Historia de las matemáticas y sus aplicaciones
Summary
TLDREste script ofrece una visión fascinante de la evolución y la importancia de las matemáticas en nuestra vida cotidiana. Aborda desde los orígenes de los números y la lógica, pasando por el desarrollo del álgebra y la geometría, hasta las aplicaciones modernas en la criptografía y la física. Se mencionan figuras históricas como Euclides y su algoritmo, así como teorías contemporáneas como la del caos y la teoría de grupos. Además, se exploran conceptos avanzados como la teoría de conjuntos, la transformada de Fourier y la topología, destacando su relevancia en campos tan diversos como la informática, la economía y la biología. El guión también destaca la conexión entre las matemáticas y la resolución de problemas del mundo real, promoviendo el aprendizaje y la apreciación de esta disciplina fundamental.
Takeaways
- 📐 Los números y el sistema numérico de 10 dígitos provienen probablemente de que los humanos tienen 10 dedos.
- 🧮 La lógica es uno de los pilares fundamentales de las matemáticas, y se ha utilizado desde hace más de 2500 años.
- 🔢 El álgebra euclidiana, o el algoritmo del máximo común divisor (MCD), es un ejemplo de un algoritmo matemático que tiene aplicaciones en la criptografía moderna.
- 🔒 La criptografía se basa en la teoría de números y es esencial para proteger la información confidencial en línea.
- 🌐 La topología, que estudia las propiedades de los espacios sin considerar las longitudes y ángulos, tiene aplicaciones en la física, robótica e informática.
- 📊 La transformada de Fourier es una herramienta matemática clave en el análisis de señales y la mecánica cuántica.
- 🔗 La teoría de grafos es una rama de las matemáticas que modela las conexiones entre nodos y tiene aplicaciones en informática, redes sociales y seguridad.
- ⛓ La teoría de grupos, que estudia la simetría y las estructuras algebraicas, se aplica en la química, la física y la criptografía.
- 🧠 La teoría de conjuntos, que trabaja con colecciones de objetos y sus relaciones, es fundamental en muchas ramas de las matemáticas.
- 🎲 Las matemáticas aplicadas a las probabilidades, como las cadenas de Markov, son importantes en la modelización de eventos y sistemas dinámicos.
- ⚖️ La teoría de juegos, que estudia las estrategias y decisiones en situaciones competitivas, tiene implicaciones en la economía, la informática y otros campos.
Q & A
¿Por qué usamos un sistema numérico de 10 dígitos?
-Se cree que los 10 dígitos provienen del hecho de que los humanos tenemos 10 dedos, aunque no hay una razón matemática fundamental para ello. Esto ha llevado a que después del 9, el siguiente número sea el 10, requiriendo un nuevo lugar en la unidad.
¿Por qué podría ser más fácil la aritmética con un sistema de 12 dígitos?
-La aritmética podría ser más fácil con 12 dígitos porque 12 es divisible por más números que 10, lo que simplificaría ciáculos como el de encontrar el máximo común divisor de dos números.
¿Qué es la lógica y cómo se relaciona con las matemáticas?
-La lógica es uno de los fundamentos más antiguos de las matemáticas y es esencial para demostrar teoremas. Se trata de un lenguaje muy formal que permite a los matemáticos estar de acuerdo en las afirmaciones y demostraciones lógicas, como el ejemplo de 'si llueve, el suelo está mojado'.
¿Quién fue Euclides y qué importancia tiene su contribución a las matemáticas?
-Euclides fue un matemático clásico que publicó una serie de trece libros conocidos como 'Elementos', que son considerados como el texto más influyente de todos los tiempos. Uno de sus conceptos importantes es el algoritmo euclidiano, que calcula el máximo común divisor de dos números de manera eficiente.
¿Cómo se relaciona la criptografía con las matemáticas?
-La criptografía utiliza técnicas matemáticas para convertir información sensible en algo que no puede ser entendido por nadie más que el receptor. Ciertos métodos de cifrado, como RSA, se basan en la dificultad de dividir grandes números en factores primos, lo que involucra la teoría de números enteros y algoritmos como el euclidiano.
¿Qué es la transformada de Fourier y para qué se utiliza?
