Limite de una Función con Valor Absoluto en el Denominador Límites Algebraicos Límite en un Punto

Summary

本视频讲解了如何计算函数在特定点的极限，重点是对函数 f(x) = 5x / |x + 4| 在 x = -4 处的极限进行分析。通过计算左右极限，我们发现无论从右边还是左边逼近，极限都趋向于负无穷。因此，该点的极限不存在。视频通过详细的步骤和图示，帮助理解极限的计算过程，特别是如何处理绝对值函数的分母为零的情况。

Takeaways

• 😀 计算极限时，要检查左右极限是否相等，并且它们的值应该是有限的，而不是无限大的。
• 😀 本题中，我们计算的是当 x 趋近于 -4 时，函数 5x / |x + 4| 的极限。
• 😀 函数 f(x) = 5x / |x + 4| 在 x = -4 时不定义，因为在该点分母为零。
• 😀 为了验证极限是否存在，必须计算右侧和左侧的极限，并确保它们相等且是有限的。
• 😀 右侧极限（x > -4）时，|x + 4| 等于 x + 4，因此极限为 -∞。
• 😀 左侧极限（x < -4）时，|x + 4| 等于 -(x + 4)，计算结果也是 -∞。
• 😀 因为右侧和左侧的极限都趋向于 -∞，所以函数在 x = -4 处的极限是 -∞。
• 😀 由于左右极限都趋向于 -∞，而不是一个有限值，函数在 x = -4 处的极限不存在。
• 😀 图形上，函数在 x = -4 附近会趋向于 -∞，不论是从右侧还是左侧。
• 😀 总结：如果左右极限相等且为有限值，函数在该点的极限才存在；否则，极限不存在。

Q & A

什么是绝对值函数？

绝对值函数是指将一个数的负值转换为正值，例如，|x + 4| 会根据 x + 4 的符号而表现不同：当 x + 4 ≥ 0 时，|x + 4| = x + 4；当 x + 4 < 0 时，|x + 4| = -x - 4。

在本例中，为什么函数在 x = -4 处没有定义？

函数 f(x) = 5x / |x + 4| 在 x = -4 处没有定义，因为当 x = -4 时，|x + 4| = 0，导致分母为 0，除以零是没有定义的。

什么是侧限的概念？

侧限是指当 x 接近某个特定值时，函数从左侧（x 值比该点小）或右侧（x 值比该点大）趋近的极限值。侧限要求左侧极限和右侧极限相等且有限，才能得出该点的极限值。

如何计算右侧极限？

右侧极限是指当 x 从比 -4 大的值趋近 -4 时的极限。在本例中，x > -4 时，|x + 4| = x + 4，因此函数成为 5x / (x + 4)，计算得右侧极限是负无穷。

如何计算左侧极限？

左侧极限是指当 x 从比 -4 小的值趋近 -4 时的极限。在本例中，x < -4 时，|x + 4| = -x - 4，因此函数成为 5x / (-x + 4)，计算得左侧极限也是负无穷。

为何右侧和左侧的极限都为负无穷？

当 x 接近 -4 时，分母趋近于零，而分子恒为负数。无论是从右侧接近还是左侧接近，结果都是负无穷。这是因为分子和分母的符号始终使得最终结果为负无穷。

什么情况下函数的极限不存在？

当函数的左右极限不相等，或者其中一个极限是无限大的情况下，函数在该点的极限就不存在。在本例中，左右极限都为负无穷，因此极限不存在。

为什么说这个极限是无穷大的？

这个极限是无穷大的，因为当 x 接近 -4 时，分母的绝对值接近零，而分子始终是负数，因此值会趋近于负无穷。这表明极限不存在且趋向无穷。

如何通过图形理解这个极限？

通过图形可以看到，当 x 接近 -4 时，函数的值会快速下降到负无穷。在 -4 处，函数没有定义，因此图形在这个点有一个断点，且从左侧和右侧都趋向负无穷。

如果极限存在，会有什么样的结果？

如果极限存在，左右极限必须相等，并且应该是一个有限的数值。如果存在且是有限的，那么可以给出一个具体的极限值。如果是无穷大或无穷小，则说明极限不存在。