك، يتناول الفيديو كيفية تطبيق هذه الطريقة على الحقول المتجهة على طول المنحنى باستخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات. يتم توضيح المفاهيم من خلال مثال على منحنى دائري في الإحداثيات الكارتيزية والقطبية. في النهاية، يتم التأكيد على أن فكرة استخدام الأسس والمكونات في الحقول المتجهة مشابهة تماما لما يتم مع المتجهات الفردية، مع التركيز على السلوك المعاكس للمكونات المشتقة.

Takeaways

• 😀 شرح كيف يمكننا توسيع المتجهات إلى مجموعات خطية من المتجهات الأساسية في الإحداثيات الكارتيزية.
• 😀 أهمية استخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات لتوسيع المتجهات في الأنظمة المختلفة.
• 😀 الفرق بين المتجهات الفردية وحقول المتجهات وكيفية التعامل مع مكونات المتجهات في كل منهما.
• 😀 أهمية التمييز بين متجهات محددة وحقول المتجهات على منحنى وتحديد المشتقات المناسبة لها.
• 😀 استخدام قاعدة السلسلة للحصول على المتجهات المماسية على المنحنى وتوسيعها إلى متجهات أساسية.
• 😀 التوضيح بأن مكونات حقل المتجهات تتغير تبعًا لإحداثيات النظام المستخدم، سواء كان نظام كارتيزي أو قطبي.
• 😀 استخدام التدوين أينشتايني لتبسيط التعبيرات الرياضية والتوصل إلى نتائج أكثر إيجازًا.
• 😀 التمييز بين المكونات المتغيره والمتجهات الثابتة في الإحداثيات القطبية والكارتيسية.
• 😀 تأكيد أنه يمكن التعامل مع الحقول المتجهة بنفس الطريقة التي يتم بها التعامل مع المتجهات الفردية باستخدام القواعد الرياضية نفسها.
• 😀 التأكيد على أن مكونات الحقول المتجهة تتبع سلوكاً متناقضًا مع المتجهات الأساسية (مكونات مغايرة).

Q & A

ما هو الهدف من هذا الفيديو؟

الهدف من الفيديو هو توضيح كيفية حساب المشتقات العريضة للمجالات الاتجاهية باستخدام قواعد مختلفة مثل قاعدة السلسلة والتدوين أينشتايني.

ما الفرق بين حساب المكونات للمتجهات الفردية وحساب المكونات لمجالات المتجهات؟

حساب المكونات للمتجهات الفردية يتم بشكل مباشر عبر مزيج خطي من المتجهات الأساس، بينما حساب المكونات لمجالات المتجهات يتم باستخدام قاعدة السلسلة للمشتقات متعددة المتغيرات وتوسيعها باستخدام الأسس المختلفة.

ما هو المجال الاتجاهي الذي يتم مناقشته في هذا الفيديو؟

المجال الاتجاهي الذي يتم مناقشته هو مجال متجه على منحنى، حيث يتم تعريف متجه عند كل نقطة على طول المنحنى.

كيف نحصل على متجه مماس لمنحنى باستخدام المشتقة؟

لحساب المتجه المماس لمنحنى، نأخذ المشتقة بالنسبة للمعامل λ (لامبدا) للمتجه الموقع R، أي D R / D λ.

ما هي قاعدة السلسلة ولماذا نستخدمها في هذه الحالة؟

قاعدة السلسلة تستخدم لتحويل المشتقة لمتجه منحنى باستخدام المتغيرات المختلفة. نستخدمها هنا لتوسيع مجال المتجهات في الأساسيات المختلفة مثل الأساسيات الديكارتية.

ما هو التدوين أينشتايني وكيف يساعد في تبسيط المعادلات؟

التدوين أينشتايني يسمح لنا بكتابة المعادلات بشكل مضغوط باستخدام الرموز لتجنب الكتابة المكررة. هذا يعزز فهم العلاقات بين الأساسيات والمكونات.

كيف يمكننا حساب مكونات المجال الاتجاهي لمنحنى دائري باستخدام الإحداثيات القطبية؟

نستخدم قاعدة السلسلة لتوسيع المجال الاتجاهي باستخدام الأساسيات القطبية، حيث نشتق المتغيرات R وθ (راديان وزاوية) لتحديد مكونات المتجه.

لماذا يعطينا استخدام الإحداثيات القطبية مكونات بسيطة مثل 0 و 1؟

في الإحداثيات القطبية، يكون المشتق بالنسبة لـ R صفرًا لأن R ثابت، بينما المشتق بالنسبة لـ θ هو 1، مما يعكس أن المتجهات المماسية تتجه فقط في الاتجاه الزاوي حول الدائرة.

ما الفرق بين الأساسيات الديكارتية والأساسيات القطبية في حساب مكونات المتجهات؟

الأساسيات الديكارتية تكون ثابتة في جميع الأماكن في الفضاء، بينما الأساسيات القطبية تتغير مع الموقع على طول المنحنى، مثل المتجهات التي تتجه إلى الداخل والخارج بالنسبة لنصف القطر والزاوية.

هل يمكننا تطبيق نفس المفهوم من المتجهات الفردية على مجالات المتجهات؟

نعم، يمكننا تطبيق نفس المفهوم على مجالات المتجهات، حيث يمكننا توسيع مجال المتجهات إلى مزيج خطي من المتجهات الأساس باستخدام قاعدة السلسلة. الفرق هو أنه في حالة مجال المتجهات، يجب أن نأخذ في الاعتبار كيف يتغير المتجه مع كل نقطة على طول المنحنى.