Qué es la integral y Para qué se usa
Summary
TLDREste video ofrece una introducción fascinante al concepto de integrales, explicando su importancia y aplicación en matemáticas. A través de la historia de matemáticos como Arquímedes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se explora el desarrollo de las integrales y su relación con el teorema fundamental del cálculo. El video también presenta un ejemplo visual de cómo se calcula el área bajo una curva, ilustrando el proceso de integración y su inversión en la derivada. Es una excelente herramienta para quienes desean comprender los fundamentos de los integrales y su relevancia en el ámbito de las matemáticas aplicadas.
Takeaways
- 📚 La integral es un concepto matemático fundamental, ideal para quienes están iniciando o ya conocen la integración.
- 🎥 Esta charla presenta una analogía cinematográfica para explicar la historia y aplicación de las integrales.
- 🌟 Los protagonistas de esta 'película' son Arquímedes, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, quienes contribuyeron significativamente al desarrollo del cálculo integral.
- 📐 Las integrales se utilizan para calcular el área bajo una curva, una función, o para resolver problemas relacionados con volumen, longitud de arco, entre otros.
- 📝 Arquímedes fue el primero en proponer un método para calcular áreas irregulares, utilizando la idea de subdividir en rectángulos y sumar sus áreas.
- 🌐 El proceso de integración implica la suma de áreas de rectángulos infinitesimales, conocidos como 'diferenciales', para aproximar el área bajo la curva.
- 🔄 El Teorema Fundamental del Cálculo establece que las operaciones de integración y derivación son inversas entre sí, lo que permite verificar la precisión de una integral encontrada.
- 🔢 La derivada de una función da información sobre la tasa de cambio de la función, mientras que la integral nos ayuda a encontrar la cantidad total o el área total.
- 📖 Leibniz y Newton desarrollaron notaciones diferentes para las integrales, que aún se utilizan hoy en día en cálculo y análisis matemático.
- 💡 Aprender las integrales puede ser útil en diversas áreas del conocimiento, incluyendo la física, la economía, la ingeniería y más.
- 🎓 Se invita a los espectadores a explorar más a fondo el tema de las integrales a través de cursos completos y recursos adicionales.
Q & A
¿Qué es una integral y qué sirve?
-Una integral es un concepto matemático que se utiliza para calcular el área bajo una curva en un plano. Sirve para resolver problemas en los que se busca determinar la cantidad de espacio que ocupa una figura irregular o el valor acumulado de una función en un intervalo de variable.
¿Quiénes son los tres actores principales en la historia de las integrales según el video?
-Los tres actores principales en la historia de las integrales son Arquímedes de Siracusa, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Estos personajes contribuyeron significativamente al desarrollo de los conceptos y técnicas relacionadas con las integrales.
¿Cuál es la diferencia entre una integral y una derivada según el teorema fundamental del cálculo?
-El teorema fundamental del cálculo establece que la derivada y la integral son operaciones inversas. En otras palabras, la derivada de una función da otra función, mientras que la integral de una función regresa a la original. Esto significa que si una función representa la velocidad, su integral nos dará la distancia y su derivada nos dará la velocidad.
¿Cómo se puede usar la integral para calcular el área bajo una curva?
-Para calcular el área bajo una curva usando una integral, se divide la curva en pequeños rectángulos y se suma el área de cada uno. A medida que el número de rectángulos aumenta y su anchura disminuye, la suma de áreas de los rectángulos se acerca cada vez más al área real bajo la curva, y el límite de esta suma cuando el número de rectángulos tiende a infinito da el área buscada.
¿Qué es el área de un rectángulo y cómo se calcula?
-El área de un rectángulo es la cantidad de espacio que ocupa, y se calcula multiplicando su base por su altura. En matemáticas, si se tiene un rectángulo con base de longitud 'a' y altura de longitud 'b', el área es 'a * b'.
¿Qué es el delta x y cómo se utiliza en las integrales?
-El delta x es una notación utilizada en matemáticas para representar una pequeña cantidad de variable 'x'. En el contexto de las integrales, se utiliza para representar la base de los pequeños rectángulos que se utilizan para aproximar el área bajo una curva. A medida que se hace delta x más pequeño, la aproximación del área resultante se vuelve más precisa.
¿Qué es el teorema fundamental del cálculo y cómo se aplica?
-El teorema fundamental del cálculo establece que las operaciones de derivada e integral son inversas entre sí. Esto significa que si una función se deriva, la integral de la función resultante devuelve la función original. Esto se utiliza para verificar si una integral ha sido calculada correctamente, derivando la integral y comparando la función resultante con la original.
