Cálculo de los Autovectores de una matriz | Ejercicio resuelto

FísicayMates

23 Oct 201718:13

Summary

TLDREste video ofrece una explicación detallada sobre cómo calcular los autovectores asociados a los autovalores de una matriz. Se comienza hablando de los autovalores y su multiplicidad algebraica, y luego se profundiza en el cálculo de los autovectores para cada autovalor. Para el autovalor lambda 1, se demuestra que hay 1 o 2 autovectores asociados, y se resuelve un sistema de ecuaciones lineales para encontrarlos. Se utiliza el teorema de rango para determinar la cantidad de soluciones posibles y se obtienen dos autovectores que forman la base para generar los infinitos autovectores asociados a lambda 1. Para el autovalor lambda 2, que tiene una multiplicidad algebraica de 1, se confirma que hay un solo autovector asociado. El video también aborda la importancia de entender el teorema de Roche-Frobenius y cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales. Finalmente, el presentador anima a los espectadores a suscribirse al canal y a dejar sus dudas en los comentarios para recibir ayuda.

Takeaways

📚 Se continúa la explicación de conceptos vistos en un video anterior, específicamente sobre la cálculo de autovalores y autovectores.
🔍 Se han calculado previamente dos autovalores de la matriz: uno con multiplicidad algebraica 2 y otro con multiplicidad algebraica 1.
🌟 Los autovectores asociados al autovalor lambda 1 se denotan como 'h de lambda 1', y los asociados al autovalor lambda 2 como 'h de lambda 2'.
🧮 Se presenta una fórmula para determinar la cantidad de autovectores asociados a un autovalor dado, que varía entre 1 y su multiplicidad algebraica.
📐 Se resuelve un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los autovectores asociados al autovalor lambda 1, utilizando la matriz A menos el autovalor multiplicado por la matriz identidad.
🔢 Se destaca la importancia de entender el rango de una matriz y el teorema de Roche-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
📉 Se identifica que el rango de la matriz resultante no puede ser 3 para un sistema homogéneo, lo que indica la existencia de una única solución trivial (0,0,0).
🤔 Se calcula el rango de una matriz reducida al eliminar filas y columnas que no aportan información nueva para el sistema de ecuaciones.
🎯 Se utiliza un menor (sub-matriz) no nulo para encontrar la ecuación que representa al sistema de ecuaciones y, consecuentemente, la forma general de los autovectores.
🌀 Se describe el proceso para generar la base de autovectores a partir de la solución paramétrica, utilizando parámetros alfa y beta.
📝 Se confirma que el autovalor lambda 1 tiene dos autovectores线性无关 (1, -1, 0) y (1, 1, 0), mientras que lambda 2 tiene un solo autovector (0, 1, 1).
📚 Se recomienda la suscripción al canal y descargar el archivo PDF con los contenidos escritos en la pizarra digital para una mejor comprensión y resolución de dudas.

Q & A

¿Qué son los autovalores y cómo se calculan en la matriz proporcionada?
-Los autovalores son los escalares asociados a una matriz, que también son los factores por los cuales se amplía o reduce el volumen de un objeto en una transformación lineal. En el script, se menciona que los autovalores de la matriz son 1 con multiplicidad algebraica 2 y 0 con multiplicidad algebraica 1. Estos son encontrados a partir de la ecuación característica, que es el resultado de la matriz menos el autovalor multiplicado por la matriz identidad.
¿Qué son los autovectores y cómo se relacionan con los autovalores?
-Los autovectores son vectores no nulos que se transforman bajo una matriz en un múltiplo propio de sí mismos. Cada autovalor tiene un conjunto de autovectores asociados, que son vectores que satisfacen la ecuación Av = λv, donde A es la matriz, λ es el autovalor y v es el autovector correspondiente.
¿Cómo se determina el número de autovectores asociados a un autovalor dado?
-El número de autovectores asociados a un autovalor dado se determina por la dimensión de la base de autovectores, que es mayor o igual que 1 y menor o igual que la multiplicidad algebraica del autovalor. Esto indica que el número de autovectores puede ser entre 1 y la multiplicidad del autovalor.
¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones lineales para encontrar los autovectores?
-Para encontrar los autovectores, se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de la forma (A - λI)v = 0, donde A es la matriz, λ es el autovalor, I es la matriz identidad y v es el autovector a encontrar. Se busca la solución no trivial de este sistema, que son los autovectores.
¿Por qué es importante el conocimiento del teorema de Rouche-Frobenius al calcular autovectores?
-El teorema de Rouche-Frobenius establece una relación entre la dimensión de la base de autovectores y la multiplicidad algebraica del autovalor. Este conocimiento es crucial para entender el número de autovectores que se pueden esperar encontrar y para determinar si el sistema de ecuaciones lineales asociado tiene soluciones no triviales.
¿Cómo se calcula la dimensión de la base de autovectores para el autovalor λ1?
-La dimensión de la base de autovectores para el autovalor λ1 está comprendida entre 1 y 2, debido a que su multiplicidad algebraica es 2. Esto significa que habrá entre 1 y 2 autovectores independientes asociados con λ1.
¿Cuál es la ecuación que se forma al restar el autovalor de la matriz y multiplicarlo por la matriz identidad?
-La ecuación que se forma es (A - λI)v = 0, donde A es la matriz original, λ es el autovalor seleccionado, I es la matriz identidad y v es el autovector que se busca.
¿Cómo se identifica la base de autovectores para el autovalor λ1?
-La base de autovectores para el autovalor λ1 se identifica al resolver el sistema de ecuaciones lineales y encontrar los vectores que satisfacen la ecuación (A - λI)v = 0. En este caso, se obtienen dos autovectores independientes, que forman la base de autovectores para λ1.
¿Cómo se calcula la dimensión de la base de autovectores para el autovalor λ2?
-Dado que el autovalor λ2 tiene una multiplicidad algebraica de 1, la dimensión de la base de autovectores para λ2 está entre 1 y 1, lo que indica que hay exactamente un autovector asociado con λ2.
¿Cuál es la solución general de los autovectores para el autovalor λ2?
-La solución general de los autovectores para el autovalor λ2 se expresa paramétricamente como x = 0, y = -α y z = α, donde α es un número real. Esto significa que hay infinitos autovectores que se generan multiplicando el autovector real de la base por cualquier número real α.
¿Por qué la matriz utilizada para calcular los autovectores tiene una fila que se puede eliminar sin afectar al rango?
-La fila que se puede eliminar es totalmente de ceros o es una combinación lineal de otras filas del sistema, lo que significa que no aporta información adicional para el cálculo del rango. Eliminarla simplifica el proceso de resolución del sistema de ecuaciones lineales.
¿Cómo se determina si un sistema de ecuaciones lineales es compatible y tiene una única solución?
-Un sistema de ecuaciones lineales es compatible y tiene una única solución si su rango es igual al rango de la matriz aumentada (matriz de coeficientes más el vector solución). Si el rango es máximo (en el caso de un sistema de n ecuaciones y n incógnitas, el rango máximo es n), entonces el sistema tiene una única solución. En el caso de un sistema homogéneo, la única solución es el vector nulo si el rango es n.