-La transformada de Fourier es una herramienta matemática que permite dividir cualquier función en una suma de funciones de seno y coseno. Es ampliamente utilizada en mecánica cuántica y procesamiento de señales para analizar y revelar propiedades de señales físicas que no son aparentes a simple vista.
¿Qué es la teoría de grupos y cómo se relaciona con la simetría?
-La teoría de grupos es el estudio de grupos, que son conjuntos de elementos con una operación que satisface ciertas condiciones. Se relaciona con la simetría porque los grupos pueden describir las propiedades simétricas de objetos y sistemas, y se aplica en campos como la química, la criptografía y la física.
¿Qué es la teoría de conjuntos y cómo se relaciona con otros campos de las matemáticas?
-La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que trabaja con colecciones de objetos conocidos como conjuntos. Se relaciona con otros campos como la teoría de grupos, la topología y la teoría de grafos, ya que proporciona herramientas para analizar intersecciones, uniones, subconjuntos y otros conceptos fundamentales.
¿Qué es la cadena de Markov y cómo se relaciona con la probabilidad?
-La cadena de Markov es un modelo estadístico que describe eventos en los que la probabilidad de un evento depende solo del evento anterior y no de eventos más lejanos. Se relaciona con la probabilidad en que permite predecir la evolución de sistemas a lo largo del tiempo, como la migración de población entre ciudades.
¿Qué es la teoría de juegos y cómo se aplica en diferentes campos?
-La teoría de juegos es el estudio de la estrategia y la toma de decisiones lógicas en situaciones competitivas. Se aplica en economía, informática, y otros sectores para modelar interacciones y optimizar decisiones, como en la computación en la nube, subastas, fusiones y adquisiciones.
¿Qué es el efecto mariposa y cómo se relaciona con la teoría del caos?
-El efecto mariposa es un concepto de la teoría del caos que describe cómo un cambio minúsculo en las condiciones iniciales puede causar grandes diferencias en el resultado a largo plazo. Se relaciona con la teoría del caos en que ilustra la sensibilidad de los sistemas dinámicos a las condiciones iniciales.
¿Qué es la conjetura de Poincaré y cómo se relaciona con los problemas del milenio?
-La conjetura de Poincaré es uno de los siete problemas del milenio, muy difíciles dentro de las matemáticas, cada uno de los cuales viene con un premio de un millón de dólares. La conjetura fue probada en 2003 y se relaciona con los problemas del milenio en que representa uno de los pocos problemas que han sido resueltos hasta la fecha.
Outlines
😀 Origenes de las Matemáticas y Lógica
Este párrafo explora los orígenes de las matemáticas, que comenzaron con los números y el conteo. Se cuestiona si los números fueron inventados o ya existían. Se menciona el uso del sistema numérico de 10 dígitos y su posible origen en los 10 dedos humanos. Además, se discute la lógica como uno de los pilares de las matemáticas, con ejemplos de problemas lógicos simples que muestran la importancia del razonamiento formal. Finalmente, se destaca el algoritmo euclidiano, su relevancia en la criptografía y su impacto en la seguridad de la información.
📚 Avances en Matemáticas y Cálculo
Este párrafo abarca la introducción del cálculo en el siglo 17, su impacto en las matemáticas y la física, y cómo牛顿 utilizó el concepto de derivada para analizar cambios instantáneos. Se describe el cálculo como una herramienta esencial para entender el movimiento de planetas, ondas electromagnéticas y otros fenómenos. Además, se menciona la publicación de Euler sobre el problema de los puentes de Königsberg y el nacimiento de la teoría de grafos, así como sus aplicaciones en informática y la creación de Google. Finalmente, se toca la topología, su relación con la física y la robótica, y la transformada de Fourier, destacando su importancia en el procesamiento de señales.
🔢 Teoría de Números y Álgebra
Este párrafo se enfoca en la teoría de números y la álgebra. Comienza discutiendo la teoría de grupos, su importancia en la simetría y sus aplicaciones en diversas disciplinas, como la química y la física. Luego, se explora el álgebra de Boole y su influencia en la informática y la tecnología. Seguidamente, se introduce la teoría de conjuntos y la distinción entre conjuntos contables e no contables, con ejemplos de números enteros, racionales e irracionales. Finalmente, se menciona la cadena de Markov y su aplicación en la modelización de eventos con probabilidades dependientes del evento anterior.