¿Cómo se puede verificar si una integral ha sido calculada correctamente?
-Para verificar si una integral ha sido calculada correctamente, se puede derivar la integral y comparar la función resultante con la función original. Si las dos funciones son idénticas, entonces la integral se ha calculado correctamente, ya que las operaciones de derivada e integral son inversas entre sí según el teorema fundamental del cálculo.
¿Qué es la notación de Leibniz para la integral?
-La notación de Leibniz para la integral es una 's' alargada con una línea debajo que se utiliza para representar el concepto de integral. Este símbolo indica una suma infinita, es decir, la suma de un número infinito de pequeños rectángulos para aproximar el área bajo una curva.
¿Qué es la notación de Newton para la integral?
-La notación de Newton para la integral es una 'o' alargada con una línea debajo que se utiliza para representar el concepto de integral. Similar a la notación de Leibniz, indica una suma infinita, pero con una diferencia estilística en el símbolo utilizado.
¿Qué es la historia detrás del desarrollo del cálculo integral y diferencial?
-La historia del cálculo integral y diferencial está marcada por el trabajo de matemáticos como Arquímedes, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Arquímedes comenzó el estudio de los fundamentos del cálculo, mientras que Newton y Leibniz, quienes fueron contemporáneos, desarrollaron formalmente el cálculo integral y diferencial. Hubo un debate sobre quién fue el verdadero inventor del cálculo, pero hoy se reconoce que ambos contribuyeron significativamente a su desarrollo.
¿Qué es la función FX y cómo se relaciona con la integral?
-La función FX se refiere a una función matemática que se utiliza para calcular el área bajo una curva. En el contexto de las integrales, la función FX representa la función original cuyo área bajo la curva se desea calcular. La integral de la función FX es el resultado de sumar las áreas de todos los pequeños rectángulos o trozo de curvas que componen la curva completa.
Outlines
📚 Introducción a los Integrales
Este párrafo introduce el tema de los integrales, destacando su importancia en el aprendizaje de matemáticas. Se menciona la relevancia de integrales para quienes están comenzando a estudiar el tema, así como para quienes ya tienen conocimientos básicos y desean profundizar. Además, se hace alusión a una 'película' de la historia de las integrales, invitando a investigar a tres personajes clave: Arquímedes, Isaac Newton y Godfredo de Leibniz, quienes aportaron significativamente al desarrollo de este área matemática.
📐 La Área Bajo una Curva: Integrales
En este párrafo se explica el concepto de integral en términos de área. Se describe cómo se puede calcular el área bajo una curva utilizando la idea de sumar áreas de pequeños rectángulos o trapecios. Se menciona el uso de la integral para resolver problemas relacionados con áreas, como el cálculo del espacio recorrido en un trayecto acelerado. Además, se introduce la fórmula para calcular el área de un rectángulo y se hace una analogía con el cálculo de áreas más complejas que no corresponden a figuras geométricas básicas.
🔢 La Teoría de Arquímedes sobre los Integrales
Este párrafo detalla la contribución de Arquímedes al cálculo de áreas. Se describe el método de Arquímedes de aproximar la forma de una curva con rectángulos para calcular el área. Se explica cómo se puede mejorar la precisión de esta aproximación al aumentar el número de rectángulos. Además, se menciona la importancia de que la función sea continua para poder calcular el área bajo la curva, y se introduce el término 'diferencial' y su utilidad en el proceso de integración.
📝 Notaciones y Simbología de las Integrales
Este párrafo se centra en la simbología y notaciones utilizadas en las integrales. Se describe la forma en que Leibniz simbolizó las integrals para representar una suma infinita, y se menciona su notación extendida. También se detalla la notación de Newton para designar las integrales y cómo esta se relaciona con el cálculo de áreas. Finalmente, se introduce el Teorema Fundamental del Cálculo, explicando que la derivada y la integral son operaciones inversas entre sí.
🎥 La Historia de los Integrales y el Cálculo
Este párrafo narra parte de la historia detrás del desarrollo del cálculo y las integrales. Se menciona la disputa entre Newton y Leibniz sobre la paternidad del cálculo, y cómo eventualmente se reconoció que ambos contribuyeron significativamente al área. Se destaca la importancia del Teorema Fundamental del Cálculo y cómo ha permitido a los matemáticos verificar la precisión de las integrales calculadas. Además, se invita al espectador a investigar más sobre este tema y a aprender más sobre integrales.
