Metodo de Newton-Raphson | Explicación y ejercicio resuelto
Summary
TLDRThis video from the Physics and Math channel offers a detailed and easy-to-understand explanation of Newton-Raphson method, a powerful technique for finding roots of equations. The host walks viewers through the method's definition, its iterative nature, and its geometric interpretation. A step-by-step demonstration is provided, starting with an initial guess close to the root, followed by successive approximations using the derivative of the function. The video includes a practical example, where the method is applied to find an approximate root of a given function, showcasing how quickly the approximations converge to the actual root. The host emphasizes the importance of accurate calculations with each iteration to achieve a precise result.
Takeaways
- 📚 The video is an educational tutorial explaining the Newton-Raphson method in detail, a technique used to find the roots of equations.
- 🔍 The main objective of the Newton-Raphson method is to estimate the solution of an equation \( F(x) = 0 \) by producing a sequence of approximations that get closer to the solution.
- 📈 The method involves selecting an initial guess \( x_0 \) close to the root and then iteratively refining this guess using the method's formula.
- 📝 A geometric explanation of the method is provided, where the tangent line to the function at a point is used to find the next approximation.
- 📉 The iterative process is demonstrated graphically, showing how starting from \( x_0 \), the method quickly converges to the root with just a few iterations.
- 👨🏫 The tutorial includes a step-by-step guide on how to apply the Newton-Raphson method, starting with an initial guess and using the formula to find subsequent approximations.
- 📚 An analytical explanation is given on how to use the method with numbers, emphasizing the importance of using the first approximation to find the second, and so on.
- 🔢 The video includes a practical example problem where the method is applied to find an approximation of a root for a given function, starting with \( x = 1 \).
- 📉 A graphical representation of the function and its root is provided to help viewers understand the starting point and the iterative process visually.
- 🔄 The iterative formula used in the Newton-Raphson method is explained and demonstrated through the calculation of successive approximations.
- 📝 The difficulty of the method is highlighted, noting that it requires careful substitution of values into the function and its derivative for accurate results.
Q & A
What is the objective of the Newton-Raphson method?
-The objective of the Newton-Raphson method is to estimate the solution of an equation F(x) = 0 by finding the roots of the equation through successive approximations.
How do we start the Newton-Raphson method?
-We start the Newton-Raphson method by choosing an initial guess x₀, which is a number close to the root.
What are the iterations in the Newton-Raphson method?
-Iterations in the Newton-Raphson method are successive approximations that move closer to the root with each step.
What is the geometric explanation of the Newton-Raphson method?
-Geometrically, the method involves drawing a tangent line at the initial point and finding its intersection with the x-axis. This process is repeated with each new point until the approximation is close enough to the actual root.
How do we perform the first iteration in the Newton-Raphson method?
-The first iteration is performed by taking the initial guess x₀, calculating the tangent at this point, and finding the intersection with the x-axis to get the next approximation x₁.
What is the formula used in the Newton-Raphson method?
-The formula used is xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ) / f'(xₙ), where xₙ is the current approximation, f(xₙ) is the function value at xₙ, and f'(xₙ) is the derivative value at xₙ.
What is the significance of the derivative in the Newton-Raphson method?
-The derivative helps determine the slope of the tangent line at each approximation point, which is crucial for calculating the next approximation.
How do we know when to stop iterating in the Newton-Raphson method?
-We stop iterating when the successive approximations are sufficiently close to the actual root, usually determined by a predefined tolerance level.
What example function is used in the video to illustrate the Newton-Raphson method?
-The example function used is x³ - x - 1 = 0.
What initial guess is used in the video example, and what root does it approximate?
-The initial guess used in the video example is x₀ = 1, and it approximates the root to be around 1.32 after several iterations.
Outlines
📚 Introduction to Newton-Raphson Method
The script begins with an introduction to the Newton-Raphson method, a numerical technique for finding successively better approximations to the roots (or zeroes) of a real-valued function. The method uses an iterative approach, starting with an initial guess that is close to the actual root. The process involves drawing tangent lines to the function's graph at the current approximation point and finding where these tangents intersect the x-axis to get the next approximation. The script explains that the method aims to produce a sequence of iterations that converge to the solution of an equation f(x) = 0.
🔍 Applying the Newton-Raphson Method to a Specific Problem
The second paragraph delves into applying the Newton-Raphson method to a specific mathematical problem. The function given is f(x) = x^3 - x - 1, and the initial guess for the root is x = 1. The script outlines the steps to calculate the derivative of the function, which is necessary for the iterative process. It demonstrates the first iteration using the formula x1 = x0 - f(x0) / f'(x0), where x0 is the initial guess. The explanation includes the calculation of the function and its derivative at x0, and how to use these to find x1, the first approximation of the root.
