DÉMONTRER qu'un quadrilatère est un PARALLÉLOGRAMME - Cinquième
Summary
TLDRDans cette vidéo, l'objectif est de prouver que le quadrilatère ABCD construit à partir de deux cercles et de leurs diamètres est en réalité un parallélogramme. Cela est démontré en utilisant la propriété des parallélogrammes où les diagonales se croisent à leur milieu. La preuve repose sur le fait que les points d'intersection des diagonales coïncident avec le centre commun des deux cercles, prouvant ainsi que les diagonales se croisent effectivement à leur milieu, conformément à la définition d'un parallélogramme.
Takeaways
- 📐 Un quadrilatère est une figure avec quatre côtés ou quatre sommets.
- 🥳 Un parallélogramme est un quadrilatère ayant les côtés opposés parallèles.
- 📌 La vidéo montre comment construire un parallélogramme à l'aide de cercles et de leur intersection.
- 🔍 La preuve d'un parallélogramme repose sur des propriétés mathématiques étudiées dans le cours.
- 🎯 Les diagonales d'un parallélogramme jouent un rôle clé dans la preuve de sa structure.
- 💡 Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
- 📐 Les diamètres des cercles utilisés dans la construction sont également les diagonales du parallélogramme.
- 🔗 Le centre des cercles est le point d'intersection des diagonales du parallélogramme.
- 📝 La preuve repose sur la démonstration que les diagonales se coupent bien en leur milieu.
- 🤔 La construction de départ et la compréhension des propriétés des cercles sont essentielles pour établir la preuve.
- 🎓 La démonstration mathématique suit une structure précise : identification de la propriété à utiliser, démonstration de la condition, et conclusion.
Q & A
Qu'est-ce qu'un quadrilatère?
-Un quadrilatère est une figure géométrique qui possède quatre côtés ou quatre sommets.
Que définissez-vous comme un parallélogramme?
-Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Comment la vidéo montre-t-elle la construction d'un parallélogramme?
-La vidéo montre la construction d'un parallélogramme en utilisant deux cercles et en prenant des points d'intersection pour relier les points et former le quadrilatère.
Quels sont les deux segments pointillés mentionnés dans le script?
-Les deux segments pointillés mentionnés sont AC et BD, qui sont respectivement les diamètres des deux cercles.
Pourquoi les diagonales d'un parallélogramme jouent-elles un rôle important dans la preuve?
-Les diagonales d'un parallélogramme sont importantes car leur intersection au milieu prouve que la figure est un parallélogramme.
Qu'est-ce que le centre d'un cercle a en commun avec les diamètres?
-Le centre d'un cercle est le milieu de n'importe quel diamètre.
Comment le point O devient-il crucial pour la preuve du parallélogramme?
-Le point O est crucial car il est le centre commun des deux cercles, et donc le milieu des deux diagonales du quadrilatère, ce qui prouve que les diagonales se croisent en leur milieu.
Quelle est la propriété du parallélogramme utilisée pour la preuve dans le script?
-La propriété utilisée est que « Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme ».
Comment la preuve mathématique fonctionne-t-elle?
-La preuve mathématique fonctionne en identifiant une propriété connue, en montrant que cette propriété s'applique au cas donné, et en concluant que la proposition est vraie en utilisant cette propriété.
Comment la construction de départ aide-t-elle à prouver que ABCD est un parallélogramme?
-La construction de départ montre que les diagonales du quadrilatère ABCD se croisent en leur milieu, ce qui est une condition suffisante pour affirmer que ABCD est un parallélogramme selon la propriété établie.
En résumé, quel est le point clé de la démonstration présentée dans le script?
-Le point clé de la démonstration est que les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu, ce qui, selon la propriété du parallélogramme, prouve que ABCD est bien un parallélogramme.
Outlines
📐 Construction et définition du parallélogramme
Dans ce paragraphe, l'objectif est d'expliquer comment prouver que quelqu'un est un parallélogramme. On commence par définir un quadrilatère et on passe à la construction d'un parallélogramme à partir de cercles et de diamètres. On présente le quadrilatère ABCD et on explique comment les cercles et les diamètres (AC et BD) sont utilisés pour construire ce quadrilatère. L'explication porte sur le fait que les diamètres AC et BD, qui sont les diagonales du parallélogramme, se croisent au point O, qui est le centre commun des deux cercles. Cela permet de démontrer que le quadrilatère ABCD est bien un parallélogramme en se basant sur la propriété des diagonales d'un parallélogramme.