📢 Conclusión y Llamado a la Acción
En el último párrafo, se hace un llamado a la acción para que los espectadores compartan el video, se suscriban al canal y den like al contenido. También se les anima a dejar comentarios y se les asegura que hay más contenido interesante por descubrir en el curso completo sobre integrales.
Mindmap
Keywords
💡Integrales
💡Arquímedes
💡Isaac Newton
💡Leibniz, Gottfried Wilhelm
💡Área
💡Función continua
💡Derivada
💡Teorema fundamental del cálculo
💡Cálculo
💡Área bajo una curva
💡Rectángulos y trominoes
Highlights
Este video es muy importante para quienes están comenzando a estudiar integrales o ya conocen la integración pero no saben su utilidad.
Se explican tres aspectos fundamentales sobre integrales: qué son, para qué sirven y un chismecito sobre su historia.
Arquímedes de Siracusa, nacido en 287 a.C., es considerado el inicio de la historia de las integrales.
Isaac Newton, nacido 18 siglos después de Arquímedes, y Gottfried Wilhelm Leibniz, contemporáneo de Newton, son destacados en el desarrollo de las integrales.
Las integrales tienen una aplicación práctica para calcular el área bajo una curva, lo cual no es posible con formas geométricas tradicionales.
Se utiliza el ejemplo de calcular el área de una parábola para entender cómo las integrales pueden resolver problemas matemáticos complejos.
Arquímedes propuso un método para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos para figures irregulares.
A medida que se increase el número de rectángulos en el método de Arquímedes, la aproximación al área real se hace más precisa.
La integral es definida como el límite cuando el número de rectángulos tiende a infinito, y su ancho se hace infinitamente pequeño.
El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivada y la integral son operaciones inversas entre sí.
La integral de una función da la área bajo su gráfico, mientras que la derivada de una función da la tasa de cambio de su valor.
El uso de integrales es esencial para el avance de las matemáticas y la resolución de problemas científicos y tecnológicos.
Se destaca la disputa histórica entre Newton y Leibniz por el crédito de la invención del cálculo.
Se menciona la notación utilizada por Leibniz y Newton para representar integrales, destacando su importancia en la simplificación de cálculos.
Se anima al espectador a investigar más sobre integrales y su historia para comprender completamente su valor y aplicación.
Transcripts
qué tal Amigas y amigos Espero que estén
muy bien Este es un vídeo súper
importante si tú vas a empezar a ver el
tema de integrales o si ya sabes
integrar y no sabes qué es una integral
o para qué sirve Mejor dicho estás en el
vídeo que es no O si quieres aprender de
integrales de verdad como es estás en el
vídeo que listos en este vídeo vamos a
ver tres cositas importantes primero Qué
es la integral que tú entiendas que es
una integral segundo Para qué sirve una
integral para qué vamos a utilizar las
integrales y tercero pues vamos a ver un
chismecito
Aquí vamos a hablar algo importante que
es algo que está una un tema que parece
como de película que está detrás de las
integrales y es algo que parece como de
película sí la historia de las
integrales podrían hacer fácilmente una
película con Villano con alguien que
parece ser que es como malo el otro que
se aprovecha Pero bueno te voy a empezar
a hablar de los actores de esta película
sí los actores de esta película son tres
esa persona es que te invito si tú no
las conocías o si tomas bien Si tú no
habías escuchado hablar de estas tres
personas te invito a Que investigues
Porque son unos duros empezamos con el
primer actor que se llama Arquímedes de
siracusa Mira desde dónde empezó la
historia de las integrales él nació en
el año 287 antes de Cristo y murió en
2000 en 212 antes de Cristo Sí desde
antes de Cristo dos siglos antes de
Cristo empieza la historia de las
integrales Pero mira lo duros que eran
estos estos jefes estos si llenan unos
duros aquí merecerá matemático físico
astrónomo inventor y Bueno aquí podría
poner puntos suspensivos Porque si tú
investigas esa manera un duro Sí vamos
con el segundo actor que bueno este
actor estaba como solito allá aparte no
había muchas más personas obviamente en
una película y muchos actores pero aquí
te voy a hablar de los tres actores
principales no vamos a hablar del
