Volumen entre paraboloide y cilindro con integral doble | POLARES | Ej. 34 Sección 14.3 LARSON
Summary
TLDREn este video, el canal se enfoca en el cálculo del volumen utilizando integrales dobles, específicamente en la sección 14.3 del libro de Larsson. El problema presentado involucra el uso de coordenadas polares para encontrar el volumen de un sólido limitado por gráficos en forma de círculo y parabólica. El host recomienda este ejercicio como un excelente punto de partida para quienes buscan aprender sobre volúmenes en geometría analítica. Se discuten las coordenadas polares y cómo aplicar el cambio de variables para simplificar la integral. Además, se aborda la importancia de la simetría en la resolución del problema y se sugiere el uso de herramientas gráficas para facilitar la comprensión del sólido resultante. Finalmente, se concluye con la resolución de la integral doble y se ofrece recursos adicionales para profundizar en el tema.
Takeaways
- 📚 Se discute sobre el cálculo del volumen utilizando integrales dobles en coordenadas polares, específicamente tomando como referencia el libro de Larsson en su novena edición, sección 14.3.
- 🔢 El problema presentado es de encontrar el volumen de un sólido limitado por gráficos determinados, y aunque puede parecer complicado, es más sencillo de lo que parece.
- 📐 Se recomienda utilizar integrales triples para este tipo de ejercicios, aunque también se pueden usar dobles, ya que ambas técnicas son aplicables y están relacionadas.
- 📈 Se sugiere que este ejercicio sea uno de los primeros a resolver para quienes deseen aprender sobre volumen, ya que es muy básico y ayuda a entender conceptos fundamentales.
- 📈📈 Se destaca la importancia de la integración doble para calcular el volumen, utilizando la región R y la función f(x), teniendo en cuenta el eje x y los límites de integración.
- 📐📏 Se describe cómo cambiar a coordenadas polares, lo cual es esencial para resolver el problema presentado, y cómo la función z se relaciona con el radio en polares.
- 📊 Se menciona que para el círculo de radio 1, la coordenada polar es constante y cómo esto simplifica el cálculo de la integral.
- 📈📊 Se habla sobre el ángulo en las coordenadas polares y cómo este se relaciona con la integración, destacando que el ángulo completo es de 0 a 2pi pero para el problema se considera solo una parte.
- 📐📏 Se detalla el proceso de integración en polares, incluyendo el cambio de variables y cómo se aplican los límites para la integración en el ángulo y el radio.
- 📚📈 Se recomienda el uso de aplicaciones gráficas para visualizar mejor las figuras y las intersecciones, lo que facilita la comprensión del problema y su resolución.
- 📝 Se ofrece recursos adicionales, como secciones de integradores y ejercicios de integrales triples, para quienes deseen profundizar en el tema.
- 📦📏 Se concluye con la resolución del ejercicio, obteniendo un volumen de 7pi/4 unidades cúbicas, y se destaca la belleza matemática de la integración doble en polares.
Q & A
¿De qué trata el video que se está transcribiendo?
-El video trata sobre el cálculo del volumen de un sólido utilizando integrales dobles en coordenadas polares, específicamente siguiendo el enfoque del libro de Larsson para la novena edición, sección 14.3.
¿Qué tipo de figura geométrica se utiliza para encontrar el volumen en este ejercicio?
-Se utiliza un círculo de radio 1, que actúa como una base para el sólido que se está calculando.
¿Por qué es importante recordar la sección de integradores triple que el autor menciona?
-La sección de integradores triple es importante porque proporciona herramientas y ejercicios útiles para aquellos que están aprendiendo sobre integrales triple y temas relacionados, lo que puede ser beneficioso para comprender mejor el tema actual.
¿Qué es una de las recomendaciones que hace el autor para alguien que quiera aprender sobre volumen con integrales?
-El autor recomienda que este ejercicio sea uno de los primeros a resolver si alguien quiere aprender sobre volumen con integrales, ya que es muy básico y puede servir como un buen punto de partida.