🎲 Teoría de Juegos y Probabilidad
Este párrafo aborda la teoría de juegos y la probabilidad. Se describe el modelo de cadena de Markov y su utilidad en la predicción de eventos en sistemas en los que las probabilidades dependen del evento anterior. Se menciona el trabajo de John von Neumann y cómo la teoría de juegos ha influido en la economía y la informática. Se destaca el dilema del prisionero como un ejemplo de juego de suma cero y se exploran las aplicaciones modernas de la teoría de juegos en la computación en la nube y en la economía. Finalmente, se toca el problema de los tres cuerpos y el surgimiento de la teoría del caos, destacando su importancia en la robótica y la criptografía.
🌐 Teoría de la Relatividad y Problemas del Milenio
Este párrafo finaliza el script con la teoría de la relatividad general de Einstein y el teorema de Fermat, que permaneció sin resolver durante 300 años hasta que Andrew Wiles lo demostró en 1994. Se mencionan los problemas del milenio, los cuales son siete desafíos matemáticos con un premio de un millón de dólares cada uno, y se destaca que sólo ha sido resuelto uno: la conjetura de Poincaré. Se invita al público a aprender más sobre estos temas a través de los recursos proporcionados y se promueve la interacción con el canal a través de las redes sociales.
Mindmap
Keywords
💡Números
💡Lógica
💡Álgebra
💡Geometría
💡Cálculo
💡Teoría de Grafos
💡Topología
💡Transformada de Fourier
💡Teoría de Grupos
💡Teoría de Conjuntos
💡Teoría del Caos
Highlights
El comienzo de las matemáticas se relaciona con los números y el conteo.
La pregunta ancestral sobre la invención de los números o si ya existían.
El sistema numérico de 10 dígitos no tiene una razón matemática detrás de su estructura.
La posibilidad de que los 10 dígitos provengan de los 10 dedos humanos.
La lógica es uno de los fundamentos más antiguos y perdidos en las matemáticas.
La introducción de la geometría y la comprensión de las afirmaciones lógicas.
El algoritmo euclidiano, uno de los primeros algoritmos matemáticos descubiertos.
La importancia del algoritmo euclidiano en la criptografía moderna.
La teoría de números es crucial para la seguridad en línea y la protección de información confidencial.
La agencia de seguridad nacional como el mayor empleador de matemáticos en los EE. UU.
El descubrimiento del número pi y su aproximación a través del tiempo.
La introducción del cálculo en el siglo 17 y su impacto en las matemáticas y la física.
La teoría de grafos y su aplicación en la informática y la solución del problema de los puentes de Königsberg.
La importancia de la topología en la modelización de redes y en la robótica.
La transformada de Fourier y su impacto en la mecánica cuántica y el procesamiento de señales.
La teoría de grupos y su aplicación en la simetría, la química y la física.
La álgebra de Boole y su uso en la informática para simplificar circuitos lógicos.
La teoría de conjuntos y su relevancia en la matemática moderna.
La cadena de Markov y su aplicación en la modelización de eventos probabilísticos.
La teoría de juegos y su importancia en la toma de decisiones en situaciones competitivas.
El problema de los tres cuerpos y el comienzo de la teoría del caos.
La conjetura de Poincaré y su resolución en 2003 como uno de los problemas del milenio.