📐 Démonstration de la propriété des diagonales du parallélogramme
Ce paragraphe se concentre sur la démonstration de la propriété des diagonales d'un parallélogramme. On explique comment les diagonales d'un parallélogramme qui se croisent en leur milieu caractérisent ce type de quadrilatère. On utilise la construction précédente pour montrer que les diagonales AC et BD du parallélogramme ABCD se croisent en leur milieu, au point O. Cela permet de conclure que ABCD est effectivement un parallélogramme en vertu de cette propriété. La démonstration suit un raisonnement logique, en commençant par établir que les diagonales se croisent en leur milieu, en appliquant ensuite la propriété du parallélogramme, et en concluant que ABCD est un parallélogramme. On souligne également l'importance de la compréhension des propriétés mathématiques pour établir des démonstrations solides.
Mindmap
Keywords
💡quadrilatère
💡parallélogramme
💡cercle
💡diagonales
💡diamètre
💡centre des cercles
💡preuve
💡construction
💡propriétés
💡démonstration
💡segment
Highlights
Apprendre à prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
Un quadrilatère est une figure à quatre côtés ou sommets.
Un parallélogramme est défini par des côtés opposés parallèles.
La construction d'un parallélogramme peut être réalisée à l'aide de cercles.
Le parallélogramme ABCD est formé à partir de points d'intersection de cercles.
Pour prouver que ABCD est un parallélogramme, on peut s'appuyer sur des propriétés de ce type de figure.
Les diagonales d'un parallélogramme jouent un rôle clé dans la preuve.
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Les diamètres AC et BD des cercles sont utiles pour prouver que ABCD est un parallélogramme.
Le point O est le centre commun des deux cercles et le milieu des diagonales AC et BD.
La preuve repose sur la construction initiale et la propriété des diagonales.
La démonstration en mathématiques repose sur l'utilisation de propriétés connues.
La propriété des diagonales est utilisée pour conclure que ABCD est un parallélogramme.
La méthode de démonstration utilisée est une démonstration en mathématiques.
La preuve consiste à montrer que les diagonales se coupent en leur milieu.
Le point O est le milieu de AC et de BD, ce qui prouve que ABCD est un parallélogramme.
La preuve est structurée en trois parties: explication, application de la propriété et conclusion.
Transcripts
[Musique]
bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir
apprendre à prouver qu'un quadrilatère
est un parallélogramme alors un
quadrilatère c'est une figure qui a
quatre côtés ou quatre sommets un
parallélogramme on l'a défini comme un
quadrilatère qui a les côtés opposé
parallèle ici là on voit on reconnaît un
parallélogramme dans cet exercice on a
réalisé une figure et on retrouve au
final quelque chose qui ressemble à un
parallélogramme mais on n' pas construit
au départ une figure qui a des côtés
opposés parallèles on la construit
autrement on la construit à l'aide de
cercle et on arrive à la fin sur un
parallélogramme mais la question est
mais pourquoi c'est un parallélogramme
pourquoi finalement en construisant ces
deux cercles on va détailler hein tout
de suite pourquoi en construisant ces
deux cercles et en prenant quelques
points d'intersection et je relie tous
ces points et je trouve au final un
parallélogramme et bien c'est l'objet de
cette vidéo on va expliquer pourquoi le
quadrilatère A B C D est un
parallélogramme alors notre énoncé nous
dit que sur la figure o le point O est
le centre des deux cercles donc ça
signifie que les deux cercles qui sont
tracés ici ont le même centre et c'est
le point ha on voit euh deux segments
qui sont tracés en pointillé et en fait
chacun de ces segments est un diamètre
d'un desserc
le segment AC donc qui a pour extrémité
les points A et C est un diamètre du
petit cercle on le voit il passe par le
centre du cercle point O il en est de
même pour l'autre segment tracé en
pointillé le segment BD qui lui est un
diamètre du grand cercle il passe
également par le point O à partir de là
donc on a ces quatre points A B C D qui
forme un quadrilatère et la question
comme on l'a dit avant c'est de prouver
que ce quadrilatère ABCD est bien
parallélogramme alors pour établir une
preuve pour démontrer quelque chose en
mathématique pour expliquer pourquoi
quelque chose est vrai en mathématique
très souvent on s'appuie sur des
propriétés des propriétés qu'on a dans
notre cours et que l'on connaît bien si
possible enfin en tous les cas ces