¿Qué tipo de cambio de coordenadas se realiza para simplificar el cálculo del volumen?
-Se realiza un cambio de coordenadas cartesianas a polares para simplificar el cálculo del volumen del sólido.
¿Cómo se describe el ángulo en las coordenadas polares en este contexto?
-El ángulo en las coordenadas polares comienza en cero, varía en el semieje x positivo de manera antihoraria y cubre un rango de 0 a 2π.
¿Qué es la ventaja de utilizar coordenadas polares para este ejercicio?
-La ventaja de utilizar coordenadas polares es que simplifica la expresión del volumen del sólido, ya que el radio del círculo es constante y facilita la integración.
¿Qué herramienta o método se sugiere para graficar las funciones y entender mejor el sólido?
-Se sugiere el uso de aplicaciones gratuitas para graficar las funciones, lo que proporciona una mejor comprensión visual del sólido y ayuda en el cálculo.
¿Cómo se describe la intersección del paraboloide con el cilindro en el sólido?
-La intersección del paraboloide con el cilindro se describe como circulares, y estas intersecciones forman las paredes del sólido que está siendo calculado.
¿Cuál es el resultado final del volumen del sólido que se calcula en el video?
-El volumen final del sólido calculado es de 7π/4 unidades cúbicas.
¿Por qué es útil dividir el sólido en partes simétricas para calcular su volumen?
-Dividir el sólido en partes simétricas es útil porque permite simplificar el cálculo, ya que se puede calcular el volumen de una porción y luego multiplicarlo por el número de porciones equivalentes para obtener el volumen total.
¿Cómo se puede verificar la integral doble utilizada en el cálculo del volumen?
-Se puede verificar la integral doble utilizando herramientas de software matemático como Maple, que permite calcular integrales y verificar resultados.
Outlines
😀 Introducción a los Volúmenes con Integrales Dobles
Este primer párrafo presenta el tema del video, que es el cálculo de volúmenes utilizando integrales dobles, específicamente con el método de Larsson como se describe en la novena edición del libro de cálculo, sección 14.3. Se menciona que el problema a resolver es el del volumen de un sólido limitado por gráficos en coordenadas polares, y se hace una breve referencia a una sección de integradores que el canal ofrece para ayudar en el aprendizaje de integrales triples y dobles. Además, se destaca la importancia de este ejercicio para quienes están comenzando a aprender sobre volúmenes en geometría.
📚 Proceso de Cálculo y Geometría en Coordenadas Polares
El segundo párrafo se enfoca en el proceso de cálculo del volumen de un sólido en coordenadas polares. Se describe cómo utilizar la integral doble para encontrar el volumen, y se menciona que el ejercicio particular involucra una sola superficie con z y otra en el plano. Se discute la relación entre integrales triples y dobles, y cómo se puede abordar el problema con ambas. Además, se ofrece una descripción detallada de cómo se realiza el cambio a coordenadas polares y se destaca la simplicidad del círculo como figura geométrica en este contexto. Finalmente, se aborda la importancia del ángulo en las coordenadas polares y cómo se maneja en el cálculo.
🎨 Construcción del Sólido y Visualización Geométrica
Este párrafo describe el proceso de construcción del sólido y su visualización geométrica. Se habla sobre la utilización de herramientas gráficas para comprender mejor las figuras y cómo se intersectan entre sí. Se menciona el uso de un parábola y un cilindro para formar el sólido y cómo se proyecta el círculo en el plano. Además, se discuten las intersecciones y cómo se ven reflejadas en la geometría del sólido. Se sugiere la utilización de aplicaciones gratuitas para la graficación y se ofrece orientación para que el espectador lo intente por sí mismo en casa.