segundo principal que es Isaac Newton
espero que ya lo hayas nombrado
escuchado nombrar Ya mira todo el tiempo
que pasó desde que empezó la historia de
esas integrales él nació en 1643 ya
cuántos siglos después 18 siglos después
mira que Isaac Newton qué hacía él será
que era desjuiciado No señores no
señoras él era astrónomo teólogo
alquimista matemático físico y podría
poner puntos suspensivos y el tercer
actor muy importante que no sé si lo voy
a leer bien se llama godfred
levnis Bueno espero que lo haya nombrado
más o menos bien Él era contemporáneo
con Isaac Newton vamos a ver que estos
dos actores tienen algo muy importante y
ahí es donde yo creo que alguno de los
dos era medio Villano Pero bueno los dos
son súper importantes en esta historia
de las integrales él era contemporáneo
ma nació en 1646 Y mira que en este caso
él era político él era jurista Era
teólogo matemático físico y suspensivos
bueno estos son los tres actores
importantes en la historia de las
integrales Pero ahora sí vamos a hablar
para qué sirven las integrales
obviamente en matemáticas y en todo en
la humanidad siempre nos hemos
preguntado bueno porque la luna es así
porque los objetos caen porque el viento
pasa todo nos lo hemos preguntado y algo
que no podía pasar sin preguntar era
cómo será que podemos Hallar el área
debajo de una curva Por ejemplo si aquí
tenemos esta función que en este caso
Bueno vamos a llamar a esta función
F de X Sí esta curvita es la función FX
que en este caso si tú observas es una
parábola siempre se preguntan bueno y
cómo hago para encontrar el área debajo
de esa parábola o sea por ejemplo
supongamos yo quiero Hallar el área
desde cero hasta el número 8 o sea esta
parte
del plano cómo hago para saber cuál área
es esa y bueno Tú vas a decir Bueno yo
para que quiero Hallar el área debajo de
esa figura ya vamos a ver lo importante
que es el área debajo de esa figura
Entonces cómo haríamos para Hallar el
área nosotros general Y supongo que tú
también yo también sabemos hallar
solamente el área de un cuadrado de un
rectángulo de un rombo sí Entonces cómo
haremos para Hallar el área de una
figura que no es normalita Pues aquí es
donde entra el primer actor Ah bueno
primero antes de hablar del primer actor
vamos a hablar de qué es el área no la
idea es que comprendas todo bien y por
eso quiero dejarte Claro que es el área
el área no es más te lo voy a explicar
así Sencillamente Sencillamente no sé si
se llegase
el área no es más sino el número de
cuadrados que caben dentro de una figura
ya por eso Por ejemplo tú de pronto has
escuchado si tú tienes una casa o un
lote Generalmente tú vas a escuchar que
dice no esa casa tiene 70 voy a
escribirlo por acá
70 metros cuadrados Qué quiere decir un
área de 70 metros cuadrados la clave
está aquí metros cuadrados quiere decir
cuadrados de un metro de lado Sí si
tenemos un cuadrado Bueno disculpa ese
cuadrado tan feo en el que aquí este
lado mide un metro y Obviamente todos
los lados miden un metro esto sería un
cuadrado Perdón esto sería un metro
cuadrado Sí por qué Porque es un
cuadrado que mide un metro por cada lado
si te dicen 70 metros cuadrados qué es
lo que te están queriendo decir si
nosotros nos pusiéramos a poner
cuadraditos dentro de esa dentro de esa
casa cabrían 70 cuadraditos de un lado
de un metro Sí ahora por ejemplo aquí si
nosotros vamos a hallar el área de esta
figura tenemos que mirar cuál cuadradito
vamos a meter dentro de esa figura por
eso a veces tú escuchas un centímetro
cuadrado un metro cuadrado un kilómetro
cuadrado o muchísimas figuras de un
cuadrado para eso pues tenemos que mirar
cuál sería nuestro cuadrado con el que
vamos a medir en este caso la base para
mí va a ser este cuadrado que en este
caso pues es un cuadrado que mide un
cuadrito por cada lado voy a tomar un
cuadrito sí en este caso este cuadrito
sería un cuadrado de un cuadrito de lado
o sea un cuadrito al cuadrado Sí si
nosotros quisiéramos Hallar el área de
esta figura Pues aquí queda muy fácil
porque tenemos la cuadrícula Entonces
sería 1 2 3 4 5 6 7 y 8 Cuántos
cuadritos de estos caben dentro de esta
figura caben
ocho cuadritos o sea el área de esta
figura sería 8 cuadritos de un cuadrado
de lado sí obviamente por eso están las
fórmulas del área por ejemplo el área
del rectángulo Espero que tú ya sepas