Transcripts
el comienzo de las matemáticas se dio
con los números y el conteo de los que
los humanos no sabían nada una de las
preguntas ancestrales es inventamos los
números o ya estaban allí usamos un
sistema numérico de 10 dígitos pero no
hay ninguna razón matemática para eso ni
para que no tengamos 9 dígitos es decir
que después del 8 el siguiente número
sería 10 porque nos quedaría sin dígitos
y necesitaríamos restablecer el lugar de
las unidades de acero y luego agregar un
1 esto representaría lo que conocemos
como 9 si hubieran 9 dígitos creemos que
los 10 dígitos provienen del hecho de
que tenemos 10 dedos de hecho muchas
veces solo usamos dos dígitos el sistema
binario los matemáticos dicen que
podríamos elegir 12 dígitos y la
aritmética sería mucho más fácil ya que
12 es divisible por más números que 10
uno de los fundamentos más antiguos de
las matemáticas que muchas personas han
perdido hoy en día es la lógica aunque
se realizaron muchos avances en este
campo en los siglos 19 y 20 comenzó hace
unos 2500 años en una clase de lógica
hoy habrá ejemplos extraños de problemas
que involucran solo pensar como esta
oración
si llueve entonces
el suelo está mojado digamos que esto es
verdad es esta otra afirmación también
cierta si el suelo no está mojado
entonces no está lloviendo
cualquiera que haya aprendido lógica
básica que incluso incluye geometría
puede responder esto en un segundo otros
pueden necesitar un poco más de tiempo
pero estas dos afirmaciones son de hecho
lógicamente lo mismo siempre que dicen
si pasa algo sucede esto otro es lo
mismo que decir si no pasa lo segundo
entonces tampoco lo primero si un ángulo
es de 40 grados entonces es agudo y si
un ángulo no es agudo entonces no es de
40 grados son lógicamente lo mismo estos
conceptos pueden parecer extraños pero
en matemática necesitamos un lenguaje
muy formal en el que todos estemos de
acuerdo para demostrar teoremas
difíciles de entender si nos pidieran
probar que el enunciado si x al cuadrado
es para entonces x es par también pueden
probar si x + para entonces x al
cuadrado tampoco es para probar una
prueba automáticamente al otro y aunque
este es un ejemplo fácil en las
matemáticas más avanzadas se necesita
una comprensión muy clara del lenguaje y
la lógica detrás de cada afirmación hace
poco más de 2000 años
el matemático que les publicó una serie
de trece libros conocidos como elementos
que puede considerarse como el libro de
texto más influyente de todos los
tiempos hay muchas cosas para hablar de
estos libros pero un concepto importante
es el algoritmo euclidiano o el
algoritmo del pld es uno de los primeros
algoritmos matemáticos que se ha
descubierto un algoritmo es una serie de
pasos que resuelve un problema ejecutado
con frecuencia pero no siempre por una
computadora el algoritmo calcula el
máximo común divisor de dos números de
manera eficiente encontrar el número más
grande que entra digamos en 714 y 1.054
no sería tan difícil pero podría tomar
un poco de tiempo encontrar la respuesta
que es 34 podemos usar el algoritmo no
explicaré cómo funciona pero implica
aritmética básica de la escuela primaria
y al usarlo podrán averiguar la
respuesta a manu en menos de un minuto
mencioné este algoritmo porque se
extiende al campo de la criptografía que
son técnicas y garantiza una
comunicación segura en presencia de
adversarios como los piratas
informáticos al poner información
sensible en línea el texto normal se
encripta usando técnicas matemáticas que
lo convierten en algo que no puede ser
entendido por uno
y nadie al menos hasta que sea
desencriptado para lo cual necesita una
clave secreta que solo el receptor tiene
aunque hay varios métodos de cifrado
ciertos tipos como rsa se basa en el
hecho de que es muy difícil dividir
grandes números en factores primos la
criptografía involucra a la teoría de
números o el estudio de números enteros
razón por la cual el algoritmo
euclidiano de antes tiene aplicaciones
en este campo esto es lo que protege
nuestras contraseñas números de tarjetas
de crédito y cualquier tipo de
información confidencial en línea la
enee sea la agencia de seguridad
nacional es el mayor empleador de
matemáticos en los eeuu ya que necesitan
que creen y descifra en estos códigos y
se crean que la criptografía es reciente
ya que las computadoras no han existido
ni siquiera durante un siglo pero se
remonta a cientos de años atrás cuando
las cartas estaban cifradas con fines de
privacidad se usaron técnicas para