📉 Iterative Process and Convergence in Newton-Raphson Method
This paragraph continues the iterative process, illustrating how to refine the approximation of the root through subsequent iterations. It shows the calculations for the second and third iterations, emphasizing the importance of accuracy in substitution and arithmetic operations. The script points out that the method converges quickly, with the third iteration already providing a relatively good approximation of the root. It also highlights the increasing precision with each iteration, noting that by the fourth and fifth iterations, the root is approximated to two decimal places, concluding that the root is approximately 1.32.
Mindmap
Keywords
💡Newton-Raphson Method
💡Root
💡Iteration
💡Derivative
💡Tangent Line
💡Approximation
💡Graphical Interpretation
💡Function
💡Geometric
💡Precision
Highlights
Introduction to the Newton-Raphson method for finding roots of equations.
The method aims to produce a sequence of approximations that approach the solution.
Explanation of the iterative process starting with an initial guess close to the root.
Geometric interpretation of the Newton-Raphson method using a tangent line to the function graph.
Graphical demonstration of the method's convergence to the root with successive iterations.
The importance of choosing a good initial guess to speed up convergence.
Analytical steps of the Newton-Raphson method using the formula for successive approximations.
Example problem to demonstrate the calculation procedure of the method.
Derivative calculation required for the Newton-Raphson formula application.
Iterative process illustrated with a specific function to find a root using the method.
Graphical observation of the root's location and the rationale for choosing the starting point.
Detailed calculation steps for the first few iterations of the method.
Observation of the method's convergence with each iteration getting closer to the root.
The challenge of the method lies in accurately substituting values into the function and its derivative.
Final approximation of the root with an accuracy of two decimal places after several iterations.
Conclusion of the method's effectiveness and the practicality of stopping at a certain level of precision.
Encouragement for viewers to like, subscribe, and share the video for further support.
Transcripts
Hola amigos Bienvenidos a otro vídeo más
del Canal física y mates en este vídeo
vamos a explicar de una forma detallada
muy fácil el método de Newton rapson y
vamos a hacer un ejercicio para que
aprendáis a usar este método de una
forma rápida y eficaz primero vamos a
ver lo que sería la definición del
método para saber exactamente Para qué
se usa nos dicen que el objetivo de este
método el objetivo de este método para
estimar la solución de una ecuación F
dex = 0 es decir que el objetivo de este
método es encontrar raíces de ecuaciones
es producir una sucesión de
aproximaciones que se acerquen a la
solución cada una de esas aproximaciones
se llaman iteraciones esto lo Vais a ver
Ahora más adelante en el problema y lo
Vais a entender perfectamente dice que
escogemos el primer número x 0 de la
secuencia un número lo que sucede que
esté cercano a la raíz y luego en
circunstancias favorables el método hace
el resto moviéndose paso a paso hacia la
raíz es decir
en en Romano paladín este método lo que
consiste en lo siguiente tenemos una
función que por el motivo que sea es
complicado encontrar Cuál es el valor
exacto de la de la raíz entonces lo que
vamos a hacer es tomar un valor x u0 que
creemos que puede estar cerca de la raíz
eh Y a partir de ese de ese punto x o0
aplicamos el método que consigue
consiste en ir haciendo una serie de
aproximaciones sucesivas c una cada una
de ellas se llama iteraciones hasta que
llegamos al valor casi exacto de de la
raíz de acuerdo en eso consiste el
método de Newton rapson Bueno pues vamos
a ver ahora cómo se procede con este
método
antes de comenzar con el procedimiento
del método de Newton rapson y hacer el
problema me gustaría perder un minutito
en dar una explicación geométrica al
procedimiento Porque si entendéis bien
la explicación geométrica Vais a
entender muy bien este tipo de problemas
fijaros tenemos en color azul una
función I = FX = F dex pintada en color
azul a la que le queremos encontrar una