que se encuentra mediante la fórmula
área igual a base por altura Sí para
Hallar el área de cualquier rectángulo
base por altura Por qué Porque si
nosotros multiplicamos la base Aquí Cuál
es la base 1 2 3 y 4 cuadritos la altura
aquí sería 2 cuadritos Obviamente si
multiplicamos 4 por 2 nos da 8 cuadritos
cuadrados Sí porque 4 y por qué 2 Pues
porque aquí mide 4 y si contamos cuatro
dos veces Pues nos da 8 listos eso es el
área Pero bueno ahora sí para qué sirven
las integrales Voy a darte un ejemplo
sencillo que espero que con esto que
comprendas bien que quieren decir y para
qué sirven las integrales Y por qué
necesitamos Hallar el área bajo una
ninguna función listos supongamos en
este caso que tuvo que yo que el que sea
Vamos en un carro y vamos a una
velocidad
de 20 kilómetros
por hora sí vamos a 20 kilómetros por
hora siempre hay despacito 20 kilómetros
20 kilómetros y supongamos que hacemos
un recorrido en un tiempo de dos horas
sí voy a hacer el dibujo de esto Cómo
haríamos para dibujar que vamos a 20
kilómetros por hora y que duramos dos
horas Pues para eso necesitaríamos un
gráfico sí un plano en el que pues como
estamos hablando de tiempo y de
velocidad Pues un eje sería el del
tiempo que en este caso sería el tiempo
en horas y el otros eje sería el de la
velocidad que pues sería en kilómetros
por hora como haríamos para dibujar esto
pues primero que todo Tendremos que ver
pues por ejemplo poner aquí una línea
cita en la que aquí están 20
kilómetros por hora sí Estos son 20
kilómetros por hora pero Cuánto tiempo
duran cuánto tiempo duramos duramos dos
horas entonces aquí ponemos el uno y
aquí ponemos el 2 aquí ahora graficamos
esta situación que sería así no Vamos en
una línea recta porque vamos a la misma
velocidad siempre 20 kilómetros por hora
y duramos una hora y dos horas Cómo
haríamos para Hallar el área debajo de
esta función o debajo de esta línea que
el área sería todo esto
en este caso obviamente está muy fácil
Por qué Pues porque esto es un
rectángulo Sí cómo hacemos para Hallar
el área de un rectángulo eso ya lo
dijimos ya lo dije anteriormente el área
se halla base por altura estoy dando un
ejemplo muy sencillo para que comprendas
Qué es y para qué es que sirve la
integral Si queremos Hallar el área de
esta figura que tendríamos que hacer
multiplicar la base que es esto Serían
dos horas sí
multiplicarlo por la altura que sería
esto esto Cuánto es esto es 20
kilómetros por hora sí para Hallar el
área de este rectángulo base que es 2
horas por 20 kilómetros por hora que es
la altura y Aquí vamos a ver Por qué es
tan importante Hallar el área debajo de
una función
Entonces hallamos el área área es igual
a la base Cuál es la base 2 horas por la
altura que son 20
kilómetros por hora Si hacemos esta
operación primero que todo pues
obviamente aquí podemos eliminar las
horas con las horas porque hay unas
arriba y otras abajo y si multiplicamos
los números 2 por 20 es 40 y nos quedó
40 qué 40 kilómetros Qué quiere decir
este 40 kilómetros tan importante que
esa era debajo a la figura mira que en
este caso y espero que pues no tuya
mentalmente ya lo sabrías No si durante
dos horas vamos recorriendo una
distancia que sea a 20 kilómetros por
hora Cuánta distancia alcanzamos a
recorrer Pues en la primera hora serían
20 y en la segunda hora serían 40
kilómetros mira que en este caso estamos
hablando de velocidad y tiempo y al
multiplicar velocidad y tiempo nos da
espacio que eso es el área bajo la
figura obviamente pues tú dirías
profesor pero para qué me hace este
dibujo si yo ya sabía que había
recorrido 40 kilómetros Ya lo vamos a
ver por eso Este es un ejemplo sencillo
pero qué sucede cuando no vamos por
ejemplo la misma velocidad sino cuando
vamos acelerando como en este caso
supongamos que ahora la función ya no es
una línea recta sino que es otra función
en este caso Bueno te lo voy adelantando
en este caso pues yo hice el dibujo que
quisiera no ver La idea es comprender el
tema en este caso este dibujo es el
dibujo de una parábola sí que es una
parábola que abre hacia arriba vamos a
tomar en cuenta solamente desde el 0
hasta el 8 o sea vamos a mirar esta área
el área debajo de la curva entre 0 y 8
supongamos que nuevamente vamos
acelerando en este caso vamos en nuestro
carro pero como Vamos acelerando pues la
velocidad va aumentando cada vez más sí
