Sumas de Riemann - Ej.1 (Paso a paso | Cuadrática)

Summary

El video ofrece una explicación detallada sobre cómo resolver una integral definida utilizando el método de la suma de Riemann. A través de un enfoque paso a paso, el presentador guía al espectador para identificar valores clave como 'b' y 'fx', calcular el intervalo 'Δx' y aplicar la fórmula de la suma de Riemann. Se desglosan los cálculos para simplificar el integrando y se aplica la sumatoria, culminando con la toma del límite cuando 'n' tiende al infinito para obtener el resultado final. El video es una herramienta educativa para comprender mejor los conceptos de cálculo integral.

Takeaways

• 📚 El vídeo trata sobre cómo resolver una integral definida utilizando el método de la suma de Riemann.
• 🔍 Se explica que el método de la suma de Riemann puede parecer complicado, pero se desglosa en pasos claros para su comprensión.
• 📐 Se identifican los valores de 'a', 'b' y la función 'f(x)' como los primeros pasos para resolver la integral.
• 📝 Se menciona la importancia de comparar los valores de 'b' y 'f(x)' con los límites de la integral.
• ✏️ Se detalla el proceso de cálculo del intervalo 'Δx' y cómo sustituir estos valores en la fórmula.
• 📉 Se explica cómo calcular 'xᵢ' y 'f(xᵢ)', que son partes fundamentales de la fórmula de la suma de Riemann.
• 🔢 Se aborda la manipulación algebraica de las expresiones para simplificar la fórmula y facilitar los cálculos.
• 🧮 Se resalta la necesidad de aplicar propiedades de productos notables y el uso de potencias para simplificar la expresión.
• 🔄 Se describe el proceso de multiplicar el resultado de 'f(xᵢ)' por 'Δx' para obtener la suma parcial.
• 🌐 Se menciona la aplicación de la sumatoria para combinar todos los términos y obtener una expresión más compacta.
• 📉 Se explica cómo aplicar las fórmulas de sumatoria y simplificar la expresión obtenida.
• 📖 Se enfatiza la importancia de tomar el límite cuando 'n' tiende al infinito para obtener el resultado final de la integral.

Q & A

¿Qué método se utiliza para resolver la integral definida en el guion?

Se utiliza el método de la suma de Riemann para resolver la integral definida.

¿Cuál es el primer paso al resolver la integral con el método de Riemann?

El primer paso es identificar el valor de 'b' y el valor de 'fx' a partir de la integral proporcionada.

¿Cómo se determina el intervalo 'Δx' en el método de Riemann?

El intervalo 'Δx' se determina como la diferencia entre 'b' y 'a', donde 'a' es el límite inferior y 'b' es el límite superior de la integral.

¿Qué es 'xᵢ' en el contexto del método de Riemann?

'xᵢ' representa el punto de evaluación dentro del intervalo dividido, generalmente es el punto medio o el punto de corte del intervalo 'Δx'.

¿Cómo se calcula 'f(xᵢ)' en el método de Riemann?

'f(xᵢ)' se calcula sustituyendo 'xᵢ' en la función 'f(x)' que está siendo integrada.

¿Qué significa 'n' en el método de Riemann?

'n' representa el número de subintervalos en los que se divide el intervalo total, y se utiliza para calcular 'Δx' como '(b-a)/n'.

¿Cuál es la fórmula para el área aproximada bajo la curva usando el método de Riemann?

La fórmula para el área aproximada es la suma de los productos de 'f(xᵢ)' y 'Δx', donde 'f(xᵢ)' es la función evaluada en cada punto 'xᵢ'.

¿Cómo se aplica la propiedad de los productos notables en el cálculo de 'f(xᵢ)'?

Los productos notables se aplican al expandir y simplificar la expresión de 'f(xᵢ)' cuando se sustituye 'xᵢ' en la función 'f(x)'.

¿Qué es la sumatoria y cómo se usa en el método de Riemann?

La sumatoria es una notación matemática para la suma de un conjunto de términos. En el método de Riemann, se usa para sumar el área de todos los rectángulos o trapecios que se utilizan para aproximar la integral.

¿Cómo se calcula el límite cuando 'n' tiende al infinito en el método de Riemann?

El límite cuando 'n' tiende al infinito se calcula sustituyendo 'n' por un infinito en la sumatoria y simplificando el resultado para obtener el valor exacto de la integral.

Outlines

00:00

📚 Introducción al Método de la Suma de Riemann

El primer párrafo introduce el tema de la resolución de una integral definida utilizando el método de la suma de Riemann. Se menciona que, aunque puede parecer complicado, se puede simplificar siguiendo unos pasos específicos. Se describe el proceso de identificar los valores de 'b' y 'fx' a partir de la integral dada y cómo compararlos con los valores de la integral. Se resalta la importancia de reemplazar estos valores en la fórmula para obtener el intervalo de 'x' y se sugiere que el siguiente paso será hallar el valor de 'x' y 'y' que se utilizarán en la fórmula.

05:04

🔢 Desarrollo del Cálculo con el Método de Riemann

El segundo párrafo continúa con el desarrollo del cálculo de la integral definida. Se explica cómo reemplazar los valores hallados en la fórmula y cómo operar con las expresiones algebraicas resultantes. Se menciona la utilización de propiedades de los polinomios y fórmulas de producto notables para simplificar la expresión. El párrafo concluye con la preparación para la multiplicación de los términos 'fx' y 'delta x', que son fundamentales en el método de Riemann.

10:05

📐 Aplicación de la Sumatoria en el Método de Riemann

El tercer párrafo se centra en el paso siguiente del método, que es la aplicación de la sumatoria. Se describe cómo se introduce la sumatoria y cómo se distribuye a través de los términos relevantes. Se mencionan las propiedades de la sumatoria y cómo se aplican para simplificar la expresión. Se resalta la importancia de mantener la estructura correcta de la sumatoria y se presentan fórmulas comunes utilizadas en el proceso.

15:06

🏁 Conclusión del Método de Riemann y Límite al infinito

El último párrafo concluye el método de la suma de Riemann al aplicar el límite cuando 'n' tiende al infinito. Se describe cómo se reemplazan los términos en la sumatoria con el infinito y cómo se simplifican los términos que involucran a 'n'. Se resalta la regla de que cualquier número dividido por el infinito tiende a cero, y se aplica esto para simplificar la expresión final. El párrafo termina con la obtención de la respuesta final de la integral utilizando el método de Riemann y se invita a los espectadores a comentar si tienen dudas o consultas.

Keywords

💡Método de la suma de Riemann

El Método de la suma de Riemann es una técnica matemática utilizada para calcular el valor de una integral definida a través de la aproximación de la área bajo una curva. En el guion, se menciona este método como una forma alternativa para resolver una integral definida, lo que indica que el video trata sobre la integración y cómo aproximar áreas a través de sumas finitas. El ejemplo del guion muestra cómo se aplican los pasos del método para simplificar la integral y encontrar su valor.

💡Integral definida

Una integral definida es una operación matemática que calcula el área entre una curva y el eje horizontal, dentro de un intervalo dado. En el guion, la integral definida es el objeto central de estudio, y se busca resolverla usando el Método de la suma de Riemann, lo cual es un enfoque para aproximar el área exacta bajo la curva dentro de los límites especificados.

💡Valor de b y el valor de fx

En el contexto del Método de la suma de Riemann, 'b' y 'fx' son los límites superior e inferior de la integral, respectivamente. El guion menciona la necesidad de identificar estos valores para configurar la integral y aplicar el método de manera correcta. Estos valores son fundamentales para establecer el intervalo sobre el cual se calcula la aproximación de la integral.

💡Intervalo de x

El intervalo de x se refiere al rango de valores que x toma en la integral, y es crucial para dividir el intervalo en subintervalos de igual longitud, conocidos como 'subintervalos' o 'particiones'. En el guion, se habla de hallar el intervalo de x para poder aplicar el Método de la suma de Riemann, que implica calcular la diferencia entre los límites superior e inferior (b - a).

💡Parte por parte

La 'parte por parte' es una técnica utilizada en cálculo para integrar funciones complejas. Aunque no se menciona explícitamente en el guion, la mención de hallar 'x y' sugiere que se está utilizando esta técnica para simplificar la función antes de aplicar el Método de la suma de Riemann. Esto es un paso importante para poder realizar la integración de funciones que no son triviales.

💡Sumatoria

Una sumatoria es una notación matemática que representa la suma de una secuencia de términos. En el guion, la sumatoria es un elemento clave en el Método de la suma de Riemann, ya que se utiliza para sumar los productos de los valores de la función en los puntos de partición por el tamaño del subintervalo, lo que permite aproximar la integral.

💡Límite

El límite es un concepto fundamental en el cálculo que se refiere a la tendencia de una función a un valor específico cuando el argumento se acerca a otro valor. En el guion, se menciona el paso de aplicar el límite cuando n tiende al infinito, lo que es esencial para transformar la suma de Riemann en una integral definida y obtener el área exacta bajo la curva.

💡Producto notables

Los productos notables son fórmulas matemáticas que simplifican el cálculo de productos de expresiones algebraicas. En el guion, se hace referencia a los productos notables al simplificar la expresión que se obtiene al aplicar el Método de la suma de Riemann, lo que ayuda a reducir la complejidad de los cálculos y a facilitar la comprensión del proceso.

💡Función

Una función matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el guion, la función fx es la que se está integrando, y se menciona en el contexto de calcular su integral definida. La función es fundamental en el cálculo y en el guion se trabaja específicamente con la función para resolver la integral.

💡Cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que estudia la variación de cantidades y su tendencia a cambiar. En el guion, el cálculo es el tema central, ya que se está resolviendo una integral definida, que es una operación fundamental en el cálculo integral. El video parece estar enfocado en enseñar cómo se realiza el cálculo de integrales utilizando diferentes métodos.

Highlights

Introducción al método de la suma de Riemann para resolver integrales definidas.

Identificación del valor de 'b' y 'fx' en la integral dada.

Comparación de la integral con la fórmula de Riemann para establecer relaciones.

Determinación de los valores de 'a', 'b' y la función 'fx'.

Cálculo del intervalo de 'x' y su relación con 'n'.

Explicación del proceso para hallar 'x' y 'fx' en el contexto de la fórmula de Riemann.

Reemplazo de valores en la fórmula para simplificar el cálculo.

Cálculo de 'fx' y su representación en la fórmula de Riemann.

Manipulación algebraica para simplificar la expresión de 'fx'.

Introducción de la propiedad de los polinomios notables en el cálculo.

Multiplicación de 'fx' y el delta de 'x' según la fórmula de Riemann.

Aplicación de la sumatoria en la fórmula de Riemann.

Reemplazo de sumatorias con fórmulas comunes para su simplificación.

Cálculo y simplificación de la sumatoria para obtener una expresión más manejable.

Aplicación del límite cuando 'n' tiende al infinito para resolver la integral.

Conclusión del cálculo y presentación del resultado final de la integral.

Comparación del método de la suma de Riemann con el tradicional de reglas de integración.

Invitación a los espectadores para realizar consultas o dudas en los comentarios.

Transcripts

hola amiga cómo están el día de hoy

vamos a resolver una integral definida

pero lo vamos a resolver utilizando el

método de la suma de rima que si bien

parece un poco complicado van a ver que

no es tanto siguiendo unos pasos que en

un momento lo vamos a ver

[Música]

para resolver este enterar por la forma

de harriman vamos a seguir unos pasos

que he puesto por acá ya primero vamos a

identificar el valor de el valor de b y

el valor de fx que desde esta integral

de acá si bien a castel a aplaste el bei

y acá está el fx entonces esto lo tengo

que comparar como integral que tengo acá

no se dan cuenta este menos 2 bien seré

la el 3 que está acá arriba mírense el b

y éste fx viene a ser toda esta parte de

acá entonces esto voy a notarlo acá el a

sería igual a menos 2

el be be de ser igual a 3 y el fx viene

a ser igual todo esto qué es

- x cuadrado más x 6

y luego vamos a hallar este valor que es

el intervalo de x no o es una una

pequeña diferencia de xl con sol es

decir ya entonces esto simplemente

reemplazar estos datos si éste

va a ser igual a b que ya pusimos por

acá que es 3 menos a que es menos 2

vamos a ponerle el paréntesis ya sobre

nn si no lo vamos a reemplazar vamos a

dejarlo así ok entonces tres menos menos

2 sería 5

/ n entonces ya tenemos este valor luego

vamos a hallar el xy ya este porque

hemos hallado porque esto aparece acá en

la fórmula entonces lo que estamos

haciendo es hallar parte por parte de la

fórmula para ir calculando todo poco a

poco primero hemos hallado esto que es

acá está le vamos a hallar este x y que

estará metido dentro ya y sx y tiene

esta fórmula entonces si no reemplazamos

el xv el día será igual a que sea está

cada vez menos 2 más el triangulito de

que vamos a ponerle pero es una

diferencia de que es un elemento de x ya

que es 5 entre n acá le hemos calculado

5 / n por y eso y lo dejamos así nada

más

para poner el 5 bonito

y hasta luego vamos a calcular este fx y

qué es esto está fx que hemos puesto

pero en vez de equis vamos a colocarle

equis y entonces como quedaría sería fx

si sería en vez de equis colocaremos

aquí sino que sería menos equis y al

cuadrado más x y y más 6 está bien ya

ahora este x si que hemos puesto lo

tenemos que reemplazar por esto que

hemos hallado acá se dan cuenta y el x

igual de toda esta expresión ya entonces

cómo quedaría sería

el fx y sería igual a menos en vez de xy

vamos a colocar todo esto entonces sería

abrimos un paréntesis que haría menos 2

+ 5 entre n y todo eso al cuadrado no

porque éste exista al cuadrado ya más

otra vez x tíos ya todas veces todo acá

vamos a poner en parís otra vez menos

dos más

5 / n

y si y al final queda más 6

y esto vamos a operar un poquito más si

acá lo vamos a operar por ejemplo este

controlador acá quería efe

de xy igual y este el menos que esté

menos de acá y acá tienen que acordarse

de la propiedad de de pronto notables

que es un vino me al cuadrado que sería

éste acá menos 2 al cuadrado más donde

nos vamos abrir paréntesis ya sería

menos 2 al cuadrado ya más dos veces

esto por esto sea más dos veces menos

dos por cinco entre sí y más

el segundo término que es

5 / n y todo esto al cuadrado si toda

esta parte de acá es la resolución de

este binomio al cuadrado ya revisaron

sus fórmulas de producto notables ahí lo

van a encontrar si llamas

y acá no hay nada que hacer simplemente

este

no desaparece

más con menos sería menos no sería menos

2

más con más sería más fría más 5 / n iv

y más 6 y ahora vamos a operar un

poquito estoy acá sería efe de xy es

igual la vamos a seguir poniendo en el

menos fiel paréntesis para pegar un poco

lo que está dentro del paréntesis menos

al cuadrado sería 4 si acá sería 2 x

menos 2 es menos 4 y menos cuatro por 5

sería menos 20 todos quedaría menos 20

entre n que se extiende que está acá y

por el lic y está ahí sí y acá también

como es todo esto es esto un término al

cuadrado cada uno de éstos va a estar al

cuadrado sería más 5 al cuadrado sería

25 entre en al cuadrado que es n

cuadrado por él y al cuadrado que viene

a ser y al cuadrado si ya sabemos que

paréntesis y el casería cooperamos

también yo creo que tenemos el menos 2

con el más 6 sería menos 2 + 6 sería más

4

y que quede acá sobrando el más 5 entre

n iv

y entonces este ahora esté menos lo

vamos a introducir al paréntesis a cada

término que está dentro del paréntesis

sería efe de xy igual sería menos 4

menos con menos sería más 20 entre n y

menos comas sería menos 25 entre n

cuadrado y cuadrado ya quedaría más 4

más 5 entre n iv ok y acá vemos si

podemos esperar un poco más vemos que si

por ejemplo este menos 4 que está acá no

se puede ir con este más 4 no se restan

y quedaría 0 y también vemos por ejemplo

que este 20 entre n iv y 5 entrene y

tiene y entre n ii entre entonces estos

números 25 se pueden sumar si nos

quedaría

fx y quedaría 20 5 que daría 25 entre n

por y no y ya me sería solamente el de

acá que sería menos 25 y entre en el

cuadrado y cuadrado sí entonces eso es

lo máximo que podemos reducir

simplificar ya y siempre que tratar que

el fx y siempre tenga dividiendo la sen

es que no tenga n multiplicando arriba y

no se decía lo siguiente vocero en la

siguiente pesaje bueno aquí he puesto lo

que ya hemos hallado el fx y el delta de

x que fue una de las primeras cosas que

hemos hallado entonces lo siguiente que

tecnología es la multiplicación de esos

dos porque en nuestra fórmula tenemos

que multiplicar estos dos entonces por

eso lo vamos a multiplicar entonces cómo

quedaría no sería fx y por el

triangulito de equis o el delta de equis

igual a fx y que es todo esto vamos a

poner un paréntesis sería 25

dn

-25 entre en el cuadrado y cuadrado y

todo esto por el 5 entre n si entonces

esto va a pasar a multiplicar a cada uno

de estos nos vamos a poner así sería

hasta 625 entre n

bolt y ya y por estoy acá que sería 5 /

n menos ahora esté acá

por el cuadrado ya y por el 5 entre n

y cómo quedaría quedaría 25 por 5 sería

125 entre n cuadrado por y no en el

cuadrado porque n por n puede ser

declarado sí ya que sería menos acá

también 25 por 5

también sería 125 acá va a ser en el

cuadrado por ende va a ser en el cubo y

que haría él y al cuadrado entonces ya

hemos sellado estoy acá lo siguiente que

vamos a hacer el sexto paso va a ser

aplicar la sumatoria esta sumatoria como

ya hemos fallado todo esto ahora vamos a

ver toda esta parte de acá que es esto

y lo que vamos a hacer de los siguientes

vamos a poner acá

ha copiado nuevamente sería igual a 1

entre en asia n de todo esta parte ya

que es esto que lo que hemos hallado

hace un momento un punto así sería 125 y

entre n cobrado menos

125 en el cubo ahora y cuadrado ya

entonces hemos reemplazado en vez de

colocar todo esto hemos puesto esto que

lo que hemos sellado previamente ahora

esta sumatoria lo voy a colocar a cada

uno de los términos puede puede entrar

es una propiedad la sumatoria y entrar a

cada término conocería

sumatoria de y igual a 1 hasta n de 125

entre n cuadrado por y para menos ahora

está también con la otra sería sumatoria

de igual a 1 hasta n de 125

en el cubo x y cuadrado si acaba poner

al costado ya ahora y acá solamente

vamos a dejar lo que tiene y es como si

nuestra variable solamente fuera y

entonces este 125 en tren de cuadrados

puedo sacarlo fuera de la sumatoria nos

quedaría 125 entre n cuadrado por

sumatoria de igual a 1 hasta n de y si y

acá hacemos lo mismo este 125 en 3d como

los vemos acá atrás de la sumatoria

sería menos

125 entre el score

reformatoria de igual a 1 hasta n de iu

al cuadrado si éste es cubo ya y así es

como no tienen que dejar tienen que

procurar que siempre la sumatoria

solamente que con el línea sea y solita

hoy cuadrado también les puede pasar y

al cubo ya ahora lo que continúa voy a

ponerlo en la parte allá entonces no

sabía que dado que esta parte que estaba

acá solamente la sumatoria es igual a

todo esto ya ahora estas dos partes de

acá esto

y esto estado sumatorias son fórmulas

son propiedades que es las que están

apareciendo ahí ahí voy a poner tres de

las fórmulas más usadas en sumatoria de

rima ya y eso estamos reemplazarlas por

las que aparecen ahí entonces yo voy a

poner esto vamos en todo esto va a ser

igual si a 125 entre n cuadrado ya y

ponemos por la cual es la fórmula de

esta sumatoria solamente del i es n

porque n 1 sobre 2 si y ahora menos 125

entre en el cubo por del cuadrado ahí

aparece es n por n 1 por 2 n 1

sobre 6

ok entonces y ahí esto vamos a resolver

un poco por ejemplo a firmar acá sería

125 ya entre n cuadrado

y esto va a fundar así que sería vas a

multiplicar sería en el cuadrado más n

sobre 2 que solamente pasa a multiplicar

el de acá menos 125 y entre n cubo y acá

puedo multiplicar este primero esta

parte que sería en de cuadrado más n no

sea este paso por acá y pasa por acá sí

y qué haría en el cuadrado más n y todo

esto sigue estando multiplicando por el

'caso 12 n 1

y todo esto sobre 6

ok y luego lo que puedo hacer es juntar

esto y así sería 125

por anne cuadrado más n entre

este 2 voy a ponerlo debajo de 125 y

está en el agua ponerlo debajo de éste

solamente lo estoy acomodando para que

vean lo que voy a hacer y lo mismo voy a

hacer acá si puedo colocar este seis

debajo 125

ya entre entre el 6 para poner acá entre

6

y todo esto que voy a aprovechar a

multiplicar sería n cuadrado por 12 ene

sería 2 en un cubo este por éste sería

más en el cuadrado l n por el 12 ene

serían más 2 l cuadrado y ln por el 1

sería más n y aquí todo esto entre en de

cuba sí estoy acomodando un número con

un número debajo y lo hacen es con el n

a debajo igual acá ya ahora lo que voy a

hacer es lo siguiente

hacer este este va a quedar igual a 125

y entre 2 esté en el cuadrado

voy a pasarlo a cada uno de los términos

se va a quedar en el cuadrado entre en

el cuadrado se está entre este más con

el otro esté n entre el indi cuadrado si

acaba que era igual menos 125 entre 6 lo

que voy a hacer lo mismo ya lo que sí

tienen que hacer cuenta primero queda

como acá tengo en el cuadrado manu sande

cuadrado

estoy acá sería

3 n cuadrados para no copiar nuevamente

solamente por la suma entonces quedaría

3 12 en el cubo entre n

ya estos dos que estresan de cuadrados

verlo acá 3 n cuadrado también entre el

likud y sobre el n siendo más n entre en

el cubo

y ahora vamos a simplificar las eles por

ejemplo acá sería

125 entre 2 por n / l

vamos a ver acá n entre en ese sería uno

si los que hay uno

más acá se va un n común n y quedaría

uno entre n

si al menos 125 entre 6 por ahora

también este n con éste en s bahn y sólo

quedaría 2 si más n cuadrado con n se va

a decorar y acá se va 12 n si solamente

quedaría uno sería 3 entre n y acá

quedaría hay un n arriba y 13 en esa

bajos se simplifica y quería uno entre

en licuados y lo que parece esto

en el círculo verde cómo se va a ser un

cuadrado quedaría uno y acá se va esto

2 una vez que llegamos hasta acá

teniendo las n dividiendo y no hagan

ninguna n en la parte de arriba en el

numerador solamente todas las series

deben estar dividiendo ya vamos a

aplicar el paso 7

y pasó siento que debía aplicar el

límite ya todo el completo sí que es

hallar el límite

cuando n tiende al infinito de la

sumatoria que acabamos de hallar

por esto todo el completo todo esto toda

esta parte de acá para acá que es esto

que lo que está acá pues solamente vamos

a copiar sería el límite cuando entiende

el infinito de toda esta parte que es

esto vamos a cambiar sería 125 entre 2

ya lo copié es todo esto del cable

y todo esto es esto y acá vamos a

reemplazar este n al infinito vamos a

empezar en cada n que está acá entonces

si empezamos esto acá da viene sería 125

entre dos por uno más uno entre infinito

si menos 125 entre seis por dos más tres

entre infinito y más uno entre infinito

al cuadrado si ya y lo que tienen que

recordar al aplicar límites con el

infinito que un número entre infinito

siempre va a ser cero tal como aparece

ahí entonces este número entre infinito

va a ser cero que esté acá también va a

ser cero y este acá también va a ser

cero así este infinito al cuadrado sigue

siendo infinito y también un número

entre y bonito va a ser cero entonces

como quedaría

todo esto quedaría 125 entre 2 por acá

solamente me quedaría 1 porque este 0 no

hay 101 menos 125 entre 6 que costaría 2

100 sigue siendo 2 sí entonces ya

operamos esta calculadora no va a ser

125 entre 2 225 entre 3 no porque casi

la mitad mitad ya quedaría 3 ya pues sí

eso lo colocamos en la cuadra y meis y

nos va a quedar

125

entre 6 y ahí esa es la respuesta

a esta integral pero aplicando por su

con la suma de rayman si ustedes colocan

es una reguladora o lo hacen con el

método tradicional que es con las reglas

de integración me va a salir igualito

bueno amigos espero que les haya servido

este ejercicio este vídeo creo que se ha

sido un poquito largo la solución y

cualquier duda que tengan este problema

cualquier consulta la pueden hacer aquí

en los comentarios y nada espero que os

haya gustado así que hasta el próximo

vídeo

[Aplausos]

[Música]