Outlines

00:00

😀 Introducción y cálculo de autovalores y autovectores

El primer párrafo presenta una introducción al vídeo, enfocado en la física y las matemáticas, y continúa desde donde quedó la clase anterior. Se menciona que los autovalores de una matriz previamente analizada eran 1 y 0, con multiplicidades algebraicas de 2 y 1, respectivamente. El objetivo es calcular los autovectores asociados a estos autovalores. Se recuerda a los espectadores la terminología utilizada en el vídeo anterior y se les anima a suscribirse al canal y descargar el material en formato PDF para una mejor comprensión. Además, se aborda el cálculo de los autovectores para el autovalor lambda 1, destacando la importancia de la multiplicidad algebraica y cómo se determina el número de autovectores asociados a cada autovalor.

05:03

🧐 Análisis del sistema lineal y rango de la matriz

El segundo párrafo se enfoca en el proceso de cálculo de los autovectores asociados al autovalor lambda 1. Se describe la forma de presentar una expresión que indica el número de autovectores asociados a un autovalor dado. Se resalta la importancia de entender el rango de una matriz y el teorema de Roche-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se resalta la necesidad de resolver un sistema lineal dado por la matriz menos el autovalor multiplicado por la matriz identidad, lo que resulta en un vector nulo. Seguidamente, se aborda cómo se calcula el rango de la matriz y cómo esto indica el número de soluciones posibles para el sistema, concluyendo que el rango no puede ser 3 y, por lo tanto, la solución será la trivial (000). Finalmente, se busca un menor no nulo para determinar el rango y se obtiene una ecuación que representa la solución paramétrica de los autovectores.

10:04

📐 Construcción de la base de autovectores para lambda 1

El tercer párrafo continúa con el cálculo de los autovectores, ahora para el autovalor lambda 1. Se utiliza la forma general de la solución obtenida en el párrafo anterior para generar la base de autovectores. Se separan los parámetros alfa y beta y se identifican dos autovectores que forman la base. Se destaca que estos dos autovectores son suficientes para generar todos los autovectores asociados al autovalor lambda 1, y se explica cómo se hace esto a través de la multiplicación y suma de vectores. Se confirma que la dimensión de la base de autovectores es 2, lo que indica que hay exactamente dos autovectores asociados a este autovalor.

15:05

🔍 Cálculo del autovector asociado a lambda 2

El cuarto y último párrafo se enfoca en el cálculo del autovector asociado al autovalor lambda 2, que es 0 con una multiplicidad algebraica de 1. Se utiliza la misma fórmula vista anteriormente para determinar el número de autovectores, que en este caso es uno. Se plantea un sistema de ecuaciones lineales similar al del párrafo anterior, pero con lambda 2 sustituido por 0. Se resalta que el rango de la matriz no puede ser 3 y, tras analizar el rango, se concluye que es 2. Se resuelve el sistema, encontrando que la primera componente del autovector genérico es 0, y se asigna un parámetro alfa a la tercera coordenada. Finalmente, se obtiene la forma general de los autovectores y se identifica un solo autovector que forma la base de autovectores para el autovalor lambda 2.