como lo vemos acá sí Ahora vamos a mirar
supongamos que dentro de las primeras 8
horas u 8 minutos que pasaría si
Entonces cómo haríamos para encontrar el
área de esta figura porque pues porque
el área ya no es normalita ya no es un
rectángulo ya no es un triángulo Aquí es
donde entra nuestro primer actor el
señor Arquímedes pues obviamente los
matemáticos Desde esa época se estaban
preguntando cómo hacemos para hallar esa
área y el propuso la siguiente solución
lo que hizo fue decir supongamos que más
bien en lugar de ver la figura como una
figura irregular miremos la como
rectángulos en este caso qué pasa con el
área de este rectángulo Pues que si la
observamos el área de este rectángulo es
un poquito más pequeña que el área Que
está debajo de la curva entonces lo que
propuso Arquímedes fue pues hagamos
rectángulos Entonces en este caso
hicimos un rectángulo pero aquí me dijo
no Pero y si más bien hacemos más
rectángulos que espero que es lo que tú
hayas pensado sí supongamos que ya no
hacemos un rectángulo del ancho que
queremos en este caso vamos a querer
Hallar el área desde cero hasta ocho
sino él dijo y Qué pasa si más bien
ponemos dos rectángulos sí uno que mida
4 y el otro que mida otros cuatro mira
que Obviamente el área de esta nueva
figura que está aquí en azul va siendo
mucho más cerca al área bajo la curva
Obviamente si hacemos por ejemplo otro
rectángulo ya no dos rectángulos sino
tres rectángulos el área es mucho más
cercana al área al área bajo la figura
Sí y aquí te lo voy a comprobar mira que
el área de la suma inferior sí O más
bien la suma de esta área sí que son
estos rectángulos los rectángulos
inferiores el área cuando había tres
rectángulos es de 32.49 y el área bajo
la curva es de 37 mira que el área es
muy similar Pero qué pasa si no hacemos
tres rectángulos sino por ejemplo 4 mira
que el área de la suma inferior ya va
mejorando ya es 33 Qué pasa si ahora
hacemos más rectángulo o sea mira que
entre más rectángulos hagamos el área va
siendo mucho más cercana a la que
queremos hallar Por ejemplo si hacemos
20 rectángulos mira que el área va
siendo mucho más cercana obviamente en
este caso aquí me deja hacer hasta 100
rectángulos Y mira que si hacemos 100
rectángulos el área es casi igual a la
que queríamos encontrar entonces Esa fue
la idea que dio Arquímedes y bueno para
concluir cómo haríamos para Hallar el
área ya sabemos que sería pues sumar
el área de todos esos rectángulos
primero que todo acordémonos que la
función la llamamos
FX sí Entonces cómo haríamos para Bueno
recuerda que o Bueno recuerda no te Lo
aclaro para poder Hallar el área bajo
una función esa función debe ser
continua sí continua Qué quiere decir
que no tiene saltos sí o que tiene un
número finito de discontinuidad Sí por
ejemplo supongamos que tenemos una
función así
Cómo haríamos para Hallar el área bajo
la bajo la función supongamos que fuera
aquí entre el número 1 y el número 3
para Hallar el área aquí deberíamos
tener en cuenta la discontinuidad que
por ejemplo si aquí hubiera un salto
Pues en esta partecita el área sería
infinita porque pues no habría un tope
digamoslo así que sería la función
Entonces en este caso que habríamos pues
lo que haríamos sería Buscar más bien el
área de esta función de esta parte cita
nada más desde aquí hasta aquí
supongamos que aquí es el número 1,3
bueno eso no está escala y está todo feo
pero quiero aclararte la función debe
ser continua o sea una línea cita que
vaya derechita en pocas palabras Sí
porque si es discontinua Tendremos que
mirar por partes listos eso Si tuviera
un número finito de discontinuidades No
porque si tuviera un número infinito de
discontinuidades pues no se podría
Hallar el área listos entonces la
función debe ser continua en el
intervalo en el que queremos Hallar el
área listos Entonces qué es lo que
tenemos que hacer sumar las áreas de los
rectángulos Pero cómo haríamos para
sumar las áreas de los rectángulos
importante que el área de un rectángulo
pues es base por altura Entonces vamos a
mirar en este rectángulo por ejemplo en
el primero la base que sería esta
distancia vamos a llamarla Delta x
porque Delta x Acuérdate que Delta en
matemáticas quiere decir la distancia Sí
o sea aquí sería la distancia entre las
X cuál es x Pues en este caso sería la
distancia desde acá hasta acá esa sería
la base Entonces voy poniendo por acá
