Diferencia de Cuadrados. Representación Geométrica.
Summary
TLDREl video explica de manera detallada la diferencia de cuadrados en álgebra, utilizando tanto una demostración gráfica como algebraica. Se construyen dos cuadrados, uno más grande con área a^2 y otro más pequeño con área b^2, para demostrar que a^2 - b^2 se descompone en el producto de dos factores: (a - b)(a + b). A través de una representación geométrica, se ilustra cómo esta diferencia se convierte en un rectángulo formado por la suma de dos áreas rectangulares. Finalmente, se presentan ejemplos y se destaca la importancia del algoritmo en diversas expresiones algebraicas.
Takeaways
- 📐 La diferencia de cuadrados se expresa algebraicamente como a² - b², donde a y b son cantidades numéricas o algebraicas.
- 🟦 El cuadrado azul representa un área de a², mientras que el cuadrado café más pequeño tiene un área de b².
- 🔳 Al restar el área del cuadrado café al cuadrado azul, queda una parte irregular que se puede dividir en rectángulos.
- 🟩 Se construyen dos rectángulos: uno verde con altura b y ancho a - b, y otro rojo con dimensiones similares.
- 🤓 La expresión algebraica para la diferencia de cuadrados es a² - b² = (a - b)(a + b), comprobada gráfica y algebraicamente.
- ➗ El área de los rectángulos resultantes se utiliza para demostrar que la diferencia de cuadrados es el producto de (a - b) por (a + b).
- 📊 El algoritmo para resolver la diferencia de cuadrados implica extraer las raíces cuadradas de a² y b², y luego sumar y restar estas cantidades.
- 📏 También se puede visualizar geométricamente moviendo y redistribuyendo los rectángulos, obteniendo un nuevo rectángulo.
- 🧮 La propiedad conmutativa de la multiplicación permite expresar la diferencia de cuadrados como (a + b)(a - b) o viceversa.
- 🔢 Este método se aplica a expresiones algebraicas complejas, utilizando siempre el mismo algoritmo para simplificar.
Q & A
¿Qué es la diferencia de cuadrados en términos algebraicos?
-La diferencia de cuadrados es una expresión algebraica del tipo a² - b², donde 'a' y 'b' son cantidades numéricas o algebraicas. Se puede descomponer en dos factores: (a + b)(a - b).
¿Cómo se representa geométricamente la diferencia de cuadrados?
-Geometricamente, se representa como un cuadrado grande con un área de a², del cual se quita un cuadrado más pequeño con un área de b². Lo que queda puede reorganizarse en dos rectángulos, uno con dimensiones a - b y b, y otro con dimensiones a - b y a.
¿Qué ocurre si al cuadrado grande le quitamos el cuadrado más pequeño?
-Si se le quita el cuadrado más pequeño al cuadrado grande, quedan dos rectángulos, uno rojo y uno verde, que representan las áreas restantes tras la eliminación del cuadrado pequeño.
¿Qué es un factor común en la diferencia de cuadrados?
-En la diferencia de cuadrados, el factor común es (a - b), que aparece en ambos rectángulos restantes después de quitar el cuadrado pequeño. Este factor se puede usar para simplificar la expresión algebraica.
¿Cómo se puede expresar algebraicamente la diferencia de cuadrados?
-Algebraicamente, la diferencia de cuadrados se puede expresar como a² - b² = (a + b)(a - b), utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación.
¿Cómo se obtiene el área de los rectángulos rojo y verde?
-El área del rectángulo rojo se obtiene multiplicando su altura (a - b) por su anchura b. El área del rectángulo verde se obtiene multiplicando su altura (a - b) por su anchura a.
¿Qué representa la expresión (a + b)(a - b)?
-La expresión (a + b)(a - b) representa la factorización de la diferencia de cuadrados, donde 'a' es la raíz cuadrada del primer término y 'b' es la raíz cuadrada del segundo término.
¿Qué ocurre si redistribuyes los rectángulos para formar un nuevo rectángulo?
-Al redistribuir los dos rectángulos (rojo y verde) formados al quitar el cuadrado pequeño, se obtiene un nuevo rectángulo con altura a - b y anchura a + b, lo que confirma que a² - b² es equivalente a (a + b)(a - b).
¿Qué pasos se deben seguir para aplicar el algoritmo de la diferencia de cuadrados?
-Primero, se calculan las raíces cuadradas de los términos a² y b². Luego, se escribe una expresión con una suma (a + b) y otra con una resta (a - b), formando los dos factores de la diferencia de cuadrados.
