Pensamiento matemático 3. Progresión 2b. Funciones y tipos de funciones
Summary
TLDREste video introduce conceptos básicos de geometría analítica, centrándose en funciones lineales, parábolas, circunferencias, elipses, y su representación gráfica en el plano cartesiano. Explica cómo identificar el tipo de función algebraica o trascendental, y analiza la importancia de comprender estas funciones para calcular variaciones mediante derivadas. También se aborda cómo las funciones racionales, irracionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales describen diferentes curvas y cómo su estudio es esencial para entender su comportamiento en geometría analítica.
Takeaways
- 📐 Las funciones lineales representan líneas rectas, que pueden ser crecientes o decrecientes, y son de una sola variable.
- 📊 Las parábolas en geometría analítica dependen de su orientación respecto a los ejes X o Y, y su fórmula básica incluye el valor de p, que determina si abre hacia los positivos o negativos.
- 🔵 La circunferencia se define con una fórmula que incluye el centro (h, k) y el radio, formando una ecuación cuadrática.
- 🔷 La elipse se define por los valores de sus semiejes mayor (a) y menor (b), y su ecuación estándar incluye estos parámetros.
- 📏 Las funciones algebraicas pueden ser racionales o irracionales, dependiendo de si incluyen raíces o exponentes fraccionarios.
- 🌐 Las funciones trascendentales incluyen las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, y su definición depende de las operaciones involucradas.
- 📈 Las funciones trigonométricas describen movimientos periódicos, mientras que las logarítmicas y exponenciales generan otros tipos de curvas.
- 🧮 Las derivadas permiten calcular la variación en un punto de cualquier curva, ya sea lineal, parabólica o circular.
- 🔍 La importancia de las derivadas en geometría analítica radica en su capacidad para describir el cambio en diferentes tipos de curvas.
- 📚 Las reglas de derivación varían según el tipo de función: racionales, irracionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
Q & A
¿Qué son las funciones lineales y cómo se comportan en el plano cartesiano?
-Las funciones lineales son funciones algebraicas de una sola variable que grafican una línea recta en el plano cartesiano. Pueden ser crecientes si la línea va hacia arriba o decrecientes si va hacia abajo. Estas funciones siempre tienen un único valor en el contradominio para cada valor en el dominio.
¿Cómo afecta el valor de 'p' en la parábola y su orientación en el plano cartesiano?
-El valor de 'p' en una parábola determina hacia dónde se abre. Si 'p' es positivo, la parábola se abre hacia el lado positivo del eje X o Y, dependiendo de su orientación. Si 'p' es negativo, la parábola se abrirá hacia el lado negativo.
¿Cuál es la ecuación estándar de una circunferencia y qué variables determinan su forma?
-La ecuación estándar de una circunferencia es (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, donde (h, k) son las coordenadas del centro de la circunferencia y 'r' es el radio. Estas variables determinan el tamaño y la ubicación de la circunferencia en el plano.
¿Qué es una elipse y cómo se representa algebraicamente?
-Una elipse es una curva cerrada que se representa con la ecuación (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1, donde 'a' y 'b' son los semiejes mayor y menor, respectivamente. Estos valores determinan la forma de la elipse y su orientación en el plano cartesiano.
¿Qué diferencia a una función algebraica racional de una irracional?
-Las funciones algebraicas racionales solo involucran variables con exponentes enteros, como 6x + 8 o 4x^2 - 5. Las funciones algebraicas irracionales contienen términos bajo el signo de raíz o con exponentes fraccionarios, como √x o x^(1/2).
¿Qué son las funciones trascendentales y cómo se clasifican?
-Las funciones trascendentales no pueden expresarse solo en términos algebraicos. Se clasifican en trigonométricas (como seno, coseno), logarítmicas (como el logaritmo natural), y exponenciales (como e^x). Cada tipo depende de una función específica no algebraica.
¿Qué es una derivada y cuál es su relación con las funciones discutidas?
-Una derivada mide la variación de una función en un punto específico de su gráfica, como la pendiente de una tangente a una curva. Es fundamental para entender cómo cambian las funciones algebraicas y trascendentales, ya sea una línea recta, parábola, circunferencia, o cualquier otra curva.