raíz por el procedimiento del método de
Newton gráficamente podemos observar que
la raíz es este cuadradito de color azul
Es decir es el corte de la función con
el eje X en qué consiste el
procedimiento del método pues tomamos un
punto x sub c0 que consideremos que está
cercano a la raíz Cómo consideramos que
está cercano a la raíz pues vemos la
Gráfica de la función a la que le
queremos calcular la raíz o bien lo
echamos a suertes no en ese punto x su0
trazamos la recta tangente a la gráfica
y vemos el punto de corte con el eje x y
obtenemos un punto x sub1 en este punto
x sub1 volvemos a repetir el mismo
procedimiento trazamos una recta
tangente a la Gráfica y calculamos el
punto de corte con el eje x y calculamos
y obtenemos así el punto x sub2 en este
punto x sub2 qué es lo que hacemos
trazamos la recta tangente a la función
y calculamos el punto de corte con el
eje x que es x sub 3 en esto consiste el
mé de Newton fijaros como a partir de X
sub 0 vamos obteniendo el punto x sub 1
el X sub 2 y el X sub 3 en solo tres
iteraciones fijaros qué cercano estamos
ya de la raíz que estamos buscando x1
sería una aproximación muy mala porque
está muy lejos del punto x sub2 ya sería
una aproximación No muy buena pero
tampoco muy mala porque está
relativamente cerca del punto pero
fijaros que el punto x sub 3 ya ser una
aproximación relativamente buena a la
raíz que estamos buscando gráficamente
Ese es el método de Newton ahora vamos a
ver analíticamente cómo se hace con
números el procedimiento es el siguiente
dice adivine una primera aproximación a
la solución de la ecuación es decir
cuando dice adivine dice que cojas el
punto x su0 con el que vas a empezar nos
dicen aquí una gráfica de la función te
puede ayudar use la primera aproximación
para obtener la segunda la segunda para
obtener la tercera y así sucesivamente
usando esta fórmula que tenemos aquí que
vamos a aprender a usarla ahora mismo
haciendo el problema Es decir con el
primer valor la primera aproximación que
lo tenemos que tomar nosotros según
nuestro criterio lo metemos en esta
fórmula y obtendremos el X sub 1 después
el X sub 1 lo metemos en esta fórmula y
obtendremos el X sub2 el X sub 2 lo
metemos en esta fórmula y obtenemos el X
sub 3 y así sucesivamente hasta que
lleguemos muy muy muy muy cerca de la
raíz buscada Bueno pues vamos a hacer un
problema para que veáis Cuál es el
procedimiento de cálculo el problema es
el siguiente nos dicen que encontremos
una buena aproximación a una raíz de la
siguiente
función usando el método de Newton
rapson tomamos como Punto de partida el
x = 1 Bueno he colocado aquí la la
fórmula que condensa el método de Newton
y es la función a la que le tenemos que
que calcular
eh una buena aproximación a su raíz en
la función x cu - x - 1 que yo he
igualado a 0 pues para que veamos que es
una ecuación a la que le tenemos que
encontrar las
raíces nos dan como Punto de partida el
x = 1 quiero que miréis eh la Gráfica
que tenemos aquí esta gráfica se
corresponde con la función a la que a la
que le queremos encontrar la raíz
fijaros que la que la raíz
se encuentra justamente entre el un Y el
dos la raíz es este punto de aquí vale
Esa es la
raíz entonces tiene tiene sentido que
tomemos como Punto de partida el x = 1
porque es un punto que está cercano a la
raíz tiene sentido que tomemos el x = 1
como Punto de partida de acuerdo
Entonces vamos a comenzar la primera
iteración con el uno y nos iremos
acercando hasta que lleguemos
con muy buena aproximación a la raíz
fijaros que está un poquito antes del de
la mitad del segmento que un el uno con
el dos por lo tanto va a ser menos de
1,5 verdad a Ojo va a ser menos que 1,5
bueno pues vamos a aplicar el método de
Newton rapson para que veáis cómo es
tenemos que nuestro Punto de partida es
x = 1 bueno primero voy a calcular la
derivada de esta función puesto que
fijaros que tengo aquí hacer uso de la
derivada y lo voy a
necesitar F prima de X la derivada de
esta función sería 3x cu - 1 de acuerdo
Bueno ya la tengo calculada Bueno pues
comenzamos con El Punto de partida pues
Tendremos que x sub 1 vale 1 de acuerdo
esa es nuestra primera iteración vamos
con la segunda iteración aplicamos la
fórmula x sub2 será igual a anterior que
es el X sub 1
men f x sub 1 parido por F prima de X
sub 1 esto es igual x sub 1 vale 1
