Asimtot Datar, Asimtot Tegak dan Asimtot Miring Fungsi Rasional Matematika Peminatan Kelas XII
Summary
TLDRIn this educational video, Deni from Mad lem channel teaches how to determine the asymptotes of rational functions, including horizontal, vertical, and oblique asymptotes. The video covers prerequisites like polynomial factorization and limits. Deni explains that asymptotes are lines approached by curves without intersection, but they can intersect. The tutorial walks through determining vertical asymptotes by finding the zero of the denominator, horizontal asymptotes using limits as x approaches infinity, and oblique asymptotes when the degree of the numerator is higher than the denominator. Examples are provided for clarity.
Takeaways
- 📚 The video is an educational tutorial focused on teaching the determination of asymptotes of rational functions.
- 🔢 It covers three types of asymptotes: horizontal (datar), vertical (tegak), and oblique (miring).
- 📐 The presenter emphasizes prerequisite knowledge, such as polynomial factorization, polynomial division, and limits of infinity.
- 📉 The video explains that rational functions are ratios of two polynomials, with examples provided to illustrate the concept.
- 🌐 Asymptotes are described as lines that curves approach but never touch, with examples given for each type.
- 🚫 The video clarifies a common misconception that asymptotes never intersect their curves, showing examples where they do.
- 📌 To find vertical asymptotes, one must identify values of x that make the denominator zero, provided the numerator does not also become zero at those values.
- 📉 For horizontal asymptotes, the presenter teaches using limits as x approaches infinity to determine the asymptote's equation.
- 📈 The method for finding oblique asymptotes involves dividing the highest degree terms of the numerator by those of the denominator.
- 📝 The tutorial includes practical examples and step-by-step calculations to solve for asymptotes in given rational functions.
- 👋 The presenter concludes with a sign-off wishing viewers well, indicating the end of the tutorial.
Q & A
What are the different types of asymptotes discussed in the script?
-The script discusses three types of asymptotes: horizontal (asimtot datar), vertical (asimtot tegak), and oblique (asimtot miring).
What is a rational function according to the script?
-A rational function is defined as the ratio of two polynomial functions, similar to a rational number with a numerator and a denominator, but with variables involved.
What are the prerequisites mentioned in the script to understand asymptotes of rational functions?
-The prerequisites include understanding how to factor polynomials, divide polynomials, and comprehend limits of infinity.
Can an asymptote intersect with the curve it is associated with?
-Yes, an asymptote can intersect with the curve it is associated with. The script clarifies that an asymptote is characterized by approaching the curve without being concerned with whether it intersects or not.
How is a vertical asymptote determined for a rational function?
-A vertical asymptote is determined by finding the values of x that make the denominator zero, provided that these values do not also make the numerator zero, as that would result in an undefined expression.
What is the condition for a rational function to have a horizontal asymptote?
-A rational function has a horizontal asymptote if the degree of the polynomial in the numerator is less than or equal to the degree of the polynomial in the denominator.
How can you find the equation of a horizontal asymptote?
-The equation of a horizontal asymptote can be found by taking the ratio of the leading coefficients of the highest degree terms in the numerator and the denominator when the limit of the function as x approaches infinity is considered.
What is the condition for a rational function to have an oblique asymptote?
-A rational function has an oblique asymptote if the degree of the polynomial in the numerator is greater than the degree of the polynomial in the denominator.
How is an oblique asymptote different from a horizontal or vertical asymptote?
-An oblique asymptote is a slanted line that the function approaches but does not necessarily reach, unlike horizontal asymptotes which are horizontal lines and vertical asymptotes which are vertical lines.
What is the significance of the term 'asymptote' in mathematics?
-In mathematics, an asymptote is a line that a curve approaches but never reaches, no matter how far the curve extends.
How does the script illustrate the concept of an asymptote intersecting with a curve?
-The script uses the example of the function f(x) = x / (x^2 + 1) to illustrate that an asymptote (in this case, the x-axis) can intersect with the curve of the function.
Outlines
📘 Introduction to Rational Functions and Asymptotes
The speaker, Deni, introduces the topic of rational functions and asymptotes. They explain that rational functions are ratios of two polynomials and can have different types of asymptotes: horizontal, vertical, and oblique. The concept of asymptotes is clarified as lines that a curve approaches but never reaches. Deni emphasizes the importance of understanding the prerequisites, such as polynomial factorization, polynomial division, and limits of infinity, before diving into the specifics of determining asymptotes. Examples of rational functions and their asymptotes are provided to illustrate the concepts.