descifrar estos mensajes en las cartas
de maría reina de escocia que revelaban
que había autorizado un intento de
asesinato de la reina isabel y fue
ejecutada en 1587 luego hubo varios
cientos de años de descubrimientos que
todos conocemos muy bien
el descubrimiento de pi que en realidad
requirió mucho trabajo para precisar
exactamente se aproximó a 3 125 y 3 16
durante un tiempo hasta que varios años
después se hicieron mejores
aproximaciones luego logaritmos
geometría álgebra coordenadas
cartesianas básicas y números complejos
sobre los que hice un vídeo todos se
descubrieron hace cientos o miles de
años no hablaré de ellos si quieren un
dato divertido el radio de la tierra se
aproximó en el siglo 3 antes de cristo-
con una precisión de casi el 99 por
ciento usando el razonamiento deductivo
de geometría básica y midiendo la
longitud de una sombra ahora saltaré al
siglo 17 cuando se introdujo el cálculo
en el mundo lo que cambiarían las
matemáticas y la física para siempre
newton quería analizar las tasas de
cambio no como el promedio en la
pendiente promedio sino en un instante
esta tasa instantánea de cambios se
conoció como una derivada que indique el
cambio en un parámetro con respecto a
otro en un instante específico por
ejemplo si la velocidad cambia
constantemente el álgebra puede decirles
la velocidad promedio pero el cálculo
puede decirles la velocidad exacta de
como lo haría una pistola de radar esto
nos dio información importante sobre el
movimiento de los planetas el cambio de
velocidad en órbita el movimiento y
comportamiento de las ondas
electromagnéticas se expresa a través
del cálculo y la resistencia de un
objeto a la rotación se calcula
utilizando técnicas de cálculo y el
cálculo del trabajo realizado en una
partícula que se mueve en un campo
vectorial complejo requiere cálculo el
cálculo se usa dentro de la economía y
la maximización de las ganancias en
química en las tasas de difusión y otros
campos tiene incontables aplicaciones y
ya sea que estudien ingeniería física
matemáticas química biología o hasta
negocios en la universidad la
universidad comenzará con una serie de
cursos de cálculo que se utilizarán más
adelante en el próximo año en 1736
lenard euler publicó un artículo sobre
el problema de los puentes de con expert
el primer artículo en teoría de grafos
la pregunta era bastante simple se puede
cruzar cada puente exactamente una vez
por supuesto sin entrar al agua
pueden probarlo si quieren pero les
advierto que blair demostró que e
imposible la teoría de grafos no se
trata de las gráficas de la escuela
secundaria un grafo aquí se compone de
nodos y bordes que se conectan tiene una
amplia variedad de aplicaciones y muchas
se encuentran en el campo de la
informática un gráfico puede representar
personas y sus conexiones podrían
representar la compatibilidad y aquí los
sitios de citas necesitan usar
algoritmos para crear las mejores
coincidencias los nodos podrían ser
ciudades y los bordes las rutas que las
conectan necesitamos averiguar la más
corta entre una y otra
otro grafo podría representar cómo
estamos conectados a través de las redes
u otra estructura social esto se conoce
como análisis de redes sociales que se
usa en aplicaciones de seguridad para
mapear información sobre organizaciones
terroristas o pandillas callejeras para
recalcar el poder de la teoría de grafos
los graduados en ciencias de la
informática larry page y sergey brin
ganaron miles de millones de dólares en
los años 90 usaron la teoría de grafos
de tal manera que los nodos
representaban sitios web en internet y
si un sitio web se conectaba a otro
quedaba representado por un borde
más bordes haría mejor era esa página
web este algoritmo para clasificar las
páginas web se convirtió en lo que ahora
es google a partir del problema de los
puentes de con expect se creó la teoría
de grafos pero también el campo de la
topología es uno de los cursos de
matemáticas más avanzados para los que
estudian matemáticas aquí deben
olvidarse de las longitudes y ángulos
como en geometría ya que en este campo
se preocupan más por la conexión y los
agujeros doblar y estirar está
totalmente bien y no cambia las
propiedades del espacio que nos importa
por esta razón en topología dicen que
una rosquilla y una taza de café son lo
mismo la pregunta de si se puede
transformar un objeto en otro o si los
dos son ume morphos es importante dentro
de la topología analizarán formas
complejas objetos de dimensiones
superiores nudos etcétera