¿Qué se puede hacer si no se desea representar geométricamente la diferencia de cuadrados?
-Si no se quiere usar una representación geométrica, se puede aplicar directamente el algoritmo algebraico, utilizando las propiedades de las raíces cuadradas y la factorización de la diferencia de cuadrados.
Outlines
🔵 Explicación geométrica de la diferencia de cuadrados
El primer párrafo explica el concepto de la diferencia de cuadrados usando ejemplos algebraicos y geométricos. Se presenta una expresión cuadrática (a² - b²) y se construye un cuadrado azul grande (de área a²) y un cuadrado más pequeño café (de área b²). Al quitar el cuadrado café del azul, se crean figuras rectangulares que se descomponen para mostrar que a² - b² es igual a (a - b)(a + b). Se aplica una demostración gráfica y algebraica que ilustra cómo la expresión puede factorizarse usando un factor común.
🟥 Redistribución geométrica para demostrar la diferencia de cuadrados
El segundo párrafo continúa la demostración al redistribuir los rectángulos rojo y verde de manera geométrica. Se rota el rectángulo verde para formar un nuevo rectángulo con dimensiones a - b de altura y a + b de anchura. De este modo, se demuestra que la diferencia de cuadrados (a² - b²) puede representarse también como el producto (a - b)(a + b). La propiedad conmutativa de la multiplicación se menciona como otra forma de presentar esta factorización. Se concluye con la aplicación del algoritmo para la diferencia de cuadrados y la invitación a futuros ejercicios más complejos.
Mindmap
Keywords
💡Diferencia de cuadrados
💡Cuadrado perfecto
💡Rectángulo
💡Factor común
💡Propiedad conmutativa
💡Área
💡Raíz cuadrada
💡Factorización
💡Algoritmo
💡Demostración geométrica
Highlights
Diferencia de cuadrados se representa como a² - b², donde a y b son dos cantidades numéricas o algebraicas.
Un cuadrado azul representa a² y un cuadrado más pequeño representa b².
Al quitar el cuadrado pequeño del grande, queda una parte irregular que se puede dividir en rectángulos.
Los rectángulos creados al dividir el área restante tienen dimensiones a - b en uno de sus lados.
El área del rectángulo rojo se expresa como (a - b) multiplicado por su altura b.
El área del rectángulo verde es (a - b) multiplicado por su altura, que es también b.
A² - b² se puede reescribir como la suma de los dos rectángulos, expresado algebraicamente como (a - b)(a + b).
Se utiliza la propiedad conmutativa de la multiplicación para decir que a² - b² es igual a (a + b)(a - b).
El producto de dos factores, uno con suma y otro con resta, es el algoritmo para la diferencia de cuadrados.
Se demuestra gráficamente al mover los rectángulos y mostrar que su reordenación forma un rectángulo con dimensiones (a - b) y (a + b).
El nuevo rectángulo formado tiene área igual a la diferencia de cuadrados, es decir, a² - b².
El algoritmo para hallar la diferencia de cuadrados es aplicar la raíz cuadrada a ambos términos y luego escribir una expresión con los signos más y menos.
Al aplicar el algoritmo, se obtiene (a - b)(a + b) como resultado final.
Este proceso puede ser aplicado a expresiones algebraicas más complejas, pero se sigue el mismo algoritmo.
Para comprender completamente el tema, se recomienda practicar con ejemplos más avanzados.