¿Cómo se aplica la derivada a funciones algebraicas y trascendentales?
-Las reglas de derivación varían según el tipo de función. Para funciones algebraicas racionales e irracionales, hay fórmulas específicas que determinan cómo calcular la derivada. Para las funciones trascendentales (trigonométricas, logarítmicas, y exponenciales), también hay reglas específicas que se aplican a cada caso.
¿Qué relación tienen las derivadas con la geometría analítica?
-Las derivadas están profundamente relacionadas con la geometría analítica porque permiten calcular cómo varía una función en cualquier punto de su curva. Esto es crucial para entender el comportamiento de las gráficas, como las líneas rectas, parábolas, circunferencias, y otras curvas geométricas.
¿Qué importancia tiene identificar el tipo de función antes de aplicar una derivada?
-Es esencial identificar el tipo de función (racional, irracional, trigonométrica, logarítmica o exponencial) antes de aplicar una derivada, ya que cada tipo tiene reglas de derivación específicas. Esto garantiza un cálculo preciso de la variación en cualquier punto de la gráfica.
Outlines
📈 Introducción a las funciones lineales y cuadráticas en geometría analítica
Este párrafo comienza introduciendo los conceptos básicos de las funciones lineales en geometría analítica, explicando cómo estas funciones, al graficarse, generan una línea recta que puede ser creciente o decreciente. Luego, se aborda el concepto de parábolas, describiendo cómo su forma depende de su alineación con los ejes X o Y. Se explica la fórmula general para una parábola y cómo el valor de 'p' afecta la apertura de la curva, ya sea hacia los positivos o negativos. Finalmente, se menciona que las parábolas son funciones de segundo grado que pueden transformarse a una forma estándar.
🔵 La circunferencia y sus propiedades geométricas
Este párrafo explora las propiedades de la circunferencia en geometría analítica. Se presenta la ecuación general de una circunferencia, que requiere conocer el centro y el radio, y se describe cómo se determina el centro a partir de las coordenadas h y k. También se da un ejemplo concreto de una circunferencia con radio 3 y centro en las coordenadas (5,3). Finalmente, se introduce brevemente el concepto de la elipse, otra curva comúnmente utilizada, con una ecuación que involucra los semiejes mayor y menor.
➗ Clasificación de funciones algebraicas y trascendentales
Este párrafo se enfoca en la clasificación de las funciones algebraicas y trascendentales. Se explica que las funciones algebraicas pueden ser racionales, cuando no hay raíces ni exponentes fraccionarios, e irracionales, cuando contienen raíces o exponentes fraccionarios. Además, se describe cómo las funciones trascendentales incluyen las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, dependiendo del tipo de valores que representen. Se dan ejemplos de cada tipo y se menciona que estas funciones se diferencian por su dependencia de conceptos más complejos como logaritmos o funciones trigonométricas.
📐 Relación entre funciones algebraicas y derivadas
El último párrafo conecta las funciones algebraicas y trascendentales con el concepto de derivadas en geometría analítica. Se introduce la derivada como una herramienta para calcular la variación de una función en cualquier punto específico de una curva, ya sea una línea recta, una parábola o una circunferencia. Se adelanta que las reglas de derivación varían según el tipo de función, ya sean racionales, irracionales, trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. La importancia de las derivadas radica en su capacidad para encontrar la tangente en un punto particular de una curva, lo que se vincula directamente con el análisis de estas funciones en geometría analítica.
Mindmap
Keywords
💡Funciones lineales
💡Parábola
💡Circunferencia
💡Elipse
💡Hipérbola
💡Funciones algebraicas
💡Funciones trascendentales
💡Derivada
💡Plano cartesiano
💡Ecuación cuadrática
Highlights
Las funciones lineales describen una línea recta, ya sea creciente o decreciente.
El dominio y contradominio de las funciones lineales es importante para su representación gráfica.
Una parábola puede abrir hacia los lados de los ejes X o Y, dependiendo de su forma algebraica.