📐 Understanding Vertical Asymptotes in Rational Functions
Deni explains vertical asymptotes, which occur when the denominator of a rational function equals zero, causing the function to be undefined at those points. The vertical asymptote is represented by the equation x = k, where k is a real number. The speaker clarifies that a vertical asymptote is not defined when the numerator also equals zero at the same value of x. An example is given to demonstrate how to find the vertical asymptote by setting the denominator equal to zero and solving for x after simplifying the function.
📉 Determining Horizontal Asymptotes of Rational Functions
The section discusses horizontal asymptotes, which are horizontal lines that a function approaches as x approaches infinity or negative infinity. Deni explains how to determine the horizontal asymptote by using the concept of limits. The method involves dividing the leading coefficients of the highest powers of x in the numerator and the denominator. Examples are provided to show how to calculate horizontal asymptotes, emphasizing that if the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, the horizontal asymptote is y = 0.
🔍 Identifying Oblique Asymptotes in Rational Functions
Deni covers oblique or slant asymptotes, which occur when the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator. The process involves dividing the numerator by the denominator and simplifying to find the quotient and the remainder. The quotient represents the oblique asymptote. An example is given to demonstrate the division process, resulting in the asymptote equation. The speaker also mentions that the gradient of the oblique asymptote can be understood from the quotient's coefficient.
Mindmap
Keywords
💡Rational Function
💡Asymptote
💡Horizontal Asymptote
💡Vertical Asymptote
💡Oblique Asymptote
💡Factoring
💡Polynomial Division
💡Limit
💡Degree of a Polynomial
💡Graphical Interpretation
Highlights
Introduction to determining asymptotes of rational functions, including horizontal, vertical, and oblique asymptotes.
Prerequisites for understanding asymptotes include factoring polynomials, polynomial division, and limits of infinity.
Definition of a rational function as a ratio of two polynomials.
Explanation of what an asymptote is and its role in approaching curves without reaching them.
Examples of horizontal asymptotes and their representation as horizontal lines.
Examples of vertical asymptotes and their representation as vertical lines.
Examples of oblique asymptotes and their representation as slanted lines.
Clarification that asymptotes can intersect with the curve they approach.
Explanation of how to determine vertical asymptotes by finding the values of x that make the denominator zero.
Process of simplifying a rational function before finding vertical asymptotes.
Explanation of why certain values of x cause the function to be undefined, leading to vertical asymptotes.
Method for determining horizontal asymptotes using limits as x approaches infinity.
Procedure for calculating horizontal asymptotes by comparing the highest powers of the numerator and denominator.
Example of determining horizontal asymptotes for a given rational function.
Explanation of oblique asymptotes for rational functions where the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator.
Process of dividing the numerator by the denominator to find the oblique asymptote.
Example of determining an oblique asymptote for a specific rational function.
Conclusion of the discussion on horizontal, vertical, and oblique asymptotes in rational functions.
Transcripts
Hai assalamualaikum warahmatullahi
wabarakatuh ketemu lagi dengan saya Deni
Handayani di channel Mad lem pada video
kali ini kita akan belajar cara
menentukan asimtot dari fungsi rasional