esta clase permite comprender las
matemáticas de cosas como cortar una
tira de moebius por la mitad que hice en
un vídeo anterior o revela
matemáticamente cómo darle la vuelta a
una esfera sin cortarla ni rasgar la ni
hacer pliegues pero sí permitiendo
algunas intersecciones es ésta una
esfera dándose vuelta
se aplica campos de la física como la
teoría cuántica de campos o la
cosmología y en la relatividad afirma
que el espacio-tiempo es una variedad
florenciana de cuatro dimensiones y
analiza estos conceptos dentro de la
topología en robótica y planificación
del movimiento todos los estados
posibles en los que puede estar el robot
o el espacio de configuración pueden
modelar se usando conceptos de topología
en informática la topología se usa para
modelar cómo se conectan las redes y
cómo fluyen los datos y en las teorías
de nudos usadas en biología para
analizar cómo las enzimas cortan y
vuelven a conectar el adn en 1822 joseph
fourier publicó un artículo sobre el
flujo de calor y mientras trabajaba en
él hizo un descubrimiento con una amplia
gama de aplicaciones ahora la llamamos
transformada de fourier determinó que
cualquier función sin importar lo
extraño que pareciera podría dividirse
en una suma de funciones de seno y
coseno si se toman varias de estas
funciones y se eligen las frecuencias y
amplitudes adecuadas pueden sumarlas
para hacer cualquier función esto tiene
muchas aplicaciones pero las principales
son en la mecánica cuántica y
procesamiento de señales al observar
señales ya sea una señal de radar o de
una imagen digital
de sonido luz la señal física en sí
puede ser bastante complicada y no nos
dice mucho usando el análisis de fourier
podemos dividir la señal en las
funciones trigonométricas que la
componen y que revelan propiedades que
no se pueden ver visualmente como si la
señal estuviera compuesta de fuentes de
frecuencia alta o fuentes de frecuencia
más baja aunque es difícil rastrear una
fecha específica los fundamentos de un
campo conocido como teoría de grupos
comenzaron a principios del siglo 18 se
trata del estudio de grupos que son un
conjunto de elementos que junto con
alguna operación satisfacen determinadas
condiciones por esta razón el conjunto
de enteros que se suman es un grupo si
eligen dos enteros cualesquiera y lo
suman obtienen otro entero que está en
el conjunto también existe un número
entero en el conjunto en este caso el 0
al que se le agregan cualquier número
del conjunto obtendrán el mismo número
también para cualquier número del
conjunto existe otro tal que si lo suman
obtienen la identidad de antes
que era cero en este caso por último el
orden de ciertos números en la suma no
cambia el resultado estas 4 propiedades
de cierre elemento de identidad elemento
inverso y asociatividad significan que
el conjunto es un grupo esto parece
extraño y aleatorio pero el grupo 3 nos
brinda mucha información sobre las
matemáticas de la simetría esto se
aplica a conjuntos de números y a otros
conjuntos como las manipulaciones en un
cubo rubik es decir las formas en que el
cubo puede modificarse para formar un
grupo con sus propiedades únicas en
nuestro último ejemplo con números
enteros vemos que el orden de los
números no importa cuando los sumamos el
hecho de que podemos intercambiar dos
números y obtener el mismo resultado
significa que el grupo es conmutativo o
abel ya no sabiendo esto queremos saber
si el grupo de las posibles
manipulaciones del cubo rubik es abel ya
no si gira la parte inferior 90 grados y
luego la cara frontal es lo mismo que
girar la cara frontal y luego la
inferior quizá deban pensarlo pero la
respuesta es no no es un grupo abel ya
no no necesitan la teoría de grupos para
resolver un cubo de rubik pero si da una
idea de las
matemáticas detrás de este esta
matemática de la simetría tiene
aplicaciones en química por ejemplo los
grupos pueden clasificar ciertas
estructuras cristalinas y simetrías
dentro de las moléculas puede aplicarse
a la criptografía de clave pública y en
física por ejemplo el teorema del éter
explica que la simetría de un sistema
corresponde a una ley de conservación
esto nos llevó una mejor comprensión de
la teoría general de la relatividad de
einstein el álgebra de bühl que se
descubrió en el siglo 18 es álgebra que
usa sólo unos y ceros y se puede usar en
aplicaciones informáticas con el álgebra
de bühl se puede simplificar la cantidad
de puertas lógicas de un circuito que
son las que cambian y transmiten unos y