más en resumen base
la llamamos
Delta X en este caso por ejemplo cuánto
rectángulos hay uno dos tres cuatro
cinco seis siete y ocho o sea el número
de rectángulos es 8 en este caso ahora
tenemos que multiplicar la base por la
altura Cuál sería la altura de este
rectángulo pues la distancia desde aquí
hasta aquí esta sería la altura que la
vamos a llamar F de X sub Y por qué
Acuérdate que nosotros cuando queremos
graficar una función qué es lo que
hacemos hacemos una tabla de valores
ponemos valores a la x para buscar los
valores de la y o de la función evaluada
en esa x qué es lo que encontramos
cuando reemplazamos por ejemplo
escribimos reemplazamos la x con el
número 1 lo que encontramos es la altura
de esa función el número 1 cuando
reemplazamos la x con el número 5 lo que
encontramos es la altura de esa función
en el número 5 cuando la x vale 5 sí
Entonces en este caso si quisiéramos
hallar la altura de este rectángulo pues
es exactamente lo que nos da al evaluar
la función en este punto por ejemplo en
el punto cero sí entonces
la altura de los rectángulos Pues sería
F de X sub Y por qué le pongo sub y pues
porque la altura depende de dónde está
la función de dónde está el rectángulo
No por ejemplo este rectángulo pues ya
tiene otra altura Pues que sería evaluar
la x en este punto la altura de este
rectángulo evaluar la x aquí por ejemplo
en el 4 entonces para Hallar el área de
los rectángulos pues tenemos que
multiplicar base por altura entonces
hagámoslo acá
si multiplicamos la base que es delta x
bueno en este caso yo les hice un
ejemplo en el que todas todos los anchos
de los rectángulos serían iguales no es
obligatorio que los anchos sean iguales
Lo que sí es obligatorio es que el ancho
del rectángulo sea lo más pequeño
posible o que haya el número máximo de
rectángulo Sí por eso Bueno ahorita más
adelante les digo por eso se le llama
diferencial de X que es que quiere decir
una distancia exageradamente pequeña
pero bueno el área es base que es delta
x multiplicado por la altura no la voy a
multiplicar acá sino acá Acuérdate que
la multiplicación es conmutativa
Entonces lo puedo multiplicar donde sea
no multiplicamos por la altura que es
con esto que tendríamos el área de los
rectángulos aquí Bueno pongámosle x sub
y suponiendo que los anchos son
diferentes Entonces qué es lo que vamos
a tener que hacer sumar el área de todos
los rectángulos o sea lo que vamos a
hacer es la suma
desde el primero Hasta el nésimo
rectángulo si son cinco rectángulos
sumaríamos cinco Obviamente el número de
rectángulos tiene que ser infinito
porque tiene que ser muchísimo
rectángulos del ancho más pequeño que se
pueda como vamos a hacer que esta n sea
infinita pues lo que estamos diciendo es
que vamos a hallar el límite
cuando la n tiende a infinito sí
Entonces esto con esta función si
nosotros encontráramos el valor de esta
función sí o haciendo esta cuenta este
límite en este caso el límite de la suma
de todos los rectángulos del área de
todos los rectángulos allí
encontraríamos el área bajo la curva a
esto es a lo que se le llama la integral
pues al área bajo la curva ahora
obviamente siempre en matemáticas hemos
querido escribir todo más fácilmente Sí
entonces
volvemos a la película Acuérdate de
Newton y lemmins que fueron los otros
dos actores principales de la película
de una vez te voy contando Newton era el
presidente de la Real Sociedad de
Londres que era una élite científica sí
eran los los en esa época los más duros
los matemáticos más duros los físicos
más duros Sí él pues era el presidente
de esa sociedad en esa época levni fue
el primero demostró sus resultados sus
estudios él mostró y bueno De una vez te
lo digo a esto más bien Sí lemmins para
simbolizar lo más pequeño simbolizó la
integral de esta forma lo escribió así
porque una s alargada Pues porque
estamos haciendo una suma en este caso
pues supongamos que aquí sería el
intervalo desde a hasta B Sí porque es
un intervalo en el que vamos a mirar el
área y pues es muy similar a esto miren
sería FX por Delta x Acuérdate que Delta
x pues quiere decir debe ser algo muy
pequeñito no Entonces está la anotación
del emis entregó su trabajo Sí a lo que
le llamó el teorema fundamental del
cálculo si ya se le llama el teorema
fundamental del cálculo que ya ahorita
te Lo aclaro un poquito más obviamente