🧮 Cálculo Final y Verificación del Volumen
El cuarto y último párrafo se centra en el cálculo final del volumen del sólido y su verificación. Se detallan los pasos para completar la integral doble y se ofrecen consejos para simplificar el proceso. Se menciona el uso de la simetría del paraboloide para reducir el cálculo a un solo cuadrante y luego multiplicarlo por 4. Se proporciona la fórmula final y se calcula el volumen en unidades cúbicas. Además, se comparte la respuesta obtenida y se sugiere el uso de herramientas como Maple para verificar la integral doble. Se cierra el video agradeciendo la paciencia del espectador y promoviendo la capacitación y el aprendizaje en casa.
Mindmap
Keywords
💡Volumen
💡Integrales Dobles
💡Coordenadas Polares
💡Función de Cerca
💡Parábola
💡Cilindro
💡Simetría
💡Maple
💡Diferencial
💡Trigonometría
💡Cálculo de Área
Highlights
Se discute el cálculo del volumen con integrales dobles, específicamente utilizando el método de Larsson.
Se utiliza la novena edición del libro de cálculo de Larsson, sección 14.3 Cambio a coordenadas polares.
Se presenta un problema de cálculo de volumen del sólido limitado por gráficos en coordenadas polares.
Se recomienda esta sección y libro para quienes están aprendiendo integrales triples y dobles.
Se destaca que este es uno de los primeros ejercicios a resolver para aprender volumen con integrales.
Se menciona la importancia de utilizar tecnologías como GeoGebra para graficar y entender mejor los sólidos.
Se describe cómo se puede abordar el problema utilizando tanto integrales dobles como triples.
Se detalla cómo se realiza el cambio a coordenadas polares y se aplica en la integral.
Se grafican las superficies y se determina la intersección para construir el sólido.
Se utiliza la simetría del sólido para simplificar el cálculo del volumen.
Se concluye que el volumen del sólido es 7π/4 unidades cúbicas.
Se recomienda a los espectadores suscribirse, dar like y compartir el contenido para recibir más contenido útil.
Se ofrece recomendaciones de cursos de integrales y cálculo para quienes necesitan capacitación adicional.
Se agradece el apoyo de los espectadores y se les anima a seguir aprendiendo.
Se menciona el uso de Maple para verificar la integral doble y se ofrece ayuda en las redes sociales.
Transcripts
bienvenido una vez más a su canal
reunión en esta oportunidad vamos a
hablar de volumen con integrales dobles
específicamente tomado el rol larsson
proceder el cálculo novena edición
sección 14.3 cambio corre más polares
dice utilizando entera el doble en
coordenadas polares para hallar el
volumen del sólido limitado o acotado
por las gráficas
vídeo el problema del ipad 7 alexis
copello y 43 s tengo el acero plano y x
cobramos y ha cobrado igual a 1 este
problema es más fácil de lo que parece
pero antes de pasar la explicación les
quiero recordar que tengo una sección ya
lista de integradores y triple para los
que me están conociendo por este vídeo
se lo dejo aquí en las tarjetas
recomendación y al final porque tengo
más ejercicio de esta sección y otras
secciones integra dobles y también de
triples y temas relacionados los revisan
para encontrar contenido muy útil para
lo que están aprendiendo a hacer a
trabajar con estos temas este ejercicio
yo recomendaría aunque parezcan loco
loco decir recomendaría que este es uno
de los primeros ejercicios a resolver si
una persona quiere aprender volumen
concuerden a volar porque muy básico
vamos a empezar para qué mentir vamos
retirar la bibliografía gracias larsson
fíjate me dan una sola función de cerca
porque excepto igual a cero este
ejercicio para los que están haciendo
también triples
estudiar integrales triples en internet
triple están acordonadas si indica que
son el hermano mayor de las polares este
ejercicio está en los dos mundos cuando
tú tienes una sola superficie con z y la
otra en el plano aquí y puede hacerlo
con triple con dobles
porque correrán silente que polar entre
comillas lo mismo sólo agrega obviamente