terdiri dari asimtot datar asimtot tegak
dan asimtot miring Agar kalian mudah
menguasai materi ini ada beberapa materi
prasyarat yang harus kalian kuasai
terlebih dahulu diantaranya yang pertama
cara memfaktorkan persamaan polinomial
yang kedua pembagian polinomial dan yang
ketiga limit tak hingga Nah kalau kalian
sudah menguasai materi prasyarat nya
kalian bisa mempelajari materi ini Oke
sebelum kita pelajari cara menentukan
asimtot dari fungsi rasional atau lebih
dahulu kita pahami dulu
Apa itu fungsi rasional dan apa itu
asimtot kita awali dari fungsi rasional
dulu apa itu fungsi rasional nah fungsi
rasional bentuknya seperti ini ya berupa
rasio dari dua fungsi polinomial ya jadi
seperti bilangan rasional ada pembilang
ada penyebutnya kayak gini hanya bedanya
nanti ada variabelnya contohnya
Hai fx = 2x + 1 per X min 5 ini
fungsional ada yang menjadi pembilang
dan ada yang menjadi penyebutnya Oke
contoh lagi misalkan fx = x kuadrat
ditambah empat X min 5 per dua x min 4
ini juga fungsi rasional nah ini fungsi
yang akan kita pelajari
Hai kemudian Apa itu asimtot Nah mungkin
teman-teman sudah tidak asing dengan
kata asimtot waktu kelas 10 saat belajar
fungsi eksponen dan fungsi logaritma di
matematika peminatan kelas 10 kalian
udah belajar tentang asimtot asimtot
adalah suatu garis yang terus didekati
oleh kurva atau garis lengkung sampai
jauh tak hingga jadi asimtot dia akan
terus mendekati atau terus didekati oleh
kurvanya contohnya
Hai Nah misalkan ini kurvanya ya ini
kurvanya atau garis lengkung ya asimtot
itu garis yang mendekati atau yang
didekati oleh kurva ini dan
terus-menerus didekati nah ini adalah
asimtotnya ini adalah asimtot ini
disebutnya asimtot datar horizontal y =
k ya garis ini asimtot ini dia terus
didekati oleh kurva Jadi kalau kurva
yang kita perpanjang sekalipun terus ke
kanan dan asimtotnya juga kita
perpanjang ke kanan dia akan terus
mendekat itu nah ini yang disebut dengan
asimtot contoh lagi
Hai misalnya kurvanya seperti ini
Oh ya Nah asimtotnya yang mana garis
yang terus didekati oleh kurva nah ini
asimtotnya ini disebut sebagai asimtot
vertikal atau asimtot tegak kalau yang
tadi ini horizontal atau datar ya Nah
itu asimtot kemudian contoh ketiga
Hai misalkan kurvanya seperti ini
teman-teman asimtotnya nenek asimtotnya
itu sebelah sini nah ini disebut sebagai
asimtot miring nah ini yang akan kita
pelajari pada video kali ini ya kita
akan belajar bagaimana cara menentukan
asimtot datar bagaimana cara menentukan
asimtot tegak dan asimtot miring dari
fungsi rasional
Hai nah ini yang menjadi pertanyaan
Apakah asimtot itu mungkin berpotongan
dengan kurva waktu kelas 10 kalian
belajar asimtot Mungkin sering mendengar
bahwa asimtot itu selalu mendekati kurva
tanpa berpotongan tidak mungkin
berpotongan Nah itu keliru ya asimtot
itu bisa saja berpotongan dengan kurva
karena intinya bukan masalah berpotongan
atau tidak berpotongan tapi mendekati
kurva contohnya fx = x per x kuadrat + 1
ini fungsi rasional kalau kita buat
grafiknya itu akan seperti ini
teman-teman nah ini adalah grafik kurva
fungsi tersebut asimtotnya Dia memiliki
asimtot datar yaitu sumbu x sumbu x
adalah garis yang didekati oleh kurva ke
kanan dan ke kiri ke arah positif tak
hingga dan ke arah negatif hingga nah
disini kurva Dia memotong rambut
Hai kurvanya Dia memotong sumbu x di
sini DX =
Oh ya Nah ini menunjukkan bahwa kurva
dengan asimtot itu mungkin saya
berpotongan karena intinya bukan masalah
berpotongan atau tidak berpotongan tapi
terus mendekati ya contoh lain
Hai nehi fungsi trigonometri temen-temen
lihat ini asimtotnya itu garis yang
putus-putus ini
Hai nah ini kurvanya kurvanya
Hai kurva dengan asimtot ini berpotongan
tak hingga banyak sekali perpotongannya
tapi ini asimtot karena dia terus
mendekat semakin mendekat semakin kita