ceros dentro de una computadora cuantas
menos puertas haya más rápida será la
computadora en 1874 el matemático yori
cantor publicó un artículo titulado
sobre la propiedad de la colección de
todos los números algebraicos reales y
aquí comenzó la rama de las matemáticas
llamada teoría de conjuntos un conjunto
es una colección de objetos pueden ser
colores personas números primos números
pares etcétera cada miembro se conoce
como elemento del
la teoría de conjuntos trabaja con
intersecciones uniones subconjuntos o
conjuntos dentro de conjuntos ahora
hablaré de si un conjunto es contable o
no por ejemplo el conjunto de números
enteros que incluyen negativos positivos
y 0 es contable eso no significa que
pueda contar todos los elementos del
conjunto continua para siempre y por lo
tanto es un conjunto infinito pero es
contable bueno en realidad es infinito y
eso es porque puedo ordenar todos los
elementos de tal manera que nada se
repita nunca sin saltarme un número
puedo ordenarlos para tener 0 1 1 2
2 3 - 3 etcétera si sigo contaré todos
los números enteros que puedan nombrar
sin saltear me uno sobre esto puedo
asignar un número natural a cada
elemento del conjunto sin saltarme
ninguno una pregunta más difícil es si
los números racionales son contables los
números racionales son decimales que
terminan o decimales que continúan para
siempre pero se repiten 222 234 y que se
repite 2 594 etcétera todos son
racionales ahora podría alinear los de
tal manera que tenga un primer número
racional un segundo un tercero y así
sucesivamente para no saltarme nada
sorprendentemente se demostró que la
respuesta es si el conjunto es infinito
recuerden que los números racionales
pueden expresarse en relación a dos
enteros la prueba clásica es ordenar los
números racionales de manera inteligente
como en esta tabla hay filas y columnas
de números enteros y cada entrada es la
proporción de esos dos números podemos
empezar en la esquina superior izquierda
donde el 1 es el primer número racional
luego bajamos al siguiente para él
y luego en diagonal y continuamos
mientras saltamos los números racionales
que se repiten así llegaremos a
cualquier número racional que elijan
incluso este decimal repetido y por lo
tanto racional que es 67 sobre 241 si
seguimos así encontraremos esa fila de
67 la columna de 241 si estudian
matemáticas o ciencias de la computación
en la universidad aprenderán que el
conjunto de números irracionales no es
contable no hay forma de alinearlos y
enumerar los a todos sin omitir ni uno
esto significa que podríamos decir que
hay más números irracionales que
racionales aunque hay una cantidad
infinita de ambos también verán que el
conjunto de números reales que incluye
enteros decimales y el cuadrado de 2
etcétera tampoco es contable la teoría
de conjuntos tiene aplicaciones en
varios temas de los que hablamos como la
teoría de grupos topología teoría de
grafos y más cuando lanzan una moneda o
juegan a la ruleta cada evento es
independiente no importa que tiraron la
última vez las probabilidades de que
salga rojo en la siguiente siguen siendo
las mismas que antes
a principios del siglo 19 se trabajó en
un modelo estadístico que describe
eventos en los que la probabilidad
depende sólo del evento anterior este
modelo se conoció como cadena de marco
que incluye probabilidades de transición
y en estado estable imaginen que quieren
analizar la población de los ángeles y
nueva york para simplificar diremos que
las personas solo pueden moverse de una
a otra o quedarse quietas así que tal
vez cada año el 10% de las personas que
viven en los ángeles se mudan nueva
york' y el 90% de la gente se queda al
mismo tiempo cada año el 15% de las
personas en nueva york' se muda a los
ángeles y el 85% se queda en este
ejemplo es importante dónde están ahora
si se encuentra en los ángeles son nueva
york' podemos predecir si una persona se
mueve o no pero decir que una persona
tomo esta serie específica de
movimientos no importa para lo que viene
después usando ciertas técnicas en este
caso de álgebra lineal se puede
determinar cómo evolucionará el sistema
con el tiempo y si alcanzara algún
estado estable o no estos se aplican a
la termodinámica y representan ciertos
detalles desconocidos del sistema y en
los sistemas de reconocimiento de voz
modernos lo que define el rango de
de un sitio web tal como lo utiliza
google también a principios del siglo 19
se trabajaba sobre una estrategia en los
juegos de suma cero para dos personas o