menos F de 1 que no es más que sustituir
el 1 en la función F y ver cuánto te da
entre F prima de 1 que no es más que
sustituir el 1 en la función derivada y
ver cuánto te das Bueno pues
esto bueno esta primera la voy a hacer
así paso a paso esto sería 1
menos 1 al cubo - 1 - 1 es sustituir el
1 en la función y aquí es sustituir el 1
en la función derivada Me quedaría 3 * 1
cu - 1 Bueno pues si hacéis esta
operación os va a salir que esto vale
1.5 es decir la primera iteración nos da
que la raíz Sería bueno la segunda
iteración Perdón nos da que la raíz
estaría en el 1 y Med fijaros que en el
1 y Med no está está un poquito antes
pero bueno es una primera aproximación
vamos a seguir iterando tercera
iteración x sub 3 Pues sería la anterior
x sub2 menos una fracción f evaluado en
la iteración anterior F prima evaluada
en la iteración
anterior es decir esto es igual la
iteración anterior es 1 y5 1 y5
menos la función f evaluada en el 1 y
Med es decir sustituimos el 1 y Med aquí
y la función F F prima evaluada También
en en el 1 y medio es decir sustituimos
el 1 y medio aquí Bueno pues si hacemos
esto parece un TR y es un 5 eh si
sustituimos el 1 y Med aquí y el 1 y Med
aquí os digo ya el resultado esto sale
1.34
782 fijaros que ya no sería 1 y Med sino
sería
1.34 vale en adelante lo que vale
nuestra raíz vamos a hacer otra
iteración más porque todavía no nos
estamos acercando y ahora Vais a ver
porque sé que no nos estamos acercando x
sub 4 Pues sería x sub 3 men el F de X
sub 3 par por el F prima de X sub 3 es
decir x sub 3 sería
1.34
782
menos el F de
1.34 7 8 2 que no es más que sustituir
este número con ts decimales en la
función y obtener lo que te da y aquí el
F prima de
1.34 782 que no es más que sustituir en
la función F prima ese valor Bueno pues
esto da os lo digo que lo tengo aquí
calculado
1.
32
52 quiero que veáis una cosa fijaros ya
estamos muy muy muy cerca Por qué Porque
en la iteración tercera en la iteración
tercera obtuvimos
1. 34782 y en la iteración cuarta ya
estamos repitiendo el 1
con3 os dais cuenta aquí era 1.34 y pico
y aquí es 1.32 y pico es decir ya la
tercera iteración y la
cuarta coinciden en el 1.3 es decir que
nuestra raíz nuestra raíz si quisiéramos
tomarla con la precisión de un decimal
ya podríamos decir que es 1 con3 Vamos a
ver cuánto es la que qué obtendríamos en
la quinta iteración x sub 5 es = x sub 4
men F de X sub 4 partido por el F prima
de X sub
4 x sub 4 sería
1.325 2
menos la f en el 1 3 2 5 2 y la f prima
evaluada en el
1.32 52 creo que no me equivocado verdad
Bueno pues esto da
1.32 47 fijaros
ahora ya no solamente tiene en común con
el
anterior el el primer decimal sino
también el segundo lo veis entre la
tercera y la cuarta
iteración nos da como información que la
raíz va a ser 1 con3 como mínimo 1 con3
que son los dos dígitos que coinciden
pero si comparamos la cuarta con la
quinta ya ya no coinciden dos dígitos
sino tres es decir dos decimales
entonces podemos concluir ya en la
quinta iteración en la quinta itera
podemos concluir que con
una exactitud de dos decimales nuestra
raíz Es
aproximadamente
1.32 de acuerdo
1.32 en esto consiste el método de
Newton rapson como podéis ver la la
dificultad de este método consiste en
tener que sustituir estos valores en la
función porque bueno sustituir calcular
F de1 y F prima de 1 es relativamente
sencillo es poner el un un aquí
calcularlo y un uno aquí y calcularlo
pero cuando tengáis que calcular F de
1.34 782 es decir Elevar ese número al
cubo menos ese número menos 1 pues ya
eso es una cuenta más complicada No y lo
mismo aquí no
1,34 782 al cuad y lo que te dé por TR y
la restas uno tampoco mucho No pero
quiero que veáis cómo se cómo es el
procedimiento y que la dificultad está
en operar bien con los números de
acuerdo Bueno amigos Espero que hayáis
entendido perfectamente En qué consiste
el método de Newton rapson que el vídeo
os haya gustado si ha sido así por favor
Dale al botoncito de me gusta es una
forma de darme las gracias eh
suscribiros al Canal para así estar al
corriente de todos de todos los vídeos
que vamos subiendo y bueno compartir con
vuestros compañeros Este vídeo porque
seguro que le puede resultar muy útil y
os lo agradecen un abrazo amigos nos
vemos en el siguiente vídeo hasta
pronto
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