perpanjang kesini semakin mendekat ini
contoh asimtot yang berpotongan dengan
kurva Jadi kalau ada yang menanyakan
apakah asimtot mungkin berpotongan
dengan kurva 4 jawabannya ya mungkin
saja berpotongan Oke seorang kita bahas
cara menentukan asimtot tegak atau
vertikal asimtot dari fungsi rasional
yang asimtot tegak itu seperti ini Ya
seperti yang saya tunjukkan di awal
kalau misalkan ini adalah kurva ini maka
asimtot tegak nya dia vertikal bentuknya
lurus-lurus tegak seperti ini nah
persamaannya nanti akan menjadi x = k
dengan ke adalah bilangan riil nah
secara logika saja teman-teman
perhatikan disini X yaitu nilainya cuma
1x = k bisa x = 2x = 3 atau X = berapa
pun ya kayaknya bilangan riil untuk x =
k
itu nilai x nilainya itu jumlahnya tak
hingga misalnya disini y = 1 memenuhi Y
= 2 memenuhi juga y = 3 memenuhi kebawah
juga sama artinya untuk satu nilai x
nilainya itu tidak bisa didefinisikan
tidak terdefinisi nilainya berapa Eh
tidak bisa kita tentukan jadi untuk
fungsi rasional FX = GX Apa yang
menyebabkan dia nilainya tidak bisa
didefinisikan kalau bentuk pecahan ingat
dia tidak terdefinisi kalau pembaginya
nol gitu kan Nah jadi fungsi y = FX GX
memiliki asimtot tegak x = k jika GK =
Hai jadi secara sederhananya Kalian cari
penyebab penyebutnya bernilai nol karena
itu yang menyebabkan nilai tidak bisa
didefinisikan tapi dengan syarat nilai k
tersebut bukan juga penyebab
pembilangnya nol karena kalau
pembilangnya nol juga nanti 00 itu tidak
tentu ya tak tentu Oke jadinya ini untuk
menentukan asimtot tegak Kalian cari
penyebab atau pembuat nol dari penyebut
bagian bawahnya Oke ini intinya Biar
lebih jelas kita coba soal berikut
Tentukan asimtot tegak fungsi Y = X
kuadrat dikurangi 5 x dikurangi 6 para x
kuadrat min 3x Min 4 nah intinya tadi
penyebab nol dari penyebut itu adalah
asimtot tegak nya sebelum kalian cari
pembuat no dari penyebutnya ini harus
disederhanakan dulu y sama dengan ini
kita faktorkan dulu X kuadrat dikurangi
5S
enam ini bisa kita faktor Ken
Hai kalau dijumlahkan hasilnya negatif 5
kalau dikalikan hasilnya negatif 6
berapa Berarti negatif 6 dan positif
satu ini enggak ya jadi X min 6 x + 1
kemudian yang bawah juga ini kita
faktorkan juga
Ayo kita cari dua bilangan kalau
dijumlahkan hasilnya negatif 3 kalau
dikalikan hasilnya negatif 4 berapa
negatif 4 dan positif 1 x min 4 x + 1
nah ini harus kita Sederhanakan dulu ini
faktor persekutuannya faktor yang sama
antara pembilang dan penyebut ini kita
buang dulu nah x + 1 ini kan sama jadi
ini kita buang dulu jadi fungsinya
menjadi y = x min 6 per X min 4 6 baru
kita cari penyebab motor dari
penyebutnya dari bagian bawah
Hai X min 4 = 0 maka SM berapa x = 4 nah
ini adalah asimtot tegak nya
Hai nah ini ada asimtot tegak nya lalu
Bagaimana dengan x + 1 yang kita hapus
ini penyebab kalau kita gambar grafiknya
akan terjadi sebuah lubang nanti kenapa
Karena kalau action negatif satu ya
penyebab noda di sini X = negatif 1 ini
akan menyebabkan fungsi ini menjadi 00
itu bilangan tak tentu Oke sekarang kita
bahas cara menentukan asimtot datar atau
horizontal asimtot dari fungsi rasional
nah asimtot datar itu bentuknya seperti
ini dia garis lurus horizontal nanti
persamaannya y = k nah jika kita
perhatikan disini nilai Y yang memenuhi
hanya satu Nilai saja tapi nilai x yang
memenuhi misalkan x = 1 kita ambil
bilangan bulat aja x = 1 dia memenuhi
juga x = 2 bisa juga x = 3 bisa juga
bahkan nilai x nya aja itu bukan hanya
bilangan bulat aja disini ini memenuhi
semuanya ya
Hai Jadi kalau gitu nilai x yang
memenuhi itu bisa mendekati tak hingga
banyak sekali
Hai Nah jadi untuk fungsi y = FX
memiliki asimtot datar y = k jika kita
menggunakan konsep limit tak hingga
disini limit FX untuk X mendekati tak
hingga = kak ya kita gunakan konsep
limit disini variabel x nya Dia
mendekati tak hingga seperti yang saya