juegos en los que la ganancia de una
persona se compensa con la pérdida de
otra este campo iniciado por john von
neumann en 1928 se conoció como teoría
de juegos y se expandió rápidamente a
mediados del siglo 20 para resumir el
estudio de la estrategia y la toma de
decisiones lógicas en situaciones
competitivas uno de los juegos más
famosos en los primeros días de este
campo fue el dilema del prisionero donde
ustedes y un cómplice estaban en prisión
por un crimen están separados y cada uno
tiene la opción de permanecer en
silencio o delatar al otro que en
función de lo que haga cada uno puede ir
a la cárcel o ser puesto en libertad la
pregunta aquí es que es lo mejor para
ustedes sobre todo sin saber lo que dirá
el otro este campo creció y ahora tiene
aplicaciones tanto en economía como en
informática y otros sectores en
informática existe la computación en la
nube y la teoría de juegos que se puede
utilizar para modelar interacciones
entre proveedores de la nube donde el
costo debe minimizarse mientras se
maximiza en otros factores
en economía se aplican las subastas
fusiones y adquisiciones para ver qué
parte tendrá más beneficios
análisis financiero lanzamiento de
productos y otros en 1880 el matemático
en el plan care estudio el problema de
los tres cuerpos que trata del estudio
del movimiento de masas de tres puntos
por ejemplo el movimiento de la luna la
tierra y el sol bajo el análisis de la
atracción gravitacional del otro estimar
el movimiento de dos cuerpos en órbita
es muy factible utilizando las leyes del
movimiento de newton pero con un tercero
que es muy difícil aunque descubrió que
pequeños cambios en la posición y la
velocidad inicial de estas masas
provocarían comportamientos muy
diferentes con el tiempo este fue el
comienzo de la teoría del caos un campo
de las matemáticas que trata con
sistemas dinámicos que son muy sensibles
a las condiciones iniciales después de
sus contribuciones
el estudio se estancó debido a la falta
de poder computacional finalmente edward
lawrence se encontró por accidente su
interés en este tema a través de su
trabajo en predicción metereológica a
principios de los años 60 se dio cuenta
de que al hacer un pequeño cambio en las
condiciones iniciales en su simulación
por computadora había grandes cambios en
el resultado
a largo plazo quizás algunos conozcan el
efecto mariposa un ejemplo metafórico en
el que una mariposa bate sus alas en un
lado del océano atlántico y puede causar
un tornado en el otro
semanas después este pequeño cambio en
las condiciones ambientales que causan
una gran diferencia es un concepto de la
teoría del caos y su nombre efecto
mariposa fue acuñado por edward lawrence
después de sus hallazgos con la
simulación meteorológica ahora podemos
usar la teoría del caos para analizar
sistemas como un péndulo doble o ver que
cambiar la altura inicial un poco cambia
mucho el recorrido se usa en robótica
para predecir el movimiento de un robot
y cómo se desarrollará con el tiempo y
también en criptografía las geodésicas
son curvas que representan el camino más
corto entre dos puntos en una superficie
curva una hormiga que vive en la
superficie la percibe como recta y
explica por qué las rutas de los aviones
en un mapa son un poco curvas esto es de
gran importancia para la teoría de la
relatividad general de einstein el
teorema de fermat que es fácil de
entender superficialmente no se resolvió
durante 300 años el teorema dice que no
existen tres números enteros como a mí
sé en dónde esto sea cierto hoy los que
hayan números enteros
mayores a 2 nadie pudo probar si era
cierto hasta hace unas décadas en 1994
cuando andrew wiles demostró el teorema
y descubrió que no hay números enteros
que prueben que esto sea cierto y aunque
el teorema es fácil de entender la
demostración implica una prueba
matemática muy rigurosa que cubre más de
100 páginas
por último los problemas del milenio son
siete problemas muy difíciles dentro de
las matemáticas y fueron decididos en
una conferencia hace aproximadamente dos
décadas cada pregunta viene con un
premio de un millón de dólares pero
hasta ahora sólo se ha resuelto una que
es la conjetura de poincaré probada en
2003
hay muchas más cosas de las que puedo
hablar pero terminaré el vídeo aquí para
los que quieran aprender más dejaré
recursos incluidos libros y conferencias
algunos de los cuales serán enlaces de
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en el próximo vídeo
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