otra integral hoy se llama se le implica
pero la z es la misma sólo se cambia con
las ecuaciones entonces para cuando tú
tienes dos ecuaciones con superficies
zetas que tienen que hacer interceptor
que separamos dos paraboloides un
paraboloide un cono para volver con
jennifer a ese contar en este simple más
complicado y que hacer intersecciones y
todo eso pero éste no le vamos a
recordar cómo plantear una interna el
doble para volumen con reglas
rectangulares la interna el doble para
volumen con articular el volumen igual
luther doble de una región r que vamos a
graficar de la función fx que es eta que
esto que tenemos y un diferencial diario
ya teniendo en cuenta que se está igual
a cero se pueden decir primeros tanto
también objetivo en acero entonces el
piso se sobreentiende ya en la integral
y esta es la función que el techo que va
aquí
la función colocada aquí ya lo que tengo
que hacer es cambiar los límites
integración a lo que yo necesite de xx
de dólares para un volumen y esto aquí
es decir yo puedo arrancar diciendo
integral doble del icono maya cobrar la
diferencia tal cual esto lo que yo tengo
que cambiar a polar es así de sencillo
entonces ver qué pasa esta función de z
aquí
ok este este equipo ahora mayor o igual
a 1 hoy es muy básico un círculo de
radio 1 es el círculo
la figura soñada por cualquier
coordenada polar de un círculo de radio
1 en cuernos polares se pone detrás se
traduce la siguiente manera éste está
acá en el polo o centro hay un eje polar
y el radio de ese eje polar es constante
porque cuando el centro del círculo
coincide con el origen de coordenada
porque esto lo que se grafica aquí el
piso este el radio es constante porque
hace donde vaya al eje polar el radio
siempre va a ser 1
para todos lados el radio uno para donde
porque esto va red de manera antihorario
el radio siempre de 0 1 0 1 0 1 0 no
importa por desarrollar es es polar ves
pero cuando el círculo se sale del
origen y ahí el radio variable y hay que
hacer otros cálculos y en la integral lo
invitan un poquito más complicado tengo
videos de esos disponibles en el canal
el radio de 0 a 1 y es constante esto es
un sueño para cualquier coordenada poner
en ninguna prueba de este ejercicio
créeme que una prueba hoy sería es que
el selecto de excelente porque de la
integral es sencilla y fácil de plantear
ahora que voy a hacer el sólido pero son
otra cosa por el sol hemos libre para
ilustrar pero no hace falta ver vamos
hablar del ángulo de cordones polares el
ángulo empieza en cero radio en el semi
x positivo de manera antihorario 0 y
medio visita primero 2 p bar de manera
este horario como no me dice aquí
primero un canto en el primer cuadrante
es todo el círculo recto de la figura de
hecho hasta se puede hacer por simetría
eso lo hablaremos después de ver el
sólido pero el ángulo completo es 0 2 en
la vuelta completa no ahí nos cortan y
ninguno para el círculo completo vean
que esto salió solo de aquí y z es
solamente claro yo lo graficar que le
pasó para que entiendas que papel bueno
en ello pero cuando hay un solo set a
que es un techo señores y directo en
ejercicio es más vamos a cambiarlo polar
de una vez
recordamos polares que un cambio
variable x donde éste se cambia por el
cosa
y ese cambio si esto lo reemplaza en el
cuadrado por trigonometría es recordado
y el diferencial de área
y el diferencial de la col
es para el cuerpo de la integral o sea
lo que es el corazón del integral
diferencial del área y estos dos son los
límites integración es decir la
integración a 0 2 p para la del ángulo
que es la última 01 el radio del
diferencial de área este x cuadrado
malla cuadrado es r cuadrado que esta
economía 4 recordar que erre cuadrado
más 3 porque el 3 no se cambia una
constante y hay un adicional en el
diferencial
para que figuras está bueno estuve
paraboloide para que no lo saben
este máster es lo que hace que el
vértice en vez de la gloria el vértice
está en 0 03 porque si x 0 073 entonces
él nace en 0 03 y abre y por supuesto