Transcripts
[Música]
vamos a hablar de la diferencia de
cuadrados expresado algebraica mente
decimos a 2 menos de 2 donde hay b son
dos cantidades numéricas o algebraicas
aquí por ejemplo el año puede escribir
una expresión algebraica cualquiera por
ejemplo 5 2 x y aquí en b otra expresión
álgebra de cada 6 o cualquier otra
expresión algebraica como la multa de
cuadrados vamos a construir los entonces
construye un cuadrado azul que tiene
dimensiones alto y ancho alto y ancho
también para hablar de un cuadrado
perfecto
y que su área será a 2
tenemos otro cuadrado más pequeño que
tiene una altura y una anchura del mismo
valor y en este caso les voy a dar el
valor de b por lo tanto
ese cuadrado tiene una área de b
cuadrado y llegamos pues a la expresión
de la diferencia de cuadrados pero si al
cuadrado azul le voy a quitar el
cuadrado café démonos cuenta que me
queda una parte azul muy irregular por
lo tanto en esta parte azul voy a tratar
de construir otras figuras rectangulares
y entonces voy a dividir ese cuadrado en
tres figuras rectangulares
tengo entonces el cuadrado que dijimos
que tiene una altura y una anchura
exactamente iguales y un cuadrado más
pequeño que tiene una altura llamada b y
una anchura exactamente igual y entonces
en esta parte azul construimos las otras
figuras aquí me cabe un rectángulo verde
que tiene una anchura que es la
diferencia entre a y b por eso la llamo
a menos b y lógicamente que en su altura
es exactamente igual a la del cuadrado
café es decir 20 y aquí en esta parte me
cabe otra figura la figura roja que
tiene una altura de a menos ve la
diferencia entre a y b por lo tanto digo
que esto a menos b
y lógicamente que su anchura será la
misma de acá
voy a hacer su demostración gráfica y
algebraica al mismo tiempo si a este
cuadrado que acabe de construir le quito
el cuadrado café
de esa manera
al quitarle el cuadrado café me quedan
los rectángulos rojos y verdes
por lo tanto su resultado será el área
del cuadrado del rectángulo rojo con el
área del rectángulo verde de la
siguiente manera
el área de el rectángulo rojo será alto
por ancho a menos de hora y el área del
rectángulo verde será ancho por alto a
menos de port vell de modo que a
cuadrado menos de cuadrado será igual al
rectángulo rojo más el rectángulo verde
que fue lo que me quedó al quitarle el
rectángulo carmelita démonos cuenta que
la expresión del lado derecho de la
igualdad es un factor común por lo tanto
decimos que a 2 menos de 2 es igual al
factor común que sabe a menos 20 que
está aquí y está aquí
y ese factor común va a dividir a cada
una de esas expresiones por lo tanto al
dividirlas me da a b porque la expresión
que está dentro del rectángulo rojo
dividido entre el factor común me da la
letra a la expresión que está dentro del
rectángulo verde divide entre el factor
común me da la letra p
pero yo esta expresión al cuadrado menos
del cuadrado también la puedo escribir
al contrario a más ve por a menos 20
aplicando la propiedad conmutativa de la
multiplicación luego llegamos aquí a un
algoritmo para la diferencia de
cuadrados y decimos que la diferencia de
cuadrados es un producto de dos fax de
dos factores el uno con zuma y el otro
con resta o el primero con resta y el
segundo con suma con suma no tiene
problema donde hay b son las raíces
cuadradas
de los cuadrados la raíz cuadrada de
algesa y la raíz cuadrada de b2b
tenemos que mirar este este algoritmo si
no queremos representarlo
geométricamente
otra forma de demostrar esta diferencia
de cuadrados es de esta manera si yo a
este cuadrado que construye le voy a
quitar el cuadrado más pequeño
entonces me queda
los dos rectángulos el rojo y el verde
que tenemos que hallar la y sus áreas
pero entonces si yo paso este rectángulo
rojo acá
con las mismas dimensiones ancho
y alto a mí nos ve
y este rectángulo verde lo paso aquí
pero lo giro
tendrá entonces por acá una longitud de
b que es esta longitud
y esta longitud será esta misma a menos
de porque lo he derrotado
que es la misma y acá por lo tanto al
hacerlo y redistribuirlo en con esta en
esta forma geométrica decimos que al
cuadrado menos b cuadrado me dieron
estos dos rectángulos que me formaron un
nuevo rectángulo que tiene altura a
menos b y anchura a más b por lo tanto
será a menos de que cierta altura por la
anchura que es a menos b y lo mismo se
aplicó la propiedad conmutativa podemos
decir que también es igual a más b por
al menos 20 entonces démonos cuenta que
para hallar la diferencia de cuadrados
le sacó la raíz cuadrada el primer
término en este caso la raíz cuadrada de
a 2 esa y le sacó la raíz cuadrada al
segundo término la raíz cuadrada de 26 b
sacó sus raíces cuadradas y aquí escribo
menos aquí escribo las mismas cantidades
pero con el signo más o al contrario si
aquí escribo más aquí escribo menos este
es el algoritmo que deben aplicar si
nosotros nos representamos esto
geométricamente más adelante iremos a
hacer algunos ejercicios donde hay b son
expresiones algebraicas un poco más
complejas pero aplicamos el mismo
algoritmo si ha entendido el tema sí ha
aclarado algunas dudas
regálame un like
si necesita alguna consulta diríjase a
mi canal el canal del profe carreño oa
través de mi línea telefónica que
coloque al principio del vídeo
de esta manera entonces queda demostrado
esta diferencia de cuadrados
[Música]
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