Mindmap

Keywords

💡Matriz

Una matriz es una estructura de datos que organiza números en filas y columnas, y es fundamental en las matemáticas aplicadas y la física. En el video, la matriz se utiliza para calcular los autovalores y autovectores, que son conceptos clave en la diagonalización de matrices y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

💡Autovalores

Los autovalores son los escalares asociados a los autovectores en una matriz, y son fundamentales para la comprensión de las transformaciones lineales. En el video, se calculan los autovalores de la matriz y se exploran sus multiplicidades, que indican la cantidad de veces que un autovalor aparece en el espectro espectral de la matriz.

💡Autovectores

Los autovectores son vectores que, cuando se transforman mediante una matriz, se multiplican por un escalar (el autovalor asociado). Son esenciales para la diagonalización de matrices y se calculan a partir de ecuaciones lineales asociadas a los autovalores. En el video, se resuelven sistemas de ecuaciones para encontrar los autovectores asociados a cada autovalor.

💡Multiplicidad algebraica

La multiplicidad algebraica de un autovalor es el número de veces que aparece en el polinomio característico de una matriz. Indica la cantidad de autovectores linealmente independientes que puede haber asociados a ese autovalor. En el video, se menciona la multiplicidad algebraica para determinar el rango de la matriz y la cantidad de autovectores que se esperan encontrar.

💡Teorema de Roche-Frobenius

El teorema de Roche-Frobenius establece una relación entre el rango de una matriz y el número de soluciones de un sistema lineal asociado. En el video, se hace referencia a este teorema para entender cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales y para determinar el número de autovectores que existen para un autovalor dado.

💡Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. En el video, se resuelve un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los autovectores asociados a los autovalores de una matriz, lo que es crucial para la comprensión de las transformaciones lineales y la diagonalización de matrices.

💡Diagonalización

La diagonalización es el proceso de encontrar una base en la que una matriz se convierte en una matriz diagonal. Esto se logra mediante la búsqueda de autovalores y autovectores. En el video, la diagonalización es el objetivo final, ya que permite simplificar la representación de la matriz y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

💡Rango de una matriz

El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes en la matriz, y es crucial para determinar la solubilidad de un sistema de ecuaciones lineales. En el video, se discute cómo el rango de una matriz modificada (restando el autovalor de la diagonal) afecta la cantidad de autovectores que se pueden encontrar.

💡Vector cero

El vector cero es un vector con todas sus componentes iguales a cero. En el contexto del video, el vector cero representa la solución trivial de un sistema de ecuaciones lineales, y su existencia indica que el sistema no tiene soluciones únicas, lo que es importante al buscar autovectores no triviales.

💡Solución paramétrica

Una solución paramétrica es una forma de escribir las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales usando una o más variables auxiliares (parámetros). En el video, las soluciones paramétricas se utilizan para expresar los autovectores en términos de parámetros, lo que permite generar una base de autovectores que, a su vez, puede generar todos los autovectores asociados a un autovalor.

💡Base de autovectores

La base de autovectores es un conjunto de autovectores linealmente independientes que se utilizan para generar todos los autovectores asociados a un autovalor. En el video, se busca encontrar la base de autovectores para cada autovalor, que es crucial para la diagonalización de la matriz y la comprensión de las transformaciones lineales.

Highlights

Se continúa el análisis de una matriz en el canal de física y matemáticas.

Los autovalores calculados en el video anterior son lambda 1 y lambda 2, con multiplicidades algebraicas de 2 y 1 respectivamente.

Se recuerda la definición de los conjuntos de autovectores asociados a cada autovalor, llamados H de lambda 1 y H de lambda 2.

Se presenta una expresión para determinar el número de autovectores asociados a un autovalor dado.

Se calcula que para lambda 1, el número de autovectores es entre 1 y 2, indicando la presencia de 1 o 2 autovectores.

Se describe el procedimiento para calcular los autovectores asociados a lambda 1, involucrando la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.

Se resalta la importancia de conocer el rango de una matriz para determinar las soluciones de un sistema lineal.

Se resuelve el sistema lineal correspondiente a lambda 1, obteniendo un sistema con una única ecuación significativa.

Se obtiene una solución paramétrica para los autovectores de lambda 1, introduciendo parámetros alfa y beta.

Se identifican dos autovectores específicos que forman la base de autovectores para lambda 1.

Se confirma que la dimensión de la base de autovectores para lambda 1 es 2, correspondiendo a dos autovectores.

Se calcula el número de autovectores para lambda 2, que resulta en un único autovector debido a su multiplicidad algebraica de 1.

Se resuelve el sistema lineal para lambda 2, encontrando que el rango de la matriz es 2, lo que indica una única solución no trivial.

Se obtiene la solución general paramétrica para los autovectores de lambda 2, introduciendo el parámetro alfa.

Se identifica un solo autovector para lambda 2, que junto con el vector trivial 0, forman la base de autovectores.

Se enfatiza la importancia de entender el Teorema de Rouché-Frobenius y cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Se invita a los espectadores a suscribirse al canal, dejar comentarios y dar like si el vídeo ha sido útil.