Las parábolas tienen una fórmula general que incluye el valor de p, el cual determina si la parábola abre hacia el lado positivo o negativo.
La circunferencia se describe por una función cuyo formato depende del centro y del radio de la misma.
La elipse es otra curva importante que se define por sus semiejes mayor y menor.
Las funciones algebraicas se dividen en racionales e irracionales, dependiendo de si sus términos incluyen raíces o fracciones.
Las funciones trascendentales incluyen las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
Las funciones trascendentales se clasifican en trigonométricas e inversas, logarítmicas y exponenciales.
La importancia de las funciones algebraicas y trascendentales radica en su representación gráfica.
La derivada es una herramienta clave para calcular la variación en cualquier punto de una función.
Cada tipo de función, ya sea algebraica o trascendental, tiene reglas específicas para calcular sus derivadas.
Las funciones algebraicas racionales incluyen variables y exponentes, mientras que las irracionales tienen raíces o exponentes fraccionarios.
Las funciones trigonométricas describen movimientos periódicos y tienen formas específicas de graficarse.
Las derivadas permiten encontrar la tangente de una curva en un punto determinado y describen la variación de esa curva.
Transcripts
[Música]
Hola amigos de matemáticas comantes
pasaremos algunos conceptos básicos de
geometría analítica bien las primeras
funciones a analizar son las funciones
lineales su dominio y contradominio es
decir cuando graficamos la función
describen una línea recta ya sea una
línea recta creciente o una línea recta
decreciente bien en este caso estamos
ejemplificando una línea recta de tipo
creciente si estuviese hacia abajo sería
decreciente estas son funciones de tipo
algebraicas y son consideradas funciones
de una sola variable bien en este caso
estas funciones describirán siempre que
para cada valor correspond
á un único valor en el sub contradominio
bien después de este tipo de funciones
vamos a tener también
aquellas en
donde en el plano cartesiano se va a
dibujar una
curva bien la curva más utilizada Pues
en este caso será la parábola la función
de la parábola dependerá o su
forma dependerá
de si es paralela a cu a uno de los ejes
o a cuál de los ejes es paralela bien
digamos que tenemos esta una parábola de
esta forma aquí su eje es
paralelo al eje
X en este caso la forma básica de esta
expresión será
que o la
conocemos como y -
K elevado al cuadrado es igual a 4p * x
- h el valor de p en este caso
recordemos que es positivo si como en
este
caso la parábola
Abre hacia el lado de los positivos pero
si en cambio Si la parábola Abre hacia
el lado de los negativos el valor de p
será
negativo bien si la parábola
por otro lado tiene un eje que es
paralelo al eje de las y como en este
caso su forma usualmente será x - h
elevado cuadrado igual a
4p por y - K de esta
forma estas funciones en este caso
sabemos que son funciones de segundo
grado y expresaremos
o convertiremos esta función usualmente
a su forma de FX = a a por x - h cuad má
K es decir utilizaremos o las
convertiremos oiremos más bien a esta
forma
bien de ahí otra de las curvas que más
comúnmente
utilizamos sí
es la
circunferencia la encia en este
caso utilizará una función en
donde vamos a tener que
es x - h elevado cuadrado + y - K
elevado cuadrado es igual al radio al
cuadrado es decir necesitamos conocer el
centro y también
el radio de la
circunferencia el centro
obviamente es lo que determinan las
coordenadas h y K entonces para una
circunferencia de radio 3 que por
ejemplo está en 5,3
nos quedaría de esta
forma de ahí también
tenemos otra de las curvas más
utilizadas es la
elipse bueno la
elipse en este caso
vemos que se acomoda a lo que es al tipo
o la forma de y cuad ent a cuadrada + x
cu ent B cuada Se igual a
1 bien esta los valores de a y b se
refieren a los valores del
semieje mayor y del
semieje menor
bien estas funciones van a describir la
mayoría de las curvas que conocemos
Tenemos también la hipérbola
pero en este caso la omitir para no
hacer más largo el video ahora bien
todas estas funciones se van a
clasificar de diferentes
formas bien llamaremos que una función
es
algebraica cuando
tiene la
forma como la mayoría de las funciones
que hemos visto hasta este momento es
decir F dex es por ejemplo es igual
[Música]
a 6x + 8 o F dex = a 4x cu -
5 Sí esta sería la forma algebraica
bien las funciones algebraicas en Sí
estas que estamos viendo hasta este
momento se consideran como funciones
algebraicas
racionales y vamos a definir también
como funciones algebraicas
irracionales aquellas que como son como
las que vemos
aquí tienen términos algebraicos pero
vamos a llamar irracionales
aquellas en donde la
expresión se
encuentra bajo el signo de la
raíz Como por ejemplo esta o aquellas en
donde el exponente
sea una fracción por ejemplo estas que
tenemos
aquí ahora bien aparte de las
funciones
algebraicas vamos a tener también las
que se denominan
trascendentales bien las funciones
trascendentales
van a dividirse dependiendo de A qué
bueno dependiendo de los valores o de en
función de que estén los valores de la
función por ejemplo llamaremos las
funciones trascendentales
trigonométricas de las cuales vamos a
tener trigonométricas y trigonométricas
inversas
cuando por ejemplo el valor de la
función
esté en función de una función
trigonométrica por ejemplo de coseno
estas que tenemos aquí ya también
tendemos
logarítmicas cuando estén en función de
un logaritmo
por ejemplo esta y también
tendremos las
exponenciales como esta que tenemos
aquí entonces cuando estén cuando sus
valores o para
calcular los valores de las
funciones necesitemos de funciones como
trigonométricas logarítmicas o
exponenciales serán funciones
trascendentales cuando no desprendan de
esto y el valor de las funciones
solamente esté relacionado con la
resolución de un término algebraico como
estas que tenemos aquí ya las llamaremos
funciones
algebraicas y las llamaremos
racionales cuando
solamente tienen variables y exponentes
y las llamaremos irracionales cuando el
valor de la función esté debajo de la
raíz o esté
eh
vinculado a un exponente
fraccionario por qué o qué relación
tiene el exponente fraccionario con la
raíz porque Bueno siempre podemos
expresar una raíz como un exponente
fraccionario recordemos esto es parte de
las raí de las raíces ahora Cuál es la
importancia de esto bueno la importancia
de esto es que gráficamente estas
funciones
describirán algunas de las
líneas que ya hemos
dibujado ya
sea que describan una línea recta que
describan una parábola una
circunferencia las trigonométricas que
en este caso van a
describir movimientos Como por ejemplo
este bueno debería de salir un poquito
menos más preciso Pero bueno se entiende
sí las
logarítmicas y las exponenciales que
describirán otros tipos de
líneas Asimismo
para cada uno de estos Existirá una
forma para
calcular la
variación y es algo que lo vamos a ver
cuando lleguemos a lo que es la
derivada bien que adelantándonos un poco
la derivada en sí es encontrar una
expresión algebraica que me permita
calcular la variación en cualquier punto
de la
línea ya sea que estemos
hablando
lineal de una
parábola sí de una circular
periódica en Cualquiera de esos casos
vamos a obtener una función que nos
permita determinar Cuál es la variación
en cualquier punto de esas
líneas ahora bien las reglas de las
derivadas se clasificarán o las iremos
viendo basándonos en estas
clasificaciones las reglas para
funciones racionales para
irracionales para trigonométricas para
logarítmicas y para
exponenciales cada regla se aplicará a
un tipo de función por eso es importante
identificar el tipo de función y por eso
también es importante identificar
que siempre que vemos una derivada Es
simplemente la variación en un punto
determinado es decir como lo hemos visto
una tangente que toca una curva en un
punto
determinado Entonces esta es la
importancia de esto y es importante o la
relación que tiene con la geometría
analítica Por lo cual es importante
repasar estas funciones para poder saber
o comprender Cuáles son los tipos de
líneas que estamos analizando y el
comportamiento de cada uno de los
fenómenos bien hasta aquí con este video
y nos veremos en el siguiente
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