jelaskan barusan nah ini poinnya kita
coba contoh soal Tentukan asimtot datar
fungsi y = 4 x kuadrat min 5 x dikurangi
62s wadrat Min 3x dikurangi 4na untuk
menentukan asimtot datar yang kita
gunakan konsep limit dengan x mendekati
tak hingga untuk fungsi ini 4 x kuadrat
min 5 x dikurangi 6per bawahnya 2 x
kuadrat min 3x dikurangi 4-10 yang sudah
kita pelajari pada video sebelumnya
tentang limit tak hingga kalau ^
variabelnya sama itu caranya gimana
kalian bagi koefisien dengan koefisien
ya koefisien pangkat tertinggi dibagi
koefisien pangkat tertinggi berarti
disini 4 dibagi2 42422 maka asimtot
datar nya adalah Y = 2 simpulkan satu
soal lagi
Hai Tentukan asimtot datar fungsi y = 6x
kuadrat min 3x min 1/2 xpangkat 3 min 3
x kuadrat min 4 = akan konsep limit juga
limit x mendekati tak hingga fungsinya 6
x kuadrat min 3x dikurangi satu per dua
x pangkat 3 min 3 X kuadrat dikurangi
4na untuk limit x mendekati tak hingga
lihat lagi ^ variabelnya bagian atas
pangkatnya lebih kecil dari yang bawah
Maka hasilnya Gimana hasilnya itu pasti
nol kan Nah sekarang kita dapat ternyata
persamaan asimtot datar Nyai itu adalah
y = 0 atau sumbu x oke salah kita bahas
asimtot miring atau selain asimtot nah
Contohnya seperti ini
Hai ini kurvanya Deni asimtotnya nah ini
dikatakan asimtot miring nah suatu
fungsi rasional itu memiliki asimtot
miring itu ketika pangkat yang bagian
atas pembilang ^ pembilang itu lebih
besar dari ^ penyebutnya
Hai fungsi y = x pangkat n misalkan di
sini n ini adalah derajat atau pangkat
tertinggi dari pembilangnya dan m ini
adalah pangkat tertinggi dari
penyebutnya memiliki asimtot miring Jika
n lebih dari m Jika pangkat yang atas ^
membilang dia lebih besar dari pangkat
yang bawah nah ini poinnya perlu
teman-teman catat contohnya Tentukan
asimtot miring fungsi y = 2x pangkat 3
min 3 per x kuadrat min 1 nah caranya
ini kita bagi seperti yang sudah
teman-teman pelajari saat belajar
polinomial pembagian polinomial kita
bagi ejer menggunakan headset pakai bagi
kurung aja ya
G2 esma3 Min
Ayo kita bagi dengan x kuadrat min 1
Hai cara ngebagi nya lihat aja yang
pangkat terbesar 2x pangkat tiga kita
bagi dengan x kuadrat hasilnya bak 2x
yang enggak 2x coba 2x kalikan dengan x
kuadrat itu gue semangat tiga kemudian
2x kalikan min 1 min 2 x Nikita kurangi
dua semangka tiga dikurangi 2xpangkat ia
akan habis Nah di sini enggak ada
variabel x berarti nol pariabel esnya 0
dikurangi negatif 2x itu positif 2x
negatif 3 dikurangi nol jamin tiga Nah
ini udah gak bisa lagi dibagi oleh ini
karena disini pangkatnya satu ini
paketnya dua Nah ini disebut sebagai
hasil bagi
Hai dan ini disebut sebagai sisa-sisa
pembagian eh jadi bentuk ini y = 2x
pangkat 3 min 3 per x kuadrat min 1
Hai itu sama dengan
Hai hasil baginya berapa 2x kemudian
ditambah sisanya 2x Min
Hai dibagi oleh x kuadrat min 1
Hai nah yang mana asimtot miring ya
asimtot miring yaitu hasil baginya yang
ini nih ya jadi asimtot miring nya
adalah y = 2x ini asimtot miring ya
Hai di sini kalau teman-teman udah
belajar tentang gradien disini kita bisa
lihat gradiennya adalah dua jadi dia
jelas adalah sebuah garis lurus yang
miring Oke sampai sini dulu pembahasan
tentang asimtot datar asimtot tegak dan
asimtot miring pada fungsi rasional
untuk beberapa contoh Insyaallah akan
saya bahas di video yang lain ya
assalamualaikum warahmatullahi
wabarakatuh
hai hai
تصفح المزيد من مقاطع الفيديو ذات الصلة
Graphing Rational Functions Step-by-Step (Complete Guide 3 Examples)
Rational Function (Domain, x & y - Intercepts, Zeros, Vertical and Horizontal Asymptotes and Hole)
Intercepts, Zeroes, and Asymptotes (Horizontal/Vertical) of Rational Functions | General Mathematics
Graphing Rational Functions
Menggambar Grafik Fungsi Rasional #fazanugas
Calculus 1 - Introduction to Limits
5.0 / 5 (0 votes)