te dejo también la espinita para Que
investigues mucho más esta fue la
notación del omnis pero de uno a este
cuento un poco más de la película No
Newton era el presidente de la sociedad
lemnis fue el que entregó su trabajo
la integral y De una vez te lo digo
mostró que la integral en el trabajo
mostró la integral y la derivada ya te
voy a decir qué más luego
Isaac Newton entregó sus estudios Pero
después de un tiempo había como como un
rumor de que lemmins no era el que había
inventado el cálculo sino que lo había
inventado Isaac Newton bueno obviamente
lemmins pasó una carta solicitando a la
Real Sociedad de de Londres que
revisarán ese caso porque él sí había
inventado el cálculo Y pues obviamente
era el presidente entonces tú sabrás no
tú ya sabrás que sucedió desde ahí se
dijo que Isaac Newton fue el creador del
teorema fundamental del cálculo Pero
bueno ya después con la historia y
observando evidencias y todo parece ser
que los dos por su parte inventaron el
cálculo sí que pues en este caso estamos
hablando de el teorema fundamental del
cálculo aquí tenemos la notación que
como les decía era una s alargada
indicando sumatoria Pues aquí Yo la hago
muy fea pero pues aquí está la del
computador Cuál era la anotación que
utilizaba Isaac Newton para decir para
Designar la integral utilizaba esta por
ejemplo supongamos que él quisiera
hallar la integral a la función x al
cuadrado que hacía él él decía con ese
simbolito decía voy a hallarle la
integral a x al cuadrado otra forma que
utilizaba era un rectángulo indicando
que iba Hallar el área bajo esa función
pues obviamente en el intervalo dado
listos Entonces eso es lo que nos dice
hasta ahora la historia ahora para
finalizar te voy a hablar del teorema
fundamental del cálculo si te das cuenta
en el tiempo del vídeo ya queda muy
poquito pero es algo muy fundamental lo
que te voy a decir en pocas palabras Qué
dice el teorema fundamental del cálculo
en pocas palabras dice que la derivada y
la integral son inversas ya lo vimos en
el primer ejemplo que la integral o sea
el bajo la curva Cuando tenemos una
función y esa función es la velocidad la
integral de la velocidad qué fue lo que
nos dio nos dio la distancia y por el
teorema fundamental del cálculo sabemos
que al contrario también sucede la
derivada de la distancia es o del
desplazamiento es la velocidad sí
obviamente dependiendo de la función con
el que trabajemos pues la derivada o la
integral significa otra cosa vistosa por
ejemplo
esto para qué te lo voy a decir porque
esto te va a servir muchísimo si ya vas
a ver integrales porque esta sería una
forma como de cómo comprobar si tú por
ejemplo te dice tu profesor encuentra la
integral o si tú deseas encontrar una
integral y quieres saber si quedó bien
allá de esa integral ya te voy a decir
cómo comprobarlo supongamos que tenemos
una función sencilla nuevamente por
ejemplo la función x al cuadrado
supongamos que queremos derivarla
entonces vamos a hacer un paso para
derivar
por ejemplo Cuál es la derivada de esta
función Pues acordémonos que es bajar el
exponente y restarle uno nos queda uno
la derivada de X al cuadrado es 2x pero
por el teorema fundamental del cálculo
ahora se sabe qué si nosotros esta esta
se llama la primitiva no esta función
que fue la que derivamos la que la que
resultó de la derivada de la primitiva
si nosotros le aplicamos una operación
que sería la inversa de la derivada
encontraríamos la primitiva en este caso
esta función se llama
integral o sea la derivada y la integral
son funciones inversas sí Entonces si tú
estás haciendo una integral por ejemplo
te dieron esta función y en contraste su
integral Cómo haces para saber si quedó
bien la derivas Y si encuentras
nuevamente la función inicial pues
entonces ahí ya sabrás que tienes tú
respuesta correcta listos y Bueno ya el
resto se lo dejo te lo dejo para que lo
investigues porque es una historia muy
interesante Espero que te haya gustado
esta explicación y si es así te invito a
que veas el curso completo para que
empieces a aprender muchísimo acerca de
integrales Aquí también te dejo algunos
vídeos que estoy seguro que te van a
servir No olvides comentar lo que desees
compartir este vídeo con tus compañeros
y compañeras suscribirte al Canal darle
un buen like a este vídeo y no siendo
más
Bye bye
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