propriétés on est sûr qu'elles sont
vraies alors si je regarde comment a été
construit ce quadrilatè ABCD il a été
construit on l'a dit tout à l'heure à
l'aide des deux segments ointillés mais
ces deux segments ointillés portent un
nom pour le quadrilatère ce sont ces
diagonales il faudrait donc s'appuyer
sur une propriété du cours qui parle des
diagonales d'un parallélogramme et à
partir de cette propriété on va sans
doute pouvoir expliquer pourquoi ce
quadrilatère est bien un parallélogramme
alors regardons dans notre cours et on
va faire ressortir une propriétés sur
les diagonales du parallélogramme
celle-ci qui nous dit alors elle peut
elle peut être exprimée de différentes
façons ça va un peu dépendre de ton
cours de ton livre j'en propose une ici
en tout cas elle nous dit ici que un
quadrilatère dont les diagonales se
coupent en leur milieu est un
parallélogramme ça c'est très important
parce que cela signifie que si j'arrive
à expliquer que les diagonales de mon
quadrilatère ici se coupe en leur milieu
et bien je pourrais directement conclure
que ce quadrilatère est un
parallélogramme pourquoi parce que c'est
la propriété qui nous le dit dès que tu
as un quadrilatère où les diagonales se
coupent en leur milieu et bien c'est un
paralléologogramme regardons si on a
moyen d'expliquer pourquoi les
diagonales se coupent en leur milieu
alors pour cela il faut en revenir à la
construction la construction de départ
on rappelle que au départ on a parlé de
diamètre on a dit que AC est un diamètre
du petit cercle or qu'est-ce que je sais
d'un diamètre et bien je sais que le
centre d'un cercle c'est le milieu de
n'importe quel diamètre ce qui veut dire
que ici vu que AC est un diamètre du
petit cercle que le petit cercle a pour
centre O et bien ça signifie que o est
le milieu du segment AC on peut le coder
et on peut déjà le noter on sait que o
est le milieu du diamètre AC du petit
ser
regardons maintenant ce qui se passe
avec l'autre diamètre et bien BD est un
diamètre du Grand Cercle on rappelle que
le centre d'un cercle est le milieu d'un
diamètre ce qui signifie que o lui est
le milieu du diamètre BD du Grand Cercle
on peut le
noter donc finalement on a o qui est le
milieu du diamètre AC donc O est le
milieu de AC et on a o qui est le milieu
du diamètre BD donc O est le milieu de B
O est donc le milieu de AC et de BD mais
c'était exactement ce qu'on avait besoin
parce que AC et BD ce sont quoi pour mon
quadrilatère ce sont ces diagonales donc
finalement si O est le milieu de AC et O
est le milieu de BD j'ai le même point O
qui est le milieu des deux diagonales
donc cela signifie que o est le milieu
des deux diagonales de mon quadrilatère
mes deux diagonales se coupent bien en
leur milieu
o les diagonales de ABCD se coupent en
leur milieu qui est le point O et bien à
partir de là je vais pouvoir appliquer
ma propriété du cours qui me dit on le
rappelle qu'un quadrilatère dont les
diagonales se coupe en leur milieu est
un parallélogramme et bien si un
quadrilatère dont les diagonales se
coupent en leur milieu est un
parallélogramme et que ABCD a des
diagonales qui se coupent en leur milieu
nécessairement aBCD est un un
parallélogramme on peut conclure on en
déduit que aBCD est un parallélogramme
voilà notre preuve je rappelle
rapidement le principe d'une
démonstration une preuve comme celle-là
ça s'appelle une démonstration en
mathématiques déjà il faut repérer
quelle propriété on va utiliser alors
ici c'est encore assez simple parce
qu'il y avait qu'une seule propriété
mais on peut faire des démonstration qui
utilise plusieurs propriétés alors en
tous les cas c'est cette propriété que
je veux utiliser vu que cette propriété
elle a besoin de savoir que les
diagonales se coupent en leur milieu
pour pouvoir prouver que c'est
effectivement un parallélogramme comme
ça nous est demander et bien il faut
arriver à expliquer pourquoi j'ai
effectivement cette condition pourquoi
je sais que les diagonales se coupent en
leur milieu je rentre plus dans les
détails mais on le voit ici on avait
réussi à l'aide de la construction à
l'aide des données de l'énoncé
d'expliquer que finalement oui mes deux
diagonales ont le même milieu on avait
vu que c'était le point ha après tout ce
raisonnement on remet ça dans l'ordre on
commence par expliquer que les
diagonales se coupent en leur milieu on
applique la propriété on peut même la
donner he dans la rédaction de de la
démonstration et ensuite on conclut
cette séquence est
terminée
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