hacia arriba porque el pse está positivo
y todo es positivo y abre como un
recipiente como una vasija hacia el
infinito en z positivo eso lo que hace
este máster es que recomiendo utilizar
aplicaciones para graficar porque si tú
conoces las gráficas tendrás mucha
seguridad consolida se llama veo hebra
para hacer el sólido y darle la ecuación
para que usted lo hagan en casa
descarguen y obra es gratuito celular lo
pueden usar computadoras y no tiene
puestas un amigo pero aprende con la
tecnología y te ayudará en muchos
problemas sí que acompaña mejor ebro por
favor
muy bien ya quitamos mi obra porque
listos acaban de colocar el plano 70 que
el piso miran hacer la base del sólido
vamos a construir
tenemos el paraboloide como nace en 3 y
3 y es como un recipiente de como una
vasija es circular por cierto es que
seamos felices para volear elíptico como
número genérico pero en este caso
circular es redondo los reflejos que me
pueden dar las intersecciones son
circulares con respecto al cilindro que
ya lo voy a colocar mira
y el cilindro es infinito y córdoba de
acuerdo con un cilindro de radio uno el
me deja el proyecta el círculo que acaba
de analizar en el piso pero en el
espacio como le falta z es el eje
central de cómo se extiende en z de
manera vertical a un cilindro vertical
porque lo falta se mira pero tiene que
ser entre 740 este recipiente y el
cuerpo lo del cilindro todo el sólido
está atrapado en que dentro pero la tapa
es tiene esta concavidad la etapa tiene
está con cabeza esto es el circuito está
atrapado y adentro
el sol está atrapada ya adentro ahora
vamos a empezar a construir aquí va a
colocar esta curva es la que está en el
piso mira el reflejo hay una
intersección también
está aquí arriba mira que es cuando el
parábola de corta con un cilindro pero
obviamente deja el mismo reflejo no hay
problema cilindro se mantiene por sí
mismo
pero yo vista la superficie aquí el piso
ya lo puedo colocar el piso el sólido ya
lo van a ver
por aquí el cuerpo el sólido en un color
naranja y el verde que está aquí está
voy a retirar para que en el sólido como
va a quedar es rápido render el piso las
paredes del cilindro y el techo que
tiene que venir del corte porque el
cilindro corta el paraguay
entonces
voy a retirar 70 el problema porque ya
está el piso retiro el cilindro mira
cómo va a quedar alguna pallín y retiro
en para vuelo vídeo
señores este es el sol sin duda una
belleza más salud su marca es el socio
una belleza una base plana
sucede igual cero que el blanquillo el
techo es solo secta entonces obviamente
única el doble sólo necesita el techo
ves en un integral triple se pone cdc
está 0 a paraguay pero va a dar la misma
integral doble después por eso que te
digo que se indica y polares en este
ejercicio se unen los en un proceso que
puede poner ejercicio cualquier los dos
mundos o lo puedes conseguir en un texto
el mismo la mismo ejercicio por el
triple coinciden una belleza ver una
belleza ahora las ecuaciones para las
personas que están trabajando en casa lo
explican las que yo usé obviamente hay
varias formas de hacerlo es vayan
aprendiendo tengo un vídeo de
construcción de sólidos se lo dejo
también las tarjetas no deben de
revisarlo por las personas que
profesores entusiastas que trabajan
nuestros sólidos y aquí está el
paraboloide escribe hasta el cual sienta
igual a cero no sabías tal cual él
siguiendo lo escribe tal cual y
económico y corre bueno uno está en la
curva que va en el piso mira
la continencia por el piso este el piso
el círculo que van del piso azul
esta curva en la curva que va en la
intersección
está en la pared o sea el cilindro que
hace el cuerpo sólido y por último
para volver de que si lo puse en
coordenadas esféricas está completo y
mira
para que ustedes lo hagan en casa
revisen tienen que hacer trigonometría
tienen que hacer cálculos de esta manera
en el vídeo de construcción de sólidos
lo tiene para aquellas personas que
quieren reproducir esto si lo haces con
otros cálculos ron y yo lo hice con
otros comandos yo no hay problema con
tal de que te quede el sólido requerido
espero que les ayude estos comandos
tomen nota por favor y vamos a volver
para hacerla para terminar integral ya
el ejercicio es muy corto yo porque
hablo demasiado es todo eso es todo no
porque hablo mucho pero real eso es
rápido plantear el círculo de 0 2 es más
a los jueces por simetría con permiso
retiro acá ya saben que aquí pueden
reposar el vídeo aquí están todas las
situaciones
puede hacerlo por simetría porque porque
como es un volumen el paraboloide
simétrico entonces tú lo puedes hacer en
el primer instante ok el primer
cuadrante y multiplica por 4 pero no
sería el 0 2 piscinas si no es el
primero a este problema sale perfecto
por simétrico esto pueden ser solamente
esta es de 0 a pri medio y multiplicar
por 4
y ya eso es todo
usted sale porque lo divide en cuatro
partes como aplicar un pedazo de torta
un pedazo de pastel agarrar un cuarto de
pastel al cual picar un cuarto de pactar
es un pastel de pita un cuarto pastel y
listo
bueno señores vamos a la integral y a
terminar el problema gracias por su
paciencia
estamos de vuelta en la lámina la
integral esperándonos pero por supuesto
más colocar en nuestro trabajo aquí está
el sólido una belleza el z3 que más tres
que el techo y el cilindro x coro que
hay acuerdo algunos que a la vez me da
la imagen del piso hasta que me acabe
que es azul y ves acá el todo en la
pared naranja
ok está completo y vamos a integrar eso
es todo el r&s distributiva el radio y
queda es recupere esto es rutinario pues
polinómica algebraico tolera en la
descripción del vídeo desde un curso de
integrales derivada de facturación que
pueden recomendar a sus amigos si tiene
hermanos familiares estudiantes
profesores también que me estén viendo
pueden recomendar esos cursos tan
completo es totalmente gratuito ya que
hace falta mucha capacitación en casa
está en la descripción del vídeo vamos a
integrar la de cubos quedar en cuatro
sobre cuatro r recuerdo sobre dos de 01
el seno no lo voy a evaluar porque no
hace falta sólo el 1 1 a la 4 es un
cuarto y aquí uno queda un medio sería
un cuarto más tres medio no hay que
hacer mucho esfuerzo realmente un cuarto
master y la integral del diferencial del
ángulo
hay mucho que decir de 02 piel 0 no hace
falta sólo voy a con lo colocado que un
cuarto más tres medios siete cuartos lo
puede hacer con calculadora suma cruzada
como tú que por mínimo como tú quieras
el 2 y el 4 simplifica y tenemos la
respuesta en unidades cúbicas que el
volumen prevén de la cámara que ahora sí
lo tenemos prende la cámara y la
respuesta el volumen es 7 pri medio
unidades kubica es la respuesta correcta
simplificar acá y ya los hijos es el
volumen está contenido en este cilindro
con esta etapa y estar concavidad que
está acá para un ejercicio muy
interesante porque aprende nos ayuda a
esas personas de sus primeros pasos
porque en muchas personas les cuesta
estos temas porque he recibido muchos
mensajes de las gracias por sus
bendiciones por sus cariños y por su
apoyo con mi canal hace que crezca sus
recomendaciones impulsa a apoyarles con
más contenidos utilice que ustedes
aprendan no sólo dar el pescado sino
enseñar a pescar como dicen por allí así
que bueno para mí un honor compartir con
ustedes ayudarlos al culo multivariable
por supuesto la verificación de la
integral doble con maple
lo utilizo mucho siete medios de pi ahí
lo tienen la respuesta correcta les dejo
en todos mis correos mis redes sociales
en la descripción del vídeo que eso te
gustaría ver acá trató de atender las
consultas en la velocidad que podemos
ver llegar muchos mensajes diarios acá
para que se suscriban al like comparte
la campanita se tributó el problema y
aquí la sección que tanto comentó entre
la doble y triple pozos revisa la que te
va a ayudar mucho estoy seguro que sí
gracias por tu apoyo que la fuerza te
acompañe y no en